矩阵的对角化及其应用

学院2016届

本科毕业论文(设计)

矩阵的对角化及其应用

学生姓名： 学 号：

专 业： 数学与应用数学 指导老师： 答辩时间： 2016.5.22 装订时间： 2016.5.25

A Graduation Thesis (Project)

Submitted to School of Science, Hubei University for Nationalities

In Partial Fulfillment of the Requiring for BS Degree

In the Year of 2016

Diagonalization of the Matrix and its Applications

Student Name Student No.:

Specialty: Mathematics and Applied Mathematics Supervisor:

Date of Thesis Defense:2016.5.22 Date of Bookbinding: 2016.5.25

摘 要

矩阵在大学数学中是一个重要工具，在很多方面应用矩阵能简化描述性语言，而且也更容易理解，比如说线性方程组、二次方程等. 矩阵相似是一个等价关系，利用相似可以把矩阵进行分类，其中与对角矩阵相似的一类矩阵尤为重要，这类矩阵有很好的性质，方便我们解决其它的问题. 本文从矩阵的对角化的诸多充要条件及充分条件着手，探讨数域上任意一个n阶矩阵的对角化问题，给出判定方法，研究判定方法间的相互关系，以及某些特殊矩阵的对角化，还给出如幂等矩阵、对合矩阵、幂幺矩阵对角化的应用.

关键词：对角矩阵，实对称矩阵，幂等矩阵，对合矩阵，特征值，特征向量，最小多项式

I

Abstract

The matrix is an important tool in college mathematics, and can simplify the description language based on the application of matrix in many ways. So it is easier to understand in many fields, for example, linear equations, quadratic equations. In many characteristics, the matrix similarity is an very important aspect. We know that the matrix similarity is an equivalence relation by which we can classify matrix, the diagonal matrix is very important. This kind of matrix has good properties, and it is convenient for us to solve other problems, such as the application of similar matrix in linear space. In this paper, we first discuss many necessary and sufficient conditions of diagonalization of matrix and then give some applications of special matrix diagonalization.

Key words: diagonal matrix，real symmetric matrix，idempotent matrix，involutory

matrix，the eigenvaule，the feature vector，minimal polynomial

II

目 录

摘要??????????????????????????????????I

Abstract????????????????????????????????II

绪言??????????????????????????????????1

课题背景????????????????????????????????1

目的和意义?????????????????????????????? 1

国内外概况?????????????????????????????? 1

预备知识????????????????????????????????2

相关概念????????????????????????????????2

矩阵的对角化??????????????????????????????4

特殊矩阵的对角化??????????????????????????? 14

矩阵对角化的应用??????????????????????????? 22

总结????????????????????????????????? 24

致谢????????????????????????????????? 25

参考文献??????????????????????????????? 26

独创声明??????????????????????????????? 28

III

?11,?12,...,?1r,...,?ir,...,?tr线性无关.

1it 若r1?r2?...?rt?n，那么Q就有n个线性无关的特征向量?Q可以对角化. 若Q与对角矩阵相似，则Q的属于不同特征值的特征向量总数一定为n. 否则根据定理1就可以推出?1,?2,...,?t线性相关，矛盾.

相较于定理1，定理3的优点在于判定一个矩阵是否可以对角化着点于特征向量的重数，方便了许多，也易于计算.

下面利用定理1结合矩阵的秩给出矩阵可对角化的另一判别方法.

引理2 设n阶方阵A,B?Pn?n，则有r(A?B)?r(A)?r(B).

证明：先证rank[A,B]?rank(A)?rank(B)??(2). 根据矩阵秩的定义有 r[A,B]?n?2n阶矩阵[A,B]的线性无关的行数

?方阵A的线性无关的行数?方阵B的线性无关的行数 ?r(A)?r(B).

?E?对方阵矩阵B?A?[B,A]??，由(2)式有r(B?A)?r[A,B]，所以

?E?r(A?B)?r(A)?r(B).

引理3 对于n阶方阵C,D有r(AB)?r(A)?r(B)?n.

?CO??CT?证明：先证r(C)?r(D)?r??OD???r??OD????（3），其中T为任意n阶方阵.

????显然当C,D中有一个为O时结论成立；另设r(C)?p,r(D)?q，则C有p阶子式

M1?0，D有q阶子式M2?0.

