高中数学基础能力过关第八单元

第八单元 直线、平面、简单几何体

第一节 平面与空间两条直线（包括异面直线所成角和距离） 一．高考考点

1．平面概念（原始概念）：在空间无限延伸的水平状态的几何图形，一般用平行四边形菱形表示，并在角上写上字母?、?、?、等或用对角线字母。记作平面?或平面AC 平面特征：（1）平 （2）广 （3）无厚薄

2．平面的基本性质公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内。（判定直线是否在平面内的依据）

公理2：如果两个平面有一个公共点那么它们有且只有一条通过这个点的公共直线。（①判定两平面交于一条直线的依据；②证明点共线：③证明点在直线上）

公理3：经过不在同一条直线上的三点，有且只有一平面。 推论1：经过一条直线和这条直线外的一点,有且只有一个平面

推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面a?b =p?a ,b确定一个平面 推论3：经过两条平行直线,有且只有一个平面a‖b?a,b确定一个平面 （公理3及其三个推论是确定平面的具体位置及判定两个平面重合的依据）

注意：?1?集合符号与几何术语表示：A?l （A在直线l上）； A?α（A在平面?内）； l ?? （直线l在平面?内）； l ?? （l不在?内）

?2?有且仅有一个?确定一个存在性，唯一性

?3?公理及推论应用：①证点共线：证点是两平面的公共点?公理2?；②证线共点：证两直线

交点在第三条直线上；③证线共面：先由公理3确定平面，然后证第三条直线上的两点在平面?内?公理1?

3．水平放制的平面图形的直观的画法：斜二测画法

角度45（或135） ；平行X轴长不变；平行Y轴长变为一半。

4．空间两条直线的位置关系

位置关系 两直线共面 异面

5．异面直线（不同在任何一个平面内的两条直线）

1

??图 示 A a B a b 表示方法 公共点个数 一个 没有 相 交 平行 α a?b?A a∥b A b α a、b是异面直线 没有 异面直线判定：①用定义（多用反证法）；②判定定理：平面内一点和平面外一点的连线与平面内不经过该点的直线是异面直线。

异面直线所成的角：过空间的任一点与这两条异面直线平行的两直线所成锐角（或直角）。θ∈(0,π／2]；若两条异面直线所成角是直角，则称两异面直线垂直。 空间两直线垂直又相交垂直与异面垂直两种情况。 异面直线的公垂线及距离：

（1）和两条异面直线都垂直相交的直线叫异面直线的公垂线（公垂线存在且唯一） （2）公垂线段：公垂线夹在异面直线之间的部分 （3）异面直线间的距离 （即公垂线段的长）

注：①若一个平面过一条直线并与另一条直线平行，则这直线与平面的距离就等于异面直线间的距离。

②若两个平行平面分别过两条异面直线则两平行平面的距离等于两异面直线间的距离。 6．等角定理

一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同，那么这两个角相等。 推论：两条相交直线分别与另外两条直线平行，那么这两组直线所成的锐角（或直角）相等 7．平行公理

公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行。

二．强化训练 一．选择题

1．A、B、C表示不同的点，a、l表示不同的直线，?、?表示不同的平面，下列推理不正确的是 （ ）

(A) A?l,A??,B?l,B???l??

(B) A??,A??，B??,B???????AB直线 (C) l??,A?l?A??

(D) A,B,C??，A,B,C??且A,B,C不共线??与?重合

2．一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是一个底角为45，腰和上底边均为1的等腰梯形，则这个平面图形的面积是 （ ）

?(A)122? (B)1? (C)1?2 (D)2?2 2223．对于空间三条直线，有下列四个条件：

① 三条直线两两相交且不共点； ② 三条直线两两平行； ③ 三条直线共点；

④ 有两条直线平行，第三条直线和这两条直线都相交．

其中，使三条直线共面的充分条件有 （ ）

(A)1个 (B)2个 (C)3个 (D)4个

4．已知E,F,G.H是空间的四个点。命题甲：点E,F,G,H 不共面； 命题乙：点E,F,G,H 中任何三点不共线那么甲是乙成立的? ?条件。

2

?A?充分非必要 ?B?必要非充分 ?C?充要 ?D?非充分非必要 5．下列命题中正确的一个是（ ）

（A）若a与b是异面直线,b与c也是异面直线，则a与c也是异面直线； （B）已知异面直线a，b两条直线c，d分别与a，b都相交, 则c，d也是异面直线； （C）四个角都是直角的四边形一定是矩形； （D）两条异面直线可能没有公垂线

6．关于异面直线a，b下述命题中不正确的一个是（ ） （A）过直线a有且只有一个平面平行于b； （B）过直线a有且只有一个平面垂直于b

（C）存在分别经过直线a与b的两个互相平行的平面 （D）存在分别经过直线a与b的两个互相垂直的平面

7．直线a,b是异面直线，a??，b??，且平面????c，则（ ）

（A）c与a,b都不相交 （B）c与a,b都相交 （C））c至少与a,b的一条相交 （D）c至多与a,b的一条相交

8．室内有一根直尺，无论怎样放置，在地面上总有这样的直线，它与直尺所在的直线（ ） （A）异面 （B）相交 （C）平行 （D）垂直

9．?ABC的BC边上的高线为AD，BD?a，CD?b，且a?b，将?ABC沿AD折成大小为?的二面角B-AD-C，若cos??a，则三棱锥A?BDC的侧面?ABC是（ ） b （A）锐角三角形 （B）钝角三角形

（C）直角三角形 （D）形状与a,b的值有关的三角形 10．下列四个命题正确的是（ ）

① 已知a,b,c三条直线，其中a与b异面，a//c，则b与c异面； ② 若a与b异面，b与c异面，则a与c异面；

③ 过平面外一点与平面内一点的直线，和平面内不经过该点的直线是异面直线； ④ 不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线； ⑤ 不平行不相交的两条直线叫做异面直线.

（A）③④⑤ （B）③④ （C）①②③④⑤ （D）①② 二．填空题

11．空间内五个点中的任意三点都不共线，由这五个点为顶点只构造出四个三棱锥，则这五个点最多可以确定 个平面 ．

12．如图所示，在正方体ABCD?A1B1C1D1中，AB?1，

AE?B1F?

1，则异面直线BC,EF的距离是 。 313．已知a,b为不垂直的异面直线，?是一个平面，则a,b在?上

3

的射影有可能是

①两条平行直线 ②两条互相垂直的直线 ③同一条直线 ④一条直线及其外一点 在上面结论中，正确结论的编号是 （写出所有正确结论的编号）.

