三角函数1.2任意角的三角函数1.2.1任意角的三角函数教案苏教版必修4

1．2.1 任意角的三角函数

整体设计

教学分析

学生已经学过锐角三角函数，它是用直角三角形边长的比来刻画的．锐角三角函数的引入与“解三角形”有直接关系．任意角的三角函数是刻画周期变化现象的数学模型，它与“解三角形”已经没有什么关系了．因此，与学习其他基本初等函数一样，学习任意角的三角函数，关键是要使学生理解三角函数的概念、图象和性质，并能用三角函数描述一些简单的周期变化规律，解决简单的实际问题．

本节以锐角三角函数为引子，利用单位圆上点的坐标定义三角函数．由于三角函数与单位圆之间的这种紧密的内部联系，使得我们在讨论三角函数的问题时，对于研究哪些问题以及用什么方法研究这些问题等，都可以从圆的性质(特别是对称性)中得到启发．三角函数的研究中，数形结合思想起着非常重要的作用．

利用信息技术，可以很容易地建立角的终边和单位圆的交点坐标、单位圆中的三角函数线之间的联系，并在角的变化过程中，将这种联系直观地体现出来，所以信息技术可以帮助学生更好地理解三角函数的本质；激发学生对数学研究的热情，培养学生勇于发现、勇于探索、勇于创新的精神；通过学生之间、师生之间的交流合作，实现共同探究、教学相长的教学情境．

三维目标

1．通过借助单位圆理解并掌握任意角的三角函数定义，理解三角函数是以实数为自变量的函数，并从任意角的三角函数定义认识正弦、余弦、正切函数的定义域，理解并掌握正弦、余弦、正切函数在各象限内的符号．

2．正确利用与单位圆有关的有向线段，将任意角α的正弦、余弦、正切函数值表示出来，即用正弦线、余弦线、正切线表示出来．

3．能初步应用定义分析和解决与三角函数值有关的一些简单问题． 重点难点

教学重点：任意角的正弦、余弦、正切的定义．

教学难点：用角的终边上的点的坐标来刻画三角函数；三角函数符号的掌握；利用与单位圆有关的有向线段，将任意角α的正弦、余弦、正切函数值用几何形式表示．

1

课时安排 2课时

教学过程 第1课时

导入新课

我们把角的范围推广了，锐角三角函数的定义还能适用吗？譬如三角形内角和为180°，那么sin200°的值还是三角形中200°的对边与斜边的比值吗？类比角的概念的推广，怎样修正三角函数定义？由此展开新课．另外用“单位圆定义法”单刀直入给出定义，然后再在适当时机联系锐角三角函数，这也是一种不错的选择．

推进新课

新知探究

任意角的三角函数

1．任意角的三角函数的定义．

角α的终边上任意一点P的坐标是(x，y)，它与原点的距离为r(r>0)，则角α的三角函数定义为：

三角函数 sinα cosα tanα 定义 y rx ry x定义域 R R π{α|α≠kπ＋，k∈Z} 22．各象限角的三角函数值的符号如下图所示．

图1

三角函数正值口诀：Ⅰ全正，Ⅱ正弦，Ⅲ两切，Ⅳ余弦．

教师提示：前面我们对角的概念已经进行了扩充，并且学习了弧度制，知道了角的集合

2

与实数集是一一对应的，在此基础上，我们来研究任意角的三角函数．教师在直角三角形所在的平面上建立适当的坐标系，画出角α的终边；学生给出相应点的坐标，并用坐标表示锐角三角函数．如图2.设锐角α的顶点与原点O重合，始边与x轴的正半轴重合，那么它的终边在第一象限．在α的终边上任取一点P(x，y)，它与原点的距离r＝x＋y>0.过P作x轴的垂线，垂足为M，则线段OM的长度为x，线段MP的长度为y.

