高中数学同步题库含详解65椭圆

高中数学同步题库含详解65椭圆

一、选择题（共40小题；共200分） 1. 椭圆 2??2+3??2=12 的焦距为 ??

A. 2 A. 椭圆 3. 椭圆

??2??

2+

B. 2 2 B. 直线

??2??2C. 10 C. 圆

D. 2 10 D. 线段

2. 已知 ??1，??2 是定点，∣??1??2∣=8，动点 ?? 满足 ∣????1∣+∣????2∣=8，则点 ?? 的轨迹是 ??

??2??

??2??2=1 和

2+

=?? ??>0 具有 ??

C. 相同的顶点

D. 相同的长、短轴

A. 相同的离心率 4. 椭圆 9+

A. 6 5. 椭圆 16+

??2

??27

??2

??25

B. 相同的焦点

=1 的长轴长为 ??

B. 2 5 C. 3

D. 4

=1 的左右焦点分别为 ??1，??2，一直线过 ??1 交椭圆于 ??，?? 两点，则 △??????2 的周长

B. 16

C. 8

9

为 ??

A. 32

D. 4

6. 设定点 ??1 0,?3 ，??2 0,3 ，动点 ?? 满足条件 ∣????1∣+∣????2∣=??+?? ??>0 ，则点 ?? 的轨迹是 ?? A. 椭圆 7. 椭圆 9+

??2

??24

B. 线段

=1 的离心率是 ??

B. 3 2 5C. 不存在 D. 椭圆或线段

A.

13 3

C. 3

32

D. 9

35

8. 以椭圆短轴为直径的圆经过此椭圆的焦点，则椭圆的离心率是 ??

A. 2

131

B. 2 33

C. 2 12

D. 3 32

9. 已知椭圆的长轴长是短轴长的 2 倍，则椭圆的离心率等于 ??

A.

??2

??2

B. C. D. 10. 已知方程 2+?????+1=1 表示椭圆，则实数 ?? 的取值范围是 ??

A. ?∞,?1

C. ?∞,?2 ∪ ?1,+∞

5 33

B. ?2,+∞

D. ?2,?2 ∪ ?2,?1

21

3

3

11. 如果一个椭圆的长轴长是短轴长的 2 倍，那么这个椭圆的离心率为 ??

A. 4 A. ??2>??2

13. 设 ??1，??2 为椭圆 49+

A. 3

4??2

??26

B. 2 B. ??

1

1

C. 2 D. 2

12. 若曲线 ????2+????2=1 为焦点在 ?? 轴上的椭圆，则实数 ??，?? 满足 ??

C. 0

D. 0

=1 的两个焦点，?? 是椭圆上的点，若 ∣????1∣=4，则 ∣????2∣= ?? B. 4

C. 5

D. 6

第1页（共23页）

14. 如果方程 ??2+????2=2 表示焦点在 ?? 轴上的椭圆，那么实数 ?? 的取值范围是 ??

A. 0,1

??2

??2

B. ?∞,1 C. 1,+∞ D. 1,2

15. 若椭圆 16+??2=1 过点 ?2, 3 ，则其焦距为 ??

A. 2 3

B. 4 3

??2

??29

C. 2 5 D. 4 5

16. 已知 △?????? 的顶点 ??，?? 在椭圆 16+

A. 8

B. 8 3

=1 上，顶点 ?? 是椭圆的一个焦点，且椭圆的另一个焦

点在 ???? 上，则 △?????? 的周长是 ??

C. 16

D. 24

17. 已知椭圆 ?? 的中心在原点，左焦点 ??1，右焦点 ??2 均在 ?? 轴上，?? 为椭圆的右顶点，?? 为椭圆的

上端点，?? 是椭圆上一点，且 ????1⊥?? 轴，????2∥????，则此椭圆的离心率等于 ??

12

22

13

55

A. 18. 设 ??1，??2 为椭圆

的值为 ??

5

??29

B. +

??25

C. D.

∣????2∣

∣????1∣

=1 的两个焦点，点 ?? 在椭圆上，若线段 ????1 的中点在 ?? 轴上，则 ∣B. 9 4

A. 14

??2

??2

C. 13

5

D. 9

5

19. 椭圆 ??2+??2=1 ??>??>0 的一个焦点为 ??，该椭圆上有一点 ??，满足 △?????? 是等边三角形

（?? 为坐标原点），则椭圆的离心率是 ??

A. 3?1

??2

B. 2? 3 ??2

C. 2?1 D. 2? 2

20. “1

A. 充分不必要条件 C. 充要条件

??2

B. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件

21. 椭圆 4+??2=1 的两个焦点为 ??1，??2，过 ??1 作垂直于 ?? 轴的直线与椭圆相交，一个交点为 ??，

则 ?? 到 ??2 的距离为 ??

A. 2

??2

??2

3B. 3

C. 2 37

D. 4

22. 已知椭圆 ??:??2+??2=1 ??>??>0 的离心率为 2，四个顶点构成的四边形的面积为 4，过原点

的直线 ??（斜率不为零）与椭圆 ?? 交于 ??，?? 两点，??1，??2 为椭圆的左、右焦点，则四边形 ????1????2 的周长为 ??

A. 4

B. 4 3

C. 8

D. 8 3

12

23. 在平面直角坐标系 ?????? 中，椭圆 ?? 的中心为原点，焦点 ??1，??2 在 ?? 轴上，离心率为 ，点 ?? 为

椭圆上一点，且 △????1??2 的周长为 12，那么椭圆 ?? 的方程为 ??

