悬链线方程

更新时间:2024-04-02 06:29:01 阅读量: 综合文库 文档下载

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通常任何材料包括导线在内,都具有一定的刚性,但由于悬挂在杆塔上的一档导线相 对较长,因此导线材料的刚性对其几何形状的影响很小,故在计算中假定:

(1)导线为理想的柔索。因此,导线只承受轴向张力(或拉力),任意一点的弯矩为 零。这样导线力学计算可应用理论力学中的柔索理论进行计算。

(2)作用在导线上的荷载均指同一方向,且沿导线均匀分布。 一、悬链线方程及曲线弧长 1.悬链线方程

为了分析方便,我们先从悬挂点等高,即相邻杆塔导线悬挂点无高差的情况讨论导线的应力及几何关系。实际上,导线悬在空中的曲线形态,从数学角度用什么方程来描述是进行导线力学分析的前题。由于假定视导线为柔索,则可按照理论力学中的悬链线关系来进行分析,即将导线架设在空中的几何形态视为悬链形态,而由此导出的方程式为悬链线方程。

如图2-5所示,给出了悬挂于A、B两点间的一档导线,假定为悬挂点等高的孤立档,设以导线的最低点O点为原点建立直角坐标系。

图2-5 导线悬链线及坐标系

同时假定导线固定在导线所在的平面,可随导线一起摆动,显然这是一个平面力系。根据这个坐标进行导线的受力分析,可建立导线的悬链线方程。

我们先从局部受力分析开始,再找出其一般规律。首先在导线上任取一点D(x,y),然后分析OD段导线的受力关系,由图2-5所示,此OD段导线受三个力而保持平衡,其中D点承受拉力为Tx=σxS,它与导线曲线相切,与x轴夹角为α; O点承受拉力为T0=σ0S,T0为导线O点的切线方向,恰与x轴平行,

故又称水平张力;此外还有OD段导线自身的荷载为G=gSLx, 其中Lx为OD段导线的弧长。 将OD段导线的受力关系画为一个三角形表示,如图2-6所示,

图2-6 导线受力情况

由静力学平衡条件可知,在平面坐标系中,其水平分力,垂直分力的代数和分别等于零。或沿x轴或y轴上分力代数和分别等于零。

垂直方向分力G=Txsinα=gSLx;水平方向分为T0=Txcosα=σ0S。其中σ0、T0为导线最低点的应力和张力,σx、Tx为导线任一点的应力和张力,S、g为导线截面和比载。将上述二式相比,则可求得导线任意一点D的斜率为:

(2-10)

由微分学知识可知,曲线上任一点的导数即为切线的斜率。

式(2-10)是悬链曲线的微分方程。我们要用坐标关系表示出导线受力的一般规律,还需要将不定量Lx消去,因此,将式对x微分得:

(微分学中弧长微分公式为dS2=(dx)2+(dy)2)将上式移项整理后,两端进行积分

这是个隐函数,因此,再进行分离变量积分,查积分公式有:

再进行分离变量积分,有

(2-11)

于是,导线任一点D的纵坐标为:

(2-12)

式(2-12)是悬链方程的普通形式,其中C1和C2为积分常数,其值可根据取坐标原点的位置及初始条件而定。如果将坐标原点于导线最低点处,则有下述初始条件: x=0, dy/dx=tgα=0

代入式(2-11)则C1=0,将x=0,y=0,C1= 0 代入式(2-12),低点O处的悬链方程为:

,如此,求得坐标原点最

(2-13)

式中σ0—水平应力(即导线最低点应力),MPa; g—导线的比载,N/m.mm2。

当坐标原点选在其它点(例如选在悬挂点处)时,悬链线方程的常数项将有所不同,可以得到不同的公式。若式(2-13)中x代表档距的时候,则y即为导线的弧垂,因此悬链线方程描述了导线弧垂与应力、比载及档距之间的基本关系,此式称为精确式。

实际上导线的悬链线方程还可以从另一种方式进行推导,下面介绍如下:

由式,对其求导得:

变换为,为找原函数进行积分,

由积分式两边积分,

则有:变为指数形式为

这是个隐函数,为解出,对应有式:

将两式相减则有:

因为双曲正弦函数为:

双曲余弦函数为: 又因为:

最后积分有:

定积分常数,因在坐标原点则,其结果是一样的,即

在线路设计中,为了计算上的方便,一般不使用精确式方程,而是将其展开为泰勒级数形式。将悬链线方程式(2-13)展开成无穷级数(在x=0点),可得:

2.曲线弧长(或弧长方程)

(2-14)

导线最低点O至任一点的曲线长度叫做弧长,用Lx表示。将式(2-11)代入式(2-10)中,且积分常数C1=0,得导线的弧长方程为

(2-15)

根据式(2-15)可以计算一个档距内导线的曲线长度(也叫一档线长)将弧长方程式(2-15)展开成无穷级数可得:

(2-16)

