2012年山东高考试题(理数,word解析版)

2012年普通高等学校招生全国统一考试（山东卷）

数学（理科）

本试卷分第I卷和第II卷两部分，共4页。满分150分。考试用时120分钟，考试结束，

务必将试卷和答题卡一并上交。

注意事项：

1.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号、县区和科类填写在答题卡上和试卷规定的位置上。

2.第I卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，答案不能答在试卷上。

3.第II卷必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，不能写在试卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带。不按以上要求作答的答案无效。

4.填空题请直接填写答案，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 参考公式： 锥体的体积公式：V=

1

3

如果事件A，B互斥，那么P（A+B）=P（A）+P(B)；如果事件A,B独立，那么P（AB）=P（A）·P

Sh，其中S是锥体的底面积，h是锥体的高。

（B）。

第I卷（共60分）

一、 选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，

只有一项是符合题目要求的。

1 若复数x满足z(2-i)=11+7i(i为虚数单位)，则z为 A 3+5i B 3-5i C -3+5i D -3-5i 解析：z

11 7i2 i

(11 7i)(2 i)

5

22 7 (14 11)i

5

3 5i.答案选A。

另解：设z a bi(a,b R)，则(a bi)(2 i) 2a b (2b a)i 11 7i 根据复数相等可知2a b 11,2b a 7，解得a 3,b 5，于是z 3 5i。 2 已知全集 ={0,1,2,3,4}，集合A={1,2,3,}，B={2,4} ，则（CuA） B为 A {1,2,4} B {2,3,4}

C {0,2,4} D {0,2,3,4}

解析：CUA {0,4},(CUA) B {0,2,4}。答案选C。

3 设a＞0 a≠1 ，则“函数f(x)= ax在R上是减函数 ”，是“函数g(x)=(2-a) x在R上是

3

增函数”的

A 充分不必要条件 B 必要不充分条件 C 充分必要条件 D 既不充分也不必要条件

3

解析：p：“函数f(x)= ax在R上是减函数 ”等价于0 a 1；q：“函数g(x)=(2-a) x在R上

是增函数”等价于2 a 0，即0 a 2,且a≠1，故p是q成立的充分不必要条件. 答案

选A。

（4）采用系统抽样方法从960人中抽取32人做问卷调查，为此将他们随机编号为1,2， ，960，分组后在第一组采用简单随机抽样的方法抽到的号码为9.抽到的32人中，编号落入区间[1,450]的人做问卷A，编号落入区间[451,750]的人做问卷B，其余的人做问卷C.则抽到的人中，做问卷B的人数为

（A）7 （B） 9 （C） 10 （D）15

解析：采用系统抽样方法从960人中抽取32人，将整体分成32组，每组30人，即l 30，第k组的号码为(k 1)30 9，令451 (k 1)30 9 750，而k z，解得16 k 25，则满足16 k 25的整数k有10个，故答案应选C。

解析：作出可行域，直线3x y 0，将直线平移至点(

2,0)31

点(,3)处有最小值，即 z 6.答案应选A。

22

（6）执行下面的程序图，如果输入a=4，那么输出的n的值为

（A）2（B）3（C）4（D）5

解析：n 0,p 0 40 1,q 2 1 3；

n 1,p 1 4 5,q 6 1 7； n 2,p 5 4

21

21,q 14 1 15，n 3,p q。

答案应选B。

(7)若 ，sin2 =，则sin =

8 42

（A）

35

（B）

45

（C）

4

（D）

34

解析：由 可得2 [, ]，

2 42

cos2 sin

2

2

18

，

sin

1 cos2

2

34

，答案应选D。

另解：由 及sin2 =可得

42 8

sin cos sin2 1

378

16 67

16

9 67 7

16

74

34

，

37 而当 时sin cos ，结合选项即可得sin ,cos .答案应选D。 42 44

（8）定义在R上的函数f（x）满足f（x+6）=f（x），当-3≤x＜-1时，f（x）=-（x+2）2，当-1≤x＜3时，f（x）=x。则f（1）+f（2）+f（3）+ +f（2012）= （A）335（B）338（C）1678（D）2012

解析：f( 3) 1,f( 2) 0,f( 1) 1,f(0) 0,f(1) 1,f(2) 2，而函数的周期为6，

f(1) f(2) f(2012) 335( 1 0 1 0 1 2) f(1) f(2) 335 3 338.

答案应选B (9)

函数

的图像大致为

解析：函数f(x)

cos6x2 2

x

x

，f( x)

cos6x2

x

2

x

f(x)为奇函数，

当x 0，且x 0时f(x) ；当x 0，且x 0时f(x) ；

x xx x

当x ，2 2 ，f(x) 0；当x ，2 2 ，f(x) 0.

