高考排列组合及二项式定理知识总结与例题讲解（5分）

高考二项式定理知识总结与例题讲解（5分）

一、高考二项式定理知识点总结

1．二项式定理：

0n1n?1(a?b)n?Cna?Cnab?rn?rr?Cnab?nn?Cnb(n?N?)，

2．基本概念：

①二项式展开式：右边的多项式叫做(a?b)n的二项展开式。

r②二项式系数:展开式中各项的系数Cn(r?0,1,2,???,n).

③项数：共(r?1)项，是关于a与b的齐次多项式

rn?rrrn?rr④通项：展开式中的第r?1项Cn用Tr?1?Cn ab表示。ab叫做二项式展开式的通项。

3．注意关键点：

①项数：展开式中总共有(n?1)项。

②顺序：注意正确选择a,b,其顺序不能更改。(a?b)n与(b?a)n是不同的。

③指数：a的指数从n逐项减到0，是降幂排列。b的指数从0逐项减到n，是升幂排列。

各项的次数和等于n.

012rn④系数：注意正确区分二项式系数与项的系数，二项式系数依次是Cn,Cn,Cn,???,Cn,???,Cn.项的系数是a与b的系数（包括二项式系数）。

4．常用的结论：

0122令a?1,b?x, (1?x)n?Cn?Cnx?Cnx?0122令a?1,b??x, (1?x)n?Cn?Cnx?Cnx?rr?Cnx?rr?Cnx?nn?Cnx(n?N?) nn?(?1)nCnx(n?N?)

5．性质：

①二项式系数的对称性：与首末两端“对距离”的两个二项式系数相等，即

0nkk?1，···Cn Cn?Cn?Cn②二项式系数和：令

012Cn?Cn?Cn?12 变形式Cn?Cn?a?b?1,则二项式系数的和为

r?Cn?n?Cn?2n， n?Cn?2n?1。

r?Cn?③奇数项的二项式系数和=偶数项的二项式系数和：

0123在二项式定理中，令a?1,b??1，则Cn?Cn?Cn?Cn?n ?(?1)nCn?(1?1)n?0，

0242r13从而得到：Cn?Cn?Cn????Cn?????Cn?Cn?2r?1?Cn?????1n?2?2n?1 2④奇数项的系数和与偶数项的系数和：

0n01n?12n?22(a?x)n?Cnax?Cnax?Cnax?00n122n?2(x?a)n?Cnax?Cnaxn?1?Cnax?n0n?Cnax?a0?a1x1?a2x2?nn0?Cnax?anxn??anxn?a2x2?a1x1?a0

令x?1, 则a0?a1?a2?a3令x??1,则a0?a1?a2?a3?①?②得,a0?a2?a4①?②得,a1?a3?a5?an?(a?1)n?????????①?an?(a?1)n????????②(a?1)n?(a?1)n?an?(奇数项的系数和)2(a?1)n?(a?1)n?an?(偶数项的系数和)2n2n⑤二项式系数的最大项：如果二项式的幂指数n是偶数时，则中间一项的二项式系数C取得最大值。

如果二项式的幂指数n是奇数时，则中间两项的二项式系数

Cn?12n,Cnn?12n同时取得最大值。

⑥系数的最大项：求(a?bx)展开式中最大的项，一般采用待定系数法。设展开式中各项

系数分别

r?1项系数最大，应有?为A1,A2,???,An?1，设第

?Ar?1?Ar，从而解出r来。

A?A?r?1r?2

专题一

题型一：二项式定理的逆用；

123例：Cn?Cn?6?Cn?62?n?Cn?6n?1? .

n?Cn?6n与已知的有一些差距，

0123解：(1?6)n?Cn?Cn?6?Cn?62?Cn?63?123?Cn?Cn?6?Cn?62?n?Cn?6n?1? ?1012(Cn?Cn?6?Cn?62?6112n(Cn?6?Cn?62??Cn?6n) 611n?Cn?6n?1)?[(1?6)n?1]?(7n?1)

66123练：Cn?3Cn?9Cn?n?3n?1Cn? .

n，则?3n?1Cnnn012233?Cn3?Cn?Cn3?Cn3?Cn3?nn?Cn3?1?(1?3)n?1123解：设Sn?Cn?3Cn?9Cn?122333Sn?Cn3?Cn3?Cn3?

(1?3)n?14n?1 ?Sn??33题型二：利用通项公式求xn的系数； 例：在二项式(4132n?x)的展开式中倒数第3项的系数为45，求含有x3的项的系数？ x2n?22解：由条件知Cn?45，即Cn?45，?n?n?90?0，解得n??9(舍去)或n?10，

由

Tr?1?C(x)3r10?1410?r(x)?Cx23rr10?10?r2?r43，由题意?10?r2?r?3,解得r?6， 4363则含有x的项是第7项T6?1?C10x?210x3,系数为210。

19)展开式中x9的系数？ 2x111r(x2)9?r(?)r?C9rx18?2r(?)rx?r?C9r(?)rx18?3r，令18?3r?9,则解：Tr?1?C92x22r?3

132139故x的系数为C9(?)??。

222练：求(x?

题型三：利用通项公式求常数项； 例：求二项式(x2?12x)10的展开式中的常数项？

解：Tr?1?C(x)r10210?rr51r20?5()?C()x2，令20?r?0，得r?8，所以

222x1rr1045818T9?C10()?