22

图2

根据初中学过的三角函数定义，我们有 MPyOMxMPy

sinα＝＝，cosα＝＝，tanα＝＝. OPrOPrOMx怎样将锐角的三角函数推广到任意角的三角函数呢？

教师先让学生们相互讨论，并让他们动手画出图形，看看从图形中是否能找出某种关系来．然后提问学生，由学生回答教师的问题，教师再引导学生选几个点，计算一下对应的比值，获得具体认识，并由相似三角形的性质来证明．最后可以发现，由相似三角形的知识，对于确定的角α，这三个比值不会随点P在α的终边上的位置的改变而改变．也就是说，yxπ

对于确定的角α，比值和都惟一确定，故正弦、余弦都是角α的函数．当α＝＋kπ(k∈Z)

rr2π

时，角α的终边在y轴上，故有x＝0，这时tanα无意义．除此之外，对于确定的角α(α≠

2y

＋kπ，k∈Z)，比值也是惟一确定的，故正切也是角α的函数．sinα、cosα、tanα分

x别叫做角α

的正弦函数、余弦函数、正切函数．以上三种函数都称为三角函数

(trigonometric function)．

由定义可知，正弦函数、余弦函数、正切函数的值在各象限的符号，如图3所示．

图3

3

与学生一起讨论得到以上结论后，教师可以引导学生通过分析三角函数定义中的自变量是什么，对应关系有什么特点，函数值是什么．特别注意α既表示一个角，又是一个实数(弧度数)：“它的终边与单位圆交于点P(x，y)”包含两个对应关系．从而可以把三角函数看成是自变量为实数的函数．值得注意的是：(1)正弦、余弦、正切、余切、正割、余割都是以角为自变量，以比值为函数值的函数．

(2)sinα不是sin与α的乘积，而是一个比值；三角函数的记号是一个整体，离开自变量的“sin”“tan”等是没有意义的．

研究函数我们首先要考虑它的定义域，教师要注意引导学生从定义出发，利用坐标平面y内点的坐标的特征得定义域．对于正弦函数sinα＝，因为y恒有意义，即α取任意实数，

ry恒有意义，也就是说sinα恒有意义，所以正弦函数的定义域是R；类似地可写出余弦函yy

数的定义域；对于正切函数tanα＝，因为x＝0时，无意义，即tanα无意义，又当且

xxy

仅当角α的终边落在纵轴上时，才有x＝0，所以当α的终边不在纵轴上时，恒有意义，

xπ

即tanα恒有意义，所以正切函数的定义域是α≠＋kπ(k∈Z)．(由学生填写下表)

2

三角函数 sinα cosα tanα

三角函数的定义告诉我们，各三角函数在各象限内的符号，取决于x，y的符号，当点P在第一、二象限时，纵坐标y>0，点P在第三、四象限时，纵坐标y<0，所以正弦函数值对于第一、二象限角是正的，对于第三、四象限角是负的(可制作课件展示)；同样地，余弦函数在第一、四象限是正的，在第二、三象限是负的；正切、余切函数在第一、三象限是正的，在第二、四象限是负的．从而完成上面结论的探究．

定义域 R R π{α|α≠＋kπ，k∈Z} 2 应用示例

思路1

例1已知角α的终边经过点P(2，－3)，求α的正弦、余弦和正切值．

4

图4

解：因为x＝2，y＝－3，所以r＝2＋?－3?＝13. y－3313x2213

所以sinα＝＝＝－，cosα＝＝＝，

r13r131313y3

tanα＝＝－. x2

点评：本例是已知角α终边上一点的坐标，求角α的三角函数值问题．可以先根据三角形相似将这一问题化归到单位圆上，再由定义得解. 变式训练 5π 求的正弦、余弦和正切值． 35π解：在平面直角坐标系中，作∠AOB＝，如图5. 32

