悬链线方程

通常任何材料包括导线在内，都具有一定的刚性，但由于悬挂在杆塔上的一档导线相 对较长，因此导线材料的刚性对其几何形状的影响很小，故在计算中假定：

（1）导线为理想的柔索。因此，导线只承受轴向张力（或拉力），任意一点的弯矩为 零。这样导线力学计算可应用理论力学中的柔索理论进行计算。

（2）作用在导线上的荷载均指同一方向，且沿导线均匀分布。 一、悬链线方程及曲线弧长 1.悬链线方程

为了分析方便，我们先从悬挂点等高，即相邻杆塔导线悬挂点无高差的情况讨论导线的应力及几何关系。实际上，导线悬在空中的曲线形态，从数学角度用什么方程来描述是进行导线力学分析的前题。由于假定视导线为柔索，则可按照理论力学中的悬链线关系来进行分析，即将导线架设在空中的几何形态视为悬链形态，而由此导出的方程式为悬链线方程。

如图2－5所示，给出了悬挂于A、B两点间的一档导线，假定为悬挂点等高的孤立档，设以导线的最低点O点为原点建立直角坐标系。

图2-5 导线悬链线及坐标系

同时假定导线固定在导线所在的平面，可随导线一起摆动，显然这是一个平面力系。根据这个坐标进行导线的受力分析，可建立导线的悬链线方程。

我们先从局部受力分析开始，再找出其一般规律。首先在导线上任取一点D（x,y），然后分析OD段导线的受力关系，由图2－5所示，此OD段导线受三个力而保持平衡，其中D点承受拉力为Tx=σxS，它与导线曲线相切，与x轴夹角为α； O点承受拉力为T0=σ0S，T0为导线O点的切线方向，恰与x轴平行，

故又称水平张力；此外还有OD段导线自身的荷载为G=gSLx， 其中Lx为OD段导线的弧长。 将OD段导线的受力关系画为一个三角形表示，如图2－6所示，

图2-6 导线受力情况

由静力学平衡条件可知，在平面坐标系中，其水平分力，垂直分力的代数和分别等于零。或沿x轴或y轴上分力代数和分别等于零。

垂直方向分力G=Txsinα=gSLx;水平方向分为T0=Txcosα=σ0S。其中σ0、T0为导线最低点的应力和张力，σx、Tx为导线任一点的应力和张力，S、g为导线截面和比载。将上述二式相比，则可求得导线任意一点D的斜率为：

(2-10)

由微分学知识可知，曲线上任一点的导数即为切线的斜率。

式（2－10）是悬链曲线的微分方程。我们要用坐标关系表示出导线受力的一般规律，还需要将不定量Lx消去，因此，将式对x微分得：

（微分学中弧长微分公式为dS2=(dx)2+(dy)2）将上式移项整理后，两端进行积分

这是个隐函数，因此，再进行分离变量积分，查积分公式有：

再进行分离变量积分，有

（2－11）

于是，导线任一点D的纵坐标为：

（2－12）

式（2－12）是悬链方程的普通形式，其中C1和C2为积分常数，其值可根据取坐标原点的位置及初始条件而定。如果将坐标原点于导线最低点处，则有下述初始条件： x=0, dy/dx=tgα=0

代入式（2－11）则C1＝0，将x=0,y=0,C1＝ 0 代入式（2－12），低点O处的悬链方程为：

，如此，求得坐标原点最

（2－13）

式中σ0—水平应力(即导线最低点应力)，MPa; g—导线的比载，N/m.mm2。

当坐标原点选在其它点（例如选在悬挂点处）时，悬链线方程的常数项将有所不同，可以得到不同的公式。若式（2－13）中x代表档距的时候，则y即为导线的弧垂，因此悬链线方程描述了导线弧垂与应力、比载及档距之间的基本关系，此式称为精确式。

实际上导线的悬链线方程还可以从另一种方式进行推导,下面介绍如下：

由式,对其求导得：

变换为,为找原函数进行积分,

由积分式两边积分，

则有：变为指数形式为

这是个隐函数，为解出，对应有式：

将两式相减则有：

因为双曲正弦函数为：

双曲余弦函数为： 又因为：

最后积分有：

定积分常数,因在坐标原点则，其结果是一样的，即

在线路设计中，为了计算上的方便，一般不使用精确式方程，而是将其展开为泰勒级数形式。将悬链线方程式（2－13）展开成无穷级数（在x=0点），可得：

2．曲线弧长（或弧长方程）

（2－14）

导线最低点O至任一点的曲线长度叫做弧长，用Lx表示。将式（2－11）代入式（2－10）中，且积分常数C1＝0，得导线的弧长方程为

（2－15）

根据式（2－15）可以计算一个档距内导线的曲线长度（也叫一档线长）将弧长方程式（2－15）展开成无穷级数可得：

（2－16）

一质量均匀分布的绳两端悬挂时绳子所表示的曲线为悬链线。关于悬链线解析方程的求解，我很早就知道其方程为双曲余弦函数。然而当时数学水平尚未满足要求。后来学会关于双曲函数的相关内容后，又由于坚信绳中张力处处相等而推出悖论，本研究就此搁浅。直到7

