2017年锐角三角函数中考分类(3)

2017年锐角三角函数中考分类（3）

一．解答题（共30小题）

1．如图，一座钢结构桥梁的框架是△ABC，水平横梁BC长18米，中柱AD高6米，其中D是BC的中点，且AD⊥BC． （1）求sinB的值；

（2）现需要加装支架DE、EF，其中点E在AB上，BE=2AE，且EF⊥BC，垂足为点F，求支架DE的长．

2．如图，地面上小山的两侧有A，B两地，为了测量A，B两地的距离，让一热气球从小山西侧A地出发沿与AB成30°角的方向，以每分钟40m的速度直线飞行，10分钟后到达C处，此时热气球上的人测得CB与AB成70°角，请你用测得的数据求A，B两地的距离AB长．（结果用含非特殊角的三角函数和根式表示即可）

3．如图是某小区的一个健身器材，已知BC=0.15m，AB=2.70m，∠BOD=70°，求端点A到地面CD的距离（精确到0.1m）（参考数据：．sin70°≈0.94，cos70°≈0.34，tan70°≈2.75）

4．如图，为了测量某条河的宽度，现在河边的一岸边任意取一点A，又在河的另一岸边去两点B、C测得∠α=30°，∠β=45°，量得BC长为100米．求河的宽度

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（结果保留根号）．

5．某太阳能热水器的横截面示意图如图所示，已知真空热水管AB与支架CD所在直线相交于点O，且OB=OD，支架CD与水平线AE垂直，∠BAC=∠CDE=30°，DE=80cm，AC=165cm． （1）求支架CD的长；

（2）求真空热水管AB的长．（结果保留根号）

6．如图，某商店营业大厅自动扶梯AB的倾斜角为31°，AB的长为12米，求大厅两层之间的距离BC的长．（结果精确到0.1米）（参考数据：sin31°=0.515，cos31°=0.857，tan31°=0.60）

7．如图，某武警部队在一次地震抢险救灾行动中，探险队员在相距4米的水平地面A，B两处均探测出建筑物下方C处有生命迹象，已知在A处测得探测线与地面的夹角为30°，在B处测得探测线与地面的夹角为60°，求该生命迹象C处于地面的距离．（结果精确到0.1米，参考数据：

≈1.41，

≈1.73）

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8．如图，信号塔PQ座落在坡度i=1：2的山坡上，其正前方直立着一警示牌．当太阳光线与水平线成60°角时，测得信号塔PQ落在斜坡上的影子QN长为2

米，

落在警示牌上的影子MN长为3米，求信号塔PQ的高．（结果不取近似值）

9．如图，某校教学楼AB后方有一斜坡，已知斜坡CD的长为12米，坡角α为60°，根据有关部门的规定，∠α≤39°时，才能避免滑坡危险，学校为了消除安全隐患，决定对斜坡CD进行改造，在保持坡脚C不动的情况下，学校至少要把坡顶D向后水平移动多少米才能保证教学楼的安全？（结果取整数） （参考数据：sin39°≈0.63，cos39°≈0.78，tan39°≈0.81，≈2.24）

≈1.41，

≈1.73，

10．图1是太阳能热水器装置的示意图，利用玻璃吸热管可以把太阳能转化为热能，玻璃吸热管与太阳光线垂直时，吸收太阳能的效果最好，假设某用户要求根据本地区冬至正午时刻太阳光线与地面水平线的夹角（θ）确定玻璃吸热管的倾斜角（太阳光线与玻璃吸热管垂直），请完成以下计算：

如图2，AB⊥BC，垂足为点B，EA⊥AB，垂足为点A，CD∥AB，CD=10cm，DE=120cm，FG⊥DE，垂足为点G．

（1）若∠θ=37°50′，则AB的长约为 cm；

（参考数据：sin37°50′≈0.61，cos37°50′≈0.79，tan37°50′≈0.78） （2）若FG=30cm，∠θ=60°，求CF的长．

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11．为做好防汛工作，防汛指挥部决定对某水库的水坝进行加高加固，专家提供的方案是：水坝加高2米（即CD=2米），背水坡DE的坡度i=1：1（即DB：EB=1：1），如图所示，已知AE=4米，∠EAC=130°，求水坝原来的高度BC． （参考数据：sin50°≈0.77，cos50°≈0.64，tan50°≈1.2）

12．如图所示，飞机在一定高度上沿水平直线飞行，先在点A处测得正前方小岛C的俯角为30°，面向小岛方向继续飞行10km到达B处，发现小岛在其正后方，此时测得小岛的俯角为45°，如果小岛高度忽略不计，求飞机飞行的高度（结果保留根号）．

13．风电已成为我国继煤电、水电之后的第三大电源，风电机组主要由塔杆和叶片组成（如图1），图2是从图1引出的平面图．假设你站在A处测得塔杆顶端C的仰角是55°，沿HA方向水平前进43米到达山底G处，在山顶B处发现正好一叶片到达最高位置，此时测得叶片的顶端D（D、C、H在同一直线上）的仰角是45°．已知叶片的长度为35米（塔杆与叶片连接处的长度忽略不计），山高BG为10米，BG⊥HG，CH⊥AH，求塔杆CH的高．（参考数据：tan55°≈1.4，tan35°≈0.7，sin55°≈0.8，sin35°≈0.6）