225616)的展开式中的常数项？ 练：求二项式(2x?2x1rr6?rrrr6?r1r6?2r解：Tr?1?C6(2x)(?1)()?(?1)C62()x，令6?2r?0，得r?3，所以

2x23T4?(?1)3C6??20

1n)的二项展开式中第5项为常数项，则n?____. x42n?41442n?12解：T5?Cn(x)()?Cnx，令2n?12?0，得n?6.

x2练：若(x?题型四：利用通项公式，再讨论而确定有理数项；

例：求二项式(x?3x)9展开式中的有理项？ 解：Tr?1?C(x)r9129?r(?x)?(?1)Cx13rrr927?r6，令

27?r?Z,(0?r?9)得r?3或r?9， 627?r34?4，T4?(?1)3C9x??84x4， 627?r93?3，T10?(?1)3C9当r?9时，x??x3。 6所以当r?3时，

题型五：奇数项的二项式系数和=偶数项的二项式系数和； 例：若(x2?13x21)n展开式中偶数项系数和为?256，求n.

解：设(x2?3x2)n展开式中各项系数依次设为a0,a1,???an,

令x??1,则有a0?a1????an?0,①，令x?1,则有

a0?a1?a2?a3?????(?1)nan?2n,②

将①-②得：2(a1?a3?a5????)??2n,?a1?a3?a5??????2n?1, 有题意得，?2练：若(3n?1??256??28，?n?9。

151n?2)的展开式中，所有的奇数项的系数和为1024，求它的中间项。 xx2r?1?Cn?????2n?1，?2n?1?1024，解

解：

0242r13Cn?Cn?Cn????Cn?????Cn?Cn?得n?11

53 所以中间两个项分别为n?6,n?7，T5?1?Cn(16515)(2)?462?x?4，xxT6?1?462?x12?6115

题型六：最大系数，最大项；

n例：已知(?2x)，若展开式中第5项，第6项与第7项的二项式系数成等差数列，求展

开式中二项式系数最大项的系数是多少？ 解：

465Cn?Cn?2Cn,?n2?21n?98?0,解出n?7或n?14，当n?7时，展开式中二

343项式系数最大的项是T4和T5?T4的系数?C7()2?1235,，2

4134T5的系数?C7()2?70,当n?14时，展开式中二项式系数最大的项是T8，

27177?T8的系数?C14()2?3432。

2练：在(a?b)2n的展开式中，二项式系数最大的项是多少？

解：二项式的幂指数是偶数2n，则中间一项的二项式系数最大，即T2n2?1?Tn?1，也就是第

n?1项。

练：在(?x21n)的展开式中，只有第5项的二项式最大，则展开式中的常数项是多少？ 3xn?1?5，即n?8,所以展开式中常数项为第七项等于2解：只有第5项的二项式最大，则

1C86()2?7

2练：写出在(a?b)7的展开式中，系数最大的项？系数最小的项？

解：因为二项式的幂指数7是奇数，所以中间两项(第4,5项)的二项式系数相等，且同时

343434取得最大值，从而有T4??C7ab的系数最小，T5?C7ab系数最大。

n练：若展开式前三项的二项式系数和等于79，求(?2x)的展开式中系数最大的项？

12012解：由Cn?Cn?Cn?79,解出n?12,假设Tr?1项最大，

11(?2x)12?()12(1?4x)12 22rrr?1r?1??Ar?1?Ar?C124?C124????rr，化简得到9.4?r?10.4，又0?r?12，r?1r?1?Ar?1?Ar?2??C124?C1241101010?r?10，展开式中系数最大的项为T11,有T11?()12C124x?16896x10

2练：在(1?2x)10的展开式中系数最大的项是多少？ 解：假设Tr?1项最大，

rTr?1?C10?2rxr

rrr?1r?1??Ar?1?Ar?2(11?r)?r?C102?C102????rr解得，化简得到?r?1r?1A?Ar?1?2(10?r)???r?1r?2?C102?C102,6.3?k?7.3，又0?r?10，?r?7，展开式中系数最大的项为

777T8?C102x?15360x7.

题型七：含有三项变两项；

例：求当(x2?3x?2)5的展开式中x的一次项的系数？

r解法①：(x2?3x?2)5?[(x2?2)?3x]5，Tr?1?C5(x2?2)5?r(3x)r，当且仅当r?1时，

1此时Tr?1?T2?C5所以x得一次Tr?1的展开式中才有x的一次项，(x2?2)43x，144项为C5C423x

144它的系数为C5C423?240。

解法②：

05145051455(x2?3x?2)5?(x?1)5(x?2)5?(C5x?C5x?????C5)(C5x?C5x2?????C52)

4554 故展开式中含x的项为C5xC52?C5x24?240x，故展开式中x的系数为240.

练：求式子(x?1?2)3的常数项？ x解：(x?116?2)3?(x?)，设第r?1项为常数项，则xx6?rrTr?1?C6(?1)rx(1r6?2rr，得6?2r?0,r?3, )?(?1)6C6xx3?T3?1?(?1)3C6??20.

题型八：两个二项式相乘；

例：求(1?2x)(1?x)展开式中x的系数. 解：

mm(1?2x)3的展开式的通项是C3?(2x)m?C3?2m?xm,

nnnn(1?x)4的展开式的通项是Cn?(?x)?C??1?x,其中m?0,1,2,3,n?0,1,2,3,4,44342

令m?n?2,则m?0且n?2,m?1且n?1,m?2且n?0,因此(1?2x)3(1?x)4

021120的展开式中x2的系数等于C3?20?C4?(?1)2?C3?21?C4?(?1)1?C3?22?C4?(?1)0??6.

练：求(1?3x)(1?6110)展开式中的常数项. 4xmn4m?3n?110m3nmn412解：(1?x)(1? )展开式的通项为Cx?Cx?C?C?x6106104x36

?m?0,?m?3,?m?6,其中m?0,1,2,???,6,n?0,1,2,???,10,当且仅当4m?3n,即?或?或??n?0,?n?4,?n?8,

003468时得展开式中的常数项为C6?C10?C6?C10?C6?C10?4246.

