《点集拓扑讲义》第三章 子空间（有限）,积空间，商空间 学习笔

第3章 子空间（有限）,积空间，商空间

在这一章中我们介绍通过已知的拓扑空间构造新的拓扑空间的三种惯用的办法．为了避免过早涉及某些逻辑上的难点，在§3.2中我们只讨论有限个拓扑空间的积空间，而将一般情形的研究留待以后去作．

§3.1 子空间

本节重点：掌握度量子空间、拓扑空间子空间的概念，子空间的拓扑与大空间拓扑之间的关系以及子空间的闭集、邻域、基、导集、闭包与大空间相应子集之间的关系及表示法．

讨论拓扑空间的子空间目的在于对于拓扑空间中的一个给定的子集，按某种“自然的方式”赋予它一个拓扑使之成为一个拓扑空间，以便将它作为一个独立的对象进行考察．所谓“自然的方式”应当是什么样的方式？为回答这个问题，我们还是先从度量空间做起，以便得到必要的启发．

考虑一个度量空间和它的一个子集．欲将这个子集看作一个度量空间，必须要为它的每一对点规定距离．由于这个子集中的每一对点也是度量空间中的一对点，因而把它们作为子集中的点的距离就规定为它们作为度量空间中的点的距离当然是十分自然的．我们把上述想法归纳成定义：

定义3.1.1 设（X，ρ）是一个度量空间，Y是X的一个子集.因此，Y×YX×X．显然

：Y×Y→R是Y的一个度量（请自行验证）．我们称Y的度量

，

是由X的度量ρ诱导出来的度量.度量空间（Y，ρ）称为度量空间（X，ρ）的一个度量子空间．

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我们常说度量空间Y是度量空间X的一个度量子空间，意思就是指Y是X的一个子集，并且Y的度量是由X的度量诱导出来的．我们还常将一个度量空间的任何一个子集自动地认作一个度量子空间而不另行说明．例如我们经常讨论的：实数空间R中的各种区间（a，b），[a，b]，（a，b]等；n＋1维欧氏空间中的

n维单位球面:

n维单位开、闭球体:

以及n维单位开、闭方体 和等等，并且它们也自然被认作是拓扑空

间（考虑相应的度量诱导出来的拓扑）．

定理3.1.1 设Y是度量空间X的一个度量子空间．则Y的子集U是Y中的一个开集当且仅当存在一个X中的开集V使得U＝V∩Y．

证明 由于现在涉及两个度量空间，我们时时要小心可能产生的概念混淆．对于x∈X（y∈Y），临时记度量空间X（Y）中以x（y）为中心以ε＞0为半径的球形邻域为

，

.

首先指出：有=∩Y.

这是因为z∈X属于当且仅当z∈Y且(z,y)<ε.

现在设U∈，由于Y的所有球形邻域构成的族是Y的拓扑的一个基，U可

以表示为Y中的一族球形邻域，设为A的并．于是

2

设，∴U=V∩Y

另一方面，设U＝V∩Y，其中V∈y∈V．

,有

．如果y∈U，则有y∈Y和

按照定理3.1.1的启示，我们来逐步完成本节开始时所提出的任务． 定义3.1.2 设A是一个集族，Y是一个集合．集族{A∩Y|A∈A}称为集族A在集合Y上的限制，记作

引理3.1.2 设Y是拓扑空间（X，T)的一个子集．则集族 拓扑．

是Y的一个

证明 我们验证满足拓扑定义中的三个条件：

（1）由于X∈T和Y=X∩Y，所以Y∈；由于∈T,=∩Y,所以∈

（2）如果A，B∈，即

于是

（3）如果是集族的一个子集族，即对于每一个A∈，

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定义3.1.3 设Y是拓扑空间（X，T）的一个子集．Y的拓扑对于X的拓扑T而言的）相对拓扑；拓扑空间（Y，个（拓扑）子空间．