14．如图所示，在棱长为1的正方体A1B1C1D1?ABCD中，M为AB的中点，N为BB1的中点，O为面BCC1B1的中心，过O作一直线与AN交于P，与CM交于Q，则PQ的长为 。

三．解答题

15．如图，四面体AB－CD中，E、Ｇ分别为BC、AB的中点，F在CD上，H在AD上，且有DF：FC=2：3，DH：HA=2：3，求证：EF、GH、BD交于一点．

B E C G A H D F

O

16．在二面角??l??中，A、B∈α，C、D∈l，ABCD是矩形，P∈β，PA⊥α，且PA=AD，M、N依次是AB、PC的中点．

（１）证明：ＭＮ是异面直线ＡＢ和ＰＣ的公垂线； （２）求异面直线ＰＡ与ＭＮ所成的角．

4

第二节 直线与平面平行和平面与平面平行

一．高考考点 （一）直线与平面平行 (1) 直线与平面的位置关系 (2) 直线与平面平行的判定

① a∩α=ф?a∥α(定义法)；

② 判定定理：如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线与这个平面平行。（a∥b，a??，b???a∥α）；

③ b⊥a, b⊥α, a???a∥α； ④ α∥β,a?α?a∥β。

(3) 直线与平面平行的性质定理：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线就和交线平行。（a∥α，a?β，α∩β=b?a∥b；即“线面平行，则线线平行”） (4) 直线与平面的距离: 一条直线和一个平面平行,这条直线上任一点到这个平面的距离叫做这条直线与平面的距离。（注：线到面的距离是用点到平面的距离来度量的） （5）思维方式: 线线平行或找一直线在平面内作经过直线作或找?线线平行 ?线面平行平面与平面相交得交线（6）特别注意:在直线与平面的位置关系中,直线与平面平行,直线与平面相交,统称直线在平面外,记作a??.

（二）平面与平面平行

（1）位置关系：平行：没有公共点；?//?

相交：至少有一个公共点，必有一条公共直线，公共点都在公共直线上．

（相交包括垂直相交和斜交）????l或???

（2）平行的判定：

① 定义：没有公共点的两个平面平行．（常用于反证）???????//? ② 判定定理：若一个平面内的两条相交直线平行于另一平面，则这两个平面平行．

（线线平行推得线面平行）a,b??,a?b?o,a//?,b//???//?

③ 垂直于同一条直线的两个平面平行．a??,a????//? ④ 平行于同一个平面的两个平面平行．?//?,?//???//? ⑤ 过已知平面外一点作这个平面的平行平面有且只有一个． （3）平行的性质：

① 两个平行平面没有公共点(定义法)．?//???????

② 若一个平面与两个平行平面都相交，则两交线平行．（面面平行得线线平行） ?//?,????a,????b?a//b

③ 两个平行平面中的一个平面内的所有直线平行于另一个平面．（面面平行得线面平行）

?//?,a???a//?

5

④ 一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，必垂直于另一个平面．（用来判定直线与平面垂直）

?//?,a???a??

⑤ 一般地，一条直线与两个平行平面所成的角相等，但反之不然．

⑥ 夹在两个平行平面间的平行线段相等．特别地，两个平行平面间的距离处处相等．

二．强化训练

一．选择题（共10个小题）

1．已知直线a、b和平面?，那么a//b的一个必要不充分的条件是 （ ） (A)a//?，b//? (B)a??，b??

(C)b??且a//? (D)a、b与?成等角

2．?、?表示平面，a、b表示直线，则a//?的一个充分条件是 （ ） (A)???，且a?? (B)????b，且a//b (C)a//b，且b//? (D)?//?，且a??

3．若不共线的三点到平面?的距离相等，则该三点确定的平面?与?之间的关系为（ ） A．平行 B．相交 C．平行或相交 D．以上都不是

4.已知平面?//平面?，P是?,?外一点，过点P的直线m与?,?分别交于点A,C，过点P的直线n与?,?分别交于点B,D，且PA?6，AC?9，PD?8，则BD的长为（ ）

24 (C)14 (D)20 55．在下列条件下，能够判定平面M与平面N平行的条件是（ ）

(A)16 (B)24或

（A）M、N都垂直于另一平面Q （B）M内不共线的三点到N的距离相等

l∥N,m∥N （C）l,m是M内的两条直线，且l∥N,m∥N （D）l,m是两条异面直线，且l∥M,m∥M，

6．a,b,c为三条不重合的直线，α,β,γ为三个不重合的平面，现给出六个命题：

?//b?a//???//??①a//b? ② ③ ?a//b???//? ④???a//b???//??//b?b//c?b//???//???//??⑤ ?//c? ⑥?a//???a//? 其中正确的是（ ） ?a//??a//c?（A）①②③ （B）①④⑤ （C）①④ （D）①④⑤⑥ 7．a,b表示直线，?表示平面，则下列命题中正确的个数为（ ） ① 若a??,a?b，则b//? ② 若a//?,a?b，则b??

③ 若a//?,b??，则b?a ④ 若a??,b??，则a?b （A）1 （B）2 （C）3 （D）4

8．如果直线a//平面?，那么（ ） （A）平面?内不存在与a垂直的直线 （B）平面?内有且只有一条直线与a垂直 （C）平面?内有且只有一条直线与a平行 （D）平面?内有无数条直线与a不平行

9．已知直线l,m，平面?,?，且l??,m??，给出下列四个命题： ① 若?//?，则l?m； ② 若l?m，则?//?；

6

③ 若???，则l//m；

④若l//m，则???。其中正确命题的个数为（ ）

（A）1 （B）2 （C）3 （D）4

10．在空间四边形ABCD中，E，F分别为边AB，AD上的点，且AE:EB?AF:FD?1:4，又H，

G分别为BC，CD的中点，则（ ） （A）BD//平面EFG，且EFGH是矩形 （B）EF//平面BCD，且EFGH是梯形

（C）HG//平面ABD，且EFGH是菱形 （D）EH//平面ADC，且EFGH是平行四边形 二．填空题

11．空间四边形ABCD的两条对角线AC?4，BD?6，则平行于两对角线的截面四边形的周长的取值范围是 ．

12．正方体ABCD?A1B1C1D1中，E为DD1的中点，则BD1与平面ACE的位置关系是 . 13．设?，?表示平面，a,b表示不在?内也不在?内的两条直线. 给出下列四个论断： （1）a//b； （2）a//?； （3）???； （4）b??. 若以其中三个论断作为条件，余下的一个作为结论，可以构造出一些命题. 写出你认为正确的一个命题： .

（注：写法如“（）、（）、（）?（）”，只需在（ ）中填入论断的序号.）

14．在四棱柱ABCD?A1B1C1D1中，E，F，G，H分别是棱CC1,C1D1,DD1,DC的中点，N是BC的中点，点M在四边形EFGH及其内部运动，则M满足 时，有MN//平面B1BDD1. 三．解答题

15．如图，四棱锥P—ABCD的底面是边长为a的正方形，侧棱PA⊥底面ABCD，侧面PBC内有BE⊥PC于E，且BE=

F B 63a，试在AB上找一点F，使得EF∥平面PAD。

P G A E C

D

16．如图，已知平面α∥β∥γ,且β位于α与γ之间，点A,D∈α,C,F∈γ,AC∩β=B,DF∩β=E． （１） 求证：

ABDE； ?BCEF（２） 设AF交β于Ｍ，AC与DF为异面直线，α与β间的距离为h′，α与γ间的距离为h，当

值是多少的时候，?BEM的面积最大？

7

h?的hＡ ? Ｍ Ｄ ? ? Ｂ Ｅ Ｆ Ｃ

第三节 直线与平面垂直和平面与平面垂直 一．高考考点 （一）直线与平面垂直

(1)直线与平面垂直的定义：如果一条直线和一个平面内的任何一条直线都垂直，那么就称这条直线和这个平面垂直。

(2)直线与平面垂直的判定：常用方法有：

① 判定定理: a??,b??,a?b?P, l?a,l?b?l??.

