2010年全国各地数学中考试题分类汇编 二次函数的图象和性质

- 1 - 2010年全国各地数学中考试题分类汇编

二次函数的图象和性质

一、选择题

1．（2010安徽蚌埠）已知函数))((3n x m x y ---=，并且b a ,是方程0))((3=---n x m x 的两个根，则实数b a n m ,,,的大小关系可能是

A ．

n b a m <<< B ．b n a m <<< C ．n b m a <<< D ．b n m a <<< 【答案】D

2．（2010安徽省中中考） 若二次函数52++=bx x y 配方后为k x y +-=2)2(则b 、k 的值分别为………………（ ）

A ）0.5

B ）0.1

C ）—4.5

D ）—4.1

【答案】C

3．（2010甘肃兰州） 二次函数2365y x x =--+的图像的顶点坐标是

A ．（-1，8）

B ．（1，8）

C ．（-1，2）

D ．（1，-4）

【答案】A

4．（2010甘肃兰州） 抛物线c bx x y ++=2图像向右平移2个单位再向下平移3个单位，所得图像的解析式为322--=x x y ，则b 、c 的值为

A . b=2， c=2 B. b=2，c=0

C . b= -2，c=-1 D. b= -3， c=2

【答案】B

5．（2010甘肃兰州） 抛物线c bx ax y ++=2图像如图所示，则一次函数24b ac bx y +--=与反比例函数 a b c y x ++=

在同一坐标系内的图像大致为

第15题图

【答案】D

6．（2010江苏盐城）给出下列四个函数：①x y -=；②x y =；③x

y 1=；④2x y =．0

A ．1个

B ．2个

C ．3个

D ．4个

【答案】C

7．（2010山东烟台）如图，AB 为半圆的直径，点P 为AB 上一动点，动点P 从点A 出发，沿AB 匀速运动到点B ，运动时间为t ，分别以AP 于PB 为直径做半圆，则图中阴影部分的面积S 与时间t 之间的函数图像大致为

x x x x x

- 2 -

【答案】D

8．（2010台湾）坐标平面上有一函数y =24x 2-48的图形，其顶点坐标为何？

(A) (0，-2) (B) (1，-24) (C) (0，-48) (D) (2，48) 。

【答案】C

9．（2010台湾） 坐标平面上，若移动二次函数y =2(x -175)(x -176)+6的图形，使其与x 轴

交于两点，且此两点的距离为1单位，则移动方式可为下列哪一种？

(A) 向上移动3单位 (B) 向下移动3单位

(C) 向上移勤6单位 (D) 向下移动6单位 。

【答案】D

10．（2010浙江杭州）定义[,,a b c ]为函数2y ax bx c =++的特征数, 下面给出特征数为

[2m ，1 – m , –1– m ] 的函数的一些结论：

① 当m = – 3时，函数图象的顶点坐标是(31，3

8)； ② 当m > 0时，函数图象截x 轴所得的线段长度大于

23； ③ 当m < 0时，函数在x >4

1时，y 随x 的增大而减小； ④ 当m ≠ 0时，函数图象经过同一个点.

其中正确的结论有

A. ①②③④

B. ①②④

C. ①③④

D. ②④

【答案】B

11．（2010 嵊州市）已知二次函数c bx ax y ++=2

的图象如图所示,记b a c b a q b a c b a p -+++=+++-=2,2,则p 与q 的大小关系为 ( )

- 3 - A.q p > B.q P = C.q p < D.p 、q 大小关系不能确定 x

y

1o

【答案】C

12．10．（2010 浙江台州市）如图，点A ，B 的坐标分别为（1, 4）和（4, 4）,抛物线

n m x a y +-=2)(的顶点在线段AB 上运动，与x 轴交于C 、D 两点（C 在D 的左侧），点C 的横坐标最小值为3-，则点D 的横坐标最大值为(▲)

