2007-2014年广东高考数学（文科）真题专项练习立体几何（二）

2007-2014年广东高考数学(文科)试题立体几何专题训练（二）

立体几何专题

一、客观题

1、(2004)在棱长为1的正方体上，分别过共顶点的三条棱中点的平面截该正方体， 则截去8个三棱锥后，剩下的凸多面体的体积是（ ） (A)

243 (B)

67 (C)

5 (D)

56 2、(2005)给出下列关于互不相同的直线m、l、

n和平面?、?的四个命题:

①若m??,l???A,点A?m,则l与m不共面；

②若m、l是异面直线，l∥?，m∥?，且n?l,n?m,则n??； ③若l∥?，m∥?，?∥?，则l∥m； ④若l??,m??,l?m?点A，l//?，m∥?，则?∥?.

其中为假命题的是( )

(A) ① (B) ② (C) ③ (D) ④ 3、(2006)给出以下四个命题：

①如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行， ②如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面 ③如果两条直线都平行于一个平面，那么这两条直线互相平行， ④如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直. 其中真命题的个数是

A.4 B. 3 C. 2 D. 1

4、( 2007文)若l、m、n是互不相同的空间直线，α、β是不重合的平面，则下列命题中为真命题的是（ ） A．若?//?,l??,n??，则l//n B．若???,l??，则l?? C. 若l?n,m?n，则l//m D．若l??,l//?，则?//?

5、( 2008文理)将正三棱柱截去三个角（如图1所示A，B，C分别是△GHI三边的中点）得到几何体如图2，则该几何体按图2所示方向的侧视图（或称左视图）为（ ）

6、 ( 2009文理)给定下列四个命题：

①若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行； ②若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直； ③垂直于同一直线的两条直线相互平行；w.w.w.k.s.5.u.c.o.m

④若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直． 其中，为真命题的是I（ ）

A. ①和② B. ②和③ C. ③和④ D. ②和④

7、(2010文理)如图1，△ ABC为三角形，AA′∥BB′∥CC′ , CC′⊥平面ABC 且3 AA′=32 BB′= CC′=AB,则多面体△ABC --A′B′C′的正视图（也称主视图）是（ ）

8、（2011文）正五棱柱中，不同在任何侧面且不同在任何底面的两顶点的连线称为它的对角线，那么一个正五棱柱对角线的条数共有（ ） A.20 B.15 C.12 D.10

9、（2011文）如下图图，某几何体的正视图（主视图），侧视图（左视图）和俯视图分别是等边三角形等腰三角形和菱形，则该几何体体积为（ ） A.43 B.4 C.23 D.2

1

10、(2011理)如右图，某几何体的正视图（主视图） 是平行四边形，侧视图（左视图）和俯视图都是矩形， 则该几何体的体积为

A．63 B．93 C．123 D．183 11（2012理）. 某几何体的三视图如左下图所示， 它的体积为( )

A．12? B．45? C．??? D．???

第11题图 第12题图 12（2012文）．某几何体的三视图如右下图所示，它的体积为 1

A．72π B．48π C．30π D．24π 2 13（2013理）．某四棱台的三视图如下图所示， 则该四棱台的体积是 ( )

2 A . 4

B．14

C．16正视图

侧视图

33 D．6

1

1

俯视图 第13题图 14.（2013理）设m,n是两条不同的直线,?,?是两个不同的平面,下列命题中正确的是()

A . 若???,m??,n??,则m?n B．若?//?,m??,n??,则m//n C．若m?n,m??,n??,则??? D．若m??,m//n,n//?,则???

15（2013文）. 设l为直线，?,?是两个不同的平面，下列命题中正确的是() A．若l//?，l//?，则?//? B．若l??，l??，则?//? C．若l??，l//?，则?//? D．若???，l//?，则l??

16.（2013文）某三棱锥的三视图如图2所示，则该三棱锥的体积是( )

A.16 B.123 C.3 A.1 217．(2014理)若空间中四条两两不同的直线l1,l2,l3,l4，满足

l1?l2,l2?l3,l3?l4，则下面结论一定正确的是( ) 11A.l正视图侧视图1?l4 B.l1//l4

C.l1,l4既不垂直也不平行 D.l1,l4的位置关系不确定

俯视图图 218．（2014文）若空间中四条两两不同的直线l1,l2,l3,l4，满足l1?l2,l2∥l3,l3?l4,则下列结论一定正确的是（ ）

A．l1?l4 B．l1∥l4

C．l1与l4既不垂直也不平行 D．l1与l4的位置关系不确定

二、解答题部分

1． （2007文17题）本小题满分12分

已知某几何体的俯视图是如图所示的矩形，正视图(或称主视图)是一个底边长为8、高为4的等腰三角形，侧视图(或称左视图)是一个底边长为6、高为4的等腰三角形． (1)求该几何体的体积V； (2)求该几何体的侧面积S