② b⊥α, a∥b?a⊥α；（线面垂直性质定理） ③α∥β,a⊥β?a⊥α（面面平行性质定理） ④α⊥β，α∩β=l，a⊥l，a?β?a⊥α（面面垂直性质定理） (3)直线与平面垂直的性质定理：

① 如果两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直线平行。（ a⊥α，b⊥α?a∥b） ② 直线和平面垂直时，那么该直线就垂直于这个平面内的任何直线(a??,b???a?b) (4)点到平面的距离的定义: 从平面外一点引这个平面的垂线，这个点和垂足间的线段的长度叫做这个点到平面的距离。

（5）三垂线定理：在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直；

三垂线逆定理：在平面内的一条直线,如果和这个平面的一条斜线垂直，那么它也和这条斜线

的射影垂直。

注意：①两个定理中“平面内”这个条件不能省略，否则不一定成立。三垂线定理及其逆定理共涉及“四线一面”。其中平面的垂线、平面的斜线及射影这三条直线都是平面内的一条直线的垂线。

②利用三垂线定理及其逆定理的关键是要善于从各种图形中找出“平面的垂线”、“平面的斜线”、“斜线的射影” 。

③从两个定理的作用上区分，三垂线定理解决已知共面直线垂直证明异面直线垂直，逆定理相反。 ④主要应用：可证两异面直线垂直；确定点到直线的垂线等；可确定二面角的平面角。 线线垂直?线面垂直?线线垂直

（6）特别注意:点到面的距离可直接向面作垂线，但要考虑垂足的位置，如果垂足的位置不可确定，往往采取由点向面上某一条线作垂线，再证明此垂足即为面的垂足。

（二）平面与平面垂直 1．二面角

（1）二面角：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角。

（2）二面角的平面角：以两面角的棱上任意一点为端点，在两个半平面内分别作垂直于棱的两条射线所成的角叫做二面角的平面角。

（3）二面角的大小，可以用它的平面角来度量。范围是：?0,?? （4）直二面角：平面角是直角的二面角叫做直二面角。 2．平面与平面垂直

（1） 定义：两个平面相交，如果它们所成的角是直二面角，就说这两个平面互相垂直。

8

B 0 A 记作：平面α⊥平面β

α α β

β

（2） 判定定理：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直。 （简称：线面垂直，面面垂直）

（3）两个平面垂直的性质定理：如果两个平面垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面。（简称：面面垂直，线面垂直。）

（4）思维方式:判定两相交平面垂直的常用方法是.：线面垂直，面面垂直；有时用定义也是一种办法。

（5）特别注意:用定义时二面角平面角的确定。 二．强化训练 一．选择题

1．下列命题中，正确的命题是（ ）

A．若a是平面?的斜线，直线b垂直于a在?内的射影，则a⊥b.

B．若a是平面?的斜线，平面?内的直线b垂直于a在?内的射影，则a⊥b.

C．若a是平面?的斜线，b是平面?内的一条直线且b垂直于a在这个平面内的射影，则a⊥b. D．若a是平面?的斜线，直线b平行于平面?，且b垂直于a在另一平面?内的射影，则a⊥b. 2．已知四边形ABCD所在平面外一点P，在四个三角形△PAB、△PBC、△PCD、△PDA中，直角三角形最多可有（ ）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．设a，b是两条异面直线，在下列命题中正确的是（ ）

（A） 有且仅有一条直线与a，b都垂直； （B） 有一个平面与a，b都垂直；

（C） 过直线a有且仅有一个平面与b平行；

（D） 过空间中任一点必可作一条直线与a，b都相交。 4．对于直线m、n和平面α、β，α⊥β的一个充分条件是（ ）

A、m⊥n，m∥α，n∥β B、m⊥n，α∩β=m，n?α C、m∥n，n⊥β，m?α D、m∥n，n⊥β，m⊥α 5．设a、b是异面直线，给出下列命题：

① 经过直线a有且仅有一个平面平行于直线b；

9

② 经过直线a有且仅有一个平面垂直于直线b； ③ 存在分别经过直线a和b的两个平行平面； ④ 存在分别经过直线a和b的两个平面互相垂直。 其中错误的命题为（ ） ．．．

A、①与② B、②与③ C、③与④ D、仅② 6．若a,b,c表示直线，?表示平面，下列条件中，能使a??的是 （ ）

(A)a?b,a?c,b??,c?? (B)a?b,b//? (C)a?b?A,b??,a?b (D)a//b,b??

7．已知l与m是两条不同的直线，若直线l?平面?，①若直线m?l，则m//?；②若m??，则m//l；③若m??，则m?l；④m//l，则m??。上述判断正确的是 （ ）

(A)①②③ (B)②③④ (C)①③④ (D)②④ 8．直线l?平面?，直线m?平面?，有下面四个命题

① ?//??l?m ② ????l//m ③ l//m???? ④ l?m??//? 其中正确的两个命题是（ ）

（A）①与② （B）③与④ （C）②与④ （D）①与③

9．斜三棱柱ABC?A1B1C1中，?BAC?90?,BC1?AC，则C1在底面ABC上的射影H必在（ ） （A）直线AB上 （B）直线BC上 （C）直线CA上 （D）?ABC内部 10．如果直线l,m与平面?,?,?满足：????l,l//?,m??和m??，那么必有（ ） （A）???且l?m （B）???且m//? （C）m//?且l?m （D）???且???

二．填空题

11．已知m，l是直线，α，β是平面，给出下列命题：

（A） 若l垂直于α内的两条相交直线，则l⊥α； （B） 若l平行于α，则l平行于α内的所有直线； （C） 四面体中最多可以有四个面是直角三角形。 （D） 若m?α且l⊥β， 且α∥β则m?l 其中正确命题的是 。

12． α ，β是两个不同的平面，m ，n是平面α及β之外两条不同的直线，给出四个论断：（A）m∥n （B）m∥β （C）α⊥β （D）n⊥α以其中三个论断作为条件，余下一个论断作为结论，写出你认为正确的一个命题 。

ABCD满足条件 时， 13．在直四棱柱ABCD?A1BC11D1中，当底面四边形

有AC?B1D1（注：填上你认为正确的一种条件即可，不必考虑所有可能的情况） 114.设三棱锥P?ABC的顶点P在平面ABC上的射影是H，给出以下命题： ①若PA?BC，PB?AC，则H是?ABC的垂心

10

②若PA,PB,PC两两互相垂直，则H是?ABC的垂心 ③若?ABC?90，H是AC的中点，则PA?PB?PC ④若PA?PB?PC，则H是?ABC的外心 其中正确命题的命题是 三．解答题

15．在棱长为a 的正方体ABCD—A1B1C1D1中，E、F分别为D1C1与AB的中点。（1）求A1B1与截面A1ECF所成的角；（2）求点B到截面A1ECF的距离。