练：

已知(1?x?x2)(x?解：

1n)的展开式中没有常数项,n?N*且2?n?8,则n?______. 3x(x?

1nrn?r?3rrn?4r)展开式的通项为C?x?x?C?x,通项分别与前面的三项相乘可得nn3xn?4rn?4r?1n?4r?2Cr,Cr,Cr,展开式中不含常数项,2?n?8 n?xn?xn?x?n?4r且n?4r?1且n?4r?2，即n?4,8且n?3,7且n?2,6,?n?5.

题型九：奇数项的系数和与偶数项的系数和； 例：

在(x?2)2006的二项展开式中,含x的奇次幂的项之和为S,当x?2时,S?_____.

解：设(x?2)2006=a0?a1x1?a2x2?a3x3??a2006x2006-------① ?a2006x2006-------②

(?x?2)2006=a0?a1x1?a2x2?a3x3?①?②得2(a1x?a3x3?a5x5??a2005x2005)?(x?2)2006?(x?2)2006

1?(x?2)2006展开式的奇次幂项之和为S(x)?[(x?2)2006?(x?2)2006]

212当x?2时,S(2)?[(2?2)2006?(2?2)2006]??22题型十：赋值法；

3?20062??23008

n例：设二项式(33x?)的展开式的各项系数的和为p，所有二项式系数的和为s,若

1xp?s?272,则n等于多少？

n2n解：若(33x?)?a0?a1x?a2x?????anx，有P?a0?a1?????an，

1x0nS?Cn????Cn?2n，

nnnn 令x?1得P?4，又p?s?272,即4?2?272?(2?17)(2?16)?0解得

n

2n?16或2n??17(舍去)，?n?4.

?1?3x??练：若???的展开式中各项系数之和为64，则展开式的常数项为多少？

x???1?n3x??2?64，所以n?6，则展开解：令x?1，则?的展开式中各项系数之和为??x??式的常数项为C6(3x)?(?练：

33nn13)??540. xaa1a2?2?????2009的值为2222009若(1?2x)2009?a0?a1x1?a2x2?a3x3?

?a2009x2009(x?R),则a2009a2009aaa1a21,可得a0?1?2??????0,?????????a0 22009220092222222a2009aa???????1. 在令x?0可得a0?1,因而1?222009222解：令x?练：若(x?2)5?a5x5?a4x4?a3x3?a2x2?a1x1?a0,则a1?a2?a3?a4?a5?____. 解：令x?0得a0??32,令x?1得a0?a1?a2?a3?a4?a5??1,

?a1?a2?a3?a4?a5?31.

题型十一：整除性；

例：证明：32n?2?8n?9(n?N*)能被64整除 证：32n?2?8n?9?9n?1?8n?9?(8?1)n?1?8n?9

0n?11nn?12n1n?1?Cn?Cn?18?18?????Cn?18?Cn?18?Cn?1?8n?9 0n?11nn?12?Cn?Cn)?1?8n?9?18?18?????Cn?18?8(n?10n?11nn?12?Cn?Cn?18?18?????Cn?18

由于各项均能被64整除?32n?2?8n?9(n?N*)能被64整除

1、(x－1)展开式中x的偶次项系数之和是

11

1、设f(x)=(x-1), 偶次项系数之和是

11

f(1)?f(?1)?(?2)11/2??1024

2122nn2、C0n?3Cn?3Cn???3Cn? 2、

2、4 3、(35?n

120)的展开式中的有理项是展开式的第 项 53、3,9,15,21

4、(2x-1)展开式中各项系数绝对值之和是

5

4、(2x-1)展开式中各项系数系数绝对值之和实为(2x+1)展开式系数之和，故令x=1，则

5

所求和为3 55

5、求(1+x+x)(1-x)展开式中x的系数 2104

5、必须第一个因式中的1与(1-x)(1?x?x2)(1?x)10?(1?x3)(1?x)9,要得到含x的项，

43

9

9

4展开式中的项C9(?x)4作积，第一个因式中的－x与(1-x)展开式中的项C19(?x)作积，故

4x的系数是C19?C9?135 4

6、求(1+x)+(1+x)+…+(1+x)展开式中x的系数 2103

(1?x)[1?(1?x)10](x?1)11?(x?1)36、(1?x)?(1?x)??=，原式中x（1?x）?x1?(1?x)210实为这分子中的x，则所求系数为C11 4

7

7、若f(x)?(1?x)m?(1?x)n(m?n?N)展开式中，x的系数为21，问m、n为何值时，x的系数最小？

22227、由条件得m+n=21，x的项为Cmx?Cnx，则Cm?Cn?(n?2

2

22212399)?.因n∈N，242

故当n=10或11时上式有最小值，也就是m=11和n=10，或m=10和n=11时，x的系数最小

8、自然数n为偶数时，求证：

1?2Cn?Cn?2Cn?Cn???2Cn012n?1n1234n?1n?1 ?Cn?3?2n135n?1nn?18、原式=(Cn?Cn?Cn???Cn?Cn)?(Cn?Cn?Cn???Cn)?2?29、求80被9除的余数 ?3.2n?1

119、 80?(81?1)11110110?C118111?C118110???C1181?1?81k?1(k?Z),

∵k∈Z,∴9k-1∈Z，∴81被9除余8 1110、在(x+3x+2)的展开式中，求x的系数 25

10、(x2?3x?2)5?(x?1)5(x?2)5

在(x+1)展开式中，常数项为1，含x的项为C1在(2+x)展开式中，常数项为2=32，5?5x，

5

5

5

4含x的项为C152x?80x

∴展开式中含x的项为 1?(80x)?5x(32)?240x，此展开式中x的系数为240 11、求(2x+1)展开式中系数最大的项 11、设Tr+1的系数最大，则Tr+1的系数不小于Tr与Tr+2的系数，即有