答案应选D。 （10）已知椭圆C

：

的离心率为

，双曲线x²-y²＝1的渐近线与椭圆

有四个交点，以这四个交点为顶点的四边形的面积为16，则椭圆c的方程为

解析：双曲线x²-y²＝1的渐近线方程为y x，代

入

2

可得

32

42

可得a 2b，则b 5b，

x

ab

2

222

a b

2

,S 4x

2

16，则ab

22

4(a b)，又由e

22

于是b 5,a 20。椭圆方程为

2

x

2

20

y

2

5

1，答案应选D。

（11）现有16张不同的卡片，其中红色、黄色、蓝色、绿色卡片各4张，从中任取3张，要求这些卡片不能是同一种颜色，且红色卡片至多1张，不同取法的种数为 （A）232 (B)252 (C)472 (D)484

3321

解析：C16 4C4 C4C12

16 15 14

66

16 72 560 88 472,答案应选C。 12 4

12 112

220 264 12 472.

3312另解：C40C12 3C4 C4C12

12 11 10

(12)设函数f（x）=

，g（x）=ax2+bx

若y=f(x)的图像与y=g(x)图像有且仅

有两个不同的公共点A（x1,y1）,B(x2,y2),则下列判断正确的是 A.当a<0时，x1+x2<0,y1+y2>0 B. 当a<0时, x1+x2>0, y1+y2<0 C.当a>0时，x1+x2<0, y1+y2<0 D. 当a>0时，x1+x2>0, y1+y2>0 解析:令

1x ax

2

bx，则1 ax

3

设F(x) ax bx(x 0)，

2b3a

3

23

bx，F (x) 3ax

22

2bx

令F (x) 3ax2 2bx 0，则x 的公共点只需F(

2b3a

) a(

2b3a

，要使y=f(x)的图像与y=g(x)图像有且仅有两个不同

2b3a)

32

) b( 1，整理得4b 27a，于是可取

2

32

a 2,b 3来研究，当a 2,b 3时，2x 3x 1，解得x1 1,x2

3

12

2

，此时

y1 1,y2 2，此时x1 x2 0,y1 y2 0；当a 2,b 3时， 2x 3x 1，解

得x1 1,x2

12

，此时y1 1,y2 2，此时x1 x2 0,y1 y2 0.答案应选B。

1x

2

另解：令f(x) g(x)可得设y

1x

2

ax b。

,y ax b

不妨设x1

x2当a 0时如右图，此时x1 x2， 即 x1 x2 0，此时x1 x2 0，y2

1x2

1x1

y1，即y1 y2 0；同理可由图形

经过推理可得当a 0时x1 x2 0,y1 y2 0.答案应选B。 第Ⅱ卷（共90分）

二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分。 （13）若不等式解析：由

的解集为，则实数k=__________。

可得 2 kx 4 2，即2 kx 6，而1 x 3，所以k 2.

另解：由题意可知x 1,x 3是kx 4 2的两根，则

k 4 2 3k 4 2

，解得k 2.

（14）如图，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，E,F分别为线段AA1,B1C上的点，则三棱锥D1-EDF的体积为____________。

解析：VD

1

EDF

VF D1DE

13

1

12

1 1

16

.

（15）设a＞0.若曲线解析：S

与直线x＝a，y=0所围成封闭图形的面积为a，则a=______。

23

3

a

xdx x2

a0

23

3

a2 a，解得a

94

.

（16）如图，在平面直角坐标系xOy中，一单位圆的圆心的初始位置在（0,1），此时圆上一点P的位置在（0,0），圆在x轴上沿正向滚动。当圆滚动到圆心位于（2,1

）时，______________。

解析：根据题意可知圆滚动了2单位个弧长，点P旋转 了

21

2弧度，此时点P的坐标为

的坐标为

2

yP 1 sin(2 ) 1 cos2,.

2

OP (2 sin2,1 cos2)

xP 2 cos(2

) 2 sin2,

x 2 cos y 1 sin

另解1：根据题意可知滚动制圆心为（2,1）时的圆的参数方程为

，且

3

x 2 co 2) 2 sin2 3 2 PCD 2, 2，则点P的坐标为 ，即

3 2 y 1 si 2) 1 co2s2

OP (2 sin2,1 co2s).（lby lfx）

三、解答题：本大题共6小题，共74分．

（17）（本小题满分12分）

已知向量m (sinx,1),n cosx,cos2x)(A 0)，函数f(x) m n的最大

2

值 为6． （Ⅰ）求A；

（Ⅱ）将函数y f(x)的图像向左平移个单位，再将所得图像上各点的横坐标缩

短为原来的倍，纵坐标不变，得到函数y g(x)的图像，求g(x)在[0,]