2

图5 13易知∠AOB的终边与单位圆的交点坐标为(，－)． 225π35π15π所以sin＝－，cos＝，tan＝－3. 32323

例2见课本本节例2. 变式训练 1．求证：当且仅当下列不等式组成立时，角θ为第三象限角． 5

??sinθ<0，???tanθ>0. ①② 证明：我们证明如果①②式都成立，那么θ为第三象限角． 因为①sinθ<0成立，所以θ角的终边可能位于第三或第四象限，也可能位于y轴的非正半轴上； 又因为②式tanθ>0成立，所以θ角的终边可能位于第一或第三象限． 因为①②式都成立，所以θ角的终边只能位于第三象限． 于是角θ为第三象限角． 反过来请同学们自己证明． 点评：本例的目的是认识不同位置的角对应的三角函数值的符号，其条件以一个不等式出现，在教学时要让学生把问题的条件、结论弄清楚，然后再给出证明．这一问题的解决可以训练学生的数学语言表达能力. 2.已知cosθtanθ<0，那么角θ是( ) A．第一或第二象限角 B．第二或第三象限角 C．第三或第四象限角 D．第一或第四象限角 答案：C 思路2

例1已知角α的终边在直线y＝－3x上，则10sinα＋3secα＝________.

活动：要让学生独立思考这一题目，本题虽然是个填空题，看似简单但内含分类讨论思想，教师可以找两个学生来板演这个例题．对解答思路正确的学生给以鼓励，对思路受阻的学生教师要引导其思路的正确性，并适时地点拨学生：假如是个大的计算题应该怎样组织步骤？

解析：设角α终边上任一点为P(k，－3k)(k≠0)，则 x＝k，y＝－3k，r＝k＋?－3k?＝10|k|. (1)当k>0时，r＝10k，α是第四象限角，

y－3k310r10k

sinα＝＝＝－，secα＝＝＝10，

r10xk10k

310

∴10sinα＋3secα＝103(－)＋310＝－310＋310＝0.

10(2)当k<0时，r＝－10k，α为第二象限角，

2

2

6

y－3k310r－10k

sinα＝＝＝，secα＝＝＝－10，

r－10k10xk310

∴10sinα＋3secα＝103＋33(－10)＝310－310＝0.

10综合以上两种情况均有10sinα＋3secα＝0. 答案：0

点评：本题的解题关键是要清楚当k>0时，P(k，－3k)是第四象限内的点，角α的终边在第四象限；当k<0时，P(k，－3k)是第二象限内的点，角α的终边在第二象限内，这与角α的终边在y＝－3x上是一致的．

例2求函数y＝sinα＋tanα的定义域．

活动：教师让学生先回顾求函数的定义域需要注意哪些特点，并让学生归纳出一些常见函数有意义的要求，根据函数有意义的特征来求自变量的范围．对于三角函数这种特殊的函数在解三角不等式时要结合三角函数的定义进行．求含正切函数的组合型三角函数的定义域时，正切函数本身的定义域往往被忽略，教师提醒学生应注意这种情况．同时，函数的定义域是一个集合，所以结论要用集合形式表示．

π

解：要使函数y＝sinα＋tanα有意义，则sinα≥0且α≠kπ＋(k∈Z)．

2由正弦函数的定义知道，sinα≥0就是角α的终边与单位圆的交点的纵坐标非负． ∴角α的终边在第一、二象限或在x轴上或在y轴非负半轴上，即2kπ≤α≤π＋2kπ(k∈Z)．

ππ

∴函数的定义域是{α|2kπ≤α<＋2kπ，或＋2kπ<α≤(2k＋1)π，k∈Z}．

22点评：本题的关键是弄清楚要使函数式有意义，必须sinα≥0，且tanα有意义，由此推导出α的取值范围就是函数的定义域. 变式训练 求下列函数的定义域： sinx＋cosx(1)y＝sinx＋cosx；(2)y＝sinx＋tanx；(3)y＝. tanx解：(1)∵使sinx、cosx有意义的x∈R， ∴y＝sinx＋cosx的定义域为R. (2)要使函数有意义，必须使sinx与tanx有意义． 7

x∈R，??∴有?πx≠kπ＋.?2? π∴函数y＝sinx＋tanx的定义域为{x|x≠kπ＋，k∈Z}． 2(3)要使函数有意义，必须使tanx有意义，且tanx≠0. π??x≠kπ＋，2∴有???x≠kπ (k∈Z)． sinx＋cosxkπ∴函数y＝的定义域为{x|x≠，k∈Z}. tanx2

知能训练

课本本节练习1～6.