称为（相

，）称为拓扑空间的一

我们常说拓扑空间Y是拓扑空间X的一个子空间，意思就是指Y是X的一个子集，并且Y的拓扑就是对于X的拓扑而言的相对拓扑．此外，我们也常将拓扑空间的子集认为是一个子空间而不另行说明．

假设Y是度量空间X的一个子空间．现在有两个途径得到Y的拓扑：一是通过X的度量诱导出Y的度量，然后考虑Y的这个度量诱导出来的拓扑；另一是先将X考虑成一个拓扑空间，然后考虑Y的拓扑为X的拓扑在Y上引出来的相对拓扑．事实上定理3.1.1已经指出经由这两种途径得到的Y的两个拓扑是一样的．下面把这层意思重新叙述一遍．

定理3.1.3 设Y是度量空间X的一个度量子空间．则X与Y都考虑作为拓扑空间时Y是X的一个（拓扑）子空间．

定理3.1.4 设X，Y，Z都是拓扑空间．如果Y是X的一个子空间，Z是Y的一个子空间，则Z是X的一个子空间．

证明 当Y是X的一个子空间，Z是Y的一个子空间时，我们有并且若设T为X的拓扑时，Z的拓扑是（={U∩Y∩Z|U∈T}={U∩Z|U∈T}= 因此Z是X的一个子空间．

定理3.1.5 设Y是拓扑空间X的一个子空间，y∈Y．则

）={U∩Y|U∈T}

；

（l）分别记T和为X和Y的拓扑，则=；

（2）分别记F 和

为X和Y的全体闭集构成的族，则 = ；

4

（3）分别记和y为点y在X和Y中的邻域系，则y= ．

证明（1）即是子空间和相对拓扑的定义．

（2）成立是因为：

={(X-U)∩Y|U∈T}={Y-U∩Y|U∈T}=

（3）设则，因此存在使得V＝∩Y,令

,由于并且

＝V∪U＝U

所以U∈.以上证明．类似的论证指出

定理3.1.6 设Y是拓扑空间X的一个子空间，A是Y的一个子集．则 （1）A在y中的导集是A在X中的导集与Y的交； （2）A在Y中的闭包是A在X中的闭包与Y的交．

证明 为证明这个定理，我们仍分别记A在X中的导集和闭包为d（A）和而记A在Y中的导集和闭包分别为

（A）和

（A）．

；

（l）一方面，设y∈理

3.1.5，U∩Y

是

（A）．则对于y在X中的任何一个邻域U，根据定y

在

Y

中的一个邻域，所以

因此y∈d（A）．此外当然有y∈Y．所以

y∈d(A)∩y．这证明

(A)

d（A）∩Y．

另一方面，设y∈d(A)∩Y,

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所以y∈(A)．这证明d（A）d（A）∩Y．

（2）成立是因为(A)=A∪(A)=A∪(d(A)∩Y)=(A∪d(A))∩(A∪Y)=∩Y

定理3.1.7 设Y是拓扑空间X的一个子空间，y∈Y．则

（1）如果B是拓扑空间X的一个基，则是子空间Y的一个基；

（2）如果是点y在拓扑空间X中的一个邻域基，则是点y在子空

间Y中的一个邻域基．

证明（1）设B是X的一个基．对于Y中的任何一个开集U，存在X中的一个开集V使得U=V∩Y；存在B的一个子族

由于上式中的每一个B∩Y是

已经表示成了

中的某些元素之并了．因此

,使得V＝

．因此U＝

中的一个元素，所以在上式中U是Y的一个基．

（2）证明（略）．

“子空间”事实上是从大拓扑空间中“切割”出来的一部分．这里有一个反问题，概言之就是：一个拓扑空间什么时候是另一个拓扑空间的子空间？换言之，一个拓扑空间在什么条件下能够“镶嵌”到另一个拓扑空间中去？当然假如我们拘泥于某些细节，例如

涉及的拓扑空间是由什么样的点构成的，那么问题会变得十分乏味,然而我们在§2．2中便提到过，拓扑学的中心任务是研究拓扑不变性质，也就是说我们不去着意区别同胚的两个拓扑空间．在这种意义下，以上问题可以精确地陈述如下：