224

上的值域．

（17）解：（Ⅰ）f(x) m n

sinxcosx cos2x

2

A2x cos2x)

2

Asin(2x )

因为 A 0，

由题意知 A 6．

（Ⅱ）由（I）f(x) 6sin(2x )

将y f(x)的图象向左平移个单位后得到

x( ]6sixn的图象；) y 6sin[2

再将得到图象上各点横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变，得到

2

) y 6sin(x4 的图象．

因此

g(x) 6sin(4x )，

因为

x [0,]，

所以

4x [,]，

所以

sin(4x [ ,1]，

2

所以g(x)在[0,]上的值域为[ 3,6]．

（18）（本小题满分12分）

在如图所示的几何体中，四边形ABCD是等腰梯形， AB CD, DAB 60 ,FC 平面ABCD,AE BD， CB CD CF．

（Ⅰ）求证BD 平面AED； （Ⅱ）求二面角F BD C的余弦值．

（18）（Ⅰ）证明：因为四边形ABCD为等腰梯形，AB CD， DAB 60 ， 所以 ADC BCD 120 ． 又 CB CD， 所以 CDB 30

因此 ADB 90 ，AD BD，

又 AE BD，且AE AD A，AE,AD 平面AED， 所以 BD 平面AED． （Ⅱ）解法一：

由（I）知AD BD，所以AC BC，又FC 平面ABCD，

AEF

C

B

因此 CA,CB,CF两两垂直．以C为坐标原点，分别以CA,CB,CF所在的

直

线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，不妨设CB 1，则，

C(0,0,0，)B

(0,1,0)，D(

2

, ,0)，F(0,0,1)， 2

, ,0)，BF (0, 1,1)． 因此

BD (

设平面BDF的一个法向量为m (x,y,z)，

则 m BD 0，m BF 0， 所以

x ，取z 1， 则

m (1,1)．

又平面BDC的法向量可以取为n (0,0,1)， 所以

cos m,n

|m||n|

， 所以二面角F BD

C．

解法二：

取BD的中点G，连结CG,FG，由于CB CD，

所以CG BD．

又FC 平面ABCD，BD 平面ABCD，

所以FC BD．

由于FC CG C，FC,CG 平面FCG，

所以BD 平面FCG，故BD FG． 所以 FGC为二面角F BD C的平面角．

在等腰三角形BCD中，由于 BCD 120 ， 因此CG CB，又CB CF，

2

所以CF G， 故

cos FGC

, 因此 二面角F BD

C．

（19）（本小题满分12分）

现有甲、乙两个靶，某射手向甲靶射击一次，命中的概率为，命中得1分，没有命中

4

得

0分；向乙靶射击两次，每次命中的概率为，每命中一次得2分，没有命中得0分．该

3

射手每次射击的结果相互独立．假设该射手完成以上三次射击． （Ⅰ）求该射手恰好命中一次的概率；

（Ⅱ）求该射手的总得分X的分布列及数学期望EX．

（19）解：（Ⅰ）记“该射手恰好命中一次”为事件A；“该射手设计甲靶命中”为事件B；“该射

手第一次射击乙靶命中”为事件C；“该射手第二次射击乙靶命中”为事件D．

由题意知，P(B) ，P(C) P(D) ，

43

由于A BCD BCD BCD，根据事件的独立性与互斥性得

P(A) P(BCD

BC D

BC) D

(PB)C D(

PB) CD(

PBCD )

(1 ) (1 ) (1 ) (1 ) (1 ) (1 )

433433433

36

（Ⅱ）根据题意，X的所以可能取值为0,1,2,3,4,5．

根据事件的独立性和互斥性得

) )1， P(X 0) P(BCD) (43336， ) P(X 1) P(BCD) (43312

P(X 2) P(BCD) P(BCD) (1 ) (1 ) 2 ，

4339

P(X 3) P(BCD) P(BCD) (1 ) 2

4333

P(X 4) P(BCD) (1 )

4339

P(X 5) P(BCD)

4333

故X的分布列为

所以EX 0 1 2 3 4 5 ．

3612939312

（20）（本小题满分12分）

在等差数列{an}中，a3 a4 a5 84,a9 73．

（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；

（Ⅱ）对任意m N*，将数列{an}中落入区间(9m,92m)内的项的个数记为{bn}，求数列{bn}

的前m项和Sm．

（20）解：（Ⅰ）因为{an}是一个等差数列，

所以a3 a4 a5 3a4 84，即a4 28． 所以，数列{an}的公差d

a9 a4 9， 9 45

所以，an a4 (n 4)d 28 9(n 4) 9n 8(n N*)