课堂小结

本节课我们给出了任意角三角函数的定义，并且讨论了正弦、余弦、正切函数的定义域，任意角的三角函数实质上是锐角三角函数的扩展，是将锐角三角函数中边的比变为坐标与距离、坐标与坐标的比，记忆方法可用锐角三角函数类比记忆，至于三角函数的定义域可由三角函数的定义分析得到．

作业

课本习题1.2 1,5,6.

设计感想

关于三角函数定义法，总的来说就两种：“单位圆定义法”与“终边定义法”．这两种方法本质上是一致的．正因为这样，各种数学出版物中，两种定义方法都有采用．在学习本节的过程中可以与初中学习的三角函数定义进行类比、学习．理解任意角三角函数的定义不但是学好本节内容的关键，也是学好本章内容的关键．在教学中，教师应该充分调动学生独立思考和总结的能力，以巩固对知识的理解和掌握．

教师在教学中，始终引导学生紧扣三角函数的定义，善于利用数形结合．在利用三角函数定义进行求值时，应特别强调要注意横向联系，即不仅仅能求出该值，还要善于观察该值与其他三角函数值之间的联系，找出规律来求解．

备课资料

8

一、关于余切、正割、余割函数

设α是一个任意大小的角，角α的终边与单位圆的交点P(x，y)，那么除角α的正弦、余弦、正切外，还可定义角α的余切、正割、余割，它们分别是

xrr

cotα＝，secα＝，cscα＝.

yxy

角α的正弦、余弦、正切、余切、正割、余割统称为角α的三角函数． 二、备用习题

1．角α的终边经过点P(2a,3a)(a≠0)，则cosα的值是( ) A.

1313 B. 131213213

D．± 1313

tanα

<0，则α在( ) sinα

C．±

2．已知tanαcosα>0，且

A．第二象限 B．第三象限 C．第四象限 D．第三、四象限 3．下列各三角函数值中，负值的个数是( )

①sin(－660°) ②tan160° ③cos(－740°) ④sin(－420°)cos570° A．1 B．2 C．3 D．4 4.

tan?－150°?cos?－210°?cos420°tan?－600°?

＝__________.

sin?－330°?

5．确定下列各式的符号：

(1)sin105°cos230°；(2)cos6tan6；(3)tan191°－cos191°. 6．已知tanx>0，且sinx＋cosx>0，则角x是第__________象限角． 参考答案：1.D 2.A 3.A 4.

3 2

5．解：(1)∵105°、230°分别是第二、三象限角， ∴sin105°>0，cos230°<0.∴sin105°cos230°<0. 3π

(2)∵<6<2π，∴6是第四象限角．

2∴cos6>0，tan6<0.∴cos6tan6<0.

(3)∵tan191°>0，cos191°<0，∴tan191°－cos191°>0.

6．一 解析：由tanx>0，知x为第一或第三象限角，而当x是第三象限角时，sinx

9

与cosx都取负值，这与sinx＋cosx>0矛盾，故知角x是第一象限角．

第2课时

导入新课

思路1.(情境导入)同学们都在一些旅游景地或者在公园中见过大观览车，大家是否想过大观览车在转动过程中，座椅离地面的高度随着转动角度的变化而变化，二者之间有怎样的相依关系呢？由此导入新课．