6

定义3.1.4 设X和Y是两个拓扑空间，f:X→Y．映射f称为一个嵌入，如果它是一个单射，并且是从X到它的象集f(X)的一个同胚．如果存在一个嵌入f: X→Y，我们说拓扑空间X可嵌入拓扑空间Y．

事实上，拓扑空间X可嵌入拓扑空间Y意思就是拓扑空间X与拓扑空间Y的某一个子空间同胚．换言之，在不区别同胚的两个拓扑空间的意义下，X“就是”Y的一个子空间．

不能嵌入的一个简单例子是，一个离散空间，如果它含有多于一个点，就决不可能嵌入到任何一个平庸空间中去；反之，一个平庸空间，如果它含有多于一个点，也决不可能嵌入到任何一个离散空间中去．欧氏平面中的单位圆周是否可以嵌入到实数空间（即直线）中去呢？这个问题我们到第四章中再作处理．本书中我们还会涉及一些比较深刻的嵌入定理．

本节关键:掌握拓扑空间中的子集(这里称为子空间)的开集、闭集、闭包、导集”长”得什么模样． 作业:

P95 1.2.5.7.

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§3.2 （有限）积空间 本节重点:

掌握乘积空间的度量与拓扑的定义． 掌握积拓扑的基与子基的结构． 掌握投射的定义与性质．

掌握定理3.2.7与定理3.2.9的作用．

给定了两个拓扑空间，我们首先可以得到一个集合作为它们的笛卡儿积．如何按某种自然的方式给定这个笛卡儿积一个拓扑使之成为拓扑空间？

为此我们先对度量空间中的同类问题进行研究．首先回顾n维欧氏空间中

的度量是如何通过实数空间中的度量来定义的：如果x=

,y=

,则x与y的距离定义为

其中

是R中的两个点

的通常距离．这种定义方式推广到有限个

度量空间的笛卡儿积中去不会产生任何困难．

8

定义3.2.1 设是n≥1个度量空间．

令X＝．定义 ρ：X×X→R使得对于任何x=

y=∈X，

容易验证ρ是X的一个度量．（请自行验证，注意验证中要用到2．1节附录中的Schwarz引理）我们称ρ为笛卡儿积X＝度量空间（X，ρ）为n个度量空间

的积度量；称的度量积空间．

根据上述定义明显可见，n维欧氏空间就是n个实数空间R的度量积空间，

先来考察积度量所诱导出来的拓扑有什么样的性质，以便使我们得到在拓扑空间中应该如何引出积空间的概念的启示．

定理3.2.1 设是它们的积空间．又设

和

分别是由度量

是n＞0个度量空间，（X，ρ）和ρ所诱导出来的

和X的拓

扑，其中i＝l，2，?，n．则X的子集族:

B={| i=1,2,?n}是X的拓扑的一个基．

证明：我们仅就n=2的情形加以证明．

首先根据积度量的定义容易得到（请自行验证）：对于任意x=和任意ε＞0，我们有：

∈X

设∈B,其中分别是中的开集．

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如果x=∈则

其中ε=min{点，因此

}．这说明．

．由于x是

中的任意一个

这证明了

这就是说，X中的每一个开集是B中的某些元素的并．这完成了B是个基的证明．

一般情形的证明是完全类似的，请读者自己补证．

在定理3.2.1的启示下，我们按以下方式引进有限个拓扑空间的积空间这一概念．

的一

定理3.2.2 设是n≥1个拓扑空间．则

X＝有惟一的一个拓扑T以X的子集族

B={

证明 我们有：

| ,i=1,2,?n} 为它的一个基．

（1）由于X＝

∈B所以

10

（2）如果n，则

,∈B，其中，i＝1，2，?，

（,）∩()