A. 25+??=1

??2

2

??2

??24

??2

??2

??2

??2

B. 16+

=1

C. 25+24=1 D. 16+12=1

24. 已知 ?? ?1,0 ，?? 是圆 ??:??2?2??+??2?11=0（?? 为圆心）上一动点，线段 ???? 的垂直平分线

交 ???? 于 ??，则动点 ?? 的轨迹方程为 ??

??2

??2

??2

??2

??2

??22

??2

??22

A. 12+11=1 B. 36?35=1 C. 3?

=1

D. 3+

=1

第2页（共23页）

25. 已知椭圆 ??2+??2=1 ??>??>0 的左右顶点分别为 ??，??，上顶点为 ??，若 △?????? 是底角为 30°

的等腰三角形，则 = ??

????

1

3 3 6??2??2

A. 2 26. 过点 3,?2 且与

A. 15+10=1 27. 设椭圆 ??：

??2??

2+

B. 2

??29

C. 3 D. 3

+

??24

=1 有相同焦点的椭圆方程是 ?? B. 225+100=1

??2

??2

??2??2

C. 10+15=1

??2??2

D. 100+225=1

??

??2??2

??2??2=1 ??>??>0 的左、右焦点分别为 ??1，??2，其焦距为 2??，点 ?? ??, 在椭

2

∣<5∣??1??2∣ 恒成立，则椭圆离心率的取值范圆的内部，点 ?? 是椭圆 ?? 上的动点，且 ∣????1∣+∣????∣围是 ??

A. ,

5

1 2 2

??225

B. ,

4+

??216

1 2 2

C. ,

3

1 2 2

D. ,

5

2 2 2

28. 设 ??1，??2 是椭圆

48

=1 的两个焦点，点 ?? 在椭圆上，若 △????1??2 是直角三角形，则

36

48

△????1??2 的面积等于 ??

A. 5

B. 5

??2??2

C. 16

+

??2??2

D. 5 或 16

29. 已知直线 2??+???2=0 经过椭圆

为 ??

A. 5+

??2

??24

??2

=1 ??>0,??>0 的上顶点与右焦点，则椭圆的方程

??2

??24

??2

??24

=1

B. 4+??2=1

∣??∣

∣∣??∣4

C. 9+

=1

D. 6+

=1

30. 两定点 ??1 ?3,0 ，??2 3,0 ，?? 为曲线 5+

A. ∣????1∣+∣????2∣≥10 C. ∣????1∣+∣????2∣>10

??2

=1 上任意一点，则 ??

B. ∣????1∣+∣????2∣≤10 D. ∣????1∣+∣????2∣<10

31. 在平面直角坐标系 ?????? 中，已知椭圆 ??2+??2=1 ??>??>0 的上下顶点分别为 ??，??，右顶点

为 ??，右焦点为 ??，延长 ???? 与 ???? 交于点 ??，若 ??，??，??，?? 四点共圆，则该椭圆的离心率为 ??

A.

2?1

2

??2100

3?1

2

5?1

2

5? 2 2

??2

B.

+

??264

C. D.

32. 已知椭圆

A. 16

=1 的左焦点为 ??，一动直线与椭圆交于点 ??，??，则 △?????? 的周长的最大

B. 20

C. 32

D. 40

值为 ??

33. 如图所示，一个圆乒乓球筒，高为 20 厘米，底面半径为 2 厘米，球桶的上底和下底分别粘有一

个乒乓球，乒乓球与球筒底面及侧面均相切（球筒和乒乓球厚度均忽略不计），一个平面与两个乒乓球均相切，且此平面截球筒边缘所得的图形为一个椭圆，则该椭圆的离心率为 ??

第3页（共23页）

A. 5 1

B.

15 4

C.

2 65

D. 4

1

34. 椭圆 ?? 的焦点在 ?? 轴上，中心在原点，其短轴上的两个顶点和两个焦点恰为边长是 2 的正方形

的顶点，则椭圆 ?? 的标准方程为 ??

??2

??2 2??2

2

??2

??22

??2

??22

A. 2+

=1

??2

??2

B. 2+??=1 C. 4+

=1

D. 4+

=1

??

35. 已知椭圆 ??:??2+??2=1 ??>??>0 的左焦点为 ?? ???,0 ，上顶点为 ??，若直线 ??=???? 与 ???? 平

行，则椭圆 ?? 的离心率为 ??

A. 2 36. 已知椭圆 ??：

??2

??22

??2??

2+

1

B. 2

??2??2 2C. 2 3D. 3

33

6=1 ??>??>0 的左、右焦点为 ??1，??2，离心率为 ，过 ??2 的直线 ?? 交 ??

??2

??2

??28

??2

??24

于 ??，?? 两点，若 △????1?? 的周长为 4 3，则 ?? 的方程为 ??

A. 3+

=1

B. 3+??2=1

C. 12+

=1

D. 12+

=1

37. 若椭圆上存在三点，使得这三点与椭圆中心恰好是一个正方形的四个顶点，则该椭圆的离心率

为 ??

5?1

2

3 2 6

A.

B. 3 B. 4 1

C. 2 C. ?4

1

D. 3 D. ?4

38. 已知双曲线 ??2+????2=1 的虚轴长是实轴长的 2 倍，则实数 ?? 的值是 ??

A. 4 39. 椭圆

??2??