12

rr?1r12?rr?113?r?C12?2C12?C122?C212 ?r12?rr?111?r??rr?1 C2?C1212?12?2C12?C12 ?311?r?4,?r?4 334∴展开式中系数最大项为第5项，T5=16C12x4?7920x4

高考二项式定理总结

1．二项式定理：

0n1n?1(a?b)n?Cna?Cnab?rn?rr?Cnab?nn?Cnb(n?N?)，

2．基本概念：

①二项式展开式：右边的多项式叫做(a?b)的二项展开式。

r(r?0,1,2,???,n). ②二项式系数:展开式中各项的系数Cnn③项数：共(r?1)项，是关于a与b的齐次多项式

rn?rrrn?rr④通项：展开式中的第r?1项Cn用Tr?1?Cn ab表示。ab叫做二项式展开式的通项。

3．注意关键点：

①项数：展开式中总共有(n?1)项。

②顺序：注意正确选择a,b,其顺序不能更改。(a?b)与(b?a)是不同的。

③指数：a的指数从n逐项减到0，是降幂排列。b的指数从0逐项减到n，是升幂排列。

各项的次数和等于n.

012rn④系数：注意正确区分二项式系数与项的系数，二项式系数依次是Cn,Cn,Cn,???,Cn,???,Cn.nn项的系数是a与b的系数（包括二项式系数）。

4．常用的结论：

0122令a?1,b?x, (1?x)n?Cn?Cnx?Cnx?0122令a?1,b??x, (1?x)n?Cn?Cnx?Cnx?rr?Cnx?rr?Cnx?nn?Cnx(n?N?) nn?(?1)nCnx(n?N?)

5．性质：

①二项式系数的对称性：与首末两端“对距离”的两个二项式系数相等，即

0nkk?1，···Cn Cn?Cn?Cn②二项式系数和：令

012Cn?Cn?Cn?12 变形式Cn?Cn?a?b?1,则二项式系数的和为

r?Cn?n?Cn?2n， n?Cn?2n?1。

r?Cn?③奇数项的二项式系数和=偶数项的二项式系数和：

0123在二项式定理中，令a?1,b??1，则Cn?Cn?Cn?Cn?0242r13从而得到：Cn?Cn?Cn????Cn?????Cn?Cn?n ?(?1)nCn?(1?1)n?0，

2r?1?Cn?????1n?2?2n?1 2④奇数项的系数和与偶数项的系数和：

0n01n?12n?22(a?x)n?Cnax?Cnax?Cnax?00n122n?2(x?a)n?Cnax?Cnaxn?1?Cnax?n0n?Cnax?a0?a1x1?a2x2?nn0?Cnax?anxn??anxn?a2x2?a1x1?a0

令x?1, 则a0?a1?a2?a3令x??1,则a0?a1?a2?a3?①?②得,a0?a2?a4①?②得,a1?a3?a5?an?(a?1)n?????????①?an?(a?1)n????????②(a?1)n?(a?1)n?an?(奇数项的系数和)2(a?1)n?(a?1)n?an?(偶数项的系数和)2n2n⑤二项式系数的最大项：如果二项式的幂指数n是偶数时，则中间一项的二项式系数C取得最大值。

如果二项式的幂指数n是奇数时，则中间两项的二项式系数

Cn?12n,Cnn?12n同时取得最大值。

⑥系数的最大项：求(a?bx)展开式中最大的项，一般采用待定系数法。设展开式中各项

系数分别

r?1项系数最大，应有?为A1,A2,???,An?1，设第

?Ar?1?Ar，从而解出r来。

?Ar?1?Ar?2

专题一

题型一：二项式定理的逆用；

123例：Cn?Cn?6?Cn?62?n?Cn?6n?1? .

n?Cn?6n与已知的有一些差距，

0123解：(1?6)n?Cn?Cn?6?Cn?62?Cn?63?123?Cn?Cn?6?Cn?62?n?Cn?6n?1? ?1012(Cn?Cn?6?Cn?62?6112n(Cn?6?Cn?62??Cn?6n) 611n?Cn?6n?1)?[(1?6)n?1]?(7n?1)

66123练：Cn?3Cn?9Cn?n?3n?1Cn? .

n，则?3n?1Cnnn012233?Cn3?Cn?Cn3?Cn3?Cn3?nn?Cn3?1?(1?3)n?1123解：设Sn?Cn?3Cn?9Cn?122333Sn?Cn3?Cn3?Cn3?(1?3)n?14n?1 ?Sn??33题型二：利用通项公式求x的系数； 例：在二项式(4n132n?x)的展开式中倒数第3项的系数为45，求含有x3的项的系数？ x2n?22解：由条件知Cn?45，即Cn?45，?n?n?90?0，解得n??9(舍去)或n?10，

由

Tr?1?C(x)3r10?1410?r(x)?Cx23rr10?10?r2?r43，由题意?10?r2?r?3,解得r?6， 4363则含有x的项是第7项T6?1?C10x?210x3,系数为210。

19)展开式中x9的系数？ 2x1r11r29?r)?C9rx18?2r(?)rx?r?C9r(?)rx18?3r，令18?3r?9,则解：Tr?1?C9(x)(?2x22r?3

132139故x的系数为C9(?)??。

222练：求(x?

题型三：利用通项公式求常数项； 例：求二项式(x2?12x)10的展开式中的常数项？

解：Tr?1?C(x)r10210?rr51r20?52，令20?r?0，得r?8，所以()?C()x222x1rr1045818T9?C10()?