＝

见本定理的结论成立．

应用第二章中的定理2．6．3可

定义3.2.2 设是n≥1个拓扑空间．则

X＝的以子集族

B={ 称为拓扑

| ,i=1,2,?n}为它的一个基的那个惟一的拓扑T的积拓扑，拓扑空间（X，T）称为拓扑空间 的（拓扑）积空间．

设是n≥1个度量空间．则笛卡儿积X＝可以有

两种方式得到它的拓扑：一是先将X作成度量积空间，然后再由积度量诱导出X的拓扑；另一是先用每一个拓扑空间

的度量诱导出

的拓扑，然后再将X考虑作为诸

的拓扑积空间．定理3.2.1实际上已经指出这两种拓扑是一致的，

现将这一点明确陈述如下：

定理3.2.3 设X＝积空间．则将X和间．

是n≥1个度量空间的度量

的（拓扑）积空

都考虑作为拓扑空间时，X是

特别地，作为拓扑空间，n维欧氏空间空间．

便是n个实数空间R的（拓扑）积

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定理3.2.4 设X＝是n≥1个拓扑空间

有一个基

的积空

间，对于每一个i＝1，2，?，n，拓扑空间．则X的子集族

={|,i=1,2,?n}是拓扑空间X的一个基．

证明 设为的拓扑，i＝1，2，?，n．令B如积拓扑的定义中的积拓是积空间X的一个基，只需证明B中的每一个元素均可

∈B,其中

使得

于是

．由

扑的那个基．为证明 以表示为 于

是

中的某些元素的并．为证此，设

的一个基，故对于每一个i，存在

其中

D={|,i=1,2,?n}

这就完成了我们所需的证明．

例3.2.1 由于实数空间R有一个基由所有的开区间构成，故应用定理3.2.4立即可见，n维欧氏空间

中的所有开方体

有一个基由所有的开矩形

构成构成．

的一个基．特别地，欧氏平面

定理3.2.5 设X＝间．令T为X的拓扑，

为

是n≥1个拓扑空间的积空

的拓朴，i=1，2，?，n．则X以它的子集族

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为它的一个子基．其中，对于每一个i，映射i个坐标集

的投射．

：X→是笛卡儿积X到它的第

证明 我们仅证明n＝2的情形．

首先注意，对于任何有

根据积空间的定义，

每一个有限非空子族之交的全体构成的集族，

是它的一个基．令为的

即

由于显然有我们有

．明显地，

，综上

是X的一个基．因此，是X的一个子基．

一般情形的证明是完全类似的，留给读者自己补证

定理3.2.6 设X＝是n≥1个拓扑空间的积空的投射

间，则对于每一个i＝l，2，?，n，笛卡儿积X到它的第i个坐标集：X→

是一个满的连续开映射．

证明 显然是一个满射．对于X中每一个开集，根据定理3.2.5，

的连续性．

是X的某一个子基的元素，所以必定是X中的一个开集．这证明

令B为积拓扑定义中X的那个基．由于一族集合的并的象等于先求这一族集合中每一个集合的象然后再求并（参见定理1．6．3），所以为了证明开映射，只需验证B中每一个元素的

象是

是一个

中的开集即可；然而这是显然的，

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因为如果中的一个开集．

分别是中的开集，则是X

例3.2.2 积空间到它的坐标空间的投射可以不是闭映射．

例如考虑欧氏平面证集合

是R中的闭集．

到它的第一个坐标空间R的投射

是

中的一个闭集，然而

．容易验

（B）＝R-{0}却不

定理3.2.7 设X＝是n≥1个拓扑空间的积空

间．又设Y也是一个拓扑空间．则映射f:Y→X连续当且仅当对于每一个i＝1，2，?，n，复合映射个坐标空间

的投射．

f:Y→

连续，其中，

：X→Y是积空间X对于第i

证明 根据定理3.2.6，每一个投射f连续．

连续，所以当f连续时，每一个

另一方面，假设对于每一个i=1，2，?，n，复合映射的子基（参见定理3.2.5）

f:Y→连续．X

中的每一个元素的f原象

是Y中的一个开集．根据定理2．6．5可见f连续． 下面的定理3、2．8说明积拓朴的一个重要特性

定理3.2.8 设X＝间，T是X的积拓朴，设

是n≥1个拓扑空间

是X的某一个拓扑满足条件：对于X的拓扑

的积空而言，

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从X到它的第i个坐标空间的投射 ：X→是连续映射，i=1，2，?，n．则