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14．小明想要测量学校食堂和食堂正前方一棵树的高度，他从食堂楼底M处出发，向前走3米到达A处，测得树顶端E的仰角为30°，他又继续走下台阶到达C处，测得树的顶端E的仰角是60°，再继续向前走到大树底D处，测得食堂楼顶N的仰角为45°．已知A点离地面的高度AB=2米，∠BCA=30°，且B、C、D三点在同一直线上． （1）求树DE的高度； （2）求食堂MN的高度．

15．如图，小明在教学楼A处分别观测对面实验楼CD底部的俯角为45°，顶部的仰角为37°，已知教学楼和实验楼在同一平面上，观测点距地面的垂直高度AB为15m，求实验楼的垂直高度即CD长（精确到1m） 参考值：sin37°=0.60，cos37°=0.80，tan37°=0.75．

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16．如图，甲、乙为两座建筑物，它们之间的水平距离BC为30m，在A点测得D点的仰角∠EAD为45°，在B点测得D点的仰角∠CBD为60°，求这两座建筑物的高度（结果保留根号）

17．在黄冈长江大桥的东端一处空地上，有一块矩形的标语牌ABCD（如图所示），已知标语牌的高AB=5m，在地面的点E处，测得标语牌点A的仰角为30°，在地面的点F处，测得标语牌点A的仰角为75°，且点E，F，B，C在同一直线上，求点E与点F之间的距离．（计算结果精确到0.1米，参考数据：1.73）

≈1.41，

≈

18．如图，某数学活动小组为测量学校旗杆AB的高度，沿旗杆正前方2的点C出发，沿斜面坡度i=1：

米处

的斜坡CD前进4米到达点D，在点D处安置

测角仪，测得旗杆顶部A的仰角为37°，量得仪器的高DE为1.5米．已知A、B、C、D、E在同一平面内，AB⊥BC，AB∥DE．求旗杆AB的高度．（参考数据：sin37°≈，cos37°≈，tan37°≈．计算结果保留根号）

19．如图，线段AB、CD分别表示甲乙两建筑物的高，BA⊥AD，CD⊥DA，垂足

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分别为A、D．从D点测到B点的仰角α为60°，从C点测得B点的仰角β为30°，甲建筑物的高AB=30米

（1）求甲、乙两建筑物之间的距离AD． （2）求乙建筑物的高CD．

20．如图，某人为了测量小山顶上的塔ED的高，他在山下的点A处测得塔尖点D的仰角为45°，再沿AC方向前进60m到达山脚点B，测得塔尖点D的仰角为60°，塔底点E的仰角为30°，求塔ED的高度．（结果保留根号）

21．某市一湖的湖心岛有一棵百年古树，当地人称它为“乡思柳”，不乘船不易到达，每年初春时节，人们喜欢在“聚贤亭”观湖赏柳．小红和小军很想知道“聚贤亭”与“乡思柳”之间的大致距离，于是，有一天，他们俩带着侧倾器和皮尺来测量这个距离．测量方法如下：如图，首先，小军站在“聚贤亭”的A处，用侧倾器测得“乡思柳”顶端M点的仰角为23°，此时测得小军的眼睛距地面的高度AB为1.7米，然后，小军在A处蹲下，用侧倾器测得“乡思柳”顶端M点的仰角为24°，这时测得小军的眼睛距地面的高度AC为1米．请你利用以上测得的数据，计算“聚贤亭”与“乡思柳”之间的距离AN的长（结果精确到1米）．（参考数据：sin23°≈0.3907，cos23°≈0.9205，tan23°≈0.4245，sin24°≈0.4067，cos24°≈0.9135，tan24°≈0.4452．）

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22．如图，为了测得一棵树的高度AB，小明在D处用高为1m的测角仪CD，测得树顶A的仰角为45°，再向树方向前进10m，又测得树顶A的仰角为60°，求这棵树的高度AB．

23．热气球的探测器显示，从热气球A看一栋楼顶部B的仰角α为45°，看这栋楼底部C的俯角β为60°，热气球与楼的水平距离为100m，求这栋楼的高度（结果保留根号）．

24．如图，学校的实验楼对面是一幢教学楼，小敏在实验楼的窗口C测得教学楼顶部D的仰角为18°，教学楼底部B的俯角为20°，量得实验楼与教学楼之间的距离AB=30m．

（1）求∠BCD的度数．

（2）求教学楼的高BD．（结果精确到0.1m，参考数据：tan20°≈0.36，tan18°≈0.32）

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25．如图，一枚运载火箭从距雷达站C处5km的地面O处发射，当火箭到达点A，B时，在雷达站C处测得点A，B的仰角分别为34°，45°，其中点O，A，B在同一条直线上．求A，B两点间的距离（结果精确到0.1km）． （参考数据：sin34°=0.56，cos34°=0.83，tan34°=0.67．）

26．如图，两座建筑物的水平距离BC=30m，从A点测得D点的俯角α为30°，测得C点的俯角β为60°，求这两座建筑物的高度．

27．耸立在临清市城北大运河东岸的舍利宝塔，是“运河四大名塔”之一（如图1）．数学兴趣小组的小亮同学在塔上观景点P处，利用测角仪测得运河两岸上的A，B两点的俯角分别为17.9°，22°，并测得塔底点C到点B的距离为142米（A、B、C在同一直线上，如图2），求运河两岸上的A、B两点的距离（精确到1米）． （参考数据：sin22°≈0.37，cos22°≈0.93，tan22°≈0.40，sin17.9°≈0.31，cos17.9°≈