225616)的展开式中的常数项？ 练：求二项式(2x?2x1rr6?r1r6?2r解：Tr?1?C6，令6?2r?0，得r?3，所以(2x)6?r(?1)r()r?(?1)rC62()x2x23T4?(?1)3C6??20

1n)的二项展开式中第5项为常数项，则n?____. x1442n?12(x2)n?4()4?Cnx解：T5?Cn，令2n?12?0，得n?6.

x练：若(x2?题型四：利用通项公式，再讨论而确定有理数项； 例：求二项式(x?3x)9展开式中的有理项？ 解：Tr?1?C(x)r9129?r(?x)?(?1)Cx13rrr927?r6，令

27?r?Z,(0?r?9)得r?3或r?9， 627?r34?4，T4?(?1)3C9x??84x4， 627?r93?3，T10?(?1)3C9当r?9时，x??x3。 6所以当r?3时，

题型五：奇数项的二项式系数和=偶数项的二项式系数和； 例：若(x2?13x21)n展开式中偶数项系数和为?256，求n.

解：设(x2?3x2)n展开式中各项系数依次设为a0,a1,???an,

令x??1,则有a0?a1????an?0,①，令x?1,则有

a0?a1?a2?a3?????(?1)nan?2n,②

将①-②得：2(a1?a3?a5????)??2n,?a1?a3?a5??????2n?1, 有题意得，?2练：若(3n?1??256??28，?n?9。

151n?2)的展开式中，所有的奇数项的系数和为1024，求它的中间项。 xx

解：

0242r13Cn?Cn?Cn????Cn?????Cn?Cn?2r?1?Cn?????2n?1，?2n?1?1024，解

得n?11

53 所以中间两个项分别为n?6,n?7，T5?1?Cn(16515)(2)?462?x?4，xxT6?1?462?x12?6115

题型六：最大系数，最大项；

例：已知(?2x)n，若展开式中第5项，第6项与第7项的二项式系数成等差数列，求展

开式中二项式系数最大项的系数是多少？ 解：

465Cn?Cn?2Cn,?n2?21n?98?0,解出n?7或n?14，当n?7时，展开式中二

3()423?项式系数最大的项是T4和T5?T4的系数?C71235,，24134T5的系数?C7()2?70,当n?14时，展开式中二项式系数最大的项是T8，

27177?T8的系数?C14()2?3432。

2练：在(a?b)2n的展开式中，二项式系数最大的项是多少？

解：二项式的幂指数是偶数2n，则中间一项的二项式系数最大，即T2n2?1?Tn?1，也就是第

n?1项。

练：在(?x21n)的展开式中，只有第5项的二项式最大，则展开式中的常数项是多少？ 3xn?1?5，即n?8,所以展开式中常数项为第七项等于2解：只有第5项的二项式最大，则

1C86()2?7

2练：写出在(a?b)7的展开式中，系数最大的项？系数最小的项？

解：因为二项式的幂指数7是奇数，所以中间两项(第4,5项)的二项式系数相等，且同时

343434取得最大值，从而有T4??C7ab的系数最小，T5?C7ab系数最大。

n练：若展开式前三项的二项式系数和等于79，求(?2x)的展开式中系数最大的项？

12012解：由Cn?Cn?Cn?79,解出n?12,假设Tr?1项最大，

11(?2x)12?()12(1?4x)12 22

rrr?1r?1??Ar?1?Ar?C124?C124????rr，化简得到9.4?r?10.4，又0?r?12，r?1r?1?Ar?1?Ar?2??C124?C1241101010?r?10，展开式中系数最大的项为T11,有T11?()12C124x?16896x10

2练：在(1?2x)10的展开式中系数最大的项是多少？ 解：假设Tr?1项最大，

rTr?1?C10?2rxr

rrr?1r?1??Ar?1?Ar?2(11?r)?r?C102?C102????rr解得，化简得到?r?1r?1A?Ar?1?2(10?r)???r?1r?2?C102?C102,6.3?k?7.3，又0?r?10，?r?7，展开式中系数最大的项为

777T8?C102x?15360x7.

题型七：含有三项变两项；

例：求当(x2?3x?2)5的展开式中x的一次项的系数？

r解法①：(x2?3x?2)5?[(x2?2)?3x]5，Tr?1?C5(x2?2)5?r(3x)r，当且仅当r?1时，

1此时Tr?1?T2?C5所以x得一次Tr?1的展开式中才有x的一次项，(x2?2)43x，144项为C5C423x

144它的系数为C5C423?240。

解法②：

05145051455(x2?3x?2)5?(x?1)5(x?2)5?(C5x?C5x?????C5)(C5x?C5x2?????C52)

4554 故展开式中含x的项为C5xC52?C5x24?240x，故展开式中x的系数为240.

练：求式子(x?1?2)3的常数项？ x解：(x?116?2)3?(x?)，设第r?1项为常数项，则xx6?rrTr?1?C6(?1)rx(1r6?2rr，得6?2r?0,r?3, )?(?1)6C6xx3?T3?1?(?1)3C6??20.

题型八：两个二项式相乘；

例：求(1?2x)(1?x)展开式中x的系数.

342

解：

mm(1?2x)3的展开式的通项是C3?(2x)m?C3?2m?xm,

nnnn(1?x)4的展开式的通项是Cn?(?x)?C??1?x,其中m?0,1,2,3,n?0,1,2,3,4,44

令m?n?2,则m?0且n?2,m?1且n?1,m?2且n?0,因此(1?2x)3(1?x)4

021120的展开式中x2的系数等于C3?20?C4?(?1)2?C3?21?C4?(?1)1?C3?22?C4?(?1)0??6.

练：求(1?3x)(1?6110)展开式中的常数项. 4xmn4m?3n?110m3nmn412解：(1?x)(1? )展开式的通项为Cx?Cx?C?C?x6106104x36?m?0,?m?3,?m?6,其中m?0,1,2,???,6,n?0,1,2,???,10,当且仅当4m?3n,即?或?或??n?0,?n?4,?n?8,

003468时得展开式中的常数项为C6?C10?C6?C10?C6?C10?4246.