2+

??2??2=1 ??>??>0 的一个焦点为 ??1，若椭圆上存在一个点 ??，满足以椭圆短轴为直径

23

5

53

的圆与线段 ????1 相切于该线段的中点，则椭圆的离心率为 ??

A.

40. 已知点 ?? 是椭圆 16+

A. 0,3

??2

??28

22

B. C. 9

D.

=1 ??≠0,??≠0 上的一动点，??1,??2 为椭圆的两个焦点，?? 是坐标原点，

∣ 1 ????? =0，则 ∣若 ?? 是 ∠??1????2 的角平分线上的一点，且 ????∣????∣ 的取值范围为 ??

B. 0,2 2

C. 2 2,3

D. 0,4

二、填空题（共40小题；共200分）

41. 椭圆

??225

+

??29

=1 的两焦点之间的距离为 ．

42. 如果椭圆 5??2+????2=5 的一个焦点坐标是 0,2 ，那么 ??= ．

43. 椭圆 ??2+??2=1 ??>??>0 ，?? 是其短轴端点，??1，??2 为左右焦点，若从 ?? 点观察 ??1，??2 的视

角为 120°，则椭圆离心率 ??= ．

第4页（共23页）

??2

??2

44. 若以椭圆短轴为直径的圆经过此椭圆的焦点，则椭圆的离心率是 ． 45. 已知椭圆

??225

+

??2??2=1 ??>0 的左焦点为 ??1 ?4,0 ，那么 ??= ．

46. 人造地球卫星的运行轨道是以地心为一个焦点的椭圆，设地球半径为 ??，卫星近地点、远地点离

地面的距离分别是 ??1，??2，则卫星轨道的离心率是 ．

47. 若椭圆 25+16=1 上一点 ?? 到焦点 ??1 的距离为 6，则点 ?? 到另一个焦点 ??2 的距离是 ． 48. 椭圆 25+

??2

??29??2

??2

=1 上一点 ?? 到椭圆的一个焦点 ?? 的距离为 2，?? 为坐标原点，?? 是 ???? 的中点，

??2

??2

则 ???? 的长为 ．

49. 若 ??1，??2 分别是椭圆 25+16=1 的左、右焦点，?? 为椭圆上任意一点，点 ?? 的坐标为 6,4 ，

则 ????+????1 的最大值为 ．

50. 已知中心在原点的椭圆的右焦点为 ?? 1,0 ，离心率等于 ，那么椭圆 ?? 的方程为 ．

21

??2

??2

51. 若椭圆 16+??=1 的一个焦点为 ?? 3,0 ，则实数 ??= ． 52. 椭圆 2??2+??2+2??=0 的焦点坐标为 ，长轴长为 ．

53. 已知椭圆中心在原点，一个焦点为 ?? ?2 3,0 ，且长轴长是短轴长的 2 倍，则该椭圆的标准方

程是 ?? ． 54. 巳知 ??1，??2 为椭圆

??225

??29

+

=1 的两个焦点，过 ??1 的直线交椭圆于 ??，?? 两点，则 △??????2 的周

长为 ．

55. 曲线 3??2+????2=6 表示焦点在 ?? 轴上的椭圆，则实数 ?? 的取值范围是 ． 56. 已知 ??1，??2 为椭圆

??225

??29

+

∣+=1 的两个焦点，过 ??1 的直线交椭圆于 ??，?? 两点，若 ∣??2??∣

∣=12，则 ∣????∣= ． ∣??2??∣57. 已知椭圆

??2??2910???

+

??2???2??2

=1 的焦距为 4，则 ??= ．

58. 已知椭圆

+16=1 的两个焦点分别为 ??1，??2，点 ?? 在椭圆上，若 ????1=3，则

???1 2+??2∣???4∣

??2

1

????2= ．

59. 已知 ?? ?1,0 ，?? 1,0 ，点 ?? ??,?? 满足

=2，那么 ????+????= ．

??2

??

60. 如图，在平面直角坐标系 ?????? 中，若 ?? 是椭圆 ??2+??2=1 ??>??>0 的右焦点，直线 ??=2 与

椭圆交于 ??，?? 两点，且 ∠??????=90°，则该椭圆的离心率是 ．

61. “2

??2??2

第5页（共23页）

62. 已知椭圆 ??:??2+??2=1 ??>??>0 的左、右焦点分别为 ??1，??2，离心率为 3，过 ??2 的直线 ??

交 ?? 于 ??，?? 两点，若 △????1?? 的周长为 4 3，则椭圆 ?? 的方程为 ．

63. 椭圆的一个焦点到长轴两端点的距离之比为 1:4，短轴长为 8，则椭圆的标准方程是 ． 64. 设 ?? 为椭圆

??22

??2??

2,1 ，则实数 ?? 的取值范围为 ． 2

??2??2

3?=1 ??>?2 的离心率，且 ??∈

??24

65. 已知 ??，?? 满足 9+

2π

??2

=1，则 ???? 的取值范围是 ．

66. 已知 ??1，??2 为椭圆 ?? 的左、右焦点，点 ?? 在 ?? 上，△??1??2?? 为等腰三角形，且顶角 ∠??1??2??=

3

，那么椭圆 ?? 的离心率为 ．

??2

??24

67. 已知 ??1，??2 分别是椭圆 8+

范围是 ．

??2

??2

=1 的左、右焦点，?? 是椭圆上的任意一点，则

∣????1?????2∣????1

的取值

68. 如图所示，椭圆 ??2+??2=1 ??>??>0 的左、右焦点分别为 ??1，??2，过 ??2 的直线交椭圆于 ??，

?? 两点，且 ????⊥????1，????1=????，则椭圆的离心率 ??= ．

69. 已知 ?? 为坐标原点，?? 是椭圆 ??:

??2??

