黑龙江省哈尔滨六中高一数学下学期期中试卷（含解析）

2014-2015学年黑龙江省哈尔滨六中高一（下）期中数学试 卷

一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分） 1．（2015春?哈尔滨校级期中）若a、b、c∈R，a＞b，则下列不等式成立的是（ ） A．

B． a＞b

2

2

C． a（c+1）＞b（c+1）

22

D． a|c|＞b|c|

考点： 不等关系与不等式． 专题： 不等式的解法及应用．

分析： 题中给了一个条件a＞b，四个选项就是在考四条不等式的基本性质．逐个选项应用性质进行简单证明，即可得出正确答案． 解答： 解：当ab＞0时，∵a＞b，∴b＜0，则a＞b时，

，但A选项中没有ab＞0的条件，如果a＞0，

，∴A选项不正确；

2

2

当a＞0，b＞0时，∵a＞b，∴a＞b，但B选项中没有a＞0，b＞0的条件，如果a=3，b=

222222

﹣5，则a＞b，∴a=3=9，b=（﹣5）=25，即a＜b，所以B选项也不正确；

222

在C选项中，∵c+1＞0，a＞b，∴a（c+1）＞b（c+1），即C选项为正确选项； 在D选项中，∵|c|≥0，a＞b，∴a|c|≥b|c|，∴D选项也不正确． 故选C．