16．正方体ＡＢＣＤ－Ａ１Ｂ１Ｃ１Ｄ１中，Ｅ、Ｆ、Ｍ、Ｎ分别是Ａ１Ｂ１、ＢＣ、Ｃ１Ｄ１、Ｂ１Ｃ１的中点。 （１） 求证：平面ＭＮＦ⊥平面ＥＮＦ。 （２） 求二面角Ｍ－ＥＦ－Ｎ的平面角的正切值。

第四节 空间向量及坐标运算 一．高考考点 （一）空间向量

1.空间向量的概念：在空间，我们把具有大小和方向的量叫做向量 2.空间向量的运算（利用基底表示其它向量）

， OP?λa (??R) OB?OA?AB=a+b， AB?OB?OA（指向被减向量）运算律：

⑴加法交换律：a?b?b?a ⑵加法结合律：(a?b)?c?a?(b?c) ⑶数乘分配律：?(a?b)??a??b 3.共线向量（平行向量）

（1）概念：如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行向量。a平行于b,记作a∥b

（2）共线向量定理：对空间任意两个向量a、b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数λ，使a=λb。 推论：如果l为经过已知点A且平行于已知向量a的直线，那么对任一点O，点P在直线l上的充要条

?????????件是存在实数t，满足等式 OP?OA?ta ① 其中向量a叫做直线l的方向向量。 ????????????????????????OP?OA?tAB，或OP?(1?t)OA?tOB ①或②式都叫做空间直线的向量参数方程

4．共面向量

（1）概念：平行于同一平面的向量，叫做共面向量。

??????(2)共面向量定理:如果两个向量a、b不共线，则向量p与向量a、b共面的充要条件是，存在实数对

????x、y，使p=xa+yb

????????????推论：空间一点P位于平面MAB内的充分必要条件是存在有序实数对x、y，使MP=xMA+yMB 或

?????????????????对空间任一点O，有OP=OM+xMA+yMB

11

?????5.空间向量基本定理 如果三个向量a、b、c不共面，那么对空间任一向量p，存在一个唯一的有序

?????实数组x,y,z,使p=xa+yb+zc

推论 设O、A、B、C是不共面的四点，则对空间任一点P，都存在唯一的有序实数组x,y,z，使

op?xOA?yOB?zOC

6.两个向量的数量积:

???????????????(1) a与b的夹角: .记作 规定0???,则=,=,记作a?b

2??(2)模(长度):设 OA、的长度叫向量a的长度或模,记作a 、＝a,有向线段OA??????(3)数量积:a?b?abcos?a,b?

(4)AB在轴l上或在e方向上的正射影，简称射影:A?B??AB?cos?a,e??a?e (5)空间向量数量积的性质:

?2???????????①a?e?acos?a,e? ②a?b?a?b?0 ③a?a?a

(6)空间向量数量积的运算律

????????①(?a)?b??(a?b) ②a?b?b?a (交换律)???????③a?(b?c)?a?b?a?c(分配律)

（二）空间向量的坐标运算 1．空间直角坐标

在空间选定一点O和一个单位正交基底{ī，j，k}，以点O为原点，分别以ī，j，k的正方向建立三条坐标轴： x轴，y轴，z轴，使∠xOy=135°（或45°），∠yOz=90°，就建立了一个空间直角坐标系O-xyz。点O叫原点，ī，j，k叫坐标向量，一般作右手直角坐标系。任一点A对应一个向量OA，存在唯一的实数组x、y、z. OA?xī+y j+z k. 记为A（x、y、z）,叫空间直角坐标系中的坐标。其中x叫点A的横坐标，y叫点A的纵坐标，z叫点A的竖坐标 2．向量的直角坐标运算

（1）设a=（a1，a2，a3），b=（b1，b2，b3）则

a+b=( a1 +b1 ，a2 +b2，a3+b3) a-b=( a1 -b1 ，a2 -b2，a3-b3) λa=（λa1，λa2，λa3）（λ∈R） a·b=a1b1+a2b2+a3b3 a∥b? a1 =λb1 ，a2=λb2，a3=λb3（λ∈R） a⊥b? a1b1+ a2b2 +a3b3=0 （2）设A（a1，a2，a3），B（b1，b2，b3）则

AB?OB?OA?（b1，b2，b3）-（a1，a2，a3）=( b1 -a1 ，b2-a2，b3-a3)。即一个向量在直角坐标系中

的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标。 3．夹角和距离公式

设a=（a1，a2，a3），b=（b1，b2，b3）则

12

a?a?a?22 b?a12?a2?a3b?b??22 b12?b2?b3a·b= a1b1+a2 b2+a3b3 cos已知A(x1,y1,z1)，B(x2,y2,z2)则 AB?a?b a1b1?a2 b2?a3b3a?a?a?b?b?b212223212223

AB?AB??x1?x2?2??y1?y2?2??z1?z2?2

dA,B??x1?x2?2??y1?y2?2??z1?z2?2 为空间两点间距离公式

4．如果表示向量a的有向线段所在的直线垂直于平面α，则称这个向量垂直于平面α，记为a??如果a??，那么向量a叫做平面α的法向量

5. 设A（a1，a2，a3），B（b1，b2，b3）则AB中点坐标为(6.向量位置与立体几何中位置对照:

⑴ AB//CD?AB//CD?AB??CD ⑵ AB?CD?AB?CD?0

⑶ 证A、B、C、D四点共面可通过证AB?xAC?yAD或OA?pOB?qOC?rOD且p?q?r?1

2a1?b1a2?b2a3?b3,,) 222⑷AB?AB?AB

⑸ 线线角即为两向量的夹角或其补角

⑹ 线面角即为线所在向量与面的法向量的夹角的余角或再减90⑺ 面面角即为两面的法向量的夹角或其补角 ⑻ 距离可通过求在法向量上投影的长度得到

二．强化训练 一．选择题

1．对于空间任意一点O和不共线的三点A、B、C，有OP?xOA?yOB?zOC(x,y,z?R), 则x+y+z=1是四点P、A、B、C共面的 （ ）

（A）必要不充分条件 （B）充分不必要条件 （C）充要条件 （D）既不充分又不必要条件 2．若a?b,a?c,l??a??c(?,??R),m//a，则m与l一定（ ） （A）相交 （B） 共线 （C）垂直 （D）以上都有可能

0

13

3．如图，已知空间四边形OABC，其对角线为OB,AC,M,N分别是OA,BC的中点，点G在线段

MN上，且分MN所成的比为２，现用基向量OA,OB,OC表示向量OG，设OG＝

xOA?yOB?zOC，则x,y,z的值分别是（ ）

（Ａ）x?111111,y?,z? （Ｂ）x?,y?,z? 333336111111,y?,z? （Ｄ）x?,y?,z? 363633（Ｃ）x?