思路2.(复习导入)我们研究了三角函数在各象限内的符号，前面还分析讨论了三角函数的定义域，这些内容的研究，都是建立在任意角的三角函数定义之上的，这些知识在以后我们继续学习“三角”内容时，是经常、反复运用的，请同学们务必在理解的基础上要加强记忆．由三角函数的定义我们知道，对于角α的各种三角函数我们都是用比值来表示的，或者说是用数来表示的，今天我们再来学习正弦、余弦、正切函数的另一种表示方法——几何表示法．我们知道，直角坐标系内点的坐标与坐标轴的方向有关．因此自然产生一个想法是以坐标轴的方向来规定有向线段的方向，以使它们的取值与点的坐标联系起来．

推进新课

新知探究

活动：1.任意角的三角函数的几何表示，即三角函数线． 2．有向线段，有向线段的数量及单位圆来表示三角函数．

教师指导学生在平面直角坐标系内作出单位圆，设任意角α的顶点在原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边与单位圆相交于点P(x，y)，x轴的正半轴与单位圆相交于A(1,0)，过P作x轴的垂线，垂足为M；过A作单位圆的切线，这条切线必平行于y轴(垂直于同一条直线的两直线平行)，设它与角α的终边或其反向延长线交于点T.教师点拨学生观察线段的方向与点P的坐标．显然，线段OM的长度为|x|，线段MP的长度为|y|，它们都只能取非负值．

当角α的终边不在坐标轴上时，我们可以把OM、MP都看作带有方向的线段： 如果x>0，OM与x轴同向，规定此时OM具有正值x；如果x<0，OM与x轴正向相反(即反向)，规定此时OM具有负值x，所以不论哪一种情况，都有OM＝x.

如果y>0，把MP看作与y轴同向，规定此时MP具有正值y；如果y<0，把MP看作与y轴反向，规定此时MP具有负值y，所以不论哪一种情况，都有MP＝y.

引导学生观察OM、MP都是带有方向的线段，这种被看作带有方向的线段叫做有向线段．

10

yyxx

于是，根据正弦、余弦函数的定义，就有sinα＝＝＝y＝MP，cosα＝＝＝x＝OM.

r1r1这两条与单位圆有关的有向线段MP、OM分别叫做角α的正弦线、余弦线．

类似地，我们把OA、AT也看作有向线段，那么根据正切函数的定义和相似三角形的知yAT

识，就有tanα＝＝＝AT.

xOA

这条与单位圆有关的有向线段AT，叫做角α的正切线(如图6、7)．

当角α终边在y轴的右侧时(图6)，在角α终边上取点T(1，y′)，则tanα＝

y′＝1

y′＝AT(A为单位圆与x轴正半轴的交点)；当角α终边在y轴的左侧时(图7)，在角α终边的反向延长线上取点T(1，y′)，由于它关于原点的对称点Q(－1，－y′)在角α终边上，－y′故有tanα＝＝y′＝AT.

－1

图6 图7

即总有tanα＝AT.

因此，我们把有向线段AT叫做角α的正切线． 有向线段MP、OM、AT都称为三角函数线．

当角α的终边在不同象限时，其三角函数线如图8所示．

图8

师生共同讨论探究，最后一致得出以下几点：

(1)当角α的终边在y轴上时，余弦线变成一个点，正切线不存在． (2)当角α的终边在x轴上时，正弦线、正切线都变成点．

(3)正弦线、余弦线、正切线都是与单位圆有关的有向线段，所以作某角的三角函数线

11

时，一定要先作单位圆．

(4)线段有两个端点，在用字母表示正弦线、余弦线、正切线时，要先写起点字母，再写终点字母，不能颠倒；或者说，含原点的线段，以原点为起点，不含原点的线段，以此线段与x轴的公共点为起点．

(5)三种有向线段的正负与坐标轴正反方向一致，三种有向线段的数量与三种三角函数值相同．

正弦线、余弦线、正切线统称为三角函数线．

应用示例

例1如图9，α、β的终边分别与单位圆交于点P、Q，过A(1,0)作切线AT，交射线OP于点T，交射线OQ的反向延长线于点T′，点P、Q在x轴上的射影分别为点M、N，则sinα＝________，cosα＝________，tanα＝________，sinβ＝________，cosβ＝________，tanβ＝________.

