第二十三章 量子力学初步
更新时间:2023-08-24 01:21:01 阅读量: 教育文库 文档下载
量子力学初步
本章内容波函数及其统计解释
Contents
chapter 23
wave function and its statistical explanation 薛定谔方程 Schrodinger equation 隧道效应 tunnel effect 不确定关系 uncertainty relation
第一节23-1wave function and its statistical explanation
引言量子力学是描述微观粒子运动规律 的学科。它是现代物理学的理论支柱 之一,被广泛地应用于化学、生物学、 电子学及高新技术等许多领域。本章主要介绍量子力学的基本概念及 原理,并通过几个具体事例的讨论来说 明量子力学处理问题的一般方法。
波函数波函数是描述具有波粒二象性的微观客体的量子状态的函数,知道 了某微观客体的波函数后,原则上可得到该微观客体的全部知识。
下面从量子力学的基本观点出发,建立自由粒子的波函数。 回顾:德布罗意关于物质的波粒二象性假设 质量为 速度为 的自由粒子
一方面可用 能量另一方面可用 频率
和 动量和 波长
来描述它的粒子性来描述它的波动性
在波动学中,描述波动过程的数学函数都是空间、时间二元函数一列沿 X 轴正向传播的平面单色简谐波的波动方程
自由粒子波函数
在量子力学中用复数表达式:
应用欧拉公式
沿 X方向匀 的自由粒子的波函数为 速直线运动
取实部 应用德布罗意公式 即即
沿 方向匀 的自由粒子的波函数为 速直线运动
即
在波动学中,描述波动过程的数学函数都是空间、时间二元函数 自由粒子的一列沿 X 轴正向传播的平面单色简谐波的波动方程
续上
波函数
在量子力学中用复数表达式:
应用欧拉公式 自由粒子的能量和动量为常量,其波函数所描述的德布 罗意波是平面波。
取实部 沿 对于处在外场作用下运动的非自由粒子,其能量和动量 X方向匀 的自由粒子的波函数为 应用德布罗意公式 速直线运动 即
不是常量,其波函数所描述的德布罗意波就不是平面波。 外场不同,粒子的运动状态及描述运动状态的波函数也 不相同。即
沿 方向匀 的自由粒子的波函数为 微观客体的运动状态可用波函数来描述,这是 速直线运动 即
量子力学的一个基本假设。
概率密度设描述粒子运动状态的波函数 为 ,则 空间某处波的强度与在该处 发现粒子的概率成正比; 在该处单位体积内发现粒子 的概率(概率密度) 与 的模的平方成正比。取比例系数为1,即
是
的共轭复数 1926 年提出了对 波函数的统计解释
德布罗意波又称 概率波波函数又称 概率幅
因概率密度 故在 矢端的体积元
波函数归一化内
发现粒子的概率为
在波函数存在的全部空间 V 中必 能找到粒子,即在全部空间 V 中 粒 子出现的概率为1。
此条
件称为 波函数的归一化条件 满足归一化条件的波函数称为 归一化波函数
波函数具有统计意义,其函数性质应具备三个标准条件:
概率波与经典波 德布罗意波(概率波)不同于 经典波(如机械波、电磁波)经 典 波
德布罗意波不代表任何物理量的传播 波强(振幅的平方)代表粒 子在某处出现的概率密度 概率密度分布取决于空间 各点波强的比例,并非取 决于波强的绝对值。因此,将波函数在空间各点的 振幅同时增大 C倍,不影响粒子 的概率密度分布,即 和C 所 描述德布罗意波的状态相同。
是振动状态的传播波强(振幅的平方)代表 通过某点的能流密度 能流密度分布取决于空 间各点的波强的绝对值。因此,将波函数在空间 各点的振幅同时增大 C倍, 则个处的能流密度增大 C 倍,变为另一种能流密度 分布状态。
波动方程无归一化问题。
波函数存在归一化问题。
波函数标准条件 波函数的三个标准条件:连续 单值 有限因概率不会在某处发生突变,故波函数必 须处处连续; 因任一体积元内出现的概率只有一种,故 波函数一定是单值的;
因概率不可能为无限大,故波函数必须是 有限的;
以一维波函数为例,在下述四种函数曲线中,只有一种符合标准条件
符合
不符合
不符合
不符合
某粒子的 波函数为归一化波函数 令
算例概率密度 求得
概率密度最大的位置
令积分得:
求极大值的 x 坐标
解得
处处题设
最大
另外两个解得到归一化波函数:
概率密度
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第二节23-2Schrodinger equation
薛定谔方程引言经典力学 量子力学
不考虑物质的波粒二象性 经典质点有运动轨道概念
针对物质的波粒二象性 微观粒子无运动轨道概念
是否存在一个
牛顿力学方程根据初始条件可求出经典质点的
量子力学方程根据某种条件可求出微观粒子的
运动状态
运动状态
波函数
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