2010-2011南昌市调研试题数学理科

2010—2011学年度南昌市高三年级调研测试卷

数 学 (理科)

本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分．第I卷1至2页，第II卷3至4页，共150分． 第I卷

考生注意： 1．答题前，考生务必将自己的准考证号、姓名填写在答题卡上．考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的―准考证号、姓名、考试科目‖与考生本人准考证号、姓名是否一致． 2．第I卷每小题选出答案后，用2Ｂ铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．第II卷用黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答．若在试题卷上作答，答案无效． 3．考试结束，监考员将试题卷、答题卡一并收回． 参考公式：

如果事件A，B互斥，那么

球的表面积公式 S?4πR

其中R表示球的半径 球的体积公式

2P(A?B)?P(A)?P(B)

如果事件A，B相互独立，那么

P(A?B)?P(A)?P(B)

如果事件A在一次试验中发生的概率是P， 那么n次独立重复试验中恰好发生k次的概率

V?

43πR3学科网yjw

其中R表示球的半径

kkn?kPn(k)?Cnp(1?p)一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1．已知集合A?{x|y?lnx}，集合B?{?2,?1,1,2}，则A?B? A．(1,2) B．{1,2} C．{?1,?2} D．(0,??)

5i2．已知复数z的实部为?1，虚部为2，则z=

A．2?i B．2?i C．?2?i D．?2?i

2f(x)?x?ax(a?R) ，则下列结论正确的是 3．若函数

fxfxA．存在a∈R，??是偶函数 B．存在a∈R， ??是奇函数

fxC．对于任意的a∈R，??在(0,＋∞)上是增函数 fxD．对于任意的a∈R，??在(0,＋∞)上是减函数

4．如图所示，一个空间几何体的主视图和左视图都是 边长为1的正方形，俯视图是一个直径为1的圆， 那么这个几何体的体积为

3????A．2 B．2 C．3 D．4

S3S2??1{an}Sn{a}n325．已知数列的前项和为，且满足，，则数列n的公差是

1A．2

B．1

C．2

D．3

6．若下框图所给的程序运行结果为S=20，那么判断框中应填入的关于k的条件是

A．k?9 B．k?8 C．k?8 D．k?8 ]

ππx?3是7．已知函数y?Asin(?x??)?m的最大值为4,最小值为0,最小正周期为2，直线

其图象的一条对称轴，则符合条件的函数解析式是

π?π???y?2sin?2x???2y?4sin?4x??3?6? B.??A. π?π???y?2sin?4x???2y?2sin?4x???23?6???C. D.

?x2,x?[0,1]e2?f(x)??12?,x?[1,e]?x8．设（其中e为自然对数的底数），则0?f(x)dx的值为

4578A．3 B．3 C．3 D．3

x2y2??1(a?0)229．设圆C的圆心在双曲线a的右焦点上，且与此双曲线的渐近线相切，若

圆C被直线l:x?3y?0截得的弦长等于2，则a?

A．14 B．6 C．2 D．2

10．如图，在透明塑料制成的长方体ABCD—A1B1C1D1容器内灌进一些水，将容器底面一

边BC固定于地面上，再将容器倾斜，随着倾斜度的不同，有下列四个说法： ①水的部分始终呈棱柱状；

②水面四边形EFGH的面积不改变； ③棱A1D1始终与水面EFGH平行； ④当

E?AA1时，AE?BF是定值.

其中正确说法是

A． ①②③ B．①③ C．①②③④ D．①③④

二．填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填写在题中横线上．

11．函数f(x)=

x2?9log2(x?1)的定义域为_________.

?x?1??y?0??????????x?y?4M(3,2)N(x,y)12．已知O为坐标原点，点，若满足不等式组?，则OM?ON 的

最大值为__________. 13.直三棱柱

ABC?A1B1C1的各顶点都在同一球面上，若AB?AC?1,AA1?2,?BAC?120?，则

此球的表面积等于 。

14．已知下面数列和递推关系：①数列{an}(an = n)有递推关系a n+2= 2an+1–an； ②数列③数列

{an}(bn?n2)有递推关系：有递推关系：

bn?3?3bn?2?3bn?1?bn;

{cn}(cn?n3)cn?4?4cn?3?6cn?2?4cn?1?cn;请猜测出数列

{dn}(dn?n5}的一个类似的递推关系：___________________________.

15.（在给出的二个题中，任选一题作答. 若多选做，则按所做的第①题给分）

①已知圆的极坐标方程为??2cos?,则该圆的圆心到直线?sin??2?cos??1的距离为____________.