换言之，积拓扑是使从积空间到每一个坐标空间的投射都连续的最小的拓扑． 证明(略)

定理3.2.9 设同胚于积空间

是n＞1个拓扑空间．则积空间

．

证明 设

根据定理3.2.6，所有这些投射都是连续的． 定义映射

k：

使得对于任何∈，

k＝容易验证k是一个—一映射．

为证明映射k连续，根据定理3.2.7，只要证明映射射

:

和连续．映

是连续的，这是因为对于每一个j连续，此外

也连续．

＝l，2，?，n－l，映射

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通过完全类似的证明也可见连续．因此k是一个同胚．

在定理3.2.9中，尽管和作为集合

可以是完全不同的，但这个定理告诉我们，假如我们对同胚的空间不予区别，那么这两个拓扑空间却是一样的．这个定理还告诉我们，假如我们对同胚的空间不予区别，有限个拓扑空间的积空间可以通过归纳的方式予以定义．(即要证

的某个定理时只须证明n=2的情形即可)

作业:

P104 1． 5． 6(1)．

§3.3 商空间

本节重点:掌握商空间、商拓扑、商映射的定义．

将一条橡皮筋的两个端点“粘合”起来，我们便得到了一个像皮圈；将一块正方形的橡皮块一对对边上的点按同样的方向两两‘粘合”起来，我们便得到了一个橡皮管，再将这个橡皮管两端的两个圆圈上的点按同样的方向两两“粘合”

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起来，我们又得到了一个橡皮轮胎??这种从一个给定的图形构造出一个新图形的办法可以一般化．

我们在第一章中讨论过等价关系和商集的概念．所谓商集乃是在一个集合中给定了一个等价关系之后将相对于这个等价关系而言的等价类所构成的集合，通俗地说便是分别将每一个等价类中的所有的点“粘合”为一个点后得到的集合．在定义1.5.6中我们也曾说起过在一个集合X中给定了一个等价关系R之后，从集合X到商集X/R有一个自然的投射p：X→X/R，它是一个满射．注意到了这一点，下面引出商拓扑和商空间的概念的方式便显得顺理成章了．

定义3.3.1 设（X，T）是一个拓扑空间，Y是一个集合，f:X→Y是一个满射．容易验证(请自行验证)Y的子集族．

而言的）商拓扑．

是Y的一个拓扑．我们称为Y的（相对于满射f

容易直接验证在上述定义的条件下，Y的一个拓扑在拓扑空间（Y，一个闭集．

）中F

是Y的商拓扑当且仅当

（F）是X中的

Y是一个闭集的充分必要条件是

定理3.3.1 且设（X，T）是一个拓扑空间，Y是一个集合，f:X→Y是一个满射．则

（1）如果是Y的商拓扑，则f:X→Y是一个连续映射；

（2）如果是Y的一个拓扑，使得对于这个拓扑而言映射f是连续的，则

这也就是说商拓扑是使映射f连续的最大的拓扑． 证明（1）根据定义自明．

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（2）如果U∈此U∈

．这证明

，由于满射f对于Y的拓扑

．

而言连续，故 因

定义3.3.2 设X和Y是两个拓扑空间，f:X→Y．我们称映射f为一个商映射，如果它是一个满射并且Y的拓扑是对于映射f而言的商拓扑．

根据定理3.3.1可见商映射是连续的．下面的这个定理告诉我们如何利用商映射来验证一类映射的连续性．

定理3.3.2 设X，Y和Z都是拓扑空间，且f:X→Y是一个商映射．则映射g：Y→Z连续当且仅当映射gof:X→Z连续．

证明 由于商映射f连续，故当g连续时gf连续．

另一方面，设gf连续，若W∈，则．然而

所以根据商拓扑的定义．这便证明了g连续．

为了应用定理3.3.2，如何知道一个拓扑空间的拓扑是相对于从另一个拓扑空间到它的一个满射而言的商拓扑便成了一个有意思的问题．我们在这里只给出一个简单的必要条件．为此先陈述开映射和闭映射的定义．