04．平行六面体ABCD?A1B1C1D1中，AB?1,AD?2,AA1?3,?BAD?90, 0 ?BAA1??DAA1?60，则AC1的长为（ ）

（Ａ）13 （Ｂ）23 （Ｃ）33 （Ｄ）43

5．已知向量a?(1,1,0), b?(?1,0,2),且ka?b与2a－b互相垂直，则k的值是（ ） （Ａ）1 （Ｂ）

137 （Ｃ） （Ｄ） 5556．如果平面的一条斜线和它在这个平面的射影的方向向量分别是a?(1,0,1), b?(0,1,1),那么这条斜线与平面所成的角是（ ）

（Ａ）90 （Ｂ）60 （Ｃ）45 （Ｄ）30

7．设A，B，C，D是空间不共面的四点，且满足AB?AC?0,AC?AD?0,AB?AD?0，则

0000?BCD是（ ）

（A）钝角三角形 （B）锐角三角形 （C）直角三角形 （D）不确定

8．在边长为1的正三角形ABC中，设BC?a,AB?c,AC?b，则a?b?b?c?a?c为（ ） （A）1.5 （B）?1.5 （C）0.5 （D）?0.5 9．a,b,c为任意向量，下列命题是真命题的为（ ）

（A）若|a|?|b|，则a?b （B）若a?b?a?c，则b?c

?且a与b夹角为45，则(a?b)?b 2|b|，

（C）(a?b)?c?(b?c)?a?(c?a)?b （D）若|a|?10．若A，B两点的坐标是A(3cos?,3sin?,1)，B(2cos?,2sin?,1)，则|AB|的取值范围是（ ） （A）[0,5] （B）[1,5] （C）(1,5) （D）[1,25]

14

二．填空题

11．已知向量a?(2,?1,3),b?(?4,2,x)，若a?b，则x? ；若a//b，则x? 。 12．已知点A,B,C?平面?，点P??，则AP?AB?0，且AP?AC?0是AP?BC?0 的 条件．

13．如图所示，在正方体ABCD?A1B1C1D1中，

B1E1?D1F1?为 ．

A1B1，求BE1与DF1所成角的余弦值414．已知?ABC的三个顶点分别为A(3,1,2),B(4,?2,?2),C(0,5,1)，

AD为角A的平分线，则AD的长为 。 三．解答题（共2个小题）

15．如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=AC=a, ∠BAC=900, D是BC的中点，AA1=2a. (1) 求异面直线A1B和AC1所成角的余弦值； （2）求二面角D-AC1-C的正弦值。

16．在直三棱柱ABC-A1B1C1K 中，∠ABC=90，BC=2，CC1=4,点E在线段BB1上，且EB1=1，D、F、G分别为CC1、C1B1、C1A1的中点。（1）求证B1D⊥平面ABD。（2）求证：面EGF//面ABD。（3）面EGF与面ABD的距离。

15

0

第五节 直线和平面所成的角和平面与平面所成的角 一．高考考点

空间中各种角包括：异面直线所成的角、直线与平面所成的角以及二面角。这些角是对点、直线、平面所组成空间图形的位置进行定性分析和定量计算的重要组成部分，学习时要深刻理解它们的含义，并能综合应用空间各种角的概念和平面几何知识（特别是余弦定理）熟练解题。 (1) 异面直线所成的角：范围是（0，π/2〕。求两条异面直线所成的角的大小一般方法

一是通过平行移动直线，把异面问题转化为共面问题来解决。具体步骤如下：①利用定义构造角，可固定一条，平移另一条，或两条同时平移到某个特殊的位置，顶点选择在特殊的位置上（常用中位线、平行四边形）；②证明作出的角即为所求的角；③利用三角形来求角。

二是利用设基向量或建立坐标系，利用向量的夹角，设为θ，则异面直线所成的角为θ或180-θ。 (2) 直线与平面所成的角：范围是[0，π/2]。求直线和平面所成的角的方法是：

一是用的是射影转化法。具体步骤如下：①找过斜线上一点与平面垂直的直线；②连结垂足和斜足，得出斜线在平面的射影，确定出所求的角；③把该角置于三角形中计算。

注：①斜线和平面所成的角，是它和平面内任何一条直线所成的一切角中的最小角， 即若θ为线面角，α为斜线与平面内任何一条直线所成的角，则有???。

②如图DC⊥α, CB⊥AB由三垂线定理知AB⊥BD.记∠DAB=θ∠CAB=β

∠DAC=?,则cos??cos??cos?.

二是求直线所在向量与平面的法向量的夹角，设为θ，则直线与平面所成的角为θ-90或90-θ。

(3)确定点的射影位置有以下几种方法：

①斜线上任意一点在平面上的射影必在斜线在平面的射影上；

②如果一个角所在的平面外一点到角的两边距离相等，那么这一点在平面上的射影在这个角的平分线上；如果一条直线与一个角的两边的夹角相等，那么这一条直线在平面上的射影在这个角的平分线上； ③两个平面相互垂直，一个平面上的点在另一个平面上的射影一定落在这两个平面的交线上； ④利用某些特殊三棱锥的有关性质，确定顶点在底面上的射影的位置：

a.如果侧棱相等或侧棱与底面所成的角相等，那么顶点落在底面上的射影是底面三角形的外心； b. 如果顶点到底面各边距离相等或侧面与底面所成的角相等，那么顶点落在底面上的射影是底面三角形的内心(或旁心)；

c. 如果侧棱两两垂直或二组对棱互相垂直（必可推出第三组也垂直），那么顶点落在底面上的射影是底面三角形的垂心；

思维方式: 把空间问题转化为平面问题，从解决平面问题而使空间问题得以解决。求角的三个基本步骤：“作”、“证”、“算”。

特别注意:空间各种角的计算都要转化为同一平面上来，这里要特别注意平面角的探求。 二．二面角

（1）二面角的定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角。

16

0

0

0

D A C B ? （2）二面角的平面角：以两面角的棱上任意一点为端点，在两个半平面内分别作垂直于棱的两条射线所成的角叫做二面角的平面角。

（3）二面角的大小，可以用它的平面角来度量。范围是：?0,?? 解题时要注意图形的位置和题目的要求。 作二面角的平面角常有三种方法:

① 棱上一点双垂线法：在棱上任取一点，

过这点在两个平面内分别引棱的垂线，这两条射线所成的角，就是二面角的平面角。

② 面上一点三垂线法：自二面角的一个面上一点向另一面引垂线，再由垂足向棱作垂线得到棱上的点（即垂足），斜足与面上一点连线和斜足与垂足连线所夹的角，即为二面角的平面角。

③ 空间一点垂面法：自空间一点作与棱垂直的平面，截二面角得两条射线，这两条射线所成的角就是二面角的平面角。

直接求二面角的方法有以下二种： ① 利用斜面面积和射影面积的关系公式：

S??S?cos?(S为原斜面面积,S?为射影面积,?为斜面与射影所成二面角的平面角)这个公式对

于斜面为三角形,任意多边形都成立.是求二面角的好方法.当作二面角的平面角有困难时,如果能找得斜面面积的射影面积,可直接应用公式,求出二面角的大小.