0.95

，

tan17.9°

≈

0.32

）

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28．金桥学校“科技体艺节”期间，八年级数学活动小组的任务是测量学校旗杆AB的高，他们在旗杆正前方台阶上的点C处，测得旗杆顶端A的仰角为45°，朝着旗杆的方向走到台阶下的点F处，测得旗杆顶端A的仰角为60°，已知升旗台的高度BE为1米，点C距地面的高度CD为3米，台阶CF的坡角为30°，且点E、F、D在同一条直线上，求旗杆AB的高度（计算结果精确到0.1米，参考数据：≈1.41，

≈1.73）

29．乌江快铁大桥是快铁渝黔线的一项重要工程，由主桥AB和引桥BC两部分组成（如图所示），建造前工程师用以下方式做了测量；无人机在A处正上方97m处的P点，测得B处的俯角为30°（当时C处被小山体阻挡无法观测），无人机飞行到B处正上方的D处时能看到C处，此时测得C处俯角为80°36′． （1）求主桥AB的长度；

（2）若两观察点P、D的连线与水平方向的夹角为30°，求引桥BC的长． （长度均精确到1m，参考数据：≈1.73，sin80°36′≈0.987，cos80°36′≈0.163，tan80°36′≈6.06）

30．如图，在水平地面上有一幢房屋BC与一棵树DE，在地面观测点A处测得屋顶C与树梢D的仰角分别是45°与60°，∠CAD=60°，在屋顶C处测得∠DCA=90°．若房屋的高BC=6米，求树高DE的长度．

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2017年锐角三角函数中考分类（3）

参考答案与试题解析

一．解答题（共30小题）

1．（2017?上海）如图，一座钢结构桥梁的框架是△ABC，水平横梁BC长18米，中柱AD高6米，其中D是BC的中点，且AD⊥BC． （1）求sinB的值；

（2）现需要加装支架DE、EF，其中点E在AB上，BE=2AE，且EF⊥BC，垂足为点F，求支架DE的长．

【分析】（1）在Rt△ABD中，利用勾股定理求出AB，再根据sinB=（2）由EF∥AD，BE=2AE，可得解决问题；

【解答】解：（1）在Rt△ABD中，∵BD=DC=9，AD=6， ∴AB=∴sinB=

计算即可；

===，求出EF、DF即可利用勾股定理

==

=

=3．

，

（2）∵EF∥AD，BE=2AE， ∴∴

==

=

=，

=，

∴EF=4，BF=6， ∴DF=3，

在Rt△DEF中，DE=

=

=5．

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【点评】本题考查解直角三角形的应用，平行线分线段成比例定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．

2．（2017?呼和浩特）如图，地面上小山的两侧有A，B两地，为了测量A，B两地的距离，让一热气球从小山西侧A地出发沿与AB成30°角的方向，以每分钟40m的速度直线飞行，10分钟后到达C处，此时热气球上的人测得CB与AB成70°角，请你用测得的数据求A，B两地的距离AB长．（结果用含非特殊角的三角函数和根式表示即可）

【分析】过点C作CM⊥AB交AB延长线于点M，通过解直角△ACM得到AM的长度，通过解直角△BCM得到BM的长度，则AB=AM﹣BM． 【解答】解：过点C作CM⊥AB交AB延长线于点M， 由题意得：AC=40×10=400（米）． 在直角△ACM中，∵∠A=30°， ∴CM=AC=200米，AM=在直角△BCM中，∵tan20°=∴BM=200tan20°， ∴AB=AM﹣BM=200

﹣200tan20°=200（

﹣tan20°），

AC=200，

米．

因此A，B两地的距离AB长为200（﹣tan20°）米．

第13页（共42页）

【点评】本题考查解直角三角形的应用、三角函数等知识，解题的关键是添加辅助线，构造直角三角形，记住三角函数的定义，以及特殊三角形的边角关系，属于中考常考题型．

3．（2017?丽水）如图是某小区的一个健身器材，已知BC=0.15m，AB=2.70m，∠BOD=70°，求端点A到地面CD的距离（精确到0.1m）．（参考数据：sin70°≈0.94，cos70°≈0.34，tan70°≈2.75）

【分析】作AE⊥CD于E，BF⊥AE于F，则四边形EFBC是矩形，求出AF、EF即可解决问题．

【解答】解：作AE⊥CD于E，BF⊥AE于F，则四边形EFBC是矩形， ∵OD⊥CD，∠BOD=70°， ∴AE∥OD， ∴∠A=∠BOD=70°， 在Rt△AFB中，∵AB=2.7，

∴AF=2.7×cos70°≈2.7×0.34=0.918， ∴AE=AF+BC≈0.918+0.15=1.068≈1.1m， 答：端点A到地面CD的距离是1.1m．

【点评】本题考查解直角三角形的应用、解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型．

4．（2017?宜宾）如图，为了测量某条河的宽度，现在河边的一岸边任意取一点

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A，又在河的另一岸边去两点B、C测得∠α=30°，∠β=45°，量得BC长为100米．求河的宽度（结果保留根号）．