2

2．（2008文18题）（本小题满分14分）

如图所示，四棱锥P?ABCD的底面ABCD是半径为R的圆的内接四边形，其中BD是圆的直径，

3. （2009文17题）（本小题满分13分）

某高速公路收费站入口处的安全标识墩如图4所示,墩的上半部分是正四棱锥P－EFGH,下半部分是长方体ABCD－EFGH.图5、图6分别是该标识墩的正(主)视图和俯视图. （1）请画出该安全标识墩的侧(左)视图 ?ABD?60，?BDC?45，△ADP∽△BAD．

（2）求该安全标识墩的体积 （3）证明:直线BD?平面PEG

3

（1）求线段PD的长；

（2）若PC?11R，求三棱锥P?ABC的体积．

4. （2010文18题）(本小题满分14分) w_w w. k#s5_u.c o*m

如图，弧AEC是半径为a的半圆，AC为直径，点E为弧AC的中点，点B和点C为线段AD的三等分点，平面AEC外一点F满足FC?平面BED，FB=5a. （1）证明：EB?FD；

（2）求点B到平面FED的距离. 5．（2011文18题）（本小题满分13分）

如图所示的几何体是将高为2，底面半径为1的直圆柱沿过轴的平面切开后，将其中一半沿切面向右水平平移后得到的．A,A?,B,B?分别为CD,C?D?,DE,D?E?的中点，O1,O1?,O2,O2?分别为

CD,C?D?,DE,D?E?的中点．

（1）证明：O1?,A?,O2,B四点共面；

（2）设G为AA?中点，延长A?O1?到H?，使得O1?H??A?O1?．证明：BO2??平面H?B?G．

4

A? C? O1? D? O2? E?

H? G B? A C O1 D O2 E

B

CD,PD=AD,E是PB的中点，F是DC上的点且DF=12AB,PHE-BCF的体积；

7.（2013文18题）．（本小题满分13分）

如图4，在边长为1的等边三角形ABC中，D,E分别是AB,AC边上的点，AD?AE，F是BC的

中点，AF与DE交于点G，将?ABF沿AF折起，得到如图5所示的三棱锥A?BCF，其中BC?2A2． A(1) 证明：DE//平面BCF； (2) 证明：CF?平面ABF；

(3) 当AD?2GEGE3时，求三棱锥F?DEG的体积VDF?DEG． D B FCFC 图 4B 图 5

5

6．（2012文18题）（本小题满分13分）

如图所示，在四棱锥P-ABCD中,AB?平面PAD,AB为?PAD中AD边上的高． （1） 证明：PH?平面ABCD；

（2） 若PH=1，AD=2,FC=1，求三棱锥（3） 证明：EF?平面PAB．

题）（本小题满分13分）

为矩形，PD⊥平面ABCD，AB=1，BC=PC=2,作如图3折叠：折痕EF∥DC，其中点E，F上，沿EF折叠后点P在线段AD上的点记为M，并且MF⊥CF． MDF； M-CDE的体积．

A B

A B

M

D C

E DC

F

P 图2

P 图3

6

8．（2014年文科18如图，四边形ABCD分别在线段PD，PC（1） 证明：CF⊥平面（2） 求三棱锥

2007-2014年广东数学(文科)试题立体几何专题训练（二）参考答案

（2）在Rt△BCD中，CD?BDcos45?2R

一、客观题参考答案

1、D 2、C 3、B 4、D 5、A 6、D

7、D解：△ABC为三角形，AA′∥BB′∥CC′，CC′⊥平面ABC， 且3AA′=BB′=CC′=AB，则多面体△ABC-A′B′C′的正视图中， CC′必为虚线，排除B，C，3AA′=BB′说明右侧高于左侧，排除A． 8、D 9、C

10、B解：由已知中三视图该几何体为四棱柱，其底面底边长为3，底边上的高为：=

，

故底面积S=3×

=3

，又因为棱柱的高为3，故V=3×3

=9

，

11.【解析】选

C 几何体是圆柱与圆锥叠加而成 它的体积为

V???32?5?13??32?52?32?57?

12.C 13.B 14.D 15. B 16.B 17.D 18.D

二、解答题参考答案

1解: 由已知可得该几何体是一个底面为矩形,高为4,顶点在底面的射影是矩形中心的，四棱锥V-ABCD ;

(1) V?13??8?6??4?64 (2) 该四棱锥有两个侧面VAD. VBC是全等的等腰三角形,且BC边上的高为

2 h42???8?1??2???42, 另两个侧面VAB. VCD也是全等的等腰三角形,

2AB边上的高为 h?42???6?2P

?2???5

因此 S?2(1?6?42?122?8?5)?40?242 2．解：（1）

BD是圆的直径

??BAD?90A ，又△ADP∽△BAD，

D ADDPAD2?BDsin60?4R2?3B

?4BA?AD，DP?BA?BA??3RC ；2R?1 图5

2

PD2?CD2?9R2?2R2?11R2?PC2

?PD?CD，又?PDA?90,?PD?底面ABCD

S△ABC?1ABBCsin(60?45)12R??3212?2R????2??3?1R2?2222???4

三棱锥P?ABC的体积为V13?S?PD?13?3?14R2?3R?3?13P?ABC??ABC4R

3.【解析】(1)侧视图同正视图,如下图所示.