② 利用建立空间直角坐标系或基向量，求两平面的法向量，面面角即为两面的法向量的夹角或其补角 （4）思维方式: 把空间问题转化为平面问题，从解决平面问题而使空间问题得以解决。求角的三个基本步骤：“作”、“证”、“算”。

（5）特别注意:空间各种角的计算都要转化为同一平面上来，这里要特别注意平面角的探求。

二．强化训练 一．选择题

1．直三棱住A1B1C1—ABC，∠BCA=90，点D1、F1 分别是A1B1、A1C1的中点，BC=CA=CC1，则BD1与AF1

所成角的余弦值是（ ）

01 （A ）30 （B） （C）30 （D）15

21015102．PA、PB、PC是从P点出发的三条射线，每两条射线的夹角均为60，那么直线PC与平面PAB所成角的余弦值是（ ）

0D

17

A. 1 B. 2 C. 3 D. 6

22333．若直线l与平面α所成角为取值范围是（ ） （A） [0,?，直线a在平面α内，且与直线l异面，则直线l与直线a所成的角的32??2???]] ] （C） [, （D） [,

33332?3 ] （B） [0,4． 矩形ABCD中，AB=1，BC=2，PA⊥平面ABCD，PA=1，则PC与平面ABCD所成的角是（ ）

（A） 30° （B） 45° （C） 60° （D） 90°

5．PA，PB，PC是从P点引出的三条射线，每两条的夹角为60°，则直线PC与平面APB所成角的余弦值为（ ） （A）

0

1633 （B） （C） （D） 23320

6．在一个45的二面角的一个平面内有一条直线与二面角棱成45角，则此直线与二面角的另一个面所成的角为 （ ）

（A)30 （B)45 （C)60 （D)90

7．平面P和平面Q所成的二面角为α，直线AB?P且与二面角的棱成β角，它和平面Q成γ角，那么（ ）

0

0

0

0

??si?n?（A） sin （C） sin??sin??22s?i n （B） cos??cos??cos?

222 （D） cos??cos??cos? s2i?n8．二面角??l??的平面角为120°，A，B?l,AC??,BD??，若

AC?l,BD?l,AB?AC?BD?1,则CD=（ ）

（A）

2 （B） 3 （C） 2 （D） 5 a，则29．在边长为a的正三角形ABC中，AD⊥BC，沿AD将△ABD折起，若折起后B，C间距离为二面角B—AD—C的大小为（ ）

（A）30° （B）45° （C）60° （D）90°

10．三棱锥A-BCD中，AB=AC=CD=AD=a，要使三棱锥A-BCD的体积最大，则二面角B-AC-D的大

小为（ ） （A）

??2?? （B） （C） （D）

3236二．填空题

11．如图所示的正方体ABCD—A1B1C1D1中，过顶点B、D、C1作截面，则二面角B-DC1-C的大小是 。 12．若直线l1与直线l2垂直相交，且它们与平面α所成的角分别是30°和45°，那么l1和l2在平面α内的射影所成的锐角是_________；l1和l2确定的平面与平面α所成的锐二面角是_ __.

18

13．已知面?内有?BAC?60，点P在?外，PA=2，P到AB，AC的距离均为3，则PA与平面??所成角的余弦值为 。

?14．二面角??l??的平面角为120，在?内，AB?l于B，AB=2，在?内，CD?l于D，CD=3，

BD=1，M是棱l上的一个动点，则AM?MC的最小值是 。 三．解答题

15．在四面体ABCD中，AB、BC、BD两两垂直，且AB=BC=2，E是AC中点，异面直线AD与BE所成的角大小为arccos

10,求四面体ABCD的体积. 1016．设D是ΔABC的BC边上一点,把ΔACD沿AD折起,使C点所处的新位置 C?在平面ABD上的射影H恰好在AB上.

(1)求证:直线C?D与平面ABD和平面AHC?所成的两个角之和不可能超过900

0(2)若?BAC?90,二面角C??AD?H为600,求?BAD的正切值.

第六节 空间距离 一．高考考点

1．点到直线的距离：点P到直线a的距离为点Ｐ到直线a的垂线段的长，常先找或作直线a所在平面的垂线，得垂足为A，过A作a的垂线，垂足为B连PB，则由三垂线定理可得线段ＰＢ即为点Ｐ到直线a的距离．在直角三角形PAB中求出PB的长即可．

2．异面直线间的距离：异面直线a,b间的距离为a,b间的公垂线段的长．常有求法①先证线段AB为异面直线a,b的公垂线段，然后求出AB的长即可．②找或作出过b且与a平行的平面，则直线a到平面的距离就是异面直线a,b间的距离．③找或作出分别过a,b且与b,a分别平行的平面，则这两平面间的距离就是异面直线a,b间的距离．④(垂面法)a垂直于过 b的平面，再过垂足作b的垂线。⑤利用异面直线两点间的距离公式。⑥利用向量中的射影求距离 思维方式：发散的思维和空间思维．大胆的设想，严密的推理． 特别注意：严密的逻辑推理，而不是单凭感觉和估计．

3．点到平面的距离：点Ｐ到平面?的距离为点Ｐ到平面?的垂线段的长．常用求法①作出点Ｐ到平面的垂线后求出垂线段的长．②转移法，如果平面?的斜线上两点Ａ，Ｂ到斜足Ｃ的距离ＡＢ，ＡＣ的比为m:n，则点Ａ，Ｂ到平面?的距离之比也为m:n．特别地，ＡＢ＝ＡＣ时，点Ａ，Ｂ到平面?的距离相等．③体积法．④向量法

4．直线到平面的距离：只存在于直线和平面平行之间．为直线上任意一点到平面间的距离．

5．平面与平面间的距离：只存在于两个平行平面之间．为一个平面上任意一点到另一个平面的距离．

19

Ａ ? Ｄ Ｃ Ｅ Ｂ 注：以上所说的所有距离：点线距，点面距，线线距，线面距，面面距都是对应图形上两点间的最短距离。所以均可以用求函数的最小值法求各距离。 6．球面上两点的球面距离

7．思维方式：发散的思维和空间思维．大胆的设想，严密的推理． 8．特别注意：了解求距离的各种方法并能掌握运用。

二．强化训练 一．选择题

1．把边长为a的正△ABC沿高线AD折成600的二面角，则点A到BC的距离是（ ）

（Ａ）a （Ｂ）

6315a （Ｃ）a （Ｄ）a 2349，那么点P到斜边AB的距离是 52．Rt△ABC的两直角边BC=3，AC=4，PC⊥面ABC，PC=（ ）

（A） 3 （B）4 （C） 15 （D）

2 3、两两平行的三条直线a，b，c中任意两条直线的距离都等于2，b与c确定平面α，则直线a与平面α间的距离 （ ）

（A） 等于0 （B） 等于3 （C） 等于2 （D） 不确定

4、已知二面角??l??为60°，如果平面α内有一点A到平面β的距离为3，那么A在平面β上的射影A1到平面α的距离为（ ） （A）3 （B）1 （C） 23 （D）2 5、已知EF是异面直线a、b的公垂线，直线l//EF，则l与a、b交点的个数是（ ） （A）0 （B）1 （C） 0或1 （D）0或1或2

6、已知正方体ABCD—A1B1C1D1的棱长为a，则棱A1B1所在直线与对角线BC1所在直线间的距离是 （ ） （A）

2a （B） a （C） 2a2a （D）

27．平面α//平面β,它们之间的距离为d（d≠0），直线a在平面α内，则在平面β内（ ） (A) 有且只有一条直线与直线a的距离等于d (B) 所有的直线与直线a的距离等于d