【分析】直接过点A作AD⊥BC于点D，利用tan30°=【解答】解：过点A作AD⊥BC于点D， ∵∠β=45°，∠ADC=90°， ∴AD=DC， 设AD=DC=xm， 则tan30°=解得：x=50（

=

，

=，进而得出答案．

+1），

+1）m．

答：河的宽度为50（

【点评】此题主要考查了解直角三角形的应用，正确得出AD=CD是解题关键．

5．（2017?岳阳）某太阳能热水器的横截面示意图如图所示，已知真空热水管AB与支架CD所在直线相交于点O，且OB=OD，支架CD与水平线AE垂直，∠BAC=∠CDE=30°，DE=80cm，AC=165cm． （1）求支架CD的长；

（2）求真空热水管AB的长．（结果保留根号）

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【分析】（1）在Rt△CDE中，根据∠CDE=30°，DE=80cm，求出支架CD的长是多少即可．

（2）首先在Rt△OAC中，根据∠BAC=30°，AC=165cm，求出OC的长是多少，进而求出OD的长是多少；然后求出OA的长是多少，即可求出真空热水管AB的长是多少．

【解答】解：（1）在Rt△CDE中，∠CDE=30°，DE=80cm， ∴CD=80×cos30°=80×

=40（cm）．

（2）在Rt△OAC中，∠BAC=30°，AC=165cm， ∴OC=AC×tan30°=165×∴OD=OC﹣CD=55

﹣40

=55=15

（cm）， （cm），

=95

（cm）．

∴AB=AO﹣OB=AO﹣OD=55×2﹣15

【点评】此题主要考查了解直角三角形的应用，要熟练掌握，注意将实际问题抽象为数学问题（画出平面图形，构造出直角三角形转化为解直角三角形问题）．

6．（2017?长春）如图，某商店营业大厅自动扶梯AB的倾斜角为31°，AB的长为12米，求大厅两层之间的距离BC的长．（结果精确到0.1米）（参考数据：sin31°=0.515，cos31°=0.857，tan31°=0.60）

【分析】过B作地平面的垂线段BC，垂足为C，构造直角三角形，利用正弦函数的定义，即可求出BC的长．

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【解答】解：过B作地平面的垂线段BC，垂足为C． 在Rt△ABC中，∵∠ACB=90°，

∴BC=AB?sin∠BAC=12×0.515≈6.2（米）． 即大厅两层之间的距离BC的长约为6.2米．

【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题，把坡面与水平面的夹角α叫做坡角．在解决坡度的有关问题中，一般通过作高构成直角三角形，坡角即是一锐角，坡度实际就是一锐角的正切值，水平宽度或铅直高度都是直角边，实质也是解直角三角形问题．

7．（2017?贺州）如图，某武警部队在一次地震抢险救灾行动中，探险队员在相距4米的水平地面A，B两处均探测出建筑物下方C处有生命迹象，已知在A处测得探测线与地面的夹角为30°，在B处测得探测线与地面的夹角为60°，求该生命迹象C处于地面的距离．（结果精确到0.1米，参考数据：1.73）

≈1.41，

≈

【分析】过C点作AB的垂线交AB的延长线于点D，由三角形外角的性质可得出∠ACB=30°，进而可得出BC=AB=4米，在Rt△CDB中利用锐角三角函数的定义即可求出CD的值．

【解答】解：过C点作AB的垂线交AB的延长线于点D， ∵∠CAD=30°，∠CBD=60°， ∴∠ACB=30°， ∴∠CAB=∠ACB=30°， ∴BC=AB=4米，

在Rt△CDB中，BC=4米，∠CBD=60°，sin∠CBD=∴sin60°=

，

=2

≈3.5（米），

第17页（共42页）

，

∴CD=4sin60°=4×

故该生命迹象所在位置的深度约为3.5米．

【点评】本题考查的是解直角三角形的应用，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．

8．（2017?达州）如图，信号塔PQ座落在坡度i=1：2的山坡上，其正前方直立着一警示牌．当太阳光线与水平线成60°角时，测得信号塔PQ落在斜坡上的影子QN长为2

米，落在警示牌上的影子MN长为3米，求信号塔PQ的高．（结

果不取近似值）

【分析】如图作MF⊥PQ于F，QE⊥MN于E，则四边形EMFQ是矩形．分别在Rt△EQN、Rt△PFM中解直角三角形即可解决问题．

【解答】解：如图作MF⊥PQ于F，QE⊥MN于E，则四边形EMFQ是矩形．

在Rt△QEN中，设EN=x，则EQ=2x， ∵QN2=EN2+QE2， ∴20=5x2， ∵x＞0， ∴x=2，

∴EN=2，EQ=MF=4， ∵MN=3，

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∴FQ=EM=1，

在Rt△PFM中，PF=FM?tan60°=4∴PQ=PF+FQ=4

+1．

，

【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣坡度问题，锐角三角函数等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型．

9．（2017?黔东南州）如图，某校教学楼AB后方有一斜坡，已知斜坡CD的长为12米，坡角α为60°，根据有关部门的规定，∠α≤39°时，才能避免滑坡危险，学校为了消除安全隐患，决定对斜坡CD进行改造，在保持坡脚C不动的情况下，学校至少要把坡顶D向后水平移动多少米才能保证教学楼的安全？（结果取整数）