点评： 本题考查不等式的性质，考查学生分析解决问题的能力，正确运用不等式的性质是关键．

2．（2015春?哈尔滨校级期中）已知非零向量，满足||=||，（量与的夹角大小为（ ）

A． 30° B． 60°

考点： 平面向量数量积的运算． 专题： 平面向量及应用．

分析： 根据向量数量积的定义公式进行求解即可． 解答： 解：∵（∴（即

2

﹣）⊥，则向

C． 120° D． 150°

﹣）⊥，

﹣）?=0， ﹣?=0，

2

即?=，

∵||=||， ∴2||=||，

则向量与的夹角满足cosθ==，

则θ=30°， 故选：A．

点评： 本题主要考查向量夹角的计算，根据向量数量积的应用是解决本题的关键．

3．（2015春?哈尔滨校级期中）设等差数列{an}的前n项和为Sn，若

=，则

的值为（ ）

A． B． C． D．

考点： 等差数列的前n项和． 专题： 等差数列与等比数列．

分析： 通过等差数列的性质可得S3、S6﹣S3、S9﹣S6、S12﹣S9成等差数列，利用即得结论．

解答： 解：∵等差数列{an}的前n项和为Sn， ∴S3、S6﹣S3、S9﹣S6、S12﹣S9成等差数列， 又∵

=，

=计算

∴S6=3S3，

∴（S6﹣S3）﹣S3=S3，

S9﹣S6=（S6﹣S3）+S3=S6=3S3， S12﹣S9=（S9﹣S6）+S3=4S3，

∴（S12﹣S9）+（S9﹣S6）=S12﹣S6=7S3， ∴S12=S6+7S3=3S3+7S3=10S3， ∴

=

=

，

故选：B．

点评： 本题考查等差数列的性质，注意解题方法的积累，属于中档题．

4．（2009?滨州一模）在等比数列中{an}中，若a3a5a7a9a11=243，则 A． 9 B．

考点： 等比数列的性质． 专题： 计算题．

1 C．

的值为（ ） 2 D． 3

分析： 利用等比中项的性质可知，a3a11=a7，a5a9=a7，代入题设等式求得a7，进而利用等比中项的性质求得

的值．

5

22

解答： 解：a3a5a7a9a11=a7=243 ∴a7=3 ∴

=a7=3

故选D

2

点评： 本题主要考查了等比数列的性质．解题过程充分利用等比中项的性质中G=ab的性质．等比中项的性质根据数列的项数有关．

5．（2015春?哈尔滨校级期中）向量|的最大值为（ ）

A． 2 B．

考点： 平面向量数量积的运算． 专题： 平面向量及应用．

2

2

的夹角为120°，||=||=2，||=4，则|+﹣

4 C． 6 D． 8

分析： 利用向量的数量积公式求出=||；再利用向量模的平方等于向量的平方求出|

|，根据模的几何意义得出

与方向相反时|+﹣|取最大值，

解答： 解：∵量的夹角为120°，||=||=2，|

∴?=2×2×cos120°=﹣2， |

|=||+||

2

2

2

=4+4﹣4=4，|+|=2

∵||=4， ∴|+﹣|≤|

|+||=2+4=6（

与方向相反时等号成立）

故选：C．

点评： 本题考查向量的数量积公式、向量模的性质：向量模的平方等于向量的平方，向量的模的几何意义．

6．（2015春?哈尔滨校级期中）如果数列{an}中，满足a1，公比为3的等比数列，则a100等于（ ）

10090

A． 3 B． 3 C．

，

，…，

是首项为1

3

4950

D． 3

5050

考点： 等比数列的通项公式． 专题： 等差数列与等比数列．

分析： 根据等比数列的通项公式求出数列{an}的通项公式即可得到结论． 解答： 解：∵a1，

，

，…，

是首项为1公比为3的等比数列，

∴=3

n﹣1

，

则an=a1??…=1?3?3…3=3

12n1+2+…+n

=，

则an==3

5050

，

故选：D

点评： 本题主要考查数列通项公式的求解，利用等比数列的通项公式结合累积法是解决本题的关键．

7．（2015春?哈尔滨校级期中）数列{an}是等比数列，若a2=1，a5=，设Sn=a1a2+a2a3+…+anan+1，若3Sn≤m+2m对任意n∈N恒成立，则m的取值范围为（ ） A． ﹣4≤m≤2 B． m≤﹣4或m≥2 ﹣2或m≥4

考点： 等比数列的性质．

专题： 计算题；等差数列与等比数列．

2

*

C． ﹣2≤m≤4 D． m≤

分析： 由题意可得数列{an}是首项a1=2，公比q=的等比数列，求出通项公式，可得数列{anan+1 }是公比为的等比数列，利用等比数列的前n项和公式 求出a1a2+a2a3+…+anan+1的最大值，利用3Sn≤m+2m对任意n∈N恒成立，即可求出m的取值范围． 解答： 解：由数列{an}是等比数列，a2=1，a5=，可得公比q=，首项a1=2， ∴an=2

2﹣n

2

*

，an+1=2

1﹣n

，∴anan+1 =2

3﹣2n

，∴a1a2=2，

故数列{anan+1 }是公比为的等比数列，∴a1a2+a2a3+…+anan+1 =∵3Sn≤m+2m对任意n∈N恒成立，

2

∴8≤m+2m，

∴m≤﹣4或m≥2． 故选：B．

2

*

＜，

点评： 本题考查等比数列的性质，等比数列的通项公式，等比数列的前n项和公式，判断数列{anan+1 }是公比为4的等比数列，是解题的关键．

8．（2015春?哈尔滨校级期中）等差数列{an}中

＜﹣1，它的前n项和Sn有最大值，则当

Sn取得最小正值时，n=（ ） A． 17 B． 18 C． 19 D． 20

考点： 等差数列的前n项和． 专题： 等差数列与等比数列．

分析： 易得数列单调递减，且a9＞0，a10＜0，a9+a10＜0，由等差数列的求和公式和性质可得结论．

解答： 解：由等差数列以及前n项和Sn有最大值可得数列单调递减， 又

＜﹣1，∴a9＞0，a10＜0，

∴由不等式的性质可得a10＜﹣a9，即a9+a10＜0， ∴S17=

=

=17a9＞0，

S18==9（a1+a18）=9（a9+a10）＜0，

∴当Sn取得最小正值时，n=17， 故选：A．

点评： 本题考查等差数列的求和公式和性质，属基础题．

9．（2015春?哈尔滨校级期中）已知O是△ABC内部一点，∠BAC=60°，则△OBC的面积为（ ） A． 3

考点： 平面向量数量积的运算． 专题： 解三角形．

+

+

=，

?