月初，我又想起了该曲线的方程求解问题。需要说明的一点是，绳中张力处处相等要求绳子无质量、绷紧，对于悬链显然不适用。但受力方向沿着绳是正确的，所以必须结合力的方向来求解。

假设一个无限长的质量均匀分布的绳子在重力作用下自然下垂。

设绳底端受到拉力为T0，线密度为ρ，重力加速度g。如图所示建立直角坐标系，设绳对应的函数为y=f(x)

对于横坐标从0至x这一段的绳，设质量为m，长度L，受重力为G，受顶端拉力大小为T，该力倾斜角为θ

该段绳受三力平衡：T、G、T0，画出受力示意图，有G/T0=tanθ

由导数的几何意义，tanθ=dy/dx，而G=mg=ρgL，故ρgL/T0=dy/dx，ρgL=T0*dy/dx 对上式取微分，得ρg*dL=T0*d2y/dx，而dL=(dx2+dy2)1/2=[1+(dy/dx)2]1/2*dx，代入得 ρg[1+(dy/dx)2]1/2=T0*d2y/dx2=T0*d(dy/dx)/dx，令dy/dx=P，则 ρg(1+P2)1/2=T0*dP/dx，ρg/T0*dx=dP/(1+P2)1/2 对两侧取积分得∫ρg/T0*dx=∫dP/(1+P2)1/2

ρgx/T0=sinh-1P+C1，P=sinh(ρgx/T0-C1)，dy/dx=sinh(ρgx/T0-C1) 当x=0时，dy/dx=0，代入得sinh(-C1)=0,C1=0，故dy=sinh(ρgx/T0)*dx 再次积分，得y=T0/ρg*cosh(ρgx/T0)+C2

当x=0时，y=0，故0=T0/ρg*cosh0+C2,C2=-T0/ρg

设k=T0/ρg，则y=kcosh(x/k)-k，若只考虑其形状可忽略常数项，故悬链线方程为 y=kcosh(x/k)-k，其中k=T0/ρg

关于双曲函数的一些说明：双曲正弦函数sinhx=(ex-e-x)/2，双曲余弦函数coshx=(ex+e-x)/2 由其定义可得d(sinhx)/dx=coshx，d(coshx)/dx=sinhx，cosh2x-sinh2x=1 其反函数分别为反双曲正弦函数sinh-1x=ln[x+(x2+1)1/2]，反双曲余弦函数cosh-1x=ln[x+(x2-1)1/2]

涉及的一步积分：在∫dP/(1+P2)1/2中，令P=sinht

∫dP/(1+P2)1/2=∫d(sinht)/(1+sinh2t)1/2=∫cosht*dt/cosht=∫dt=t+C=sinh-1P+C

由导数的几何意义，tanθ=dy/dx，而G=mg=ρgL，故ρgL/T0=dy/dx，ρgL=T0*dy/dx 对上式取微分，得ρg*dL=T0*d2y/dx，而dL=(dx2+dy2)1/2=[1+(dy/dx)2]1/2*dx，代入得 ρg[1+(dy/dx)2]1/2=T0*d2y/dx2=T0*d(dy/dx)/dx，令dy/dx=P，则 ρg(1+P2)1/2=T0*dP/dx，ρg/T0*dx=dP/(1+P2)1/2 对两侧取积分得∫ρg/T0*dx=∫dP/(1+P2)1/2

ρgx/T0=sinh-1P+C1，P=sinh(ρgx/T0-C1)，dy/dx=sinh(ρgx/T0-C1) 当x=0时，dy/dx=0，代入得sinh(-C1)=0,C1=0，故dy=sinh(ρgx/T0)*dx 再次积分，得y=T0/ρg*cosh(ρgx/T0)+C2

当x=0时，y=0，故0=T0/ρg*cosh0+C2,C2=-T0/ρg

设k=T0/ρg，则y=kcosh(x/k)-k，若只考虑其形状可忽略常数项，故悬链线方程为 y=kcosh(x/k)-k，其中k=T0/ρg

关于双曲函数的一些说明：双曲正弦函数sinhx=(ex-e-x)/2，双曲余弦函数coshx=(ex+e-x)/2 由其定义可得d(sinhx)/dx=coshx，d(coshx)/dx=sinhx，cosh2x-sinh2x=1 其反函数分别为反双曲正弦函数sinh-1x=ln[x+(x2+1)1/2]，反双曲余弦函数cosh-1x=ln[x+(x2-1)1/2]

涉及的一步积分：在∫dP/(1+P2)1/2中，令P=sinht

∫dP/(1+P2)1/2=∫d(sinht)/(1+sinh2t)1/2=∫cosht*dt/cosht=∫dt=t+C=sinh-1P+C

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