（参考数据：sin39°≈0.63，cos39°≈0.78，tan39°≈0.81，≈2.24）

≈1.41，

≈1.73，

【分析】假设点D移到D′的位置时，恰好∠α=39°，过点D作DE⊥AC于点E，作D′E′⊥AC于点E′，根据锐角三角函数的定义求出DE、CE、CE′的长，进而可得出结论．

【解答】解：假设点D移到D′的位置时，恰好∠α=39°，过点D作DE⊥AC于点E，作D′E′⊥AC于点E′， ∵CD=12米，∠DCE=60°， ∴DE=CD?sin60°=12×

=6

米，CE=CD?cos60°=12×=6米．

∵DE⊥AC，D′E′⊥AC，DD′∥CE′， ∴四边形DEE′D′是矩形， ∴DE=D′E′=6

米．

∵∠D′CE′=39°，

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∴CE′=≈≈12.8，

∴EE′=CE′﹣CE=12.8﹣6=6.8≈7（米）．

答：学校至少要把坡顶D向后水平移动7米才能保证教学楼的安全．

【点评】本题考查的是解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．

10．（2017?威海）图1是太阳能热水器装置的示意图，利用玻璃吸热管可以把太阳能转化为热能，玻璃吸热管与太阳光线垂直时，吸收太阳能的效果最好，假设某用户要求根据本地区冬至正午时刻太阳光线与地面水平线的夹角（θ）确定玻璃吸热管的倾斜角（太阳光线与玻璃吸热管垂直），请完成以下计算：

如图2，AB⊥BC，垂足为点B，EA⊥AB，垂足为点A，CD∥AB，CD=10cm，DE=120cm，FG⊥DE，垂足为点G．

（1）若∠θ=37°50′，则AB的长约为 83.2 cm；

（参考数据：sin37°50′≈0.61，cos37°50′≈0.79，tan37°50′≈0.78） （2）若FG=30cm，∠θ=60°，求CF的长．

【分析】（1）作EP⊥BC、DQ⊥EP，知CD=PQ=10，∠2+∠3=90°，由∠1+∠θ=90°且∠1=∠2知∠3=∠θ=37°50′，根据EQ=DEsin∠3和AB=EP=EQ+PQ可得答案； （2）延长ED、BC交于点K，结合（1）知∠θ=∠3=∠K=60°，从而由CK=

第20页（共42页）

、

解得：x=6，

∴树DE的高度为6米；

（2）延长NM交DB延长线于点P，则AM=BP=3，

由（1）知CD=x=×6=2+2

，BC=2

，

，

∴PD=BP+BC+CD=3+2=3+4

∵∠NDP=45°，且MP=AB=2， ∴NP=PD=3+4

，

﹣2=1+4

米．

，

∴NM=NP﹣MP=3+4

∴食堂MN的高度为1+4

【点评】本题考查了解直角三角形的应用，解题的关键是正确的构造直角三角形并选择正确的边角关系解直角三角形．

15．（2017?镇江）如图，小明在教学楼A处分别观测对面实验楼CD底部的俯角为45°，顶部的仰角为37°，已知教学楼和实验楼在同一平面上，观测点距地面的垂直高度AB为15m，求实验楼的垂直高度即CD长（精确到1m） 参考值：sin37°=0.60，cos37°=0.80，tan37°=0.75．

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【分析】作AE⊥CD于E，根据正切的定义求出CE和AE，计算即可． 【解答】解：作AE⊥CD于E， ∵AB=15m， ∴DE=AB=15m， ∵∠DAE=45°， ∴AE=DE=15m，

在Rt△ACE中，tan∠CAE=

，

则CE=AE?tan37°=15×0.75≈11cm， ∴AB=CE+DE=11+15=26m．

答：实验楼的垂直高度即CD长为26m．

【点评】本题考查的是解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，解决此类问题要了解角之间的关系，找到与已知和未知相关联的直角三角形，当图形中没有直角三角形时，要通过作高或垂线构造直角三角形，另当问题以一个实际问题的形式给出时，要善于读懂题意，把实际问题划归为直角三角形中边角关系问题加以解决．

16．（2017?新疆）如图，甲、乙为两座建筑物，它们之间的水平距离BC为30m，在A点测得D点的仰角∠EAD为45°，在B点测得D点的仰角∠CBD为60°，求这两座建筑物的高度（结果保留根号）

【分析】在Rt△BCD中可求得CD的长，即求得乙的高度，过A作AF⊥CD于点F，在Rt△ADF中可求得DF，则可求得CF的长，即可求得甲的高度．

第27页（共42页）

【解答】解：

如图，过A作AF⊥CD于点F，

在Rt△BCD中，∠DBC=60°，BC=30m， ∵

=tan∠DBC，

m，

m；

∴CD=BC?tan60°=30

∴乙建筑物的高度为30

在Rt△AFD中，∠DAF=45°， ∴DF=AF=BC=30m， ∴AB=CF=CD﹣DF=（30∴甲建筑物的高度为（30

﹣30）m， ﹣30）m．

【点评】本题主要考查角直角三角形的应用，构造直角三角形，利用特殊角求得相应线段的长是解题的关键．

17．（2017?黄冈）在黄冈长江大桥的东端一处空地上，有一块矩形的标语牌ABCD（如图所示），已知标语牌的高AB=5m，在地面的点E处，测得标语牌点A的仰角为30°，在地面的点F处，测得标语牌点A的仰角为75°，且点E，F，B，C在同一直线上，求点E与点F之间的距离．（计算结果精确到0.1米，参考数据：≈1.41，