?CT?于是??OD??有p?q阶子式

??M1*?M1M2?0,

OM2?CT?因此r??OD???p?q?r(C)?r(D).

?? 要证r(AB)?r(A)?r(B)?n，只需证明： 运用分块矩阵的初等变换有：

6

r(AB)?n?r(A)?r(B)

?En ??O?

O??En????AB???AO??En????AB???A?B???BEn??????O?， O?A???有初等变换不改变矩阵的秩以及式(3)有：

??BEn?? r(AB)?n?r??r(A)?r(B). ?O?A???Ep另证：令r(A)?p，则存在可逆矩阵C,D使得CAD=??O?OO??1O??1???D ?，若令C???O??OEn?p?=H,则r(H)?n?p以及A?H=C?1D?1. 又因为任意矩阵左乘以与其行数相等的非奇异方阵或者右乘以与其列数相等的非奇异方阵不改变这个矩阵的秩，因此

r(B)=r(C?1D?1B) =r(AB)?r(HB) ?r(AB)+r(H)

?r(AB)?n?p.

引理3的一般形式：（Syl希尔维斯特不等式）设A，B，C?Pn?n分别为

i?j,j?k,k?t矩阵，则

r(ABC)?r(AB)?r(BC)?r(B). 证明：要证r(ABC)?r(AB)?r(BC)?r(B)只需证明

r(ABC)?r(B)?r(AB)?r(BC), 因为分块矩阵的初等变换不会改变矩阵的秩，而

O??EA??ABCO??EO??OE??AB???????????OE??O???CE??EO??B?BC??， B??????????也即

AB??ABO??ABCO??ABCAB??O????????， ????O???????B??OB???BCB??B?BC??再有定理(3)就得

O??ABCO??AB???rank??rank?rank(AB)?rank(BC). ?O???B???B?BC?推论3设B1,B2,...,Bt为数域P上的n阶方阵，则

r(B1)?r(B2)?...?r(Bt)?(t?1)n?r(B1B2...Bt).

定理4 设n阶方阵Q?Pn?n，?1??2，且(?1E?Q)(?2E?Q)?0，则Q可对角化.

7

证明：由?1??2，(?1E?Q)(?2E?Q)?0有矩阵Q的特征值为?1或?2，根据引理2，引理3得：r(?1E?Q)?r(?2E?Q)?n，从而Q的特征向量(线性无关)共有

n?r(?1E?Q)?n?r(?2E?Q)?n个.

由定理1即得矩阵Q可对角化.

定理4? 设n阶方阵Q?Pn?n,?1,?2,...,?t两两互不相等，若

(?1E?Q)(?2E?Q)?(?t?1E?Q)(?tE?Q)?0

则Q与对角阵相似.

证明：根据(?1E?Q)(?2E?Q)?(?t?1E?Q)(?tE?Q)?0有Q的特征值在

?1,?2,..?.t.中取得... 再由引理3的推论有

r(?1E?Q)?r(?2E?Q)?...?r(?tE?Q)?(t?1)n,

从而方阵Q的线性无关的特征向量的个数为

n?r(?1E?Q)?n?r(?2E?Q)?...?n?r(?tE?Q)?tn?(r(?1E?Q)?r(?2E?Q)?...?r(?tE?Q))

?tn?(t?1)n?n.

又因为r(Q)?n，故方阵Q的线性无关的特征向量的个数为n，由此矩阵Q可对角化.

推论4在定理4的前提条件下我们可以得到如下结论：

r(?1E?Q)?r(?2E?Q)?...?r(?tE?Q)?(t?1)n.

定理4是判定矩阵相似与对角矩阵的充要条件，若矩阵阶数较高，计算量依然很大，特征值仍然需要计算，下面给出类似于定理4的充要条件.

定理5 设?1,?2,...,?t（互不相同）是Q?Pn?n的的特征值，重数分别为s1,s2,...,st且s1?s2?...?st?n，Q可对角化?

?(?E?Q)?0.

ii?1t证明：先证明必要性

??1??Q与V=????