（Ⅱ）对m N*，若 9m an 92m，

则 9m 8 9n 92m 8，因此 9m 1 1 n 92m 1， 故得 bm 92m 1 9m（lb ylfx） 于是 Sm b1 b2 b3 ... bm

(9 93 95 ... 92m 1) (1 9 92 ... 9m 1)

9 (1 81m)m

1 811 92m 1

m 80

（21）（本小题满分13分）

在平面直角坐标系xOy中，F是抛物线C:x2 2py(p 0)的焦点，M是抛物线C上 位于第一象限内的任意一点，过M,F,O三点的圆的圆心为Q，点Q到抛物线C的准线 的距离为．

4

（Ⅰ）求抛物线C的方程；

（Ⅱ）是否存在点M，使得直线MQ与抛物线C相切于点M?若存在，求出点M的坐标；

若不存在，说明理由；

（Ⅲ）若点M

直线l:y kx 与抛物线C有两个不同的交点A,B，l

4与

圆Q有两个不同的交点D,E，求当 k 2时，|AB|2 |DE|2的最小值．

2

（21）解：

（Ⅰ）依题线段OF为圆Q的弦，由垂径定理知圆心Q的纵坐标yQ

又Q到抛物线准线y 所以x2 2y为所求.

22x0)，（Ⅱ）假设存在点M(x0)，又F(0设Q(xQ).x2 2y变形为y y' x 2224

2

x0 x0 y'|x ，因为直线MQ为抛物线的切线，故kMQ ，解得 xQx x00

24x0x0 xQ

p

， 4

pppp

的距离为yQ ，所以p 1. 22424

即Q(

x0

，). 24x04

2

x0 1x0

)，由垂径定理知FM QN， 又取FM中点N(，42

22 x0 1x0) ( 所以FM QN (x0，) 0

x0 ，所以存在

M1).

4x024

（Ⅲ）依

题Mr |OQ|

，1)，圆

心Q ，，圆Q

4

的半

径

||

， 圆心Q到直线y kx

的距离为d

4所以，|DE|2 4(r2 d2) 4 2 . 2

3232(1 k)8(1 k)

2

x 2y

x2 2kx 0， 又联立 y kx 2

4

2

2

x1 x2 2k

设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则有， .

x1x2 2

所以，|AB|2 (1 k2)[(x1 x2)2 4x1x2] (1 k2)(4k2 2). 于是，

2

|AB|2 |DE|2 (1 k2)(4k2 2) 4k4 6k2 2

2

481 k8(1 k)

( k 2)

2

记f(x) 4x2 6x 481 x

( x 4)，

4

f'(x) 8x 6 6 0，所以f(x)在[，4]上单增， 2

8(1 x)84

所以当x ，f(x)取得最小值fmin(x) f( ，

442

所以当k 时，|AB|2 |DE|2取得最小值. 22

（22）（本小题满分13分）

e 2.71828...是自然对数的底数）已知函数f(x) xk为常数，，曲线y f(x)

e

在点(1,f(1))处的切线与x轴平行．

（Ⅰ）求k的值；

（Ⅱ）求f(x)的单调区间；

（Ⅲ）设g(x) (x2 x)f'(x)，其中f'(x)是f(x)的导函数．证明：对任意x 0，

g(x) 1 e 2．

（22）解：

lnx k

（Ⅰ）f'(x) ，依题意，f'(1) 0 k 1为所求. x

ee

lnx 1

（Ⅱ）此时f'(x) (x 0)

ex

记h(x) lnx 1，h'(x) 2 0，所以h(x)在(0， )单减，又h(1) 0，

xxx

所以，当0 x 1时，h(x) 0，f'(x) 0，f(x)单增； 当 x 1时，h(x) 0，f'(x) 0，f(x)单减. 所以，增区间为（0，1）；

减区间为（1， ).

（Ⅲ）g(x) (x2 x)f'(x) x (1 xlnx x)，先研究1 xlnx x，再研究x.

ee ① 记i(x) 1 xlnx x,x 0，i'(x) lnx 2，令i'(x) 0，得x e 2， 当x (0，e 2)时，i'(x) 0，i(x)单增； 当x (e 2， )时，i'(x) 0，i(x)单减 .

所以，imax(x) i(e 2) 1 e 2，即1 xlnx x 1 e 2.

② 记j(x) x,x 0，j'(x) x 0，所以j(x)在(0, )单减，

ee

所以，j(x) j(0) 1，即x 1

e

综①、②知，g(x) x(1 xlnx x) x(1 e 2) 1 e 2.

ee

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/2fl4.html