2+

??2??2=1 ??>??>0 的左焦点，??，?? 分别为 ?? 的左，右顶

点．?? 为 ?? 上一点，且 ????⊥?? 轴．过点 ?? 的直线 ?? 与线段 ???? 交于点 ??，与 ?? 轴交于点 ??．若

直线 ???? 经过 ???? 的中点，则椭圆 ?? 的离心率为 ．

70. 从椭圆 ??2+??2=1 ??>??>0 上一点 ?? 向 ?? 轴作垂线．垂足恰为左焦点 ??1，?? 是椭圆与 ?? 轴正

半轴的交点，?? 是椭圆与 ?? 轴正半轴的交点，且 ????∥???? （ ?? 是坐标原点），则该椭圆的离心

率是 ． 71. 已知椭圆 ??:

??216

??24

??2??2??2

??2

+

=1 0

13

?? 两点，若 ????2+????2 的最大值为 5，则 ??= ． 72. 若椭圆

+

??2??

=1 的离心率为 ，则 ?? 的值为 ．

??2??2

73. 已知椭圆

??2??2

+

=1 ??>??>0 ，点 ??，??1，??2，?? 依次为其左顶点、下顶点、上顶点和右焦

??2??2

??2??2

点，若直线 ????2 与直线 ??1?? 的交点恰好在椭圆的右准线上，则椭圆的离心率为 ． 74. 在平面直角坐标系 ?????? 中，??1，??2 分别是椭圆

+

=1 ??>??>0 的左、右焦点，过 ??1 且

与 ?? 轴垂直的直线与椭圆交于 ??，?? 两点，且 ∠????2??=90°，则该椭圆的离心率是 ． 75. 已知椭圆 5??2+????2=5 的一个焦点是 0,2 ，那么 ??= ．

76. 椭圆 ??:??2+??2=1 ??>??>0 的左、右焦点分别为 ??1，??2，上、下顶点分别为 ??1，??2，右顶点

??2

??2

为 ??，直线 ????1 与 ??2??1 交于点 ??．若 2∣????1∣=3∣??1??∣，则 ?? 的离心率等于 ．

第6页（共23页）

77. 若椭圆 ??2+??2=1 ??>??>0 的右焦点 ?? ??,0 关于直线 ??=???? 的对称点 ?? 在椭圆上，则椭圆

的离心率为 ．

78. 已知椭圆 ??：6+??2=1 0

??2，点 ?? 在椭圆 ?? 上，且满足 ∣????1∣+∣????2∣=∣????1∣+∣????2∣．当 ?? 变化时，给出下列三个命题：

① 点 ?? 的轨迹关于 ?? 轴对称；

② 存在 ?? 使得椭圆 ?? 上满足条件的点 ?? 仅有两个； ③∣????∣ 的最小值为 2．

其中，所有正确命题的序号是 ． 且 ????=3，那么椭圆 ?? 的方程为 ．

80. 已知椭圆 ??2+??2=1 ??>??>0 短轴的端点 ?? 0,?? ，?? 0,??? ，长轴的一个端点为 ??，???? 为

经过椭圆中心且不在坐标轴上的一条弦，若 ????，???? 的斜率之积等于 ?，则 ?? 到直线 ???? 的距

41

??2

??2??2

??2

??2??2

??

79. 已知点 ??1 ?1,0 ，??2 1,0 是椭圆 ?? 的两个焦点，过 ??2 且垂直于 ?? 轴的直线交椭圆于 ??，?? 两点，

离为 ．

三、解答题（共20小题；共260分） 81. 已知直线 ??? 3??+ 3=0 经过椭圆 ??:

椭圆的离心率．

82. 求适合下列条件的椭圆的标准方程．

（1）长轴长是短轴长的 2 倍，且过点 2,?6 ；

（2）在 ?? 轴上的一个焦点与短轴两端点的连线互相垂直，且焦距为 6． 83. 已知椭圆

??2??2??+8

??29??2

12

??2??

2+

??2??2=1 ??>??>0 的一个顶点 ?? 和一个焦点 ??．求

+=1 的离心率 ??=，求 ?? 的值．

1

84. 已知椭圆 ??2+??2=1 ??>??>0 经过点 0, 3 ，离心率为 2，左、右焦点分别为 ??1 ???,0 ，

??2 ??,0 ，求椭圆的方程．

85. 已知椭圆的中心在原点，长轴在 ?? 轴上，左焦点 ??1 与短轴的两个端点的连线互相垂直，左焦点

??1 与长轴上左顶点 ??1 的距离为 4 2?1 ，求此椭圆的标准方程．

86. 已知椭圆 ??:??2+??2=1 ??>??>0 的左焦点为 ?? ?2,0 ，离心率为 3，求椭圆 ?? 的标准方程． 87. 若椭圆的长轴长为 8，短轴的一个顶点与两焦点构成等边三角形，求椭圆的标准方程． 88. 已知椭圆 ??:??2+2??2=4．求椭圆 ?? 的离心率．

89. 已知地球绕太阳运行的轨道是一个椭圆，太阳在它的一个焦点上，长轴长约是 3.0 亿 km， 约

????