?2????相似，则存在非奇异矩阵T满足 ???T??8

???1E1?Q?TVT?1?T????2E2????T?1， ????tEt??其中Ei(i?1,2,...t)为si阶单位矩阵，于是

(?iE?Q)?T(?iE?V)T?1

??(?i??1)E1?=T?(??i??2)E?2??1???T， ???(?i??t)Et?? 从而有

?tt(??1iE?Q)??T(?iE?V)T

i?1i?1?????(?i??1)E1?i?T????(?i??2)E2??i?T?1. ??????(?i???t)Eti??由于?(?i??j)Ej?0(j?1,2,...,t)，因此i?(?iE?Q)?0.

i 再证充分性：对于n阶矩阵Q，存在可逆矩阵T，使得

??J1?Q?TJT?1?J??T?2????T?1， ??J?t??Ji(i?1,2,...,t)是Jordan块，若Jj??jEj(j?1,2,...t)，Q就可以对角化，而

(?iE?Q)?T(?iE?J)T?1

??(?i?J1)E1??T?(?J??i?2)E2??T?1， ?????(?i?Jt)Et??

9

??(?i?J1)E1?i??(?E?Q)?T?i?i????i?(?ii?J2)E2????T?1. ???(?i?Jt)Et???i?所以，若(?iE?Q)?0，则因T可逆有?(?iEi?Jj)?0(j?1,2,...,t)，又因为当i?j时，

(?i??j)?0，(?iEj?Jj)可逆，所以(?jEj?Jj)?0，即?jEj?Jj(j?1,2,...,t). 引理4 X?Pn?n,?1,?2??m...是X的关于特征值?的特征向量，我们有?ki?ii?1m（ki,i?1,2,...,m不全为0，ki?P）也是X的关于?的特征向量.

证明：已知X?i???i，则kiX?i?ki??i，也即Xki?i??ki?i，因此

X?ki?i???ki?i，

i?1i?1mm又ki不全为0，因此?ki?i?0，由特征向量的定义有?ki?i是矩阵X的属于特

i?1mmi?1征值?得特征向量.

定理6 ?1,?2,...,?t(互不相同)是n阶矩阵Q的所有特征值，它们的代数重数依次是s1,s2,...,st，则方阵Q与对角矩阵相似?r(Aj)?sj(j?1,2,...,t),Aj??(?iE?Q).

i?j证明：先证必要性.

Q可对角化?存在可逆矩阵T使得Q?Tdiag(?1,?2,...,?t)T?1，从而

Aj??(?iE?Q)

i?j??(?i??1)E1?i?j???T??????(?i?ji??2)E2?????1?T

??(?i??t)Et???i?j? 10

?O1?????T??????(?i?ji??j)Ej?????1?T， ???Ot??其中Oj为sj阶0矩阵，Ej为sj阶单位矩阵（(j?1,2,...,t). 因T可逆，且?i??j，所以有

r(Aj)?r(?(?i??j)Ej)?r(Ej)?sj(j?1,2,...,t).

i?j 再证充分性：用反证法.

假设方阵Q不与对角矩阵相似，由几何重数?代数重数得：至少存在一个整数q，使得r(?qE?Q)?n?sq，于是当j?q时，由引理3有

sj?r(?(?iE?Q))??r(?iE?Q)?(t?2)n

i?ji?j??(n?sj)?(t?2)n

i?j?(t?1)n?(t?2)n??si

i?j?n?(n?sj)?sj.

矛盾，假设不成立，故Q与对角矩阵相似.

定理7 ?1,?2,...,?t(互不相同)是n级方阵Q?Pn?n的所有特征根，若对任意m?Z?满足r(?iE?Q)m?r(?iE?Q),则矩阵Q与对角矩阵相似.

证明：设?1,?2,...,?t的重数分别为s1,s2,...,st，由Cayley?Hamilton第三版，高等教育出版社)得：

定理(高等代数

(?1E?Q)s1(?2E?Q)s2...(?tE?Q)st?O，

再有引理3的推论就有

r(?1E?Q)s1?r(?2E?Q)s2?...?r(?tE?Q)st

?(t?1)n?r((?1E?Q)s1...(?tE?Q)st)

?(t?1)n.

11

对任意正整数m，有r(?iE?Q)m?r(?iE?Q)，因此

r(?1E?Q)?r(?2E?Q)?...?r(?tE?Q)?(t?1)n.