≈1.73）

【分析】如图作FH⊥AE于H．由题意可知∠HAF=∠HFA=45°，推出AH=HF，设AH=HF=x，则EF=2x，EH=

x，在Rt△AEB中，由∠E=30°，AB=5米，推出AE=2AB=10

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米，可得x+x=10，解方程即可．

【解答】解：如图作FH⊥AE于H．由题意可知∠HAF=∠HFA=45°， ∴AH=HF，设AH=HF=x，则EF=2x，EH=在Rt△AEB中，∵∠E=30°，AB=5米， ∴AE=2AB=10米， ∴x+∴x=5

x=10， ﹣5，

﹣10≈7.3米，

x，

∴EF=2x=10

答：E与点F之间的距离为7.3米．

【点评】本题考查解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题、锐角三角函数、等腰直角三角形的性质、一元一次方程等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构建方程解决问题．

18．（2017?荆州）如图，某数学活动小组为测量学校旗杆AB的高度，沿旗杆正前方2

米处的点C出发，沿斜面坡度i=1：

的斜坡CD前进4米到达点D，

在点D处安置测角仪，测得旗杆顶部A的仰角为37°，量得仪器的高DE为1.5米．已知A、B、C、D、E在同一平面内，AB⊥BC，AB∥DE．求旗杆AB的高度．（参考数据：sin37°≈，cos37°≈，tan37°≈．计算结果保留根号）

【分析】延长ED交BC延长线于点F，则∠CFD=90°，Rt△CDF中求得CF=CDcos

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∠DCF=2、DF=CD=2，作EG⊥AB，可得GE=BF=4

?tan37°可得答案．

、GB=EF=3.5，再求出

AG=GEtan∠AEG=4

【解答】解：如图，延长ED交BC延长线于点F，则∠CFD=90°，

∵tan∠DCF=i=∴∠DCF=30°， ∵CD=4，

=，

∴DF=CD=2，CF=CDcos∠DCF=4×∴BF=BC+CF=2

+2

=4

，

=2，

过点E作EG⊥AB于点G， 则GE=BF=4

，GB=EF=ED+DF=1.5+2=3.5，

又∵∠AED=37°， ∴AG=GEtan∠AEG=4则AB=AG+BG=4

?tan37°，

+3.5，

?tan37°+3.5=3

故旗杆AB的高度为（3+3.5）米．

【点评】本题主要考查解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题和坡度坡比问题，掌握仰角俯角和坡度坡比的定义，并根据题意构建合适的直角三角形是解题的关键．

19．（2017?广安）如图，线段AB、CD分别表示甲乙两建筑物的高，BA⊥AD，CD⊥DA，垂足分别为A、D．从D点测到B点的仰角α为60°，从C点测得B点的仰角β为30°，甲建筑物的高AB=30米 （1）求甲、乙两建筑物之间的距离AD． （2）求乙建筑物的高CD．

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【分析】（1）在Rt△ABD中利用三角函数即可求解；

（2）作CE⊥AB于点E，在Rt△BCE中利用三角函数求得BE的长，然后根据CD=AE=AB﹣BE求解．

【解答】解：（1）作CE⊥AB于点E， 在Rt△ABD中，AD=

=

=10

（米）；

（2）在Rt△BCE中，CE=AD=10BE=CE?tanβ=10

×

米，

=10（米），

则CD=AE=AB﹣BE=30﹣10=20（米） 答：乙建筑物的高度DC为20m．

【点评】本题考查了直角三角形中三角函数的应用，考查了特殊角的三角函数值，本题中求的AD的长是解题的关键．

20．（2017?内江）如图，某人为了测量小山顶上的塔ED的高，他在山下的点A处测得塔尖点D的仰角为45°，再沿AC方向前进60m到达山脚点B，测得塔尖点D的仰角为60°，塔底点E的仰角为30°，求塔ED的高度．（结果保留根号）

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【分析】先求出∠DBE=30°，∠BDE=30°，得出BE=DE，然后设EC=xm，则BE=2xm，DE=2xm，DC=3xm，BC=

xm，然后根据∠DAC=45°，可得AC=CD，列出方程求

出x的值，然后即可求出塔DE的高度． 【解答】解：由题知，∠DBC=60°，∠EBC=30°， ∴∠DBE=∠DBC﹣∠EBC=60°﹣30°=30°． 又∵∠BCD=90°，