(C) 有无数条直线与直线a的距离等于d，还有无数条直线与直线a的距离不等于d （D） 所有的直线与直线a的距离都不等于d

8. 平面α//平面β，到α的距离与β的距离之比为2：1的点的轨迹是（ ） （A）1个平面 （B）2个平面 （C）3个平面 （D）4个平面

9．空间四点A，B，C，D中，每两点所连线段的长都等于a，动点P在线段AB上，动点Q在线段CD

20

16. （１）证明：设Ｅ为ＣＤ的中点，连结ＰＤ、ＮＥ、ＥＭ ∵ＰＡ⊥α，ＡＤ⊥l ∴ＰＤ⊥l 又∵Ｍ、Ｅ分别是ＰＣ、ＤＣ的中点 ∴ＮＥ∥ＰＤ，而ＰＤ⊥l，∴l⊥面PAD ∴NE⊥l，又M为AB中点 ∴ME⊥l，故l⊥面MNE，∴l⊥MN，又l∥AB ∴AB⊥MN ∵ＰＡ⊥α ∴PM=PA+AM 又知MC=BC+MB

2

2

2

2

2

2

β P F D A α M N C E B ∵PA=AD，ABCD是矩形，M为AB中点 ∴PM=MC，在等腰

⊿PMC中，N为PC的中点 ∴MN⊥PC，故MN是异面直线ＡＢ和PC的公垂线．

1

（２）解：设ＰＤ中点为Ｆ，∵ＦＮ∥ＤＣ，ＦＮ＝ ＤＣ，而Ｅ为ＤＣ的中点，∴ＤＥ∥ＦＮ∥

2ＡＭ，且ＤＥ＝ＦＮ＝ＡＭ 故ＦＡＭＮ为平行四边行，则ＡＦ∥ＭＮ

∴∠ＰＡＦ为异面直线ＰＡ与ＭＮ所成的角。 而ＰＡ⊥α，PA=AD ，∴⊿ＰＡＤ为等腰直角三角形，Ｆ为ＰＤ中点，∴∠ＰＡＦ＝45°。即异面直线ＰＡ与ＭＮ所成的角为45°．

第二节参考答案

一.选择题 DDCBD CBDBB

二.填空题 11. （8，12） 12. 平行 13. （1）（3）（4）?（2） 14. M?HF 三.解答题

15. 解：在平面PCD内，过E作EG∥CD交PD于G，连结AG，在AB上取点F，使AF=EG，则F即为所求作的点。EG∥CD∥AF，EG=AF，∴四边形EFGA为平行四边形，∴FE∥AG，AG?平面

EGPEPAD，FE?平面PAD，∴FE∥平面PAD。又在△BCE中，CE=3a，BC2=CE?CP，∴CP=3a，又，?CDPC3∴EG=AF=

2a。 3ABAM，?BCMF 16. (1)证明：连结BM,EM,BE,??//?，平面ACF 分别交α,β于BM,CF所以BM∥CF，?同理，

ABDEAMDE，?． ??BCEFMFEFBMABh?MEh?h? ??,同理?CFAChADh(2)解：由（１）知BM∥CF，

?S?BEM?1h??h??CF?AD?1??sinBME．由题意知，AD与CF是异面直线，故CF,AD是常量，sin2h?h?h??x．只要考察函数y=x(1－x)的最值即可，显∠BME是AD与CF所成的角的正弦值，也是常量，令h然当x?

1h?1?时，y=x(1－x)有最大值． 时，即

2h2所以当

h?1?时，即?在?，?两平面的中间时?BEM的面积最大． h226

第三节参考答案

一.选择题 CDCCD DBDAA

二.填空题 11. A C D 12. ABD?C 或ACD?B 13. AC?BD 14. ①②③④ 三.解答题

15. 解：（1）由于ΔA1D1E ?ΔA1AF，∴∠D1A1E =∠AA1F， ∴∠ E A1B1=∠B1A1F，因此点B1在平面A1ECF上的射影应在 ∠ E A1F的平分线上，又四边形A1ECF为菱形，因此，点B1 在平面A1ECF上的射影应在直线A1C 上，∴∠B1A1C即为A1B1 与截面A1ECF所成的角。又tan?B1A1C?∴?B1A1C?arctan2。

（2）取A1B1中点G，连接BG，则BG∥A1F， ∴BG∥截面A1ECF，因此B到截面的距离等于点G到截面的距离，又G为A1B1的中点。∴G到截面A1ECF的距离等于B1到截面A1ECF的距离的一半，容易求得B1到截面A1ECF的距离为

B1C2a??2， A1B1a66a，因此点B到截面A1ECF的距离为a. 36Ａ

１

Ｄ１ ＥＨＤＭＮＢ１ Ｃ１

16. （１）证明: ∵Ｍ、Ｎ、Ｅ是中点，∴ＭＮ⊥ＥＮ。 又ＮＦ⊥平面Ａ１Ｃ１，∴ＭＮ⊥ＮＦ，从而ＭＮ⊥平面ＥＮＦ ∵ＭＮ?平面ＭＮＦ，∴平面ＭＮＦ⊥平面ＥＮＦ。 （２）过Ｎ作ＮＨ⊥ＥＦ于Ｈ，连结ＭＨ。

∵ＭＮ⊥平面ＥＮＦ，ＮＥ为ＭＨ在平面ＥＮＦ内的射影， 由三垂线定理得ＭＨ⊥ＥＦ，

∴∠ＭＨＮ是二面角Ｍ－ＥＦ－Ｎ的平面角。 在Ｒｔ⊿ＭＮＨ中，求得ＭＮ＝

Ａ Ｃ ＢＦ

23ａ，ＮＨ＝ａ， 23∴ｔａｎＭＨＮ＝

MN6，即为二面角Ｍ－ＥＦ－Ｎ的平面角的正切。 ?NH2第四节参考答案 一.选择题 CCDBD BBCDB 二.填空题 11. 三.解答题

15. 解：（1）设AA1?m，AB?n,AC?p，则

1015, ?6 12. 充分不必要 13. 14. 31730 2????????????m?2a,n?p?a且m?n?n?p?p?m?0，因为

27

????A1B?AB?AA?n?m,AC?AC?AA?p?m，所以111??????A1B?(m?n)2?n2?2n?m?m2?5a2,

2??????AC1?(p?m)2?p2?2p?m?m2?5a2,

2???????????A1B?AC1?(n?m)?(p?m)?n?p?n?m?m?p?m2??4a2，所以 cosA1B,AC1?44??,因此，异面直线A1B和AC1所成的角的余弦值为。

55A1B?AC1A1B?AC1（2）由已知，AB为平面ACC1的法向量，设平面AC1D的法向量为

????，则b?AB??AC??AA?n??p??m1????????b?AC1?(n??p??m)?(p?m)??p2??m2??a2???4a2?0,因此??4??0 ①

又因为D为BC的中点，所以AD?1??(n?p) 。所以 2?1?11???1???b?AD?(n??p??m)?(n?p)?(n2??p2)?(a2??a2)?0,因此???1,??