从而有方阵Q的线性无关的特征向量的个数为

n?r(?1E?Q)?n?r(?2E?Q)?...?n?r(?tE?Q) ?tn?[r(?1E?Q)?r(?2E?Q)?...r(?tE?Q)]

?tn?(t?1)n?n.

又r(Q)?n，从而Q的线性无关的特征向量的个数小于或等于n，因此Q共有n个线性无关的特征向量，再根据定理1就有矩阵Q与对角矩阵相似. 接下来介绍最小多项式在矩阵对角化中的应用.

定理8 n阶方阵Q与对角矩阵相似?矩阵Q的最小多项式mQ(?)无重根. 证明：先证必要性.

Q和对角阵相似?存在非奇异矩阵T?Pn?n，满足

??1??Q?TVT?1?T?????2????1T， ????n??

从而有T?1QmT?Vm，令?1,?2,...,?t(t?n)是方阵Q的互不相同的特征值,记 f(?)?(???1)(???2)..?.(??t) =?t?s1?t?1?...?st?1??st. 因为 T?1f(Q)T?T?1(Qt?s1Qt?1?..?.st?1Q?stE)T

?T?1QtT?s1T?1Qt?1T?...?st?1T?1QT?stT?1ET

=Vt?s1Vt?1?...?st?1V?stE?f(V).

又 f(V)?Vt?s1Vt?1?...?st?1V?stE

??1t?? ?????

t?2??s1?1t?1??????????t???n??t?1s1?2??st?????...??????t?1??s1?n??st???? ??st??12

??1t?s1?1t?1?...?sk?? ??????f(?1)?? ?????f(?2)?tt?1?2?s1?2?...?sk???? ??tt?1?n?s1?n?...?sk???????0. ?f(?n)??所以f(Q)?0，于是mQ(?)f(?)，然而f(?)无重根，故mQ(?)无重根.

再证充分性：mQ(?)的互不相同的根是?1,?2,...,?t，由mQ(?)无重根就有：

mQ(?)?(???1)(???2)...(???t?1)(???t)，于是

mQ(Q)?(?1E?Q)(?2E?Q)...(?tE?Q)?0.

令r(?iE?Q)?qi，则?i的特征子空间的维数为n?qi，因此Q总共有

(n?q1)?(n?q2)?..?.(n?qt)?s个线性无关的特征向量，且s?n. 又因为

q1?q2?...?qt?(t?1)n，故

s?(n?q1)?(n?q2)?...?(n?qt)?n.

从而s?n，也即矩阵Q有n个线性无关的特征向量，由定理1就得Q可以对角化.

13

4某些特殊矩阵的对角化

4.1 实对称矩阵的对角化问题

实对称矩阵这种矩阵很特别，在诸多方面的到运用，如常用来研究对称变换，对线性变换进行分类.而研究对称矩阵的对角化，是进行分类的初步.

引理5 ]每一个n阶复矩阵都存在一个上三角矩阵与其相似，并且上三角矩阵主对角线上的元素为复矩阵的特征值.对任意A?Cn?n，可逆矩阵T，使得

*???1???2??T?1AT??，其中?1,?2,...,?n是矩阵A的特征值. ??????n???引理6 实对称矩阵的特征值为实数.

证明：设?0实对称矩阵A的一个特征值，则存在非零向量

?x1????x????2?，

????x??n?满足 A???0?. 令

?x1????x????2?，xi称为xi的共轭复数(i?1,2,...n)，则A???0?.

????x??n?观察下面式子

??(A?)???A???(A?)???(A?)??，

上式左边等于?0???，右边等于?0???， 故

?0???=?0???,

又

????x1x1?...?xnxn?0，

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故?0??0，即?0是一个实数.

引理7 设M,N为n?n实方阵，我们有如下结论：

M,N在实数域上相似?M,N在复数域C上相似.

证明：必要性显然，下面证明充分性.

M,N在复数域上相似??n级可逆复矩阵，使得M?P?1NP.