定义3.3.3 设X和Y是两个拓扑空间．映射f: X→Y称为一个开映射（闭映射），如果对于X中的任何一个开集（闭集）U，象集f(U)是Y中的一个开集（闭集）．

定理3.3.3 设X和Y是两个拓扑空间．如果映射f: X→Y是一个连续的满射，并且是一个开映射（闭映射），则Y的拓扑便是相对于满射f而言的商拓扑．

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证明 我们证明当f是开映射的情形．设Y中的使f连续的拓扑为扑为

,商拓

如果V∈，由于映射f连续，，因此V∈．并且．

反之，如果V∈，则，由于f是一个开的满射，

所以，因此．

从而,．

综上所述，我们证明了Y的拓扑便是商拓扑．当f是闭映射的情形时，证明是类似的．

定义3.3.4 设（X，T）对是一个拓扑空间，R是X中的一个等价关系．商集X/R的（相对于自然的投射p：X→X/R而言的）商拓扑于等价关系R而言的）商拓扑，拓扑空间（X/R，（相对于等价关系R而言的）商空间．

如果X是一个拓扑空间，R是X中的一个等价关系，若无另外的说明，我们总认为商集X/R的拓扑是商拓扑，也就是说将商集X/R认作拓扑空间时，指的就是商空间．因此投射p:X→X／R是一个商映射．

通过在一个拓扑空间中给定等价关系的办法来得到商空间是构造新的拓扑空间的一个重要手法．下面给出若干例子． 例3.3.1 在实数空间R中给定一个等价关系

称为X／R的（相对

）称为拓扑空间（X，T）的

={（x，y）∈|或者x，y∈Q；或者x，yQ}

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所得到的商空间R/实际上便是由两个点构成的平庸空间．（请读者自行

有时是很麻烦的，我们经常采说成是“在实数空间中将所有

验证．）然而，明确地写出上面那个等价关系用一种较为通俗的简便说法，将这个商空间R/

有理点和所有无理点分别粘合（或等同）为一点所得到的商空间”．

例3.3.2 在单位闭区间I＝[0,1]，中给定一个等价关系～={（x，y）∈|或着x＝y，或者{x，y}={0,1}}，我们便得到了一个商空间［0，1］/～．由于与例3.3.l中同样的理由，习惯上也将这个商空间说成是“在单位闭区间I中粘合两个端点所得到的商空间”．事实上（参见习题6），这个商空间与单位圆周同胚．

类似地我们还可以构造出许多为读者熟悉或不熟悉的拓扑空间．例如在单位正方形

中将它的一对竖直的对边上的每一对具有相同的第二个坐标的

点（0，x）和（1，x）粘合，得到的商空间将同胚于一截“管子”，而将它的一对竖直的对边上的每一对点（0，x）和（1，1-x）粘合得到的商空间通常叫做Mobius带．数学中许多重要的对象如环面，Klein瓶，射影平面和射影空间等也都可以作为商空间而给出，我们在此不做进一步的介绍． 作业:

P109 1．2．5．

本章总结：本章的学习重点是§3.1．难点也是它．也就是说,今后若遇到有关X空间的子集的各种概念时,指的都是子空间的各种概念,概念中涉及到的开集、闭集、导集、闭包等均指的是子空间的开集、闭集、导集、闭包，它们与X空间的开集、闭集、导集、闭包不相同（见引理3.1.2,定理3.1.5,3.1.6)．一定要记住这一点．

本章的§3.2与§3.3是作为应理解的知识,理解就行．

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