A ．－3

B ．1

C ．5

D ．8

【答案】D

13．（2010浙江金华） 已知抛物线c bx ax y ++=2的开口向下,顶点坐标为（2，－3） ,那么该抛物线有（ ▲ ）

A . 最小值 －3

B . 最大值－3

C . 最小值2

D . 最大值2 【答案】B

14．（2010 山东济南）在平面直角坐标系中，抛物线21y x =-与x 轴的交点的个数是（ ）

A ．3

B ．2

C ．1

D ．0

【答案】B

15．（2010 浙江衢州）下列四个函数图象中，当x ＞0时，y 随x 的增大而增大的是（ ）

【答案】C

16．（2010 浙江衢州） 如图，四边形ABCD 中，∠BAD =∠ACB =90°，AB =AD ，AC =4BC ，

设CD 的长为x ，四边形ABCD 的面积为y ，则y 与x 之间的函数关系式是（ ） O y

x 1 1

A ． O y x 1 1 C ． O y x

1 1 D ． O y x 1 1 B ． y x O （第10题） D C B (4,4)A (1,4)

- 4 -

A ．2225y x =

B ．2425y x =

C ．225y x =

D ．245

y x = 【答案】C

17．（2010江苏泰州）下列函数中，y 随x 增大而增大的是（ ） A.x y 3-= B. 5+-=x y C. x y 21-= D. )0(2

12<=x x y 【答案】A

二、填空题

1．（2010安徽蚌埠）已知抛物线bx x y +=22

1经过点A(4,0)。设点C （1，-3），请在抛物线的对称轴上确定一点D,使得CD AD -的值最大，则D 点的坐标为＿＿＿＿＿。

【答案】﹝2,-6﹞

2．（2010江苏盐城）写出图象经过点(1，－1)的一个函数关系式 ▲ ．

【答案】y =-x 或y =-1x

或y =x 2-2x ，答案不唯一 3．（2010山东日照）如图，是二次函数y=ax 2+bx+c 图象的一部分，其对称轴为直线x =1，

若其与x 轴一交点为A （3，0），则由图象可知，不等式ax 2+bx+c ＜0的解集是

.

【答案】－1＜x ＜3

4．（2010浙江宁波） 如图，已知⊙P 的半径为2，圆心P 在抛物线2112

y x =-上运动，当⊙P 与x 轴相切时，圆心P 的坐标为 ▲ .

(第10题) A

B C

D

- 5 -

【答案】)2,6(或)2,6(-(对一个得2分)

5．（2010 浙江义乌）（1）将抛物线y 1＝2x 2向右平移2个单位，得到抛物线y 2的图象，则y 2= ▲ ；

（2）如图，P 是抛物线y 2对称轴上的一个动点，直线x ＝t 平行于y 轴，分别与直线y ＝x 、抛物线y 2交于点A 、B ．若△ABP 是以点A 或点B 为直角顶点的等腰直角三角形，求满足条件的t 的值，则t ＝ ▲ ．

【答案】（1）2(x －2)2 或2288x x -+ （2）3、1、552-、552

+ 6．（2010浙江金华）若二次函数k x x y ++-=22的部分图象如图所示，则关于x 的一元二次方程022=++-k x x 的一个解31=x ，另一个解=2x ▲ ；

【答案】-1

y

(第15题图) O x

1 3 P

y

x

y x =

2y

O ·

三、解答题

1．(2010江苏苏州) (本题满分9分)如图，以A为顶点的抛物线与y轴交于点B．已知A、B两点的坐标分别为(3，0)、(0，4)．

(1)求抛物线的解析式；

(2)设M(m，n)是抛物线上的一点(m、n为正整数)，且它位于对称轴的右侧．若以M、

B、O、A为顶点的四边形四条边的长度是四个连续的正整数，求点M的坐标；

(3)在(2)的条件下，试问：对于抛物线对称轴上的任意一点P，PA2+PB2+PM2＞28是

否总成立?请说明理由．

【答案】

- 6 -

- 7 -

2．（2010广东广州，21，12分）已知抛物线y ＝－x 2＋2x ＋2．

（1）该抛物线的对称轴是 ，顶点坐标 ； （2）选取适当的数据填入下表，并在图7的直角坐标系内描点画出该抛物线的图象；

x

… … y … …

（3）若该抛物线上两点A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）的横坐标满足x 1＞x 2＞1，试比较y 1

与y 2的大小．

- 8 -

【答案】解：（1）x ＝1；（1，3）

（2）

x … －1 0 1 2 3 … y

…

－1

2

3

2

－1

…

（3）因为在对称轴x ＝1右侧，y 随x 的增大而减小，又x 1＞x 2＞1，所以y 1＜y 2．

3．（10湖南益阳）如图，在平面直角坐标系中，已知A 、B 、C 三点的坐标分别为A （－2，

0），B （6，0），C （0，3）.