令P?A?iD，A ,D?Rn?n，则(A?iD)M?N(A?iD)?AM?NA,DM?ND.所以对任意?属于R都有

(A??D)?N(A??D) ?? (4)

记h(x)?A??D(实数系多项式)，因为h(i)?A?iD?P?0，所以h(x)?0. 因此，A??D有有限个实数根，则存在?属于R，使得A??D?0. 由(4)式得M?(A??D)?1N(A??D), 也即M,N在实数域上相似. 定理9 ⑴n级实对称矩阵A的特称根全是实数?存在正交矩阵T，满足

T?1AT?T?AT?D，D是上三角矩阵.

⑵A正交且特征值全是实数?A是对称矩阵.

证明：先证明必要性，根据引理5有，存在可逆矩阵P，使得

*???1?????2P?1AP???. ?????n???再根据引理7，矩阵如果在复数域上相似则一定在实数域上相似，因此可以令

P?QT为实矩阵，Q乃正交矩阵，T是上三角矩阵且主对角上元素全是实数，于是

就有

*???1???2??Q?1AQ?T(P?1AP)T?1??? ?????n???由T是上三角矩阵知他的逆T?1也是上三角矩阵，再由上三角矩阵之积仍然是上三角矩阵知Q?1AQ为上三角矩阵.

再证充分性：A为n阶实矩阵，且存在正交矩阵Q使得Q?1AQ?Q?AQ为上三角矩阵，即

15

*???1?????2Q?1AQ???Q?AQ， ??????n???由此易知?1,?2,...,?n为实数且为A的特征根.

⑵由⑴容易得到Q?1AQ?Q?AQ?D为上三角矩阵(Q是正交矩阵)，又正交矩阵的积为正交矩阵，从而D为正交矩阵. 因而D??D?1，但是D?1是上三角矩阵，而D?为下三角矩阵，故D必为对角矩阵.从而A??(QDQ?)??QD?Q??QDQ??A，也即A为对称矩阵.

引理8 设?是对称变换，V1是??子空间，则V1的正交补也是??子空间. 定理10 对任意n级实对称矩阵A，存在n阶正交矩阵T，使得T?AT?T?1AT为对角矩阵.

证明定义?是与A对应的对称变换，只要证?有一组标准正交基（n个向量组成）.下面用数学归纳法进行证明.

当n?1时结论明显成立.

假设对n?1结论成立. 对n维欧氏向量空间Rn，?1为线性变换?的一个特征向量，对应的特征值是?1. 将?1单位化，并记为?1，再作?1的生成向量空间L(?1)的正交补，记为V1，由引理8有V1是对称变换?的不变子空间，他的维数为n?1，显然?限制在V1上仍然是对称变换?V1，根据假设?V1有特征向量?2,?3,...,?n做成V1的标准正交基，从而?1,...,?n使Rn的标准正交基，又是?的n个特征向量.

根据归纳假设定理得证. 例4.1 已知

?011?1???10?11??A??，

1?101?????1110???求正交矩阵T使得T?1AT为对角矩阵.

解：第一步，求矩阵A的特征值. 由

16

?1?11?1?1?1 ?E?A???11??11?1?1?0??1??11??2 ?0??10??100??1??1 1?1?1?11?1?? ??(??1)3101

011 ?(??1)3(??3) 由此有1（3重），-3为A的特征值.

第二步，求特征值1对应的特征向量. 将??1带入下式

???x1?x2?x3?x4?0,???x1??x2?x3?x4?0,??x1?x2??x （5） 3?x4?0,??x1?x2?x3??x4?0.得基础解系为

?1?(1,1,0,0)，

?2?(1,0,1,0)，

?3?(?1,0,0,1).

.

将基础解系正交化，得

?1?(1,1,0,0)，

?12?(,?122,1,0)，

?1113?(?3,3,3,1).

.

再将上式单位化，有

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?1?(11,,0,0)， 22?2?(?3?(?112,?,,0)， 6661113,,,). 12121212.

上式为属于特征值1（三重）的三个标准正交特征向量.

同理可求得特征值-3的标准正交特征向量为

?4?(1/2,?1/2,?1/2,1/2).

特征向量?1,?2,?3,?4构成R4的一组标准交基，所求正交矩阵

?,?2?,?3?,?4??， T???1此时

?1????1?T?1AT???. 1????3??? 4.2幂等矩阵

?Er定理11幂等矩阵A与对角矩阵??O?O??相似. ?O?证明：根据A2?A有，矩阵A的最小多项式mA(?)整除?2??. 因?2???0无重根，由引理5 就有mA(?)无重根，再由定理8就得矩阵A可对角化.