=6，

B． 1 C． D． 3

分析： 由向量式可得O为△ABC的重心，△OBC的面积为△ABC的面积的，由数量积的定义和三角形的面积公式可得△ABC的面积，可得答案． 解答： 解：∵O是△ABC内部一点，

+

+

=，

∴O为△ABC的重心，∴△OBC的面积为△ABC的面积的， ∵

?

=6，∴|

||

|cos∠BAC=6，

代入数据可得||||=12， ||

|sin60°=3

，

∴△ABC的面积为×|

∴△OBC的面积为 故选：C

点评： 本题考查平面向量的数量积，涉及三角形的面积公式，属基础题． 10．（2015春?哈尔滨校级期中）已知正项等比数列{an}满足：a6=a5+2a4，若存在两项am，an，使得 A．

=2a1，则+的最小值为（ ）

6 B．

5 C．

D． 4

考点： 基本不等式在最值问题中的应用；等比数列的通项公式． 专题： 等差数列与等比数列；不等式的解法及应用．

分析： 根据等比数列的通项公式建立条件关系求出m+n=4，利用基本不等式进行求解即可．

解答： 解：设正项等比数列{an}的公比为q＞0，

543

∵a6=a5+2a4，∴a1q=a1q+2a1q，

2

化为q﹣q﹣2=0，又q＞0，解得q=2． ∵存在两项am，an使得∴

m+n﹣2

=2a1， =2a1，

平方化简2=4，

∴m+n﹣2=2，即m+n=4． ∴+=1，

则+=（+）（+）=++=当且仅当

=4． =

，即n=3m时取等号，

+

≥

+2

=

故+的最小值为4，

故选：D

点评： 本题考查了等比数列的通项公式、基本不等式等基础知识与基本技能方法，利用1的代换是解决本题的关键．考查学生的运算和推理能力． 11．（2015春?哈尔滨校级期中）平行四边形ABCD中，AD=1，∠BAD=60°，E为CD中点．若?

=1，则|AB|=（ ）

A．

考点： 专题： 分析： 解答： ∴=（=

2

1 B． C． D．

平面向量数量积的运算． 平面向量及应用．

利用向量的三角形法则和平行四边形法则和数量积得运算即可得出． 解：∵E为CD中点， =（）?（

）?（﹣

2

?﹣）

）

+

2

?|﹣|

﹣=1+||cos60°﹣||=1，

2

即2|解得|

|=0，

|=，

即|AB|=， 故选：B．

点评： 本题主要考查向量数量积的应用，熟练掌握向量的三角形法则和平行四边形法则和数量积得运算是解题的关键．

12．（2013?湖州二模）定义

为n个正数p1，p2，…pn的“均倒数”．若已知

数列{an}的前n项的“均倒数”为（ ） A．

B．

，又，则=

C． D．

考点： 类比推理．

专题： 新定义；点列、递归数列与数学归纳法．

分析： 由已知得a1+a2+…+an=n（2n+1）=Sn，求出Sn后，利用当n≥2时，an=Sn﹣Sn﹣1，即可求得通项an，最后利用裂项法，即可求和． 解答： 解：由已知得

，

∴a1+a2+…+an=n（2n+1）=Sn

当n≥2时，an=Sn﹣Sn﹣1=4n﹣1，验证知当n=1时也成立， ∴an=4n﹣1， ∴∴∴=

．

，

=

+（

）+…+（

）=1﹣

故选C．

点评： 本题考查数列的通项与求和，考查裂项法的运用，确定数列的通项是关键．

二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分） 13．（2015春?哈尔滨校级期中）当x＞2时，不等式x+值是 4 ．

考点： 基本不等式．

专题： 函数的性质及应用；不等式的解法及应用． 分析： 变形∴x﹣2）

≥2，（仅当x=3时等号成立），即可得出y=x+

的最小值

≥a恒成立，则实数a的最大

为4，只要a≤y小即可．

解答： 解：∵x＞2，x﹣2＞0， ∴（x﹣2）∵y=x+∴不等式x+

≥2，（仅当x=3时等号成立） 的最小值为4，（仅当x=3时等号成立）

≥a恒成立，即a≤4，

a的最大值为4．

故答案为：4．

点评： 本题考察了运一基本不等式求解函数最值，不等式恒成立时参数的范围问题，属于中档题． 14．（2015春?哈尔滨校级期中）已知Sn是等差数列{an}的前n项和，S3=6，an﹣2+an=16，若Sn=50，则n的值为 10 ．