1

??2

??2

6为 60（?? 是半轴长的长，?? 是半焦距），求地球的轨道中心和太阳的距离，以及近日点和远日点

到太阳的距离．

90. 已知某椭圆的对称轴为坐标轴，离心率 ??=3，短轴长为 8 5，求该椭圆的方程．

91. 在 Rt△?????? 中，????=????=1，如果一个椭圆通过 ??，?? 两点，它的一个焦点为点 ??，另一个

焦点在边 ???? 上，求这个椭圆的焦距． 92. 求满足下列条件的椭圆的标准方程：

第7页（共23页）

2

（1）两个焦点的坐标分别是 ?1,0 和 1,0 ，并且经过点 1, ；

2

（2）经过两点 ?? 3,2 ，?? 6,1 ．

93. 若椭圆的对称轴在坐标轴上，两焦点与两短轴端点正好是正方形的四个顶点，又焦点到同侧长

轴端点的距离为 2?1，求椭圆的方程．

94. 已知点 ?? ?2,0 ，?? 2,0 ，且 △?????? 的周长等于 14，求顶点 ?? 的轨迹方程． 95. 已知椭圆 ??2+ ??+3 ??2=?? ??>0 的离心率 ??=

点坐标．

96. 已知椭圆 81+36=1 上一点 ?? ??0,??0 ，且 ??0<0，??0=2．

（1）求 ??0 的值；

（2）求过点 ?? 且与椭圆

??29

8??2

??2

3，求 ?? 的值及椭圆长轴、焦点坐标、顶2

3

+

??24

=1 共焦点的椭圆的方程．

97. 如图，在椭圆中，若 ????⊥????，其中 ?? 为焦点，??，?? 分别与长轴与短轴的一个端点，求椭圆的

离心率 ??．

98. 已知椭圆的两个焦点为 ??1 ?2 2,0 ，??2 2 2,0 ，过 ??1 且与坐标轴不平行的直线 ?? 与椭圆相交

于 ??，?? 两点，如果 △??????2 的周长等于 12，求这个椭圆的方程． 99. 如图，椭圆

??2??

2+

??2??2=1 ??>??>0 的左、右焦点分别为 ??1，??2，过 ??2 的直线交椭圆于 ??，?? 两

点，且 ????⊥????1．

（1）若 ∣????1∣=2+ 2，∣????2∣=2? 2，求椭圆的标准方程；

（2）若 ∣????1∣=∣????∣，求椭圆的离心率 ??．

100. 我国载人航天飞船“神舟七号”发射圆满成功．已知“神舟七号”飞船变轨前的运行轨道是一个以

地心为焦点的椭圆，飞船近地点，远地点离地面的距离分别为 200 公里，350 公里．设地球半径为 ?? 公里，求飞船轨道的方程．

第8页（共23页）

答案

第一部分 1. B 6. D

2. D 7. B

????

3. A 8. B

??2??2+??2

4. A

??22??2

5. B

2． 2

【解析】依题意有 ??=??，

=

所以 ??=9. D

= =

【解析】已知椭圆长轴长是短轴长的 2 倍，

????

所以 ??=2??，椭圆的离心率 ??=10. D

=

??2???2??2

= 1?

??2

1??

??2??2

=

3． 2

11. B 12. C 【解析】由 ????2+????2=1 得

1

1??

??

+

??2

1??

=1，

因为焦点在 ?? 轴上，所以 >>0，所以 0

2??

??22

+

??2

2??=1．

焦点在 ?? 轴上，则 >2，??>0，所以 0

16. C 17. D 【解析】如图，

设椭圆方程为：??2+??2=1， 所以 ??=??? 时，??=??2， 所以 ?? ???, ，??2 ??,0 ，

??又 ?? ??,0 ，?? 0,?? ，????2∥????， 所以 ??????2=??????， 所以 ?

??22????

??2

2

??4

??2??2

=?，

??

??

所以 ??=2??，??= ??2+??2= 5??， 所以 ??=

??

5． 5

5即椭圆的离心率为：5．

第9页（共23页）

18. C 【解析】椭圆 9+

??2??25

=1 的 ??=3，??= 5，??= ??2???2=2，由椭圆的定义可得 ∣????1∣+

4

5

∣????2∣=2??=6，由中位线定理可得 ????2⊥?? 轴，令 ??=2，可得 ??=± 5? 1?9=±3，即有 ∣????2∣=，∣????1∣=6?=

33

5

5

13

，则 ∣????2∣=13． 3

1

∣????∣5

19. A 20. C 【解析】若方程

??2???1

+

??23???

=1 表示的曲线是焦点在 ?? 轴上的椭圆，

3???>0,

则 ???1>0,

3???>???1,??<3,

即 ??>1, ??<2,

解得 1

21. C 22. C 【解析】由题意可知：椭圆 ??:??2+??2=1 ??>??>0 焦点在 ?? 轴上， 由椭圆的离心率 ??=

????

??2

??2

??2

??2

=

3，即 4??22

=3??2，

1

由四个顶点构成的四边形的面积为 4，根据菱形的面积公式可知 ??=2×2??×2??=4， 即 ????=2，

由 ??2=??2+??2，解得：??=2，??=1, 则椭圆的标准方程为：

??24

+??2=1，

由椭圆的定义可知：四边形 ????1????2 的周长 4??=8．

2??+2??=12,

23. D 【解析】由题意可得 ??1

=,

??

2

解得 ??=4，??=2． 又 ??2=??2???2， 所以 ??2=??2???2=12． 所以椭圆 ?? 的方程为 16+12=1．

第10页（共23页）

??2

??2

24. D 25. D

26. A 27. B 【解析】

因为点 ?? ??,2 在椭圆的内部， 所以

??2????