(1)求经过A 、B 、C 三点的抛物线的解析式；

(2)过Ｃ点作CD 平行于x 轴交抛物线于点D ，写出D 点的坐标，并求AD 、BC 的交点E 的坐标；

(3)若抛物线的顶点为Ｐ，连结ＰC 、ＰD ，判断四边形CEDP 的形状，并说明理由.

【答案】解：⑴ 由于抛物线经过点)3,0(C ，可设抛物线的解析式为

-5-4-3-2-1O 12345

x

y

-1

1

-5-4-3-2-1O 12345

x

y

-1

1

P

A C

D E B o x

y 1 11

- 9 - )0(32≠++=a bx ax y ，则???=++=+-0

36360324b a b a ， 解得?????=-=1

41b a ∴抛物线的解析式为34

12++-=x x y ……………………………4分 ⑵ D 的坐标为)3,4(D ……………………………5分

直线AD 的解析式为12

1+=

x y 直线BC 的解析式为321+-=x y 由???

????+-=+=321121x y x y 求得交点E 的坐标为)2,2( ……………………………8分 ⑶ 连结PE 交CD 于F ，P 的坐标为)4,2(

又∵E )2,2(，)3,4(),3,0(D C

∴,1==EF PF 2==FD CF ，且PE CD ⊥

∴四边形CEDP 是菱形 ……………………………12分

4．（2010江苏南京）（7分）已知点A （1，1）在二次函数2

2y x ax b =-+图像上。

（1）用含a 的代数式表示b ；

（2）如果该二次函数的图像与x 轴只有一个交点，求这个二次函数的图像的顶点坐标。

【答案】

5．（2010江苏盐城）（本题满分12分）已知：函数y =ax 2

+x +1的图象与x 轴只有一个公共点．

（1）求这个函数关系式；

（2）如图所示，设二次．．函数y =ax 2+x +1图象的顶点为B ，与y 轴的交点为A ，P 为图象上的一点，若以线段PB 为直径的圆与直线AB 相切于点B ，求P 点的坐标；

（3）在(2)中，若圆与x 轴另一交点关于直线PB 的对称点为M ，试探索点M 是否在抛

- 10 - 物线y =ax 2+x +1上，若在抛物线上，求出M 点的坐标；若不在，请说明理由．

【答案】解：（1）当a = 0时，y = x +1，图象与x 轴只有一个公共点………(1分)

当a ≠0时，△=1- 4a =0，a = 14

，此时，图象与x 轴只有一个公共点． ∴函数的解析式为：y =x +1 或`y =14

x 2+x +1……（3分） （2）设P 为二次函数图象上的一点，过点P 作PC ⊥x

轴于点C ．

∵y =ax 2+x +1 是二次函数，由（1）知该函数关系式为：

y =14 x 2+x +1，则顶点为B （-2，0），图象与y 轴的交点 坐标为A （0，1）………（4分）

∵以PB 为直径的圆与直线AB 相切于点B ∴PB ⊥AB 则∠PBC =∠BAO

∴Rt △PCB ∽Rt △BOA

∴AO

BC OB PC ，故PC =2BC ，……………………………………………………（5分）

设P 点的坐标为(x ，y )，∵∠ABO 是锐角，∠PBA 是直角，∴∠PBO 是钝角，∴x <-2 ∴BC =-2-x ，PC =-4-2x ，即y =-4-2x ， P 点的坐标为(x ，-4-2x )