考点： 等差数列的前n项和． 专题： 等差数列与等比数列．

分析： 通过S3=3a2=6可得a2=2，利用an﹣2+an=16可得公差d=结论．

，利用Sn=50计算即得

解答： 解：∵S3=3a2=6，∴a2=2， 又an﹣2+an=16，

化为：a2+d（n﹣4）+a2+d（n﹣2）=16， ∴4+d（2n﹣6）=16， 即d（n﹣3）=6， ∴d=而Sn=na1+

，

d=n（2﹣

）+

=50，

化简得：（n﹣3）（n﹣10）=0， 解得n=10或n=3（增根，舍去）， 故答案为：10．

点评： 本题考查等差数列的相关知识，注意解题方法的积累，属于中档题． 15．（2015春?哈尔滨校级期中）如图，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠BAD=90°，且AB=AD=CD=2，

=3

，则

?

的值为 12 ．

考点： 平面向量数量积的运算． 专题： 平面向量及应用．

分析： 首先分别以DC，DA二直线为x，y轴，建立平面直角坐标系，求出A，B，C，D四点的坐标，设M（x，y），根据

即可求出M点坐标，从而可求得

，

的坐标，然

后进行数量积的坐标运算即可．

解答： 解：如图，分别以边DC，DA所在直线为x，y轴，建立平面直角坐标系，则： A（0，2），B（2，2），C（4，0），D（0，0）； 设M（x，y），则∵

；

，

；

∴（﹣2，2）=3（x﹣4，y）； ∴

；

∴；

∴∴∴

； ，．

；

故答案为：12．

点评： 考查通过建立平面直角坐标系求向量数量积的方法，根据点的坐标求向量的坐标，向量坐标的数乘运算，以及向量数量积的坐标运算．

16．（2014?临汾校级模拟）若数列{an}与{bn}满足bn+1an+bnan+1=（﹣1）+1，bn=n∈N+，且a1=2，设数列{an}的前n项和为Sn，则S63= 560 ．

考点： 数列的求和；数列递推式． 专题： 等差数列与等比数列． 分析： 由已知条件推导出bn=

，an=

，由此能求出S63．

n

，

解答： 解：∵，

∴bn=，

∵

∴当n为奇数时，an+2an+1=0， 当n为偶数时，2an+an+1=2， ∵a1=2，

，

∴an=，

∴S63=﹣=560

故答案为：560．

点评： 本题考查数列求和等基础知识，考查计算能力、推理论证能力、综合发现问题解决问题的能力以及分类讨论思想．

三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答时写出必要的文字说明，证明过程或解题步骤） 17．（2015春?哈尔滨校级期中）等差数列{an}的前n项和为Sn，已知a2=1，S10=45 （Ⅰ）求数列{an}的通项公式； （Ⅱ）若数列{bn}满足bn=

，求数列{bn}的前n项和Tn．

考点： 数列的求和；等差数列的性质． 专题： 等差数列与等比数列．

分析： （Ⅰ）由已知条件利用等差数列的通项公式和前n项和公式，求出首项和公差，由此能求出an=n﹣1． （Ⅱ）由（Ⅰ）知bn=

=2

﹣（n﹣1）

=，由此能求出数列{bn}的前n项和Tn．

解答： 解：（Ⅰ）∵等差数列{an}的前n项和为Sn，a2=1，S10=45，

∴，

解得a1=0，d=1， ∴an=n﹣1．

（Ⅱ）由（Ⅰ）知： bn=

=2

﹣（n﹣1）

=，

∴Tn==2﹣．

点评： 本题考查数列的通项公式的求法，考查数列的前n项和的求法，解题时要认真审题，注意等比数列的性质的灵活运用．

18．（2015春?哈尔滨校级期中）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若=（sinA，sinB），=（sinB，sinC），?=1﹣cos2B． （1）求证：a，b，c成等差数列；

