凸透镜成像绕光轴旋转180度

特殊解题方法

一、等效概念的应用

例1、一对火线和零线从一堵正方形墙上走过，墙的正中央开了一扇正方形木窗（如图1）。火线在A处和零线在B处发生漏电，如果测得流过下边墙上的电流约200ｍA，那么总的漏电电流约为________________ｍA。 解：漏电电流的大小是由A、B间的漏电电阻决定的，其电阻值可看做是自A经窗户上沿的墙至B的漏电电阻R与自A经窗户的左墙到下墙，再经右墙至B处的漏电电阻R下的并联值，即

R漏＝（R上·R下/R上＋R下）＝（R·3R/R＋3R）＝（3/4）R。

由分流公式I下＝（R上/R上＋R下）I总＝（I总/4），得总漏电电流为I总＝800ｍA。

例2、正方形薄片电阻片如图2所示接在电路中，电路中电流为I；若在该电阻片正中挖去一小正方形，挖去的正方形边长为原电阻片边长的三分之一，然后将带有正方形小孔的电阻片接在同一电源上，保持电阻片两端电压不变，电路中的电流I′变为________________。

解：由于薄片两边嵌金属片，将正方形薄片的电阻可等效为图3所示。设每小块的电阻为R，则薄片总电阻是3个3R电阻的并联值，其值也是R。现从中挖出一块，此时薄片等效电阻如图4所示。显然其阻值是（7R/6），故I′＝U/（7R/6）＝（6/7）I。

上

图3 图4

例3、三个相同的金属圆环两两正交地连接成如图5所示形状。若每个四分之一圆周金属丝电阻为R时，测得A、B间电阻为RAB。今将A、B间一段金属丝改换成另一个电阻为R/2的一段四分之一圆周的金属丝，并在A、B间加上恒定电压U，试求消耗的总功率?

解：用常规的混联电路计算模式去解答，显然不易凑效。由等效电阻的概念，可设去掉A、B间一段四分之一圆周的金属丝后剩余部分电阻为Rx，则RAB可等效为Rx与R的并联值。即

RAB＝R·Rx/（R＋Rx）， Rx＝RRAB/（R－RAB）。

现将R′＝（R/2）电阻丝并在A、B端，从A、B端看进去，此时电阻为 R总＝RxR′/（Rx＋R′）＝RRAB/（R＋RAB）， 电流所消耗的功率为

P＝（U/R总）＝U（R＋RAB）/（R·RAB）。

例4、某电路有8个节点，每两个节点之间都连有一个阻值为2Ω的电阻，在此电路的任意两个节点之间加上10Ｖ电压，求电路各支路的电流及电流所消耗的总功率。（要求画出电路图）

解：电路有8个节点且每两个节点间又以相同阻值的电阻相互连接，故电路中的支路多，电路显得复杂。所以该题的第一个考点是画出电路图。据题意可知对每个节点，它们与外电路连接的结构方式相同，若把这8个节点等分放置在具有轴对称的圆周上，然后把圆上的每一分点依次同其余7个分点相连，得电路结构图如图6（A）所示。由题意知电源是加在任意两节点间，设电源加在点A、B即图6（A）中的1、2两点间。这时余下的6个节点与A、B端连接的结构方式完全相同，故此6个节点对电源两端的电势相等，我们知道等电势点间无电流流通，这样可把等电势点间相接的2Ω电阻都去掉，最后可得等效电路如图6（b）所示。

因为：1/RAB＝1/R12＋（1/2R）×6＝（4/R）。 则：RAB＝0．5Ω。

流经R12的电流为（UAB/R12）＝5A， 流经其余6个节点电流均为（UAB/2R）＝2．5A。

电路消耗总功率为  P＝（U/RAB）＝200Ｗ。

二、对称性概念的应用

对称性分析在电路中有重要应用，在光学考题，特别是关于镜面成像，更要注意它的应用。

例5、如图7（A）所示，两面竖直放置的平面镜互成直角，一只没有数字的钟为3点整，在A处的人向O点看（）

A．看见九点的钟； B．看见三点的钟；

C．能看见钟，但指针位置不正常； D．根本看不见钟。

解：平面镜成像，规律是物、像左右对称；如图7（b）所示，S1是钟表S关于镜M1所成的像，像是9点整的钟表；现S1处在M2镜前，所以S1在M2镜后还要继续成像为S2，在A处的人向O点看，看到的是3点整的钟表。 例6、一光学系统如图8（A）所示，A为物平面，垂直光轴，L为凸透镜，M为与光轴成45°角的平面镜。像平面P垂直于经平面镜反射后的轴。图8（b）为同一光学系统的实物图。设物为A面上的一个“上”字，在像平面P上能得到物体的清晰像，试在图8（b）中的像平面P上画出像的形状。

2

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解：凸透镜成像，其规律是像是绕光轴旋转180°的倒立实像。如图8（c）所示，假设无平面反射镜M，像平面应放在P′处，像平面P′上的像相对物恰好以光轴旋转180°。现在像方空间增加平面镜，光轴被弯折90°成像在P平面，依对称性P′上的假想像与P上实际像应关于镜面M对称（把P′与P平面上的像逆着光轴推移到M处，两像应完全重合），最后的成像如图8（c）像平面P上像的形状。

用作图来处理例6题，显然是不方便的，注意成像的对称性原则，思路就十分清晰和明朗。

例7、平面镜M、N互成φ角放在水平桌面上，它们均与桌面垂直。如图9所示，放在两镜面前的点光源S（图中未标出），随着它位置的变化，既可能在M、N两镜中共成3个像，也可能在两镜中仅成2个像。求：

图9

（1）M、N之间夹角φ至少多大?