4.3对合矩阵

定理12对合矩阵A可对角化. 证明：A2?E?mA(?)?2?1，易知?2?1=0无重根，根据引理5得mA(?)无重

根，再根据定理8，A能够对角化.

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4.4幂幺矩阵

引理9 ?是矩阵X的任一特征根??是X的最小多项式的根. 证明：用反证法

假设?0是矩阵X的特征根而不是其最小多项式mX(?)的根，则有

(???0,mX(?))?1，

故存在多项式?(?),?(?)，使得

?(?)(???0)??(?)mX(?)?1， 将X带入上式有

?(X)(X??0E)??(X)mX(X)?E， 即有 ?(X)(X??0E)?E.

所以X??0E可逆（即X??0E?0），与?0是矩阵X的特征根矛盾. 故假设不成立，定理得证.

定理13幂幺矩阵A与对角矩阵相似.

证明：因为Am?E，所以矩阵A的最小多项式mA(?)整除?m?1（m为正整数），而?m?1无重根，根据引理9就得mA(?)无重根，再由定理8即得矩阵A与对角矩阵相似.

??1????2??m注意：幂幺矩阵A与对角矩阵?相似，其中??1(i?1,2,...,n). i??????n???4.5矩阵的逆、伴随矩阵的对角化

定理14A?Pn?n能够对角化?A?1,A*可对角化. 证明：(I)根据题设条件，存在非奇异矩阵T满足

??1??T?1AT??????2???? ???n?? 由矩阵T可逆就有?i?0(i?1,2,...,n)，从而

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??1?1??T?1A?1T??????1?2????, ???1??n?从而A?1与对角矩阵相似. (II)由A*?AA?1得

?A/?1??T?1A*T?AT?1A?1T????????? ?A/?2??A/?2?从而A*也与对角矩阵相似.

4.6某些正交矩阵的对角化 4.6.1二阶正交矩阵的对角化问题

?b11b12?设A???bb??是正交矩阵，根据正交矩阵的性质就有

?2122?22?b11?b21?1?22 ， ?b12?b22?1?bb?bb?0?11122122从而二阶正交矩阵A有两种形式

?cos?A???sin???cos? 定理15若A???sin???sin????cos???或A??sin?cos????sin???. cos????sin???，则矩阵A与对角矩阵相似. ?cos??证明：A的特征多项式为

cos????sin??? A??E?sin???cos??? ??2?2?cos??1

由A??E?0得矩阵A的特征值为?1?cos??cos2??1,?2?cos??cos2??1.

当cos2??1?0时，容易得到?1??2，故正交矩阵A有两个不同的特征值，容易

20

看出此时正交矩阵A有两个线性无关的特征向量，由定理1即有正交矩阵A可对角化.

?10???10?当cos2??1?0，即cos???1时，A?????或????，此时正交矩阵A显然

?01??0?1?与对角矩阵相似.

定理16若 A????co?ssin????sin?co?s???，那么A与对角矩阵相似. 该定理的证明与定理⑴类似，在此不做赘述.

4.6.2几类三阶正交矩阵的对角化

?b110?定理17正交矩阵A??0?0b?22b23?可对角化.

??0b32b33??证明：由A是正交矩阵可得，a11??1.

?0?当b?1011?1时，A??0cos??sin????， ?0sin?cos???1??00?E?A?0cos????sin??(1??)(?2?2?cos??1). 0sin?cos???i)当cos2??1?0时，矩阵A有三个不同的特征值，分别为

?1?cos??cos2??1，?2?cos??cos2??1，?3?1.

由定理1可得矩阵A可对角化.

ii)当cos2??1?0时，??2k?或??2k???(k?Z).

?100?若??2k?，则A???010??，显然可对角化.

??001???100?若??2k???，则A???0?10??，显然可对角化.

