有理数混合运算的方法技巧

有理数混合运算的方法技巧

一、有理数混合运算的原则

有理数的混合运算的关键是运算的顺序，为此，必须进一步对加，减，乘，除，乘方运算法则和性质的理解与强化，熟练掌握，始终遵循四个方面：一是运算法则，二是运算律，三是运算顺序，四是近似计算，为了提高运算速度，要灵活运用运算律，还要能创造条件利用运算律，如拆数，移动小数点等，对于复杂的有理数运算，要善于观察，分析，类比与联想，从中找出规律，再运用运算律进行计算. 二、理解运算顺序

有理数混合运算的运算顺序：

①从高级到低级：先算乘方，再算乘除，最后算加减；

有理数的混合运算涉及多种运算，确定合理的运算顺序是正确解题的关键

例1：

3＋50÷2×(

2

1?5)－1

解：原式=3＋50÷4×(?1)－1············(先算5乘方)

?1?=3?50?1··············(化除为乘) ??????1·4??5?=

1

11513?50???1?3??1??··(先定4522·

符号，再算绝对值)

②从内向外：如果有括号，就先算小括号里的，再算中括号里的，最后算大括号里的.

例

2

：

计

算

：

??1??2?1???1?0.5?3????2???3?????解

原

??

式

??1???1???1?6?????2?9?=?1???1?1?????2?9?=??1?5?????7??1???7???7

????????6?666???????也可这样来算：解原式

1??17??1?1??2?9???????7???6==?=6?6。

?377??7??8?1?????????????????③从左向右：同级?4812??8??3??运

算，按照从左至右的顺序进行；

例3：计算： 解

?422114??7??8???24?24?24??????8??????3????????原式

2

7?8??8?????????==24?7??3?=

三、应用四个原则：

?18???333。

1、整体性原则： 乘除混合运算统一化乘，统一进行约分；加减混合运算按正负数分类，分别统一计算，或把带分数的整数、分数部分拆开，分别统一计算。 2、简明性原则：计算时尽量使步骤简明，能够一步计算出来的就同时算出来；运算中尽量运用简便方法，如五个运算律的运用。

3、口算原则：在每一步的计算中，都尽量运用口算，口算是提高运算率的重要方法之一，习惯于口算，有助于培养反应能力和自信心。

4、分段同时性原则： 对一个算式，一般可以将它分成若干小段，同时分别进行运算。如何分段呢?主要有：(1)运算符号分段法。有理数的基本运算有五种：加、减、乘、除和乘方，其中加减为第一级运算，乘除为第二级运算，乘方为第三级运算。在运算中，低级运算把高级运算分成若干段。 一般以加号、减号把整个算式分成若干段，然后把每一段中的乘方、乘除的结果先计算出来，最后再算出这几个加数的

3

和．

把算式进行分段，关键是在计算前要认真审题，妥用整体观察的办法，分清运算符号，确定整个式子中有几个加号、减号，再以加减号为界进行分段，这是进行有理数混合运算行之有效的方法．

(2)括号分段法，有括号的应先算括号里面的。在实施时可同时分别对括号内外的算式进行运算。

(3)绝对值符号分段法。绝对值符号除了本身的作用外，还具有括号的作用，从运算顺序的角度来说，先计算绝对值符号里面的，因此绝对值符号也可以把算式分成几段，同时进行计算．(4)分数线分段法，分数线可以把算式分成分子和分母两部分并同时分别运算。

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例2计算：-0.25÷(－ )-(-1)101＋(-2)2×

2

2

(-3)2

1

解：原式=－ ×16-(-1)+4×9

16=-1+1+36=36

说明：本题以加号、减号为界把整个算式分成三段，这三段分别计算出来的结果再相加。 四、掌握运算技巧

4

（1）、归类组合：将不同类数(如分母相同或易于通分的数)分别组合；将同类数(如正数或负数)归类计算。

（2）、凑整：将相加可得整数的数凑整，将相加得零的数（如互为相反数）相消。

（3）、分解：将一个数分解成几个数和的形式,或分解为它的因数相乘的形式。

（4）、约简：将互为倒数的数或有倍数关系的数约简。 （5）、倒序相加：利用运算律，改变运算顺序,简化计算。

例 计算2+4+6+?+2000

分析：将整个式子记作S=2+4+?+1998+2000．将这个式子反序写出．得S=2000+1998+?+4+2，两式相加，再作分组计算．

解： (1)令S=2十4+?+1998+2000， 反序写出，有S=2000+1998+?+4+2， 两

式

相

加

，

有

2S=(2+2000)+(4+1998)+?+(1998+4)+(2000+2) =2002+2002+?+2002 l000个2002 =2002×1000=2002000