图9

活动：根据三角函数线的定义，可知sinα＝MP，cosα＝OM，tanα＝AT，sinβ＝NQ，cosβ＝ON，tanβ＝AT′.

答案：MP OM AT NQ ON AT′

点评：掌握三角函数线的作法，注意用有向线段表示三角函数线时，字母的书写顺序不能随意颠倒. 变式训练 利用三角函数线证明|sinα|＋|cosα|≥1. 解：当α的终边落在坐标轴上时，正弦(或余弦)线变成一个点，而余弦(或正弦)线的长等于r，所以|sinα|＋|cosα|＝1. 当角α终边落在四个象限时，利用三角形两边之和大于第三边有|sinα|＋|cosα|＝|OM|＋|MP|>1，∴|sinα|＋|cosα|≥1.

12

1111

例2证明恒等式＋＋＋＝2. 2222

1＋sinα1＋cosα1＋secα1＋cscα

活动：引导学生总结证明恒等式的方法与步骤，特别地，在证明三角恒等式时，一般地是从较繁的一边推向较简的一边．从方向上来推证三角恒等式主要有三种推证方法，即从左边推向右边；从右边推向左边；左、右两边同推向第三个式子．

证法一：设M(x，y)为角α终边上异于原点的一点，|OM|＝r，由三角函数定义，有 yxrr

sinα＝，cosα＝，secα＝，cscα＝. rrxy1111

原式左边＝2＋2＋2＋2

yxrr1＋21＋21＋21＋2rrxyrrxy

＝22＋22＋22＋22 r＋yr＋xr＋xr＋yr＋yr＋x＝22＋22 r＋yr＋x＝2＝右边． ∴原等式成立．

11

证法二：左边＝＋＋22

1＋sinα1＋cosα

2

2

2

2

2

2

2

2

2

1＋ 111＋1＋22cosαsinα

2

1

11cosαsinα

＝＋＋＋ 22221＋sinα1＋cosα1＋cosα1＋sinα1＋sinα1＋cosα＝＋ 22

1＋sinα1＋cosα＝2 ＝右边． ∴左边＝右边． ∴原等式成立．

点评：根据本题的特点，被证式的左边比较复杂，故可由左边证向右边. 变式训练 1＋secα＋tanα1＋sinα 求证：＝. 1＋secα－tanαcosαy证明：设M(x，y)为α终边上异于原点的一点，|OM|＝r，由三角函数定义，有sinα＝，rxyrcosα＝，tanα＝，secα＝. rxx2

2

13

ry1＋＋xxx＋r＋y?x＋r＋y??x＋r＋y?左边＝＝＝ ryx＋r－y?x＋r－y??x＋r＋y?1＋－xx?x＋r＋y?2r＋2xy＋2xr＋2ry＝ 22＝2?x＋r?－y2x＋2xr?r＋y??r＋x?r＋y＝＝， x?r＋x?xy1＋rr＋y右边＝＝，∴左边＝右边，故原等式成立. xxr

22 知能训练

课本本节练习7、8.

课堂小结

本节课我们学习了有向线段的定义，正弦线、余弦线、正切线的定义，这三种三角函数线都是一些特殊的有向线段，其之所以特殊，一是其与坐标轴平行(或重合)，二是其与单位圆有关，这些线段分别都可以表示相应三角函数的值，所以说它们是三角函数的一种几何表示．

三角函数线是利用数形结合的思想解决有关问题的重要工具，利用三角函数线可以解或证明三角不等式，求函数的定义域以及比较大小，三角函数线也是后面将要学习的三角函数的图象的作图工具．

作业

利用单位圆和三角函数线证明：若α为锐角，则(1)sinα＋cosα>1；(2)sinα＋cosα＝1.

证明：如图10，记角α与单位圆的交点为P，过P作PM⊥x轴于M，则sinα＝MP，cosα＝OM.

