电路邱关源第五版14第十四章

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第14章14.1 拉普拉斯变换的定义

线性动态电路的复频域分析14.6 网络函数的定义 14.7 网络函数的极点和零点 14.8 极点、零点与冲激响应 14.9 极点、零点与频率响应

14.2 拉普拉斯变换的基本性质 14.3 拉普拉斯反变换的部分分式展开 14.4 运算电路 14.5 用拉普拉斯变换法分析线性电路

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重点 (1) 拉普拉斯变换的基本原理和性质 (2) 掌握用拉普拉斯变换分析线性电路的方法和步骤 (3) 网络函数的概念 (4) 网络函数的极点和零点

14.1 拉普拉斯变换的定义1. 拉氏变换法拉氏变换法是一种数学积分变换，其核心是把时间函数f(t)与复变函数F(s)联系起来，把时域问题通过数学变换为复频域问题，把时域的高阶微分方程变换为频域的代数方程以便求解。应用拉氏变换进行电路分析称为电路的复频域分析法，又称运算法。

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例一些常用的变换①对数变换

乘法运算变换 B AB 为加法运算

lg A lg B lg AB②相量法

正弦量 i1 i2 i 相量 I1 I 2 I对应

时域的正弦运算变换为复数运算

拉氏变换f(t)(时域原函数)

F(s)(频域象函数)返回上页下页

2. 拉氏变换的定义定义 [ 0 , ∞)区间函数 f(t)的拉普拉斯变换式：

简写 F (s) L f (t ) , f (t ) L F (s) -1

F ( s) f (t )e st dt 0 1 c j st f (t ) c j F (s)e ds 2πj

正变换反变换

复频率

s j 返回上页下页

注意① 积分域 0 积分下限从0 开始，称为0 拉氏变换。

0 0 积分下限从0 + 开始，称为0 + 拉氏变换。今后讨论的均为0 拉氏变换。

F (s) 0 f (t )e dt 0 f (t )e dt 0 f (t )e dt st 0

②象函数F(s) 存在的条件：

f (t )e st dt

[0 ,0+]区间 f(t) = (t)时此项 0

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如果存在有限常数M和 c 使函数 f(t) 满足：

f (t ) Me

t [0, )

f (t ) e dt 0 Me st

( s c ) t

M dt s c

则f(t)的拉氏变换式F(s)总存在，因为总可以找到一个合适的s 值使上式积分为有限值。 ③象函数F(s) 用大写字母表示,如I(s),U(s) 原函数f(t) 用小写字母表示，如 i(t), u(t)

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3.典型函数的拉氏变换

F (s) 0 f (t )e dt st

(1)单位阶跃函数的象函数

f (t ) (t )

F (s) L[ (t )] 0 (t )e dt 0 e dt st

1 st 1 e 0 s s

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(2)单位冲激函数的象函数

f (t ) (t )F ( s ) L[ (t )]

(t ) e dt (t )e st dt 0 st

s 0

(3)指数函数的象函数

f (t ) e

F (s) L e

1 ( s a ) t e e e dt 0 0 s a 1 s a at st返回上页下页

14.2 拉普拉斯变换的基本性质1.线性性质若 L[ f1 (t )] F1 (s) ,则 L A1 f1 (t ) A2 f 2 (t ) A1L f1 (t ) A2L f 2 (t ) A1F1 (s) A2 F2 (s) st

L[ f 2 (t )] F2 (s)

证 L A1 f1 (t ) A2 f 2 (t ) A1 f1 (t ) A2 f 2 (t ) e st dt

A1 f1 (t )e dt A2 f 2 (t )e dt st 0 0

A1F1 (s) A2 F2 (s)返回上页下页

结论根据拉氏变换的线性性质，求函数与常数相乘及几个函数相加减的象函数时，可以先求各函数的象函数再进行相乘及加减计算。

例1 求 : f (t ) K (1 e解

)的象函数

F (s) L[K ] - L Ke

例2解

求 : f (t ) sin( t )的象函数F (s) L sin (ωt) 1 1 1 2 2 j s j s j s 2

K K Ka s s a s ( s a)