（2）若C=，求的值．

考点： 余弦定理；平面向量数量积的运算．

专题： 等差数列与等比数列；解三角形；平面向量及应用． 分析： （1）由平面向量数量积的运算及二倍角公式可得：

，结合sinB≠0及正弦定理即可得证．

（2）由（1）可得：c=2b﹣a，又C=解答： 解：（1）证明：

，代入余弦定理即可求得的值．

∵sinB≠0

∴sinA+sinC=2sinB

∴由正弦定理可得：a+c=2b﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（6分） （2）∵由（1）可得：c=2b﹣a，又C=∴

，

﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣

点评： 本题本题主要考查了平面向量数量积的运算，余弦定理，正弦定理，二倍角公式等知识的应用，属于基本知识的考查． 19．（2015春?哈尔滨校级期中）解关于x的不等式 （1）|x﹣3|+|x|＞4

2

（2）ax﹣（a+1）x+1＜0（a∈R）

考点： 其他不等式的解法；绝对值不等式的解法． 专题： 不等式的解法及应用．

分析： （1）由条件利用绝对值的意义，求得|x﹣3|+|x|＞4的解集．

（2）分当a=0时、当0＜a＜1时、当a=1时、当a＞1时四种情况，分别求得原不等式的解集．

解答： 解：（1）由于|x﹣3|+|x|表示数轴上的x对应点到3、0对应点的距离之和， 而﹣和对应点到3、0对应点的距离之和正好等于4，故|x﹣3|+|x|＞4的解集为

．

（2）当a=0时，不等式ax﹣（a+1）x+1＜0，即﹣x+1＜0，求得它的解集为（1，+∞）； 当0＜a＜1时，不等式ax﹣（a+1）x+1＜0，即 （ax﹣1）（x﹣1）＜0，故它的解集为

2

2

2

2

2

；

当a=1时，不等式ax﹣（a+1）x+1＜0，即 x﹣2x+1＜0，即 （x﹣1）＜0，它的解集为?；

2

当a＞1时，不等式ax﹣（a+1）x+1＜0，即（ax﹣1）（x﹣1）＜0，故它的解集解集为

．

点评： 本题主要考查绝对值的意义，绝对值不等式的解法，体现了转化、分类讨论的数学思想，属于中档题．

2

20．（2015春?哈尔滨校级期中）已知函数f（x）=（3+2）（x≥0），数列{an}满足：a1=4，an+1=f（an），数列{bn}满足：b1+（1）求证数列{

+

+…+

=

（n∈N）．

*

+1}是等比数列，并求数列{an}的通项公式；

（2）求数列{bn}的通项公式和它的前n项和Tn．

考点： 数列的求和；等比数列的通项公式． 专题： 等差数列与等比数列． 分析： （1）通过题意可得即得（2）通过

=3

+2，变形可得

+1=3（

+1），结合a1=4

是以3为首项，以3为公比的等比数列，进而可得结论；

，利用

与

作差可得，再写出

Tn、3Tn的表达式，错位相减计算即得结论．

2

解答： 解：（1）∵f（x）=（3+2）（x≥0），数列{an}满足：an+1=f（an）， ∴∴

=3+1=3（

+2，

+1），

又∵a1=4， ∴∴∴∴（2）∵∴

+1=3，

是以3为首项，以3为公比的等比数列， ，

；

，

，

∴∴

又∵b1=2符合上式， ∴

1﹣1

， ，

；

2﹣1

n﹣1

∴Tn=2×1×3+2×2×3+…+2×n×3，

2﹣13﹣1n﹣1n

3Tn=2×1×3+2×2×3+…+2×（n﹣1）×3+2×n×3，

1﹣12﹣1n﹣1n

∴Tn﹣3Tn=2×1×3+2×1×3+…+2×1×3﹣2×n×3

2n﹣1n

=2（1+3+3+…+3）﹣2×n×3 =2?