∵点P 在二次函数y =14 x 2+x +1的图象上，∴-4-2x =14

x 2+x +1…………………（6分） 解之得：x 1=-2，x 2=-10

∵x <-2 ∴x =-10，∴P 点的坐标为：(-10，16)…………………………………（7分）

（3）点M 不在抛物线y =ax 2+x +1 上……………………………………………（8分）

由（2）知：C 为圆与x 轴的另一交点，连接CM ，CM 与直线PB 的交点为Q ，过点M 作x 轴的垂线，垂足为D ，取CD 的中点E ，连接QE ，则CM ⊥PB ，且CQ =MQ

∴QE ∥MD ，QE =12

MD ，QE ⊥CE ∵CM ⊥PB ，QE ⊥CE PC ⊥x 轴 ∴∠QCE =∠EQB =∠CPB

∴tan ∠QCE = tan ∠EQB = tan ∠CPB =12

CE =2QE =2×2BE =4BE ，又CB =8，故BE =85 ，QE =165

∴Q 点的坐标为(-185 ，165

) A x

y O B

- 11 - 可求得M 点的坐标为(145 ，325

)…………………………………………………（11分） ∵14(145)2+(145)+1 =14425 ≠325

∴C 点关于直线PB 的对称点M 不在抛物线y =ax 2+x +1 上……………………（12分）

(其它解法，仿此得分)

6．（2010辽宁丹东市）如图，平面直角坐标系中有一直角梯形OMNH ，点H 的坐标为（－8，

0），点N 的坐标为（－6，－4）．

（1）画出直角梯形OMNH 绕点O 旋转180°的图形OABC ，并写出顶点A ，B ，C 的坐标（点M 的对应点为A ， 点N 的对应点为B ， 点H 的对应点为C ）；

（2）求出过A ，B ，C 三点的抛物线的表达式；

（3）截取CE =OF =AG =m ，且E ，F ，G 分别在线段CO ，OA ，AB 上，求四边形．．．BEFG 的面积S 与m 之间的函数关系式，并写出自变量m 的取值范围；面积S 是否存在最小值?若存在，请求出这个最小值；若不存在，请说明理由；

（4）在（3）的情况下，四边形BEFG 是否存在邻边相等的情况，若存在，请直接．．

写出此时m 的值，并指出相等的邻边；若不存在，说明理由．

【答案】（1） 利用中心对称性质，画出梯形OABC ． ············· 1分

∵A ，B ，C 三点与M ，N ，H 分别关于点O 中心对称，

∴A （0，4），B （6，4），C （8，0） ·················· 3分 （写错一个点的坐标扣1分）

1 -

2 1 A x

y

O B P

M

C Q

E

D x y O M

N（-6，-4）H（-8，0）第26题图

- 12 -

（2）设过A ，B ，C 三点的抛物线关系式为2y ax bx c =++，

∵抛物线过点A （0，4），

∴4c =．则抛物线关系式为2

4y ax bx =++． ······················································ 4分 将B （6，4）， C （8，0）两点坐标代入关系式，得 3664464840a b a b ++=??++=?，．

·········································································································· 5分 解得1432

a b ?=-????=??，． ·············································································································· 6分 所求抛物线关系式为：213442

y x x =-++． ··························································· 7分 （3）∵OA =4，OC =8，∴AF =4－m ，OE =8－m ． ······················································ 8分 ∴AGF EOF BEC EFGB ABCO S S S S S =---△△△四边形梯形

21=

OA （AB +OC ）12-AF ·AG 12-OE ·OF 12-CE ·OA m m m m m 42

1)8(21)4(2186421?-----+??=）（ 2882+-=m m （ 0＜m ＜4） ··················································· 10分

∵2(4)12S m =-+． ∴当4m =时，S 的取最小值．

又∵0＜m ＜4，∴不存在m 值，使S 的取得最小值． ·············································· 12分

（4）当226m =-+时，GB =GF ，当2m =时，BE =BG ． ····································· 14分 O

M N H A

C E F

D B ↑

→ －8 (－6，－4)

x y

- 13 - 7．（2010山东济宁）如图，在平面直角坐标系中，顶点为（4，1-）的抛物线交y 轴于A 点，交x 轴于B ，C 两点（点B 在点C 的左侧）. 已知A 点坐标为（0，3）.