??00?1?? 21

0?1?0??当b11??1时，A??0cos??sin???， ?0sin?cos????1??00?E?A?0cos???sin??(?1??)(?2?1). 0sin??cos???从而A的特征值为?1??2??1（二重），?3?1，由定理5或7得A可对角化. 定理18若三阶正交矩阵A中只有三个非零元素，那么A与对角矩阵相似. A共有下面6种形式：

??b1100?0??b13??00??00b13??0b12?0b0???,?b110,0??22?00b??0023??0b0?b12?,??00b??23?,?b210?,??b210?00b33????0b320???22?b3100????b3100????0b320????00?b1100? 证明 (1)A???0b??220?显然可以对角化.

?00b33???b1100a11??00 (2)A????00b?23?，则A??E?0??a?23?(a11??)(?2?a23a32). ?0b320??0a32??当a23a32?1时，A有特征值1,?i或?1,?i，根据定理1，A可对角化. 当a23a32??1时，A有特征值-1（二重），1，根据定理7，A可对角化. 其它形式可模仿(2)进行证明.

5矩阵对角化的应用

本节主要讨论可对角化矩阵的应用问题，很多时候我们利用对角化后的矩阵会极大简便我们的计算，方便我们理解和处理比较复杂的问题.

5.1求方阵的高次幂

一般来说，求矩阵的高次幂最简单的方法便是根据矩阵乘法的定义进行傻瓜式的

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0?0??b33??

计算，像这样的计算除非进行编程用计算机进行计算，人工计算会花费大量时间，还很容易出错. 但是针对可以对角化的矩阵，我们利用矩阵相似的性质便会大大简化计算过程，而且不易出错，用这种方法进行编程计算也会方便很多. 下面先介绍这种方法的原理.

??1??????2定理19若T?1AT???，这里?i(i?1,2,...n)为A的特征值，T非奇?????n???异，则

m??1??T?1AmT??????m2???，其中m为正整数. ???m??n?这个定理是矩阵相似应用的特殊情况，一般来讲，若T?1AT?B，那么T?1AmT?Bm.其中m为正整数，B为数域上的任意矩阵.

?12?例2 求??41??.

??m?12?解：由?E???41???(??1?22)(??1?22)得

???1?1?22，?2?1?22.

容易求得他们对应的特征向量分别为

??1??1????， ?1???，?2?????2??2?故

?12???1??41????????21??1?220???1??????2?2??01?22???1??. 2???1从而

?12???1??41?????2???

m1??1?220??????2??01?22??m??1??2?1?? 2??23

?1

??1???2?1??1?220??????2??01?22??m?1???2?1??2m2??4? 1??22???=????mm1 ?1-22?1?22????2?mm2?1?22-1-22????2????????????. 22?mm1??1-22?1?22?????2?21-22-4?1?22????m???

5.2利用特征值求行列式的值

例3 已知n级实对称幂等矩阵A的秩为r，求行列式2E?A.

解：A为幂等矩阵，即A2?A，从而A的特征值为??1或0，再由A是实对称矩阵，所以A与对角矩阵相似，从而

?ErP?1AP???O?这里P可逆，r为A的秩，Er为单位矩阵. 故

O???B， ?O?2E?A?2PP?1?PBP?1?

Er2En?r?2n?r.

6总结

前面初步介绍了判定某个数域上矩阵是否对角化的一些充分必要条件和充分条件，但是判定条件也不局限于文中所给出的. 文中给出了大部分定理的证明，内容较多，需要较广的知识面才能理解；还给出一些特殊矩阵的对角化也只是涉及很少的点，其它方面需要读者根据自己研究的领域进行总结；还给出两点矩阵对角化的具体应用，仍然涉猎较少，只是起一个引导作用. 矩阵的对角化定义还能推广以及在群、域等上面的对角化判定也有所不同，希望广大读者倾注时间在这方面的研究.

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致 谢

在论文完成之际，我首先要向我的指导老师刘先平老师和詹建明老师表示最真挚的谢意. 这篇论文从选题、查阅资料到截稿，我花了三个多月. 在此期间，詹老师和刘老师给我推荐选题以及资料，不厌其烦的解答我所有的疑问，他们严谨治学和蔼可亲的态度将一直影响我.

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独创性声明

本人声明所呈交的论文（设计）是我个人在导师指导下进行的研究工作及取得的研究成果.尽我所知，除文中已经标明引用的内容外，本论文（设计）不包含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的研究成果.对本文的研究做出贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明。本人完全意识到，本声明的法律结果由本人承担.

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