﹣2×n×3

n

n

=﹣[（2﹣1）3+1]， ∴

．

点评： 本题是一道关于数列的综合题，考查求数列的通项、求和公式，考查运算求解能力，注意解题方法的积累，属于中档题． 21．（2015春?哈尔滨校级期中）在锐角△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知向量=（sinA，），=（3，sinA+（1）求角A的大小； （2）求

的取值范围．

cosA），且∥，

考点： 正弦定理的应用；平面向量共线（平行）的坐标表示． 专题： 三角函数的求值；解三角形． 分析： （1）运用向量共线的坐标表示和三角函数的恒等变换，化简整理即可得到A的值； （2）运用正弦定理和两角和差的正弦公式，结合锐角三角形和正弦函数的单调性，计算即可得到所求范围．

解答： 解：（1）由向量=（sinA，），=（3，sinA+

，即有sinA+

即∴∵∴

，

，

+

=， ，

2

cosA），且∥，

sinAcosA=，

∴（2）

，∴；

，

?＜B＜

．

点评： 本题考查向量共线的坐标表示，二倍角公式和两角和差的正弦公式，正弦函数的性质的运用，同时考查正弦定理的运用，属于中档题．

22．（2015春?哈尔滨校级期中）已知各项都是正数的数列{an}的前n项和为Sn，Sn=an+an，n∈N

（1）求数列{an}的通项公式；

（2）设数列{bn}满足：b1=1，bn﹣bn﹣1=2an（n≥2），求数列{

*

*

2

}的前n项和Tn

（3）若Tn≤λ（n+4）对任意n∈N恒成立，求λ的取值范围．

考点： 数列与不等式的综合；数列递推式． 专题： 等差数列与等比数列．

分析： （1）通过Sn=an+an、Sn+1=an+1+an+1，作差、分析可得an+1﹣an=，进而可得结论； （2）通过an=，可得bn﹣bn﹣1=n，累加即得：bn﹣b1=

，从而可得

2

2

bn=，裂项可得=2（﹣），并项相加即得结论；

（3）通过Tn=、Tn≤λ（n+4），整理可得λ≥，利用基本不等式即得结论．

解答： 解：（1）∵Sn=an+an， ∴Sn+1=an+1+an+1， 两式相减得：an+1=

﹣

+（an+1﹣an），

2

2

∴（an+1+an）（an+1﹣an﹣）=0， ∵数列{an}的各项都是正数， ∴an+1﹣an=，

又∵a1=∴a1=，

+a1，

∴数列{an}是以为首项、为公差的等差数列， ∴an=+（n﹣1）=； （2）∵an=， ∴bn﹣bn﹣1=2an=2?=n， ∴b2﹣b1=2， b3﹣b2=3， …

bn﹣bn﹣1=n， 累加得：bn﹣b1=又∵b1=1， ∴bn=b1+∴∴（3）∵Tn=

，

=

=2（﹣

=1+），

；

=

，

，

∴Tn≤λ（n+4），

∴λ≥==，

∵n+≥2∴当n=2时

=4当且仅当n=2时取等号， 有最大值，

∴．

点评： 本题是一道数列与不等式的综合题，考查数列的通项、求和、基本不等式等基础知

识，注意解题方法的积累，属于中档题．

又∵a1=∴a1=，

+a1，

∴数列{an}是以为首项、为公差的等差数列， ∴an=+（n﹣1）=； （2）∵an=， ∴bn﹣bn﹣1=2an=2?=n， ∴b2﹣b1=2， b3﹣b2=3， …

bn﹣bn﹣1=n， 累加得：bn﹣b1=又∵b1=1， ∴bn=b1+∴∴（3）∵Tn=

，

=

=2（﹣

=1+），

；

=

，

，

∴Tn≤λ（n+4），

∴λ≥==，

∵n+≥2∴当n=2时

=4当且仅当n=2时取等号， 有最大值，

∴．

点评： 本题是一道数列与不等式的综合题，考查数列的通项、求和、基本不等式等基础知

识，注意解题方法的积累，属于中档题．

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