4|x?2|?|x?3?|a?a 对任意的实数x恒成立,则实数a的取值范围是②若不等式

____________________.

三．解答题：本大题共6小题，共75分。其中(16)～(19)每小题12分,(20)题13分,(21)题14

分.解答应写出文字说明，正明过程和演算步骤. 16．（本小题满分12分）

2f(x)?3sin2x?2cosx?3 已知函数

x?(0,)2时，求函数f(x)的值域； （1）当

f(x)?（2）若

?28?5??x?(,)sin(4x?)5，且612，求3的值．

17．（本小题满分12分）

?D??C?在直角梯形PBCD中，

?2,BC?CD?2,PD?4，A为PD的中点，如下左图。

将?PAB沿AB折到?SAB的位置，使SB?BC，点E在SD上，且右图。

（1）求证：SA?平面ABCD；

SE?1SD3，如下

（2）求二面角E—AC—D的正切值．

18. （本小题满分12分）

某学校要建造一个面积为10000平方米的运动场.如

图，运动场是由一个矩形ABCD和分别以AD、BC为直 径的两个半圆组成.跑道是一条宽8米的塑胶跑道，运动 场除跑道外，其他地方均铺设草皮.已知塑胶跑道每平方 米造价为150元，草皮每平方米造价为30元

(1)设半圆的半径OA=r (米),试建立塑胶跑道面积S与r的函数关系S(r) ； (2)由于条件限制r?[30,40],问当r取何值时,运动场造价最低?（?取3.14）

19.（本小题满分12分） 设函数行.

（1）求b的值；

f?x??ax3?3ax,g(x)?bx2?lnx(a,b?R)，已知它们在x?1处的切线互相平

?f(x),x?0F(x)??F?x??a2g(x),x?0?（2）若函数，且方程有且仅有四个解，求实数a的取值范围.

20.（本小题满分13分）

x2y2?2?1(a?b?0)2F,Mb从椭圆a上一点P向x轴作垂线，垂足恰好为椭圆的左焦点1?????????椭圆的右顶点，N是椭圆的上顶点，且MN??OP(??0).

(1)求该椭圆的离心率； (2)若过右焦点为

是

F2且不与坐标轴垂直的直线l交椭圆C于A、B两点，点A关于x轴的对称点与x轴交于点R(4,0)，求椭圆C的方程.

A1，直线

A1B

21.（本小题满分14分）

22an?2an?anan?1a?a4?2a3?4?an??1已知各项均为正数的数列满足, 且2,其中

n?N?.

(1)求数列

?an?的通项公式;

{bn}bn?满足

(2)设数列

nan(2n?1)?2n,是否存在正整数m,n(1?m?n)，使得b1,bm,bn成

等比数列？若存在，求出所有的m,n的值；若不存在，请说明理由.

ncn?1?an,记数列{cn}的前n项积为Tn,其中n?N?,试比较Tn与9的大小,并加以证

(3) 令

明.

2010—2011学年度南昌市高三年级调研测试卷

数学(理科)参考答案及评分标准

一、选择题（本大题共10题，每小题5分，共50分） 题号 答案 1 B 2 A 3 A 4 D 5 C 6 D 7 D 8 C 9 C 10 D 13．8?

二、填空题：（本大题共5题，每小题5，共25分） 11．[3,+∞] 14．

12．12

123456dn?6?C6dn?5?C6dn?4?C6dn?3?C6dn?2?C6dn?1?C6dn515.①5 ②{a|a?0或1?a?4}

三、解答题：（本大题共6小题，共75分）

?f(x)?3sin2x?2cos2x?3?3sin2x?cos2x?4?2sin(2x?)?4.616.解：（1）由已知…2分

???7??1x?(0,)2x??(,),sin(2x?)?(?,1]2时，66662 ……………………4分 当

故函数f(x)的值域是（3，6] ………………………………………………………6分

f(x)? （2）由

28?28?42sin(2x?)?4?sin(2x?)?5，得65，即65……………8分

?5??3x?(,cos(2x?)??612）65………………………………………10分 因为，所以

???24sin(4x?)?2sin(2x?)cos(2x?)??36625 ……………………………12分 故

BA?PD,ABCD为正方形，所以在图中，SA?AB,SA?2，

四边形ABCD是边长为2的正方形，[来源:Zxxk.Com] 因为SB?BC，AB?BC，

所以BC?平面SAB，……………………………………3分 又SA?平面SAB，所以BC?SA，又SA?AB，

17.（1）证明：在图中，由题意可知，

所以SA?平面ABCD， …………………………………6分

AO?（2）解法一： 在AD上取一点O，使

1AD3，连接EO。

SE?

因为

1SD3，所以EO//SA…………………………7分

所以EO?平面ABCD，过O作OH?AC交AC于H，连接EH， 则AC?平面EOH，所以AC?EH。

所以?EHO为二面角E—AC—D的平面角，…………………………………9分

EO?

22224?HAO?45?,HO?AO?sin45????.SA?.323…11分[来33在Rt?AHO中，

EO?22OH，即二面角E—AC—D的正切值为22.……………12分

源:Z_xx_k.Com]

tan?EHO?

解法二：如图，以A为原点建立直角坐标系，

24A(0,0,0),B(2,0,0),C(2,2,0),D(0,2,0),S(0,0,2),E(0,,)33…………………7分

易知平面ACD的法向为AS?(0,0,2)

设平面EAC的法向量为n?(x,y,z)[来源:学§科§网Z§X§X§K]

24AC?(2,2,0),AE?(0,,)33……………………9分

??n?AC?0?x?y?0???n?AE?0y?2z?0?由，所以?，可取

?x?2??y??2?z?1?