??

>

??2

?2??2>??2???2>2??2，

所以 <

??

2． 2

??

因为 ∣????1∣+∣????∣=2???∣????2∣+∣????∣，

又因为 ∣????∣?∣????2∣≤∣????2∣，且 ∣????2∣=2，要 ∣????1∣+∣????∣<5∣??1??2∣ 恒成立，即 2???∣????2∣+∣????∣≤2??+2<5×2??，

所以 2<10??，即 ??>4，则椭圆离心率的取值范围是 4,28. A 29. A 30. B

【解析】因为 ??1 ?3,0 ，??2 3,0 ，

所以满足 ∣????1∣+∣????2∣=10 的点在以 ??1，??2 为焦点，2??=10 的椭圆上， 可得椭圆的方程为 因为曲线 5+

∣??∣∣??∣

∣∣??∣4

??225

5??

??

1

1 2 ． 2

??

+

??216

=1，

=1 表示的图形是以 ?? ?5,0 ，?? 0,4 ，?? 5,0 ，?? 0,?4 为顶点的菱形，

∣∣??∣4

所以菱形 ???????? 的所有点都不在椭圆的外部， 因此，曲线 5+

=1 上的点 ??，必定满足 ∣????1∣+∣????2∣≤10．

31. C 【解析】如图所示，

因为 ??，??，??，?? 四点共圆，∠??????=2，

第11页（共23页）

π

所以 ∠??????=，

2

π

即 ????⊥????，

所以 ?????????????=??=?1，

????

????2

所以 ??2=????，??2???=????， 所以 ??2+???1=0，??=

5?1

． 2

??2

??2

32. D 33. B 【解析】不妨设椭圆方程为 ??2+??2=1 ??>??>0 ， 2??=20?4, 由题意得

??=2,

解得 ??=8，??=2，??= 64?4=2 15， 所以该椭圆的离心率为 ??=

????

2 158

15． 4

??24

==

34. C 【解析】易知 ??=??= 2，故 ??2=??2+??2=4，从而椭圆 ?? 的标准方程为 35. B

【解析】由题意，??=??， 所以 ??=??，所以 ??= 2??， 所以 ??=

????

??

??

+

??22

=1．

=

2． 2

??

??

36. A 【解析】依题意可得：

4??=4 3,??2=??2+??2,

??2=3,解出 2

??=2.

=

3,3

所以椭圆方程为 3+

??2??22

=1．

??2

??2

37. D 【解析】设椭圆的方程为 ??2+??2=1 ??>??>0 ，根据椭圆与正方形的对称性，可得满足题意的图形，如图所示．

因为 ∣????∣=??，所以 ∣????∣=

??????2 2??，所以点 ?? 的坐标为 ,，又点 ?? 在椭圆上，所以 22 24??2????

+4??2=1，

??2

所以 ??2=3??2，所以 ??2=3 ??2???2 ，所以 3??2=2??2，所以椭圆的离心率 ??=38. C 39. D 【解析】设线段 ????1 的中点为 ??，另一个焦点 ??2， 由题意知，????=??，又 ???? 是 △??2????1 的中位线，

=

6． 3

所以 ????=2????2=??，????2=2??，由椭圆的定义知 ????1=2???????2=2???2??， 又 ????1=2????1=2 2???2?? =?????，又 ????1=??，

1

1

1

第12页（共23页）

直角三角形 ??????1 中，由勾股定理得： ????? 2+??2=??2， 又 ??2???2=??2，可得 2??=3??，

故有 4??2=9??2=9 ??2???2 ，由此可求得离心率 ??=

????

=

5． 3

40. B

【解析】延长 ????2 和 ??1?? 相交于点 ??，如下图所示：

在三角形 ????1?? 中，???? 为角平分线且为高线，所以三角形 ????1?? 为等腰三角形，所以 ?? 为 ??1?? 的中点．

????=2??2??=2 ?????????2 =2 ????1?????2 ． 当点 ?? 在 ?? 轴上时，????1?????2 的值最小，为 0； 当点 ?? 在 ?? 轴上时，????1?????2 的值最大，为 2??=4 2． 所以 0

【解析】椭圆方程可化为 ??+

2

??2

5??111

=1，

因为椭圆的一个焦点坐标是 0,2 ， 所以 ?1=4，解得 ??=1．

??5

43. 2 44. 2 【解析】因为 ??=??，所以椭圆的离心率是 2． 45. 3

【解析】由题意知，??2=25?16=9，因为 ??>0，所以 ??=3．

第13页（共23页） 2 2 346.

??2???1

??1+??2+2??

??2???12

【解析】由题可得 ????=??2，????=??1，所以 2??=??1+??2+2??，??=

，所以 ??=??

??2???1

1+??2+2??

．

47. 4

【解析】由椭圆的定义知 ????1+????2=2??=10，????1=6，故 ????2=4． 48. 4 49. 15

【解析】由题知 ??2 3,0 ，????2=5． 由椭圆的定义可得，

????+????1=

=≤=

当且仅当 ??，??2，?? 三点共线时取等号． 50. 4+

??2

??23

2??+?????????210+?????????2

10+????215,

=1

12

【解析】由题意知 ??=1，由离心率 ??=，得 ??=2， 所以 ??2=??2???2=4?1=3， 故椭圆 ?? 的方程为 4+51. 7

【解析】由题意知 16???=32，解得 ??=7． 52. 0,?1±53.