练：

已知(1?x?x2)(x?解：

1n*)的展开式中没有常数项,n?N且2?n?8,则n?______. 3x(x?

1nn?rn?4r)展开式的通项为Cr?x?3r?Cr,通项分别与前面的三项相乘可得n?xn?x3xn?4rrn?4r?1rn?4r?2Cr?x,C?x,C?x,展开式中不含常数项,2?n?8 nnn?n?4r且n?4r?1且n?4r?2，即n?4,8且n?3,7且n?2,6,?n?5.

题型九：奇数项的系数和与偶数项的系数和； 例：

在(x?2)2006的二项展开式中,含x的奇次幂的项之和为S,当x?2时,S?_____.

解：设(x?2)2006=a0?a1x1?a2x2?a3x3??a2006x2006-------① ?a2006x2006-------②

(?x?2)2006=a0?a1x1?a2x2?a3x3?①?②得2(a1x?a3x3?a5x5?

?a2005x2005)?(x?2)2006?(x?2)2006

1?(x?2)2006展开式的奇次幂项之和为S(x)?[(x?2)2006?(x?2)2006]

212当x?2时,S(2)?[(2?2)2006?(2?2)2006]??22题型十：赋值法；

3?20062??23008

例：设二项式(33x?)n的展开式的各项系数的和为p，所有二项式系数的和为s,若

1xp?s?272,则n等于多少？

解：若(33x?)n?a0?a1x?a2x2?????anxn，有P?a0?a1?????an，

0nS?Cn????Cn?2n，

1x 令x?1得P?4，又p?s?272,即4n?2n?272?(2n?17)(2n?16)?0解得

n2n?16或2n??17(舍去)，?n?4.

?1?3x??练：若???的展开式中各项系数之和为64，则展开式的常数项为多少？

x???1?n3x??解：令x?1，则???的展开式中各项系数之和为2?64，所以n?6，则展开

x??式的常数项为C6(3x)?(?练：

33nn13)??540. xaa1a2?2?????2009的值为2009222若(1?2x)2009?a0?a1x1?a2x2?a3x3?

?a2009x2009(x?R),则a2009a2009aaa1a21,可得a0?1?2??????0,?????????a0 22222200922222009a2009aa???????1. 在令x?0可得a0?1,因而1?222222009解：令x?练：若(x?2)5?a5x5?a4x4?a3x3?a2x2?a1x1?a0,则a1?a2?a3?a4?a5?____. 解：令x?0得a0??32,令x?1得a0?a1?a2?a3?a4?a5??1,

?a1?a2?a3?a4?a5?31.

题型十一：整除性；

例：证明：32n?2?8n?9(n?N*)能被64整除

证：32n?2?8n?9?9n?1?8n?9?(8?1)n?1?8n?9

0n?11nn?12n1n?1?Cn8?C8?????C8?C8?C?1n?1n?1n?1n?1?8n?9 0n?11nn?12?Cn?Cn)?1?8n?9?18?18?????Cn?18?8(n?10n?11nn?12?Cn?Cn?18?18?????Cn?18

由于各项均能被64整除?32n?2?8n?9(n?N*)能被64整除

1、(x－1)展开式中x的偶次项系数之和是 1、设f(x)=(x-1), 偶次项系数之和是

11

11

f(1)?f(?1)?(?2)11/2??1024

2122nn2、C0n?3Cn?3Cn???3Cn? 2、

2、4 3、(35?n

120)的展开式中的有理项是展开式的第 项 53、3,9,15,21

4、(2x-1)展开式中各项系数绝对值之和是

5

4、(2x-1)展开式中各项系数系数绝对值之和实为(2x+1)展开式系数之和，故令x=1，则

5

所求和为3 55

5、求(1+x+x)(1-x)展开式中x的系数 2104

5、(1?x?x)(1?x)2109

必须第一个因式中的1与(1-x)?(1?x3)(1?x)9,要得到含x4的项，

4展开式中的项C9(?x)4作积，第一个因式中的－x与(1-x)展开式中的项C19(?x)作积，故

3

9

4x的系数是C19?C9?135 4

6、求(1+x)+(1+x)+…+(1+x)展开式中x的系数 2103

(1?x)[1?(1?x)10](x?1)11?(x?1)36、(1?x)?(1?x)??=，原式中x（1?x）?x1?(1?x)210实为这分子中的x，则所求系数为C11 4

7

7、若f(x)?(1?x)m?(1?x)n(m?n?N)展开式中，x的系数为21，问m、n为何值时，x的系数最小？

2227、由条件得m+n=21，x的项为C2mx?Cnx，则Cm?Cn?(n?2

2

22212399)?.因n∈N，242

故当n=10或11时上式有最小值，也就是m=11和n=10，或m=10和n=11时，x的系数最小

8、自然数n为偶数时，求证：

234n?1n?1 1?2C1 ?Cnn?Cn?2Cn?Cn???2Cnn?3?212n?1n135n?1nn?1n?18、原式=(C0 ?C?C???C?C)?(C?C?C???C)?2?2?3.2nnnnnnnnn9、求80被9除的余数 1101109、 8011?(81?1)11?C118111?C118110???C1181?1?81k?1(k?Z),

∵k∈Z,∴9k-1∈Z，∴81被9除余8 1110、在(x+3x+2)的展开式中，求x的系数 25

10、(x2?3x?2)5?(x?1)5(x?2)5

在(x+1)展开式中，常数项为1，含x的项为C1在(2+x)展开式中，常数项为2=32，5?5x，

5

5

5

4含x的项为C152x?80x

∴展开式中含x的项为 1?(80x)?5x(32)?240x，此展开式中x的系数为240 11、求(2x+1)展开式中系数最大的项 11、设Tr+1的系数最大，则Tr+1的系数不小于Tr与Tr+2的系数，即有

12

rr?1r12?rr?113?r?C?2C?C122?C2121212 ?r12?rr?111?r??rr?1 C2?C122C?C12?1212?12 ?311?r?4,?r?4 33444∴展开式中系数最大项为第5项，T5=16C12x?7920x

二、典型例题

1??例1 在二项式?x??的展开式中，前三项的系数成等差数列，求展开式中所有有

42x??理项．

分析：本题是典型的特定项问题，涉及到前三项的系数及有理项，可以通过抓通项公式解决．

解：二项式的展开式的通项公式为：

n?r?1?r1Tr?1?Cr(x)?C??nnrx422x??r2n?3r4n

前三项的r?0,1,2.