一质量均匀分布的绳两端悬挂时绳子所表示的曲线为悬链线。关于悬链线解析方程的求解,我很早就知道其方程为双曲余弦函数。然而当时数学水平尚未满足要求。后来学会关于双曲函数的相关内容后,又由于坚信绳中张力处处相等而推出悖论,本研究就此搁浅。直到7

月初,我又想起了该曲线的方程求解问题。需要说明的一点是,绳中张力处处相等要求绳子无质量、绷紧,对于悬链显然不适用。但受力方向沿着绳是正确的,所以必须结合力的方向来求解。

假设一个无限长的质量均匀分布的绳子在重力作用下自然下垂。

设绳底端受到拉力为T0,线密度为ρ,重力加速度g。如图所示建立直角坐标系,设绳对应的函数为y=f(x)

对于横坐标从0至x这一段的绳,设质量为m,长度L,受重力为G,受顶端拉力大小为T,该力倾斜角为θ

该段绳受三力平衡:T、G、T0,画出受力示意图,有G/T0=tanθ

由导数的几何意义,tanθ=dy/dx,而G=mg=ρgL,故ρgL/T0=dy/dx,ρgL=T0*dy/dx 对上式取微分,得ρg*dL=T0*d2y/dx,而dL=(dx2+dy2)1/2=[1+(dy/dx)2]1/2*dx,代入得 ρg[1+(dy/dx)2]1/2=T0*d2y/dx2=T0*d(dy/dx)/dx,令dy/dx=P,则 ρg(1+P2)1/2=T0*dP/dx,ρg/T0*dx=dP/(1+P2)1/2 对两侧取积分得∫ρg/T0*dx=∫dP/(1+P2)1/2

ρgx/T0=sinh-1P+C1,P=sinh(ρgx/T0-C1),dy/dx=sinh(ρgx/T0-C1) 当x=0时,dy/dx=0,代入得sinh(-C1)=0,C1=0,故dy=sinh(ρgx/T0)*dx 再次积分,得y=T0/ρg*cosh(ρgx/T0)+C2

当x=0时,y=0,故0=T0/ρg*cosh0+C2,C2=-T0/ρg

设k=T0/ρg,则y=kcosh(x/k)-k,若只考虑其形状可忽略常数项,故悬链线方程为 y=kcosh(x/k)-k,其中k=T0/ρg

关于双曲函数的一些说明:双曲正弦函数sinhx=(ex-e-x)/2,双曲余弦函数coshx=(ex+e-x)/2 由其定义可得d(sinhx)/dx=coshx,d(coshx)/dx=sinhx,cosh2x-sinh2x=1 其反函数分别为反双曲正弦函数sinh-1x=ln[x+(x2+1)1/2],反双曲余弦函数cosh-1x=ln[x+(x2-1)1/2]

涉及的一步积分:在∫dP/(1+P2)1/2中,令P=sinht

∫dP/(1+P2)1/2=∫d(sinht)/(1+sinh2t)1/2=∫cosht*dt/cosht=∫dt=t+C=sinh-1P+C

由导数的几何意义,tanθ=dy/dx,而G=mg=ρgL,故ρgL/T0=dy/dx,ρgL=T0*dy/dx 对上式取微分,得ρg*dL=T0*d2y/dx,而dL=(dx2+dy2)1/2=[1+(dy/dx)2]1/2*dx,代入得 ρg[1+(dy/dx)2]1/2=T0*d2y/dx2=T0*d(dy/dx)/dx,令dy/dx=P,则 ρg(1+P2)1/2=T0*dP/dx,ρg/T0*dx=dP/(1+P2)1/2 对两侧取积分得∫ρg/T0*dx=∫dP/(1+P2)1/2

ρgx/T0=sinh-1P+C1,P=sinh(ρgx/T0-C1),dy/dx=sinh(ρgx/T0-C1) 当x=0时,dy/dx=0,代入得sinh(-C1)=0,C1=0,故dy=sinh(ρgx/T0)*dx 再次积分,得y=T0/ρg*cosh(ρgx/T0)+C2

当x=0时,y=0,故0=T0/ρg*cosh0+C2,C2=-T0/ρg

设k=T0/ρg,则y=kcosh(x/k)-k,若只考虑其形状可忽略常数项,故悬链线方程为 y=kcosh(x/k)-k,其中k=T0/ρg

关于双曲函数的一些说明:双曲正弦函数sinhx=(ex-e-x)/2,双曲余弦函数coshx=(ex+e-x)/2 由其定义可得d(sinhx)/dx=coshx,d(coshx)/dx=sinhx,cosh2x-sinh2x=1 其反函数分别为反双曲正弦函数sinh-1x=ln[x+(x2+1)1/2],反双曲余弦函数cosh-1x=ln[x+(x2-1)1/2]

涉及的一步积分:在∫dP/(1+P2)1/2中,令P=sinht

∫dP/(1+P2)1/2=∫d(sinht)/(1+sinh2t)1/2=∫cosht*dt/cosht=∫dt=t+C=sinh-1P+C

本文来源:https://www.bwwdw.com/article/2ehr.html

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