所以n?(2,?2,1). ……………………………………………………………………11分

cos?n,AS??所以

n?AS|n||AS|?21?2?33

所以tan?n,AS??22,即二面角E—AC—D的正切值为22.…………………12分 18．解: (1)塑胶跑道面积

10000??r280000S??[r?(r?8)]?8??2??8?r?64?2rr-…………………4分

22∵?r?10000 ∴(2)

设

运

20?r?100? ……………………………………………………6分

动场的造价为

y元

y?150?(8000080000?8?r?64?)?30?(10000??8?r?64?)rr

80000?8?r)?7680?r …………………………………………8分

?300000?120?(f(r)?令

8000080000?8?rf'(r)?8??rr2当r??30,40?时f'(r)?0 ∵

?300000?120?(80000?8?r)?7680?r在[30,40]上为减函数. ……10分

.

∴函数y∴当r?40时,

ymin?636460.8即运动场的造价最低为636460.8元. ………………………………………………12分 19．解：（1）

f'?x??3ax?3a?f'?1??02，

g'?x??2bx?1?g'?1??2b?1x，…2分 依题意：2b?1?0，所以

b?12；……………………………………………………4分 11?0x??1,???g'?x??x??0xx，时，，………5分 （2）

x??0,1?时，

g'?x??x?所以当x?1时，当a?0时，方程当a?0时，

g?x?取极小值

g?1??12；………………………………………6分 F?x??a2y不可能有四个解；………7分

x????,?1?f'?x??0f?x?时，

f'?x??0，[来源:Z_xx_k.Com]

?112x???1,0?时，[来源:Z#xx#k.Com]

Of?0??0，

2a1x所以x??1时，所以

取得极小值

f'??1?=2a，又

F?x?的图像如下：

从图像可以看出当a?0时，

F?x??a2不可能有四个解。…………10分

x????,?1?f?x?时，

f'?x??0f'??1?，

x???1,0?时

f'?x??0，

， 所以x??1时，所以

取得极小值

=2a，又

f?0??0F?x?y2a12的图像如下：

212?a?2aF?x??a2从图像看出方程有四个解，则， 2,2)a2所以实数的取值范围是。………………12分

(20.（本小题满分13分）

?1O1xb2y?a， 解：（1）令x??c，得

b2(?c,)a，………………………2分 所以点P的坐标为

b2?????????a?bMN??OP???0?a， ……………………………………………4分 由得到：ce?22………………………………………………5分

所以b?c,a?2c，即离心率

22x2y2?2?12x?my?cm?0??c（2）设直线l的方程为：，与椭圆方程2c

?m联立得到：

记

，

2y2?2mcy?c2??2y2?2c2，

?m即：

2?2?y2?2mcy?c2?0…6分

A（x1,y1）B（x2,y2）?2mc?c2y1?y2?2,y1y2?2m?2m?2……………………………………………………7分 则

由A关于x轴的对称点为

A1，得

A1(x1,?y1)，

y?y1x?x1?ABy?y1x2?x1，过点R?4,0?得到：

则直线1的方程是：2

y1?my2?my1??4?y2?y1???my1?c??y2?y1?即：

…………………………………9分

2my1y2??4?c??y1?y2?

?2mc2?2mc?4?c??2m2?2……………………………………………………11分 所以：m?2得到：c?4?c，所以：c?2,……………………………………………………12分

x2y2??14所以所求椭圆方程为：8…………………………………………………13分

21.解:(1)因为又

22an?2a?1n?anan?1,即

(an?1?an)(2an?an?1)?0………1分

an?0,所以有

2an?an?1?0,所以

2an?an?1

所以数列由

?an?是公比为2的等比数列…………………………………………………2分

得

a2?a4?2a3?42a1?8a1?8a1?4,解得a1?2

?2n(n?N?)…………………………………………4分

?a?a故数列n的通项公式为nbn?(2)

nan(2n?1)?2n1mnnb1?,bm?,bn?32m?12n?1， =2n?1，所以

若

b1,bm,bn(成等比数列，则

m21n)?()2m?132n?1，

m2n?2即4m?4m?16n?3．…………………………………………………………5分 m2n3?2m2?4m?1??22m2由4m?4m?16n?3，可得n，所以?2m?4m?1?0，…7分

1?从而

66?m?1?22，又m?N*，且m?1，所以m?2，

此时n?12．故当且仅当m?2，n?12.使得(3) 构造函数f(x)?ln(1?x)?x(x?0)

b1,bm,bn成等比数列………………8分

f'(x)?则

1?x?1?1?x1?x，…………………………………………………………9分

'fx?0当时，(x)?0，即f(x)在(0,??)上单调递减，

所以f(x)?f(0)?0?ln(1?x)?x?0，…………………………………………10分

?n?n?n?123nlncn?ln?1???ln?1?n??nlnT???????2?2，所以n22223?an?2n，…11分 所以

记

An?123n?2?3???n2222，

1123n?1nAn?2?3?4???n?n22222，…………………………………………12分 则2An?11111nn?2An??2?3???n?n?1?1?n?1?12222222…………………13分

lnTn?2，所以

所以：即

An?2，所以

Tn?e2?9………………………………………14分

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