江西省宜春中学2022届高三上学期第二次月考 数学(理)试题

2021届高三年级第二次月考数学（理科）试卷

一、单选题（每小题5分，共60分）

1．已知命题:,(0,3)P x y ?∈，6x y +<，则命题P 的否定为（ ）

A ．,(0,3),

6x y x y ?∈+≥ B ．,(0,3),6x y x y ??+≥ C ．0000,(0,3),6x y x y ??+≥ D ．0000,(0,3),6x y x y ?∈+≥

2．已知集合{}|1A x N x =∈≤，{}|B x x A =?，{}|C x x B =?，则集合C 中元素的个数为（ ）

A ．4

B ．8

C ．16

D ．20

3．已知奇函数3(0)()()(0)

x a x f x h x x ?+≥=?

A ．109

B ．109-

C ．8

D ．8-

4．已知()y f x =是定义在R 上的函数，且(4)()f x f x +=-，如果当[4,0)x ∈-时，()3x f x -=，则(985)f =（ ）

A ．27

B ．-27

C ．9

D ．-9

5．记不等式组10,10,10,x y x y y +-≤??-+≥??+≥?

的解集为D ，(),x y D ?∈，使2x y a +≥成立，则实数a 的取值范围

是（ ）

A ．(],3-∞

B ．(],5-∞-

C ．[]5,3-

D ．[)3,+∞

6．设3log 2a =，5log 3b =，23c =

，则（ ） A ．a c b << B ．a b c <<

C ．b c a <<

D ．c a b << 7．已知正实数a 、b 满足2a b +=，则

141a b ++最小值为（ ） A

． B ．4 C

． D ．3

8．已知函数()2f x +是连续的偶函数，且2x >时， ()f x 是单调函数，则满足

()124f x f x ??=- ?+??

的所有x 之积为（ ） A ．16 B ．16- C ．63- D ．63

9．已知函数()21f x ax x =-+，（0a ≠），若任意1x ，[)21x ∈+∞,且12x x ≠都有

()()

1212

1f x f x x x ->-，则实数a 的取值范围（ ） A ．[)1,+∞ B ．(]0,1 C ．[)2,+∞ D ．1

[,)2

+∞ 10．对于实数x ，符号[x]表示不超过x 的最大整数，例如[π]=3，[﹣1.08]=﹣2，定义函数f （x ）=x ﹣[x]，则下列命题中正确的是（ ）

①函数f （x ）的最大值为1；

②函数f （x ）的最小值为0； ③方程()12f x =

有无数个根； ④函数f （x ）是增函数． ⑤1143

a ≤<是函数()()g x f x ax =-恰有三个零点的充要条件 A ．②③ B ．①②③ C ．②③⑤ D ．③④⑤

11．设()f x 是定义在R 上的奇函数,且当0x ≥时,()2f x x =,若对任意的[],2x a a ∈+,不等式

()()2f x a f x +≥恒成立,则实数a 的取值范围是( )

A

．)+∞

B ．[2,)+∞

C ．(]0,2 D

．[1][2,2]-

12．已知函数2,2()25,2x ax x f x ax x ?-+≤=?->?

，若存在12,x x R ∈，且12x x ≠，使得()()12f x f x =，则实数a 的取值范围为（ ）．

A ．(,4)-∞

B ．1,4?

?-∞ ??? C ．(,3)-∞ D ．(,8)-∞

二、填空题（每小题5分，共20分）

13

．函数y =

的递增区间是______．

14．已知()()2log 1,11,12x x x f x x ?->?=???≤? ???

?，则

20212020f f ????= ? ?????

______.

15．已知函数()()3

2,1x f x a g x x =-=+，若存在[]12,0,1x x ∈，使得()()12f x g x =成立，则实数a 的取值范围是______

16．设函数()3,,x x x a f x x x a

?-≤=?->?，若()f x 无最大值，则实数a 的取值范围为______.

三、解答题（共70分）

17．（本小题10分）已知函数2

12log ()y x ax a ＝－+。

（1）若函数的定义域为R ，求a 的取值范围；

（2）若函数在区间(,2)-∞上是增函数，求实数a 的取值范围．

18．（本小题12分）函数()12f x x x =-++，()2

1g x x ax =--（a ∈R ）． （1）求()7f x ≤的解集；

（2）当[]2,1x ∈

-时，()()f x g x ≥恒成立，求a 的取值范围．

19．（本小题12分）四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为直角梯形，//BC AD ，AD DC ⊥，1BC CD ==，2AD =，PA PD =，E 为PC 的中点，F 为AD 的中点，平面PAD ⊥底面ABCD .