??216

2 ，2 2

??2

??23

=1．

+

??24

=1

54. 20

55. 3,+∞ 56. 8

【解析】由椭圆的定义得 ∣????1∣+∣????2∣=2??=10，∣????1∣+∣????2∣=2??=10， 所以 ∣????1∣+∣????2∣+∣????1∣+∣????2∣=20． ∣+∣??2??∣∣=12， 又因为 ∣??2??∣

所以 ∣????∣=∣????1∣+∣????1∣=8． 57. 4 或 8

第14页（共23页）

10???>0,

得 20,

10???≠???2,

2 ? 10??? =4，解得 ??=4 或 ??=8． 58. 5

【解析】由椭圆定义得 ????1+????2=2??=8， 所以 ????2=5． 59. 4

【解析】因为点 ?? ??,?? 满足 所以点 ?? 的轨迹方程是 4+所以 ????+????=4． 60. 【解析】设 ???? 与 ?? 轴的交点为 ??， 所以 ?? 为 ???? 的中点． 因为 ????⊥????， 所以 ????=????．

??=2,

???=± 3??， 由 ??2??2

2

2+2=1

??

???? 63

??2

???1 2+??2∣???4∣

=2，

1

??23

=1，易知 ?? ?1,0 ，?? 1,0 为 ?? 的焦点，

所以 ??2+ =

2所以 ??+所以 ??=

2

??2???24

3

??2 3??， 2

=4??2，

6． 3

61. 必要不充分 【解析】若

??2

??2???2

+

??26???

???2>0,

所以 20,

???2≠6???,

是“???2+6???=1 表示椭圆”的必要不充分条件． 62. 3+

??2

??22

??2

=1

【解析】由椭圆的性质知 ????1+????2=2??，????1+????2=2??， 又因为 △????1?? 的周长为 ????1+????2+????1+????2=4 3， 所以 ??= 3， 又 ??=

3， 3

所以 ??=1，

所以 ??2=??2???2=2， 所以椭圆 ?? 的方程为 3+

??2

??2

??2

??2??2

??22

=1．

63. 25+16=1 或 25+16=1

第15页（共23页）

64. ?1,0

【解析】由题意知椭圆方程为 2+???=1，且 ?2

3?1

2

2π3

????

??2

??2

=

2+?? 2∈

2,1 ， 2

【解析】在 △??1??2?? 中，????2=??1??2=2??． 因为 ∠??1??2??=

，

所以 ????1=2 3??． 又 ????1+????2=2??， 所以 2??+2 3??=2??， 所以 ??=

3?1

． 2

67. 0,2 2?2 【解析】如图所示，

易知 ??=2 2，??=2，??=2．由椭圆的对称性知，只需考虑 ????1≥????2 的情况．则 其中

????2????1

????1?????2????1

=1?????2，

1

????

∈ 2 2?22 2+2,1 ，所以

????1?????2????1

∈ 0,2 2?2 ．

68. 6? 3 【解析】设点 ?? ??0,??0 ，

22

由点 ?? 在椭圆上，且 ????1⊥????2，得 ??2+??2=1，??0+??0=??2，

2??0

2??0

求得 ??0=±从而

????

??2?2??2，??0

=±

??2??

，

由 ????1=????>????2 得 ??0>0，

?? ??2?2??2??4

= +?? +2????=2 ??2???2 +2?? ??2?2??2= ??+ ??2?2??2 ,

由椭圆的定义，????1+????2=2??，????1+????2=2??， 从而由 ????1=????=????2+????2，得 ????1=4???2????1，

第16页（共23页）

22

2

????1

又由 ????1⊥????2，????1=????，知 ????1= 2????1，

因此 2+ 2 ????1=4??，即 2+ 2 ??+ ??2?2??2 =4??， 于是 2+ 2 1+69. 3

【解析】设 ?? ???,??0 ，

0

??+?? ， 则 ???? 所在直线的方程为 ??=???+??

2??2?1 =4，解得 ??= × 1+ 2

142+ 2?1 = 6? 3．

21

??

令 ??=0，得 ?? 0,

????0???+??

．

??

0

????? ， ???? 所在直线的方程为 ??=??????

令 ??=0，得 ??=由题意得

??

?????0??????

?????0

=?

2

??????

1????0

． ，

???+??

解得 ??=3??， 即 ??=??=3． 70. 2 【解析】由题意可设 ?? ???,??0 （?? 为半焦距），??????=?0，??????=?，

??

??

??

??

??0??

??

??????

21

由于 ????∥????，所以 ?

????

=???，??0=

．

把 ?? ???,?? 代入椭圆方程， 得

??? 2??2+

??

????2????2=1，解得 ?? =2，

??2

1

所以 ??=71. 3

??

=

2． 2

【解析】由椭圆定义知 ????2+????2+????=4??=8，因为 ????2+????2 的最大值为 5，所以 ???? 的最小值为 3．又因为当且仅当 ????⊥?? 轴时取得最小值，此时 ?? ???,2 ，?? ???,?2 ，代入椭圆方程得

??24

3

3

4???24

??24

??24

+

94??2=1，又 ??2=??2???2=4???2，所以 +

94??2=1，即 1?+

94??2=1，所以 =

94??2，解得 ??2=3，所以 ??= 3． 72.

128912

或 18

73.