S=1001000

5

（6）、正逆用运算律：正难则反, 逆用运算定律以简化计算。

乘法分配律a(b+c)=ab+ac在运算中可简化计算．而反过来，ab+ac=a(b+c)同样成立，有时逆用也可使运算简便. 例3计算：

16123112

(1) -32 ÷(-8×4)+2.5+( + － － )×24

25234123113133

(2)(－ )×(－ )－ ×(－ )＋ ×(－

215215214

) 15

16

分析 ： -32 化成假分数较繁，将其写成(-32－

251612311

)的形式．对( + － － )×24，则以使用乘2523412法分配律更为筒捷,进行有理数混合运算时，要注意灵活运用运算律，以达到筒化运算的目的． 16112 解：（1）原式=(-32－ )×(- )+6.25+( + －

253223311

－ )×24 412

6

1

=1+ +6.25+12+16-18-22 50

=1.02+6.25-12 =－4.73

311313314

（2）原式= × ＋ × － ×

2152152153111314

= ×（ ＋ － ）

2151515310

= × =1 215

五、理解转化的思想方法

有理数运算的实质是确定符号和绝对值的问题。 有理数的加减法互为逆运算，有了相反数的概念以后，加法和减法运算都可以统一为加法运算．其关键是注意两个变：(1)变减号为加号；(2)变减数为其相反数。另外被减数与减数的位置不变．例如（-12）-(+18)+(-20)-(-14)．

有理数的乘除也互为逆运算，有了倒数的概念后，有理数的除法可以转化为乘法。转化的法则是：除以一个数，等于乘以这个数的倒数。

乘方运算，根据乘方意义将乘方转化为乘积形式，进而得到乘方的结果(幂)。

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因此在运算时应把握“遇减化加．遇除变乘，乘方化乘”，这样可避免因记忆量太大带来的一些混乱，同时也有助于学生抓住数学内在的本质问题。

总之，要达到转化这个目的，起决定作用的是符号和绝对值。把我们所学的有理数运算概括起来。可归纳为三个转化：一个是通过绝对值将加法、乘法在先确定符号的前提下，转化为小学里学的算术数的加法、乘法；二是通过相反数和倒数分别将减法、除法转化为加法、乘法；三是将乘方运算转化为积的形式．若掌握了有理数的符号法则和转化手段，有理数的运算就能准确、快速地解决了． 例计算：

（1） (-6)-(+5)+(-9)+(-4)-(-9) 11

(2) (-2 )÷1 ×(-4)

241

(3)2+(2-5)× ×[1-(-5)2]

3

2

解：（1）原式=(-6) +(-5)+(-9)+(-4)+(+9) =-6-5-9-4+9=-15

54

(2) 原式=(－ )× ×(-4)=8

25

8

1

(3) 原式=4+(-3) × ×(-24)

3 =4+24 =28

六、会用三个概念的性质

如果a．b互为相反数，那么a+b=O，a= -b；如果c，d互为倒数，那么cd=l，c=1/d；如果|x|=a(a＞0)，那么x=a或-a.

例6 已知a、b互为相反数，c、d互为倒数，x的绝对值等于2，试求x2-(a+b+cd)x+(a+b)2000+(-cd)2001的值

解： ∵a、b互为相反数， ∴a+b=0； 又∵c、d互为倒数， ∴cd=l；

|x|=2, ∴x=2或-2。

∴x-(a+b+cd)x+(a+b)

2

2000

+(-cd)

2001

= x-x-1

2

当x=2时,原式= x2-x-1=4-2-1=1 当x=一2，原式= x2-x-1=4-(-2)-1=5

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