（1）证明：平面BEF ⊥平面PAD ；

（2）若PC 与底面ABCD 所成的角为3

π，求二面角E BF A --的余弦值.

20．（本小题12分）平面直角坐标系xOy 中，过点()2,1P 的直线l

的参数方程为2,1,x y t ?=??=-??

（t 为参数）；以原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为2

2cos 2,a a θρ=∈R .

（1）求曲线C 的普通方程；

（2）若直线l 与曲线C 相交于M 、N 两点（点P 在M 、N 之间），且2PM PN ?=，求a 的值.

21．（本小题12分）已知函数()1(0,1)x x t f x a a a a

-=+>≠是定义域为R 的奇函数. （1）求实数t 的值；

（2）若()10f >，不等式2()(4)0f x bx f x ++->在x ∈R 上恒成立，求实数b 的取值范围； （3）若()312f =

且()()2212x x h x a mf x a =+-在 [1,)+∞上的最小值为2-，求m 的值.

22．（本小题12分）某市环保部门对该市市民进行了一次垃圾分类知识的网络问卷调查，每一位市民仅有一次参加机会，通过随机抽样，得到参加问卷调查的1000人的得分（满分：100分）数据，统计结果如下表所示．

（1）已知此次问卷调查的得分Z 服从正态分布(),210N μ，μ近似为这1000人得分的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表），请利用正态分布的知识求()3679.5P Z <≤； （2）在（1）的条件下，环保部门为此次参加问卷调查的市民制定如下奖励方案.

（ⅰ）得分不低于μ的可以获赠2次随机话费，得分低于μ的可以获赠1次随机话费；

（ⅱ）每次赠送的随机话费和相应的概率如下表.

现市民甲要参加此次问卷调查，记X 为该市民参加问卷调查获赠的话费，求X 的分布列及数学期望．

14.5≈，若()2,X N μσ，则()0.6827P X μσμσ-<≤+=，

()220.9545P X μσμσ-<≤+=，()330.9973P X μσμσ-<≤+=.

2021届高三年级第二次数学（理科）月考试卷答题卡

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

13、14、15、16、

三、解答题：（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）

17、（本题满分10分）

18、（本小题满分12分）

19、（本小题满分12分）

20、（本小题满分12分）

21、（本小题满分12分）

22、（本小题12分）

2021届高三年级第二次月考数学（理科）试卷答案

D C D B A A D D A A A A

13．(),1-∞ 14．2020 15．[]1,1- 16

． a < 17． （1）22,0,4004x R x ax a a a a ?∈-+>?=-

（2） 因为函数

212log ()＝－+y x ax a

在区间(-∞上是增函数， 故只需()2f x x ax a =-+

在(-∞上单调递减，且()0f x >.

则2a ≥

20a -+≥，

解得a ≥

)

21a ≤.

故2a ??∈?? 18．（1）[]4,3-；（2）[]3,0-.

【详解】 解：（1）()12f x x x =-++，所以()21,2,3,21,21, 1.x x f x x x x --<-??=-≤≤??+>?

，

所以解不等式组2172x x --≤??<-?

或2137x -≤≤??≤?或1217x x >??+≤?，解得42x -≤<-或21x -≤≤或13x <≤， ∴()7f x ≤的解集是[]4,3-

（2）由（1）知，当21x -≤≤时，()3f x =，

由()()f x g x ≥知，231x ax ≥--．

故240x ax --≤在[]2,1-上恒成立.

令()24h x x ax =--，则()()

20,10,h h ?-≤??≤??，即4240,140,a a +-≤??--≤?

解得30a -≤≤， 故a 的取值范围为[]3,0-.

19．（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ

）【详解】 （Ⅰ）//BC DF ∴四边形BCDF 是平行四边形 //BF CD ∴. 又CD AD ⊥，BF AD ∴⊥. 又

面PAD ⊥面ABCD ，面PAD 面ABCD AD =，

BF ?面ABCD BF ∴⊥面PAD 且BF ?

面BEF ∴平面BEF ⊥平面PAD .