1 j t j t L (e e ) 2j

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2. 微分性质

若： L f (t ) F (s)

利用

udv uv vdu

df (t ) 则： L sF ( s) f (0 ) dt

证

df (t ) L dt

f (t )

df (t ) st e dt e st df (t ) 0 dt

f (t )( se st )dt0

f (0 ) sF (s)

若足够大返回上页下页

例利用导数性质求下列函数的象函数 (1) f (t ) cos( t )的象函数解

dsin( t ) cos ( t ) dt 1 d(sin t ) cos ( t ) dt 1 d L[cos t ] L (sin( t ) dt s 1 s 2 0 2 s s2 2 返回上页下页

(2) f (t ) δ ( t )的象函数解

1 d (t ) L[ (t )] (t ) s dt d (t ) 1 L (t ) L[ ] s 0 1 dt s2

d f (t ) ' 推广：L[ ] s[sF (s) f (0 )] f (0 ) 2 dt

s F (s) sf (0 ) f (0 )2 '

d n f (t ) L[ ] s n F (s) s n 1 f (0 ) f n 1 (0 ) n dt

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3.积分性质若： L[ f (t )] F (s)t 0

则：L[

证令 L[ f (t )dt ] (s) d t L[ f (t )] L f (t )dt dt 0 F ( s ) s ( s ) f (t )dt0 t

1 f ( )d ] F (s) s应用微分性质

0t 0

F (s) (s) s返回上页下页

例求 : f (t ) t ( t )和f (t) t (t )的象函数2

解

L t (t ) L[ 0 (t )dt ]2t 0

1 1 1 2 s s s2 s3

L[t (t )] L[2 tdt ]

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4.延迟性质若： L[ f (t )] F (s)

则： L[ f (t t0 ) (t t0 )] e F (s) 0

st 0

证 L f (t t0 ) (t t0 ) f (t t0 ) (t t0 )e st dt f (t t0 )e st dtt0

令 t t0

f ( )e0

s ( t0 )

d e

st 0

f ( )e d

st 0

F ( s)e st 0 延迟因子返回上页下页

例1 求矩形脉冲的象函数解

f (t ) (t ) (t T )

1 o

f(t)

1 1 sT 根据延迟性质 F (s) e s s 例2 求三角波的象函数解

T f(t)

To T

f (t ) t[ (t ) (t T )]

f (t ) t (t ) (t T ) (t T ) T (t T )

1 1 sT T sT F (s) 2 2 e e s s s返回上页下页

例3 求周期函数的拉氏变换解设f1(t)为一个周期的函数

f(t)

1...

L[ f1 (t )] F1 (s)f1 (t 2T ) (t 2T )

T/2 T

f (t ) f1 (t ) f1 (t T ) (t T )

L[ f (t )] F1 (s) e F1 (s) e F1 (s)[e sT

2 sT

F1 (s)

2 sT

3sT

1 F1 ( s ) ] sT 1 e

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1 L[ f (t )] F1 ( s ) sT 1 eT 对于本题脉冲序列 f1 (t ) (t ) (t ) 2 1 1 sT / 2 F1 (s) ( e ) s s 1 1 1 sT / 2 1 1 ) ( e ) ( L[ f (t )] sT / 2 sT s 1 e 1 e s s5.拉普拉斯的卷积定理若： L[ f1 (t )] F1 (s) L[ f 2 (t )] F2 (s)返回上页下页

则： L[ f1 (t ) f 2 (t )] L f1 (t ) f 2 ( )d 0

F1 ( s) F2 ( s)证

L[ f1 (t ) f 2 (t )] e f1 (t ) f 2 ( ) d dt 0 0 st e f1 (t ) (t ) f 2 ( ) d dt 0 0 st t

令 x t 0

f1 ( x) ( x) f 2 ( )e s e sx d dx sx s 0

f1 ( x) ( x)e dx f 2 ( )e F1 (s) F2 (s)

d 上页下页

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/2gb4.html

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