1得系数为：t1?1,t2?Cn由已知：2t2?t1?t3∴n?8 通项公式为

1111?n,t3?C2?n(n?1)， n22481n?1?n(n?1)，

81Tr?1?Crx2r816?3r4r?0,1,2?8,Tr?1为有理项，故16?3r是4的倍数，

∴r?0,4,8.

44依次得到有理项为T1?x,T5?C81351281?2x?x,T?Cx?x． 9882482256说明：本题通过抓特定项满足的条件，利用通项公式求出了r的取值，得到了有理项．类似地，(2?33)100的展开式中有多少项是有理项？可以通过抓通项中r的取值，得到共有17页

系数和为3n．

典型例题二

例4 （1）求(1?x)(1?x)展开式中x的系数；（2）求(x?31051?2)6展开式中的常x数项．

分析：本题的两小题都不是二项式展开，但可以转化为二项式展开的问题，（1）可以视为两个二项展开式相乘；（2）可以经过代数式变形转化为二项式．

解：（1）(1?x)(1?x)展开式中的x可以看成下列几种方式得到，然后合并同类项：

55用(1?x)展开式中的常数项乘以(1?x)展开式中的x项，可以得到C10x；用

31053105

44因此原式中x的系数为C5?25?C5?24?240．

解法3：将(x2?3x?2)5看作5个三项式相乘，

展开式中x的系数就是从其中一个三项式中取3x的系数3，

14从另外4个三项式中取常数项相乘所得的积，即C5?3?C4?24?240．

∴应选B．

典型例题十七

?a9x??的展开式中x3的系数为，常数a的值为___________． 例19 已知???x42???分析：利用二项式的通项公式．

9?ax???解：在

?x?2?的展开式中， ??通项公式为Tr?1根据题设，

9?a??C???x?r99?r?x???C9r(?1)ra9?r????2???rr?9?1?????x2． ?2?r2339r?9?3，所以r?8．代入通项公式，得T9?ax3． 21699a?，所以a?4． 根据题意，164∴应填：4．

典型例题十八

123例20 (1)求证：1?3Cn?32?Cn?33?Cn???(?1)n3n?(?2)n

(2)若(2x?3)4?a0?a1x?a2x2?a3x3?a4x4，求(a0?a2?a4)2?(a1?a3)2的值．

122nn分析：(1)注意观察(1?x)n?1?Cnx?Cnx???Cnx的系数、指数特征，即可通过

赋值法得到证明．(2)注意到(a0?a2?a4)?(a1?a3)?(a0?a1?a2?a3?a4)

22?(a0?a1?a2?a3?a4)，再用赋值法求之．

解：(1)在公式(1?x)?1?Cnx?Cnx???Cnx中令x??3，即有

12n(1?3)n?1?Cn(?3)1?Cn(?3)2???Cn(?3)n

12?1?3?Cn?32?Cn???(?1)n?3n

n122nn

∴等式得证．

(2)在展开式(2x?3)4?a0?a1x?a2x2?a3x3?a4x4中， 令x?1，得a0?a1?a2?a3?a4?(2x?3)4； 令x??1，得a0?a1?a2?a3?a4?(?2?3)4． ∴原式?(a0?a1?a2?a3?a4)?(a0?a1?a2?a3?a4)

?(2?3)4?(?2?3)4?1．

说明：注意“赋值法”在证明或求值中的应用．赋值法的模式是，在某二项展开式，如

0n1n?12n?22(a?bx)n?a0?a1x?a2x2???anxn或(a?b)n?Cna?Cnab?Cnab nn???Cnb中，对任意的x?A（a,b?A）该式恒成立，那么对A中的特殊值，该工也

一定成立．特殊值x如何选取，没有一成不变的规律，需视具体情况而定，其灵活性较强．一般取x?0,1,?1较多．一般地，多项式f(x)的各项系数和为f(1)，奇数项系数和为

11[f(1)?f(?1)]，偶次项系数和为[f(1)?f(?1)]．二项式系数的性质22024135012n?Cn?Cn???Cn?Cn?Cn???2n?1的证明就是Cn?Cn?Cn???Cn?2n及Cn赋值法应用的范例．

典型例题十九

例21 若n?N，求证明：3分析：考虑先将3解：32n?32n?3?2n?3?24n?37能被64整除．

拆成与8的倍数有关的和式，再用二项式定理展开．

?24n?37

?3?32n?2?24n?37 ?3?9n?1?24n?37

?3?(8?1)n?1?24n?37

0n?11n2n?1nn?1?3?[Cn?Cn???Cn?1?8?1?8?Cn?1?8?1?8?Cn?1]?24n?37 1n2n?1?3?[8n?1?Cn???(n?1)?8?1]?24n?37 ?1?8?Cn?1?81n2n?1n?12?3?[8n?1?Cn???Cn?1?8?Cn?1?8?1?8?(8n?9)]?24n?37