（Ⅱ）连结PF ，PA PD =，F 为AD 中点，PF AD ∴⊥ 又PF ?平面PAD ，平面PAD ⊥平面ABCD ，

平面PAD 平面ABCD AD =， PF ∴⊥底面ABCD ， 又BF AD ⊥，以FA ，FB ，FP 分别为x ，y ，z 轴的正方向建立空间直角坐标系，设()0,0,P t ，()1,1,0C -，取平面ABCD 的法向量()10,0,1n =，()1,1,PC t =--，()0,1,0B ， 11sin 3n PC

n PC π

?∴=?，232t =+， 6t ∴= ()

0,0,6P ∴，116,,22E ??- ? ???

设平面EBF 的法向量()2,,n x y z =，

22

1160220n FE x y z n FB y ??=-++=?∴???==?，令1z =， 6x ∴=，()26,0,1n =. 设二面角E BF A --的平面角为θ 12

127cos 7

n n n n θ?∴==? 又θ为钝角，7cos θ∴=-，即二面角E BF A --的余弦值为7-.

20．（1）222x y a -=；（2）2a =±.

【详解】 （1）由曲线C 的极坐标方程为22cos 2a θρ=

，可得22cos 2a ρθ=， 即()2222cos sin a ρθθ-=，即22222cos sin a ρθρθ-=，

又因为cos x ρθ=，sin y ρθ=，代入可得222x y a -=，

所以曲线C 的普通方程为222x y a -=.

（2）设点M 、N 对应的参数分别为1t 、2t ，

将直线l

的参数方程2212x t t

y ?=+????=+??

代入222x y a -=，

整理得()()2221230t t a ++-=，

可得()()2221830a ???=-->??，()

21223t t a ?=-， 由参数t 的几何意义知1212PM PN t t t t ?=?=?，可得122t t ?=， 因为点P 在M 、N 之间，所以120t t ?<，

所以122t t ?=-，即()

2232a -=-，解得24a =（满足>0?）， 所以2a =±.

21．（1）2t =（2）(3,5)-（3）2m =

【详解】 （1）因为()f x 是定义域为R 的奇函数，所以()00f =， 所以()110t +-=，所以2t =， （2）由（1）知：()1(0,1)x x

f x a a a a =->≠， 因为()10f >，所以10a a -

>，又0a >且1a ≠，所以1a >， 所以()1x x

f x a a =-是R 上的单调递增，又()f x 是定义域为R 的奇函数， 所以()

()()()2224044f x bx f x f x bx f x x bx x ++->?+>-?+>- 即240x bx x +-+>在x ∈R 上恒成立， 所以()21160b ?=--<，即35b -<<，

所以实数b 的取值范围为()3,5-. （3）因为()312f =，所以132a a -=，解得2a =或12

a =-（舍去）， 所以()222111122222222222x x x x x x x x h x m m ??????=+--=---+ ? ? ??????

?，

令()122

x x u f x ==-，则()222g u u mu =-+， 因为()122x x f x =-在R 上为增函数，且1x ≥，所以()312

u f ≥=， 因为()()221222

x x h x mf x =+-在[)1,+∞上的最小值为2-， 所以()222g u u mu =-+在3

,2??+∞????上的最小值为2-，

因为()()222222g u u mu u m m =-+=-+-的对称轴为u m = 所以当32

m ≥时， ()()2min 22g u g m m ==-=-，解得2m =或2m =-（舍去）， 当32m <时， ()min 3173224g u g m ??==-=- ???，解得253122m =>， 综上可知：2m =.

22．（1）0.8186；（2）见解析.

【详解】 （1）由题意可得

352545150552006525075225851009550651000

μ?+?+?+?+?+?+?==，

易知14.5σ=

≈，36652965214.52μσ∴=-=-?=-， 79.56514.5μσ=+=+，

()()()()3679.522P Z P Z P Z P Z μσμσμσμμμσ∴<≤=-<≤+=-<≤+<≤+()()0.95450.6827022.818622

P X P X μσμσμσμσ+===-<≤++-<≤+； （2）根据题意，可得出随机变量X 的可能取值有20、40、60、80元，

()13320248P X ==?=，()1113313402424432

P X ==?+??=， ()113360224416P X ==???=，()11118024432

P X ==??=. 所以，随机变量X 的分布列如下表所示：

所以，随机变量X 的数学期望为31331752040608083216322

EX =?+?+?+?=.

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