（2）在图中画出并标明仅能成2个像和仅可成3个像的区域，说明仅可成2个像区域的形状及范围。 解：由例5题分析可知：若处在两镜间光点对一镜所成的像点是处在另一镜的前面，则该像点对另一镜还可继续成像，直至最后的像点落在两镜的镜面之后，成像才终止。考虑到对称性，对两镜以其交点O为圆心作一圆周，如图10所示。若两镜的夹角φ恰为120°，光点S又恰在角平分线上，S对M镜的像点N′恰落在N镜的反向延长线上；S对N镜的像点M′恰落在M镜的反向延长线上。这种情况S对两镜只能成两个像；若光点不在角平分线上，而是在其它区域，则可成3个像。如图10所示，S1是光点S关于M镜所成的像，S2是光点S关于N镜所成的像，S３是像点S2关于M镜所成的像。若两镜的夹角φ大于120°，光点S对M镜成像的像点如果恰落在N镜的反向延长线上的N′点，则光点S应放在图11中的N″点处。类似前面分析知：当光点处于∠MON″的区域以内时，它可在两镜面成3个像，同理光点处于∠NOM″的区域以内时也成3个像。当光点在∠N″OM″区域内时只能成两个像。如图11所示，当光点S放在Ⅰ、Ⅲ区域对两镜成3个像；放在Ⅱ区域时成2个像。

在图11中，∠N′OM＝180°－φ＝∠MON″＝∠NOM″＝θ，故区域Ⅱ的范围为∠M″ON″＝180°－3θ＝3φ－360°。

三、极值概念的应用

如何运用数学原理处理物理极值问题，这是考题每年都会涉及的问题。将其类型可归纳为：二次函数的极值型；用一元二次方程根的判别式而求解的极值型；求解矢量三角形最短边的极值型；由三角函数而求解的极值型， 1．用二次函数求解的极值型

例8、如图12所示，电路中电源电压为9Ｖ，R０＝0．2Ω，R1＝2Ω，R2＝3Ω，总电阻R′＝5Ω。当滑动触头P由a端滑向b端时，电流表的变化范围是多少?

解：设RPA＝Rx，则RPb＝R′－Rx，对电源而言，电路总电阻为 R总＝R０＋（R1＋Rx）（R2＋R′－Rx）/（R1＋R2＋R′）， 代入数值，得：R总＝－0．1Rx＋0．6Rx＋1．8。

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由二次函数极值条件（y=ax＋bx+c,当x=-（b/2A）时，y极值＝（4ac-b）/4a，即

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Rx=－0．6/（2×（－0．1））Ω＝3Ω，

有R总极大＝（4×（－0．1）×1．8－0．6/4×（－0．1））Ω＝2．7Ω，

2

电流有极小值I极小＝（U/R总极大）＝3．3A。

当P滑至a端，Rx=0，此时R总有最小值1．8Ω，故：I最大＝（U/R总最小）＝5A。 P滑至b端时，有Rx＝5Ω，R总＝2．3A，I＝3．9A。

P在整个滑动过程中，电流表示数由5A减小到3．3A，然后又增至3．9A，其变化范围为3．3～5A。

2．用一元二次方程根的判别式求解的极值型

例9、如图13所示装置，O为杠杆OA的支点，在离O点L0处挂着一个质量为M的物体。每单位长度杠杆的质量为m，当杠杆的长度为________时，可以用最小的力F维持杠杆平衡。 解：设杆长为L，由力矩平衡方程，得

例10、在如图14所示的分压电路中，电压U恒定不变，滑动变阻器的总阻值R＝100Ω。要求滑动触头P在上下移动的过程中，负载RL上电压UL始终不低于空载（即不接RL）时输出电压的90%，那么RL的最小值应是________Ω。 解设P滑至某一位置时，滑动变阻器R的下端电阻为Rx，则其上端电阻为100－Rx，若UL能满足要求，应有

为保证Rx在实数范围有解，其根判别式满足Δ≥0， 即 Δ＝90－36RL≥0，

2

得 RL≥225Ω， 取最小值为 RL＝225Ω。

（1）平行四边形法则与矢量三角形的应用

（2）在力、相对运动、追击一类问题的考题中，常涉及如何利用矢量的边角关系求解最短边的极值问题。

3．求解矢量三角形中最短边的极值问题

例11、如图15（a）所示，某人站在离公路垂直距离为60ｍ的A处，发现公

路上有一辆汽车由B点以10ｍ/s的速度沿公路匀速前进，B点与人相距100m，那么此人至少以______________速度奔跑，才能与汽车相遇。

解：车对地速度大小、方向确定，人对车的速度其方向确定（人始终是追随汽车而奔跑），而大小可变。由相对运动速度公式：v人对地＝v人对车＋v车对地，画速度矢量三角形，如图15（b）所示。由图中看出，从人与车的相遇点D′向人对车的速度方向所引线段长度D′A′（即v人对地的速度大小），仅当D′A′⊥A′B′时，值最小。结合图15（a）、（b）所示，由△ABD∽△D′B′A′，得 v人对地/v车对地＝AD/AB＝60/100。 即 v人对地＝6ｍ/s。

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