1n?22n?3n?1?3?82[8n?1?Cn?Cn???Cn?1?8?1?8?1]?3?(8n?9)?24n?37 1n?22n?3?3?64[8n?1?Cn?8?C?8??]?64， ?1n?1∵8n?11n?22n?3，Cn，Cn，?均为自然数， ?1?8?1?8∴上式各项均为64的整数倍． ∴原式能被64整除．

说明：用二项式定理证明整除问题，大体上就是这一模式，先将某项凑成与除数有关的和式，再展开证之．该类题也可用数学归纳法证明，但不如用二项式定理证明简捷．

典型例题二十

例22 已知(x?3x)的展开式各项系数和比它的二项式系数和大992．

(1)求展开式中二项式系数最大的项； (2)求展开式中系数最大的项．

分析：先由条件列方程求出n．(1)需考虑二项式系数的性质；(2)需列不等式确定r． 解：令x?1得展开式的各项系数之和为(1?3)n?22n，而展开式的二项式系数的和为

012nCn?Cn?Cn???Cn?2n，

232n∴有22n?2n?992．

∴n?5．

(1)∵n?5，故展开式共有6，其中二项式系数最大的项为第三、第四两项． ∴T3?C(x)?(3x2)2?90x6，

25233T4?C(x)?(3x)?270x．

(2)设展开式中第r?1项的系数最大．

rTr?1?C5?(x)235?rr?(3x2)r?C5?3r?x10?4r33523223223，

rrr?1r?1??C5?3?C5?3故有?rr r?1r?1??C5?3?C5?31?3?,??r6?r即?

13??.??5?rr?179?r?．∵r?N， 22∴r?4，即展开式中第5项的系数最大．

解得

T5?C?(x)?(3x)?405x

说明：展开式中二项式系数最大的项与系数最大的项是两个不同的概念，因此其求法亦不同．前者用二项式系数的性质直接得出，后者要列不等式组；解不等式组时可能会求出几个r，这时还必须算出相应项的系数后再比较大小．

4523124263典型例题二十一

0p1p?10p例23 求证：(1) CnCm?CnCm???CnpCm?Cm?n；

024n(2) Cn?32Cn?34Cn???3nCn?2?4n?1?2n?1(n?2K，n?N)

*分析：(1)注意到两列二项式两乘后系数的特征，可构造一个函数；也可用构造一个组合问题的两种不同解法找到思路．(2)同上构造函数，赋值．

证明：(1)(法1)∵(1?x)m?n?(1?x)m?(1?x)n，

122mm122nn∴(1?x)m?n?(1?Cmx?Cmx???Cmx)?(1?Cnx?Cnx???Cnx)．

∴此式左右两边展开式中x的系数必相等．

p左边x的系数是Cm?n，右边x的系数是 0p1p?12p?20， Cn?Cm?Cn?Cm?Cn?Cm???Cnp?Cm0p1p?12p?20p∴Cn?Cm?Cn?Cm?Cn?Cm???Cnp?Cm?Cm?n．

PPP等式成立．

(法2)设想有下面一个问题：要从m?n个不同元素中取出P个元素，共有多少种取法？

p该问题可有两种解法．一种解法是明显的，即直接由组合数公式可得出结论：有Cm?n种不

同取法．第二种解法，可将m?n个元素分成两组，第一组有m个元素，第二组有n个元素，则从m?n个元素中取出P个元素，可看成由这两组元素中分别取出的元素组成，取法可分

p0成P?1类：从第一组取P个，第二组不取，有Cm种取法；从第一组取P?1个，从第?Cnp?11二组取1个，有Cm种取法，?，第一组不取，从第二组取P个．因此取法总数是?Cnp0p?11p?220Cm?Cn?Cm?Cn?Cm?Cn???Cm?Cnp．

而该问题的这两种解法答案应是一致的，故有

0p1p?12p?20pCn?Cm?Cn?Cm?Cn?Cm???Cnp?Cm?Cm?n．

(2)∵n为偶数，

∴(1?3)?Cn?3Cn?3Cn???3Cn；

n0122nn

012n． (1?3)n?Cn?3Cn?32Cn???3nCn024n两式相加得4n?2n?2(Cn?32Cn?34Cn???3nCn)， 024n∴Cn?32Cn?34Cn???3nCn?2?4n?1?2n?1．

说明：构造函数赋值法，构造问题双解法，拆项法、倒序相加法都是证明一些组合数恒等式（或求和）的常用方法．

排列与组合

学习目标

掌握排列、组合问题的解题策略 重点

（1），特殊元素优先安排的策略：

（2），合理分类与准确分步的策略；

（3）排列、组合混合问题先选后排的策略； （4）正难则反、等价转化的策略； （5）相邻问题捆绑处理的策略； （6）不相邻问题插空处理的策略。

难点

综合运用解题策略解决问题。

学习过程:

(1)知识梳理

1．分类计数原理（加法原理）：完成一件事，有几类办法，在第一类中有m1种有不同的方法，在第2类中有m2种不同的方法??在第n类型有mn种不同的方法，那么完成这件事共有N?m1?m2????????mn种不同的方法。

2．分步计数原理（乘法原理）：完成一件事，需要分成n个步骤，做第1步有m1种不同的方法，做第2步有m2种不同的方法??，做第n步有mn种不同的方法；那么完成这件事共有N?m1?m2?????mn种不同的方法。

特别提醒：分类计数原理与“分类”有关，要注意“类”与“类”之间所具有的独立性和并列性；分步计数原理与“分步”有关，要注意“步”与“步”之间具有的相依性和连续性，应用这两个原理进行正确地分类、分步，做到不重复、不遗漏。

3．排列：从n个不同的元素中任取m(m≤n)个元素，按照一定顺序排成一列，叫做从n个不．．．．．．

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