(2)该安全标识墩的体积为：V?VP?EFGH?VABCD?EFGH

?13?402?60?402?20?32000?32000?64000?cm2? (3)如图,连结EG,HF及 BD，EG与HF相交于O,连结PO. 由正四棱锥的性质可知,PO?平面EFGH ,?PO?HF 又EG?HF ?HF?平面PEG又BDPHF

?BD?平面PEG；

4．（1）证明：∵点B和点C为线段AD的三等分点， ∴点B为圆的圆心

又∵E是弧AC的中点，AC为直径， ∴BC?EB即BD?EB∵FC?平面BDE，

EB?平面BDE， ∴FC?EB,又BD?平面FBD，FC?平面FBD且BD?FC?C ，∴EB?平面FBD, 又∵FD?平面FBD， ∴EB?FD

（2）解：设点B到平面FED的距离（即三棱锥B?FED的高）为h.

∵FC?平面BDE, ∴FC是三棱锥F-BDE的高，且三角形FBC为直角三角形 由已知可得BC?a，又FB?5a ∴FC?(5a)2?a2?2a

在Rt?BDE中，BD?2a,BE?a，故S1?BDE??2a?a?a22, ∴V1F?BDE?S?FC?1?a2?2a?2?BDE3a333, 又∵EB?平面FBD，故三角形EFB和三角形BDE为直角三角形,

∴EF?6a,DE?5a，在Rt?FCD中，FD?5a, ∴S?FED?212a2, 7

∵VF?BDE12122421a?h?a3，故h?a, ?VB?FED即?32321421a. 21由PA∩AB=A及③④得DG ⊥平面PAB∴EF ⊥平面PAB．

7 解：（1）在等边三角形ABC中，AD?AE

即点B到平面FED的距离为h??ADAE?,在折叠后的三棱锥A?BCF中也成立， DBEC?DE//BC ,

DE?平面BCF，

BC?平面BCF，?DE//平面BCF；

（2）在等边三角形ABC中，F是BC的中点，所以AF?BC①，BF?CF?5． 证明：（1）

连接B02,

A,A?分别为CD,C?D?中点，?O1?A?//O1A

直线BO2是由直线AO1平移得到

1. 2?AO1//BO2,?O1?A?//BO2,?O1?,A?,O2,B共面。

在三棱锥A?BCF中，BC? （2）将AO1延长至H使得O1H=O1A，连接HO1?,HB,H?H ?由平移性质得O1'O2'=HB且O1'O2'//HB，

2，?BC2?BF2?CF2?CF?BF② 2BF?CF?F?CF?平面ABF；

（3）由（1）可知GE//CF，结合（2）可得GE?平面DFG.

?BO2'//HO1'

6、解：(1)

?A?G?H?O1?,H?H?A?H?,?O1?H?H??GA?H??

2???GA?H???O1?H?H，??H?O1?H?GH?A?，?O1?H?H?G，?BO2??H?G

2O1?O2??B?O2?,O1?O2??O2?O2,B?O2??O2?O2?O2?，?O1?O2??平面B?BO2O2? ?O1?O2??BO2?，?BO2??H?B?，

H?B??H?G?H?，?BO2??平面H?B?G.

11111?13?13?VF?DEG?VE?DFG???DG?FG?GF??????????3324 32323?32??8（1）证明：（1）因为PD?面ABCD,AD?面ABCD,所以PD?AD.又因为四边形ABCD为矩形，所以CD?AD,因为PD?CD?D,所以AD?面PCD.在图3中，因为CF?面PCD，所以

AD?CF即MD?CF,又因为MF?CF,MD?MF?M,所以CF?面MDF. (2)因为CF?面MDF，DF?面MDF,所以CF?DF.在图2中，PD?PC2?CD2?3.

因为PD?3,PC?2,DC?1,所以?PCD?PH为?PAD的高，?PH?AD,又AB?面PAD,PH?面PAD

?PH?AB,?PH?面ABCD

(2):过B点做BG?CD,垂足为G.连接HB,取HB 中点M，连接EM， 则

EM

是?BPH的中位线

?3.所以在Rt?DFC中，DF?DCsin?3?3，2由（1）知：PH?平面ABCD，?EM?平面ABCD，

11PH? 22CF?DCcos?3?133.所以在图3中，PF?PC?FC?即MF?.在222DECF16???,所以.又因为在Rt?DPC,EF//DC,所以

DPCP42?EM?平面BCF，即EM为三棱锥E-BCF底面上的高，EM?Rt?MDF,MD?MF2?DF2?S?BCF?112FC?BG??1?2?222 ,VE?BCF?11212?SBCF?EM???? 332212DE?

131311362DP???,所以S?DEC?DE?DC?，所以VM?CDE?S?DEC?MD??. 4428338216(3)取PA的中点G，连接EG、DG∵E为PB中点，∴在ΔPAB中，

11EG//AB ,∵DF//AB∴EGDF ∴四边形DFEG为平行四边形∴EF//DG

22∵在ΔPAD中PD= AD，∴DG ⊥ PA③，∵AB⊥平面PAD，DG

?平面PAD∴AB⊥DG ④

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