2

2

14

图10

(1)在Rt△OMP中，MP＋OM>OP， 即sinα＋cosα>1.

(2)在Rt△OMP中，MP＋OM＝OP， 即sinα＋cosα＝1.

设计感想

对于三角函数线，开始时学生可能不是很理解，教师应该充分发挥好图象的直观作用，让学生通过图形来感知、了解三角函数线的定义．在学生理解了正弦线、余弦线、正切线的定义后，教师应引导学生会利用三角函数线来发现、总结、归纳正弦函数、余弦函数、正切函数的性质，以便为了以后更好地学习三角函数的图象和性质打下良好的基础．教师要让学生对三角函数线了解即可，要让学生利用任意角的三角函数线来感知对应的三角函数图象的变化趋势，不要再向深处挖掘，因为三角函数线能解决的问题都可以用三角函数的图象来解决．教师在教学中要搞好师生互动，让学生自己动脑、动手，多启发学生善于发现问题、提出问题、解决问题的能力，让学生学会独立思考和归纳总结知识的能力．

备课资料

一、一个三角不等式的证明

π

已知θ∈(0，)，求证：sinθ<θ

2

证明：如图11，设锐角θ的终边交单位圆于点P，过单位圆与x轴正半轴的交点A作圆的切线交OP于点T，过点P作PM⊥x轴于点M，则MP＝sinθ，AT＝tanθ，θ，连结PA.

的长为

2

2

2

2

2

图11

∵S△OPA

15

1112

∴|OA||MP|<|OA|2θ<|OA||AT|. 222

∴|MP|<θ<|AT|，则MP<θ

ππ

1．若<θ<，则sinθ，cosθ，tanθ的大小关系是( )

42A．tanθ

31

和cosα>同时成立的α的取值范围是( ) 22

πππ

A．(－，) B．(0，)

333

5ππ5π

C．(，2π) D．(0，)∪(，2π)

3333．在(0,2π)内，使sinx>cosx成立的x的取值范围是__________． π

4．设0<β<α<，求证：α－β>sinα－sinβ.

25．当α∈[0,2π)时，试比较sinα与cosα的大小． π5π

参考答案：1.D 2.D 3.(，)

44

4．证明：如图12，设单位圆与角α、β的终边分别交于P1、P2，作P1M1⊥x轴于M1，作P2M2⊥x轴于M2，作P2C⊥P1M于C，连结P1P2，

图12

则sinα＝M1P1，sinβ＝M2P2，α－β＝∴α－β＝sinβ.

5．解：如图13.

π

(1)当0≤α<时，设角α的终边与单位圆交于点P1(x1，y1)，此时x1>y1，而sinα＝

4

16

，

>P1P2>CP1＝M1P1－M1C＝M1P1－M2P2＝sinα－sinβ，即α－β>sinα－

y1，

图13

cosα＝x1，∴cosα>sinα.

π

(2)当α＝时，x1＝y1，此时sinα＝cosα.

4

ππ

(3)当<α≤时，设角α的终边与单位圆交于点P2(x2，y2)，此时y2>x2，而sinα

42＝y2，cosα＝x2，

∴sinα>cosα.

π

(4)当<α≤π时，sinα≥0，cosα<0，∴sinα>cosα.

2

5π

(5)当π<α<时，设角α的终边与单位圆交于点P3(x3，y3)，此时x3

4＝y3，cosα＝x3，

∴sinα>cosα.

5π

(6)当α＝时，有sinα＝cosα.

4

5π3π

(7)当<α≤时，设角α的终边与单位圆交于点P4(x4，y4)，此时y4

42＝y4，cosα＝x4，

∴sinα

3π

(8)当<α<2π时，cosα≥0，sinα<0，

2∴cosα>sinα.

π5ππ5π

综上所述，当α∈(，)时，sinα>cosα；当α＝或时，sinα＝cosα；当

4444π5π

α∈[0，)∪(，2π)时，sinα

44

17

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