【解析】如图，

第17页（共23页）

?? ???,0 ，??1 0,??? ，??2 0,?? ，?? ??,0 ． 设点 ?? ,???? ．由 ??????2=??????，得 =??2??，

??

??

????2

????

+??

所以 ????=?? +1 ；

??

??

由 ??????1=??????，得 =??2??，

??

??????

???所以 ????=?? ????? ． 从而 ?? +1 = ??? ，

??????

整理得 2??2+???1=0，解得 ??=2 或 ??=?1（舍去）． 74. 2?1

75. 1

【解析】由题可知焦点在 ?? 轴上，则 76. 4 77. ?=?1,??3???2?????????【解析】设 ?? ??,0 关于直线 ??=?? 的对称点为 ?? ??,?? ，则有 ??????+?? 解得 ??=，????2

=?,2??2

??

??

??

221

??2

5??

??

??2

??

????2

1

+

??21

=1，??2=?1=4，??=1．

??

5

??=

2????2??2，所以 ??

??3???2??2????2??2,

??2 在椭圆上，即有

??3???2?? 2

??6+

2????2 2??4??2=1，化简得 4??6+??4??2=??6，即

2． 2

4??6+??2=1， 2??2?1 2??4+??2+1 =0，所以 2??2=1，所以离心率 ??=78. ①③ 79. 4+且 2×

??2??2??2

??23

=1

【解析】由题意知 ??2???2=1，

=3，

??2

??23

解得 ??=4，??2=3， 所以椭圆 ?? 的方程为 4+80. 第三部分

81. 依题意知 ?? 0,1 ，?? ? 3,0 ， 所以 ??=1，??= 3， 故 ??= ??2+??2=2， 所以椭圆的离心率 ??=

????

3． 2

??2

??2

??2

??2

4 5??5

=1．

=

82. （1） 设椭圆的标准方程为 ??2+??2=1 ??>??>0 或 ??2+??2=1 ??>??>0 ． 由已知可得 ??=2??.???①

第18页（共23页）

又椭圆过点 2,?6 ， 所以有

22??2+

?6 2??22

=1 或

?6 2??22

+

22??2=1.???②

??2

??2

由 ①②，得 ??=148,??=37 或 ??2=52,??2=13． 故所求椭圆的标准方程为 148+37=1 或 52+13=1． （2） 设椭圆的标准方程为 由已知得 ??=??=3， 所以 ??2=18．

故所求椭圆的标准方程为 18+故 ??2=???1． 由 ??=，得

21

???1??+8

??2

??29??2??

2+

??2??2

??2??2=1 ??>??>0 ．

=1．

83. 当椭圆的焦点在 ?? 轴上时，??2=??+8，??2=9，

=，

2

1

解得 ??=4．

当椭圆的焦点在 ?? 轴上时，??2=9，??2=??+8， 故 ??2=1???． 由 ??=，得

2

541

1???0

=，

4

1

解得 ??=?．

综上可知，??=4 或 ??=?．

45

??= 3,??1

84. 由题设知 =,

??2

??=2,解得 ??= 3,

??2

??=1.??2=??2???2,

??23

所以椭圆的方程为 4+

=1．

?????=4 2?1 ,

求解得出 ??=4 2, 85. 由题得 ??=??,

??=4,

??2=??2+??2,所以椭圆的标准方程为：86. 由已知可得 =

????

??232

+

??216

=1．

6，??3

=2，所以 ??= 6．

??2

??22

又由 ??2=??2+??2，得 ??= 2， 所以椭圆 ?? 的标准方程是 6+

??2

??2

??2

??2

=1．

87. 16+12=1 或 16+12=1． 88. 由题意得，椭圆 ?? 的标准方程为 4+因此 ??=2，??= 2． 故椭圆 ?? 的离心率 ??=??=

??

2． 2

??2

??22

=1．

所以 ??2=4，??2=2，从而 ??2=??2???2=2，

第19页（共23页）

89. 40 亿 km，40 亿 km，40 亿 km．

90. 设椭圆的方程为 ??2+??2=1 ??>??>0 或 ??2+??2=1 ??>??>0 ． ??=4 5,??2

由题意得 ??==,

??3

??2??2

??2

??2

??2

15961

??=12,

解得 ??=4 5, 负值已舍去 ,

??=8.??2???2=??2,

??2

??2

??2

所以椭圆的方程为 144+80=1 或 144+80=1． 91. 如图所示，

在 Rt△?????? 中，得 ????= 2． 由 ????+????+????=4??=2+ 2 得 ??=所以 ????+????=2??=得 ????=

2． 2

6． 2

2+2． 2

2+ 2． 4

所以焦距 2??= ????2+????2=故椭圆的焦距为 ．

62

92. （1） 解法一：（待定系数法）因为椭圆的焦点在 ?? 轴上， 故设椭圆的标准方程为

3

??2??2+

??2??2=1 ??>??>0 ，

由于点 1,2 在椭圆上， 所以

1??

2+

9

又 ??2???=1，???② 解之得 ??2=4，??2=3， 所以椭圆的标准方程为 4+

??2??2

??23

4??22

=1，???①

=1．

解法二：（定义法）因为椭圆的焦点在 ?? 轴上， 故设椭圆的标准方程为 ??2+??2=1 ??>??>0 ，

33

由椭圆的定义知，2??= 1+1 2+ + 1?1 2+ =4，

2

2

22??2

所以 ??=2， 又因为 ??=1，

所以 ??2=??2???2=3， 所以椭圆的标准方程为 4+

??2

??23

=1．

第20页（共23页）

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