2224???1??2?2?1?292?3????1??m?a，b?a,AB?b?n?(n?p?m)?n2?a2，所以b?n?p?m.b?n?p?416424所以cosb,AB?52. ?. 所以二面角Ｄ－ＡＣ１－Ｃ正弦值为3b?AB3b?AB16. 解：（1）建立如图空间直角坐标系，由已知条件得B（0，0，0）， D（0，2，2），B1（0，0，4）。设BA=a,则A（a,0,0）.所以

BA=（a,0,0）,BD=(0,2,2),B1D=(0,2,-2). B1D.BA=0

B1D.BD=0+4-4=0,所以，B1D⊥BA，B1D⊥BD，因此B1D⊥平面ABD。

（2）由E、F、G的定义知，E（0，0，3），G（a/2，1，4）， F（0，1，4）.所以EG=（a/2，1，1），EF=（0，1，1），

EG。B1D=0+2-2=0，B1D。EF=0+2-2=0。所以B1D⊥EG，B1D⊥EF，B1D⊥平面EFG，结合（1）可知

面EGF//面ABD。

28

（3）由（1）（2）知BF=（0，1，4），B1D=(0,2,-2)是平面ABD的法向量，所以BF在B1D上的射

影长=BF?B1D?63232。所以F到平面ABD的距离为。由（2）知，面EFG??B1D2222与面ABD的距离=点F到面ABD的距离=

第五节参考答案 一.选择题 ACDAC AACCA 二.填空题 11. arctan2 12. arccos三.解答题

15. 解：建立坐标系如图，有

32。 233 , 60° 13. 14. 3326

z D A?0,2,0?,C?2,0,0?E?1,1,0?设D?0,0,z?

?BE?(1,1,0)AD??0,?2,z?AD?BE?24?z2cos???2

又z>0，cos??221??z?4 2104?zc x B A E y

?VABCD?

18?AB?BC?BD?. 63 16. 证明:（1）连结DH,?C?H?平面ABD,??C?DH为C?D与平面ABD所成的角,且平面C?HA?平面ABD,过D作DE?AB,垂足为E, 则DE?平面C?HA,,故?DC?E为C?D与平面AHC?所成的角.

C? A ?sin?DC?E?DEDH??sin?DC?H, C?DC?DB

H E D

G

C

? ?DC?E??DC?H

? ?DC?E+ ?C?DH??DC?H??C?DH?900

(2)作HG⊥AD,垂足为G,连结C?G,则C?G⊥AD,故?C?GH是二

0面角C??AD?H的平面角, 即?C?GH=60,计算得

tan?BAD?

2 229

第六节参考答案 一.选择题 DABAC ACBBD 二.填空题 11. 三.解答题

15. 解法一：（转化为线面距）因为BD∥平面B1D1C，B1C?平面B1D1C，故BD与B1C的距离就是BD到平面B1D1C的距离，由VB?BDC?VD?BBC，

1111D126666022 13. 14. a，a，a, a; 12. 13323412213?即?341?2a?2h?1?a2?a，得h?32O1 B1C1

3． a3A1Ｄ B1D1C的距离为

Ａ O 解法二：（转化为面面距）易证平面B1D1C∥平面A1BD，用等体积法易得Ａ到平面A1BD的距离为

3，同理可知：C1到平面

a33． a3Ｃ Ｂ 3，而A1C=a33a，故两平面间距离为

解法三：（垂面法）如图，BD∥平面B1D1C，B1D1⊥A1C1，B1D1⊥OO1，∴B1D1⊥平面OO1C1C，平面OO1C1C∩平面B1D1C＝O1C，O1∈B1D1，故O到平面B1D1C的距离为Rt△O1OC斜边上的高

OC?OO1?O1Ca?2a2?3a。

33a2h?解法四：（函数最小值法）如图，在上取一点M，作ME?BC于E，过E作EN?BD交BD于N，易知MN为BD与B1C的公垂线时，MN最小。设BE=x，CE=ME=a－x，EN=

2，MN==x2D1C1

122x??a?x?= 23?3?a22。?当时x?a，时，?x?a??2?2?332A1Ｄ Ａ N B132x?2ax?a2=2M Ｃ E Ｂ ?MN?min?3a。 3解法五：向量法(略)

16. (1）证明：因为AB=BC=CD=a，∠ABC=900，∴ACB=450，∠ACD=900，CD⊥AC，又平面ABC⊥平面ACD，∴CD⊥平面ABC，∴CD⊥AB又AB⊥BC，所以，AB⊥平面BCD。 （2）作BO?AC于O，作OE?AD于E，连EO结BE，则?B即为所求二面角的平面角，易知：

，

A

B C B O D A

E

C OE?62a,BO?a62D ?tan?BEO?

BO?3,??BEO?600，即平面OE30

ABD与平面ACD所成的角为600。

（3）连结OD，在直角三角形BOD中，OD?OC2?CD2?6a，?BD?OB2?OD2

2?2262a?a?2a，??ABC是直角三角形，由VC?ABD?VB?ACD，得 44211a，即为点C到平面ABD的距离。 ?S?ABD?h??S?ACD?BO，?h?233

第七节参考答案 一.选择题 CCABB CCABD

a2? 12. 1或7 13. V=2F-4 14. 二.填空题 11. 2三.解答题

a2?(b?c)2

15. 解：如图，设45°纬度圈圆心为O1，地球球心为O， 则∠AO1B=40°+50°=90°. 又∵OO1⊥O1A，OO1⊥O1B. 又∵A，B在北纬45°圈上， ∴∠OBO1=∠OAO1=45°，

A

O O1 B

2∴O1A=O1B=O1O=OA·cos45°=R.

2在Rt△AO1B中，∵AO1=BO1， ∴AB=2AO1=R，

∴△AOB为等边三角形，∴∠AOB=

?. 3∴在45°纬线圈上，弧AB长=

??22AO1=?R??R（此时是小圆上的弧长）. 2224 在球面上，A，B两点的球面距离为弧AB弧长=|α|·AO=

?R.（此时是大圆上一段劣弧长）. 3∴A，B两点间纬线圈的弧长为

?2?R，A，B两点间的球面距离为R.

34? 316. 证明：∵侧面ABB1A1⊥底面ABC，侧棱B1B与底面ABC所成角为

∴∠B1BA=

?. 331

又∠ABC=

?1.∴cos∠B1BC=cos∠B1BA·cos∠ABC=.

43????????????沿BA，BC，BB1射线方向分别取单位向量i，j，k，则BA?2i，BC?2j，BB1?2k，????????11CB1?2k?2j.CA?2i?2j，cos=cos=，cos=.

24????????111 ∵BA?CB1?2i?(2k?2j)?4??4??0 ○

22????????∴BA?CB1，即AB⊥CB1.

2 设平面ABB1的法向量为m=xi+yj+zk，则 ○

?????m?????BA?0?(xi?yj?zk)?2i?0?y??2x, ?(xi?yj?zk)?2k?0z?0.?m?BB1?0??令x=1，则m=i-2j.

再设平面AB1C的法向量为n=x′i+y′j+z′k，则

?????n?CB?1?0?(x?i?y?j?z?k)(2k?2j)?0?y??z?, ????(x?i?y?j?z?k)(2i?2j)?0y??2x?.?n?CA?0??令x′=-1，则n=-i-2j-2k. ∴cos =

m?n35??.

|m||n|5?355. 5∴二面角C—AB1—B的大小为arccos

32

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