∴∠BDC=90°﹣∠DBC=90°﹣60°=30°． ∴∠DBE=∠BDE． ∴BE=DE．

设EC=xm，则DE=BE=2EC=2xm，DC=EC+DE=x+2x=3xm， BC=

=

=

x，

由题知，∠DAC=45°，∠DCA=90°，AB=20， ∴△ACD为等腰直角三角形， ∴AC=DC． ∴

x+60=3x，

，

解得：x=30+102x=60+20

．

答：塔高约为（60+20）m．

【点评】本题考查了解直角三角形的应用，解答本题的关键是根据仰角和俯角构造直角三角形，利用三角函数的知识求解，难度一般．

21．（2017?陕西）某市一湖的湖心岛有一棵百年古树，当地人称它为“乡思柳”，不乘船不易到达，每年初春时节，人们喜欢在“聚贤亭”观湖赏柳．小红和小军很想知道“聚贤亭”与“乡思柳”之间的大致距离，于是，有一天，他们俩带着侧倾器和皮尺来测量这个距离．测量方法如下：如图，首先，小军站在“聚贤亭”的A处，用侧倾器测得“乡思柳”顶端M点的仰角为23°，此时测得小军的眼睛距地面的高度AB为1.7米，然后，小军在A处蹲下，用侧倾器测得“乡思柳”顶端M点的仰角为24°，这时测得小军的眼睛距地面的高度AC为1米．请你利用以上测得的数据，计算“聚贤亭”与“乡思柳”之间的距离AN的长（结果精确到1米）．（参考

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数据：sin23°≈0.3907，cos23°≈0.9205，tan23°≈0.4245，sin24°≈0.4067，cos24°≈0.9135，tan24°≈0.4452．）

【分析】作BD⊥MN，CE⊥MN，垂足分别为点D、E，设AN=x米，则BD=CE=x米，再由锐角三角函数的定义即可得出结论．

【解答】解：如图，作BD⊥MN，CE⊥MN，垂足分别为点D、E， 设AN=x米，则BD=CE=x米， 在Rt△MBD中，MD=x?tan23°， 在Rt△MCE中，ME=x?tan24°， ∵ME﹣MD=DE=BC，

∴x?tan24°﹣x?tan23°=1.7﹣1， ∴x=

，解得x≈34（米）．

答：“聚贤亭”与“乡思柳”之间的距离AN的长约为34米．

【点评】本题考查的是解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，熟记锐角三角函数的定义是解答此题的关键．

22．（2017?眉山）如图，为了测得一棵树的高度AB，小明在D处用高为1m的测角仪CD，测得树顶A的仰角为45°，再向树方向前进10m，又测得树顶A的

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仰角为60°，求这棵树的高度AB．

【分析】设AG=x，分别在Rt△AFG和Rt△ACG中，表示出CG和GF的长度，然后根据DE=10m，列出方程即可解决问题． 【解答】解：设AG=x． 在Rt△AFG中， ∵tan∠AFG=∴FG=

，

，

在Rt△ACG中，∵∠GCA=45°， ∴CG=AG=x， ∵DE=10， ∴x﹣

=10，

解得：x=15+5∴AB=15+5

+1=16+5（米）．

）米．

答：这棵树的高度AB为（16+5

【点评】本题考查的是解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．

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23．（2017?南通）热气球的探测器显示，从热气球A看一栋楼顶部B的仰角α为45°，看这栋楼底部C的俯角β为60°，热气球与楼的水平距离为100m，求这栋楼的高度（结果保留根号）．

【分析】根据正切的概念分别求出BD、DC，计算即可． 【解答】解：在Rt△ADB中，∠BAD=45°， ∴BD=AD=100m，

在Rt△ADC中，CD=AD×tan∠DAC=100∴BC=（100+100

）m，

）m．

m

答：这栋楼的高度为（100+100

【点评】本题考查的是解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，掌握仰角俯角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．

24．（2017?绍兴）如图，学校的实验楼对面是一幢教学楼，小敏在实验楼的窗口C测得教学楼顶部D的仰角为18°，教学楼底部B的俯角为20°，量得实验楼与教学楼之间的距离AB=30m． （1）求∠BCD的度数．

（2）求教学楼的高BD．（结果精确到0.1m，参考数据：tan20°≈0.36，tan18°≈0.32）

【分析】（1）过点C作CE与BD垂直，根据题意确定出所求角度数即可； （2）在直角三角形CBE中，利用锐角三角函数定义求出BE的长，在直角三角形CDE中，利用锐角三角函数定义求出DE的长，由BE+DE求出BD的长，即为教

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学楼的高．

【解答】解：（1）过点C作CE⊥BD，则有∠DCE=18°，∠BCE=20°， ∴∠BCD=∠DCE+∠BCE=18°+20°=38°；

（2）由题意得：CE=AB=30m，

在Rt△CBE中，BE=CE?tan20°≈10.80m， 在Rt△CDE中，DE=CD?tan18°≈9.60m， ∴教学楼的高BD=BE+DE=10.80+9.60≈20.4m， 则教学楼的高约为20.4m．

【点评】此题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，熟练掌握锐角三角函数定义是解本题的关键．

25．（2017?吉林）如图，一枚运载火箭从距雷达站C处5km的地面O处发射，当火箭到达点A，B时，在雷达站C处测得点A，B的仰角分别为34°，45°，其中点O，A，B在同一条直线上．求A，B两点间的距离（结果精确到0.1km）． （参考数据：sin34°=0.56，cos34°=0.83，tan34°=0.67．）

【分析】在Rt△AOC中，求出OA、OC，在Rt△BOC中求出OB，即可解决问题． 【解答】解：由题意可得：∠AOC=90°，OC=5km． 在Rt△AOC中， ∵tan34°=

，

∴OA=OC?tan34°=5×0.67=3.35km， 在Rt△BOC中，∠BCO=45°，

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∴OB=OC=5km，

∴AB=5﹣3.35=1.65≈1.7km，

答：求A，B两点间的距离约为1.7km．

【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣﹣仰角俯角问题，要求学生能借助仰角构造直角三角形并解直角三角形．

26．（2017?临沂）如图，两座建筑物的水平距离BC=30m，从A点测得D点的俯角α为30°，测得C点的俯角β为60°，求这两座建筑物的高度．

【分析】延长CD，交AE于点E，可得DE⊥AE，在直角三角形ABC中，由题意确定出AB的长，进而确定出EC的长，在直角三角形AED中，由题意求出ED的长，由EC﹣ED求出DC的长即可．

【解答】解：延长CD，交AE于点E，可得DE⊥AE， 在Rt△AED中，AE=BC=30m，∠EAD=30°， ∴ED=AEtan30°=10

m，

在Rt△ABC中，∠BAC=30°，BC=30m， ∴AB=30

m，

﹣10

=20

m．

则CD=EC﹣ED=AB﹣ED=30

【点评】此题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，熟练掌握锐角三角函数定义是解本题的关键．

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27．（2017?聊城）耸立在临清市城北大运河东岸的舍利宝塔，是“运河四大名塔”之一（如图1）．数学兴趣小组的小亮同学在塔上观景点P处，利用测角仪测得运河两岸上的A，B两点的俯角分别为17.9°，22°，并测得塔底点C到点B的距离为142米（A、B、C在同一直线上，如图2），求运河两岸上的A、B两点的距离（精确到1米）．

（参考数据：sin22°≈0.37，cos22°≈0.93，tan22°≈0.40，sin17.9°≈0.31，cos17.9°≈

0.95

，

tan17.9°

≈

0.32

）

【分析】在Rt△PBC中，求出BC，在Rt△PAC中，求出AC，根据AB=AC﹣BC计算即可．

【解答】解：根据题意，BC=142米，∠PBC=22°，∠PAC=17.9°， 在Rt△PBC中，tan∠PBC=

，

∴PC=BCtan∠PBC=142?tan22°， 在Rt△PAC中，tan∠PAC=∴AC=

=

， ≈

≈177.5，

∴AB=AC﹣BC=177.5﹣142≈36米．

答：运河两岸上的A、B两点的距离为36米．

【点评】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题、锐角三角函数等知识，解题的关键是正确寻找直角三角形，利用三角函数解决问题，属于中考常考题型．

28．（2017?荆门）金桥学校“科技体艺节”期间，八年级数学活动小组的任务是测量学校旗杆AB的高，他们在旗杆正前方台阶上的点C处，测得旗杆顶端A的仰角为45°，朝着旗杆的方向走到台阶下的点F处，测得旗杆顶端A的仰角为60°，已知升旗台的高度BE为1米，点C距地面的高度CD为3米，台阶CF的坡角为

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30°，且点E、F、D在同一条直线上，求旗杆AB的高度（计算结果精确到0.1米，参考数据：

≈1.41，

≈1.73）

【分析】过点C作CM⊥AB于M．则四边形MEDC是矩形，设EF=x，根据AM=DE，列出方程即可解决问题．

【解答】解：过点C作CM⊥AB于M．则四边形MEDC是矩形， ∴ME=DC=3．CM=ED，

在Rt△AEF中，∠AFE=60°，设EF=x，则AF=2x，AE=在Rt△FCD中，CD=3，∠CFD=30°， ∴DF=3

，

x，

在Rt△AMC中，∠ACM=45°， ∴∠MAC=∠ACM=45°， ∴MA=MC， ∵ED=CM， ∴AM=ED，

∵AM=AE﹣ME，ED=EF+DF， ∴

x﹣3=x+3

， （6+3

）=6

+9，

，

∴x=6+3∴AE=

∴AB=AE﹣BE=9+6﹣1≈18.4米．

答：旗杆AB的高度约为18.4米．

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【点评】本题考查解直角三角形﹣仰角俯角问题，坡度坡角问题等知识，解题的关键是学会利用参数，构建方程解决问题，属于中考常考题型．

29．（2017?遵义）乌江快铁大桥是快铁渝黔线的一项重要工程，由主桥AB和引桥BC两部分组成（如图所示），建造前工程师用以下方式做了测量；无人机在A处正上方97m处的P点，测得B处的俯角为30°（当时C处被小山体阻挡无法观测），无人机飞行到B处正上方的D处时能看到C处，此时测得C处俯角为80°36′． （1）求主桥AB的长度；

（2）若两观察点P、D的连线与水平方向的夹角为30°，求引桥BC的长． （长度均精确到1m，参考数据：≈1.73，sin80°36′≈0.987，cos80°36′≈0.163，tan80°36′≈6.06）

【分析】（1）在Rt△ABP中，由AB=可得答案；

（2）由∠ABP=30°、AP=97知PB=2PA=194，再证△PBD是等边三角形得DB=PB=194m，根据BC=

可得答案．

【解答】解：（1）由题意知∠ABP=30°、AP=97， ∴AB=

=

=

=97

≈168m，

答：主桥AB的长度约为168m；

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本文来源：https://www.bwwdw.com/article/2f16.html