（1）求此抛物线的解析式；

（2）过点B 作线段AB 的垂线交抛物线于点D ， 如果以点C 为圆心的圆与直线BD 相切，请判断抛物线的对称轴l 与⊙C 有怎样的位置关系，并给出证明；

（3）已知点P 是抛物线上的一个动点，且位于A ，C 两点之间，问：当点P 运动到什么位置时，PAC ?的面积最大？并求出此时P 点的坐标和PAC ?的最大面积.

【答案】

（1）解：设抛物线为2(4)1y a x =--. ∵抛物线经过点A （0，3），∴23(04)1a =--.∴14a =

. ∴抛物线为2211(4)12344

y x x x =--=-+. ……………………………3分 (2) 答：l 与⊙C 相交. …………………………………………………………………4分 证明：当21(4)104

x --=时，12x =，26x =. ∴B 为（2，0），C 为（6，0）.∴223213AB =+=.

设⊙C 与BD 相切于点E ，连接CE ，则90BEC AOB ∠=?=∠.

∵90ABD ∠=?，∴90CBE ABO ∠=?-∠.

又∵90BAO ABO ∠=?-∠，∴BAO CBE ∠=∠.∴AOB ?∽BEC ?. ∴CE BC OB AB =.∴62213CE -=.∴8213

CE =>.…………………………6分 ∵抛物线的对称轴l 为4x =，∴C 点到l 的距离为2.

∴抛物线的对称轴l 与⊙C 相交. ……………………………………………7分

(3) 解：如图，过点P 作平行于y 轴的直线交AC 于点Q . A x y B O C D (第23题)

- 14 -

可求出AC 的解析式为132

y x =-

+.…………………………………………8分 设P 点的坐标为（m ，21234m m -+），则Q 点的坐标为（m ，132

m -+）. ∴2211133(23)2442

PQ m m m m m =-+--+=-+. ∵22113327()6(3)24244

PAC PAQ PCQ S S S m m m ???=+=?-+?=--+, ∴当3m =时，PAC ?的面积最大为274

. 此时，P 点的坐标为（3，34-）. …………………………………………10分

8．（2010甘肃兰州）（本题满分11分）如图1，已知矩形ABCD 的顶点A 与点O 重合，AD 、

AB 分别在x 轴、y 轴上，且AD=2，AB=3；抛物线

c bx x y ++-=2经过坐标原点O 和x 轴上另一点E （4,0）

（1）当x 取何值时，该抛物线的最大值是多少？

（2）将矩形ABCD 以每秒1个单位长度的速度从图1所示的位置沿x 轴的正方向匀速平

行移动，同时一动点P 也以相同的速度从点A 出发向B 匀速移动.设它们运动的时间为t 秒（0≤t ≤3），直线AB 与该抛物线的交点为N （如图2所示）.

① 当411=

t 时，判断点P 是否在直线ME 上，并说明理由；

② 以P 、N 、C 、D 为顶点的多边形面积是否可能为5，若有可能，求出此时N 点的坐标；若无可能，请说明理由．

A

x

y

B O

C D

(第23题) E P Q

- 15 -

图1 图2

【答案】解：（1）因抛物线

c bx x y ++-=2经过坐标原点O （0,0）和点E （4,0） 故可得c=0,b=4

所以抛物线的解析式为

x x y 42+-=…………………………………………1分 由x x y 42+-=()2

24y x =--+ 得当x =2时，该抛物线的最大值是4. …………………………………………2分

（2）① 点P 不在直线ME 上.

已知M 点的坐标为(2,4)，E 点的坐标为(4,0)，

设直线ME 的关系式为y=kx +b .

于是得???=+=+4204b k b k ，解得???=-=82b k

所以直线ME 的关系式为y=-2x +8. …………………………………………3分 由已知条件易得，当411=

t 时，OA=AP=411，)411,411(P …………………4分

∵ P 点的坐标不满足直线ME 的关系式y=-2x +8. [来源:59f04e0702020740be1e9bdd]

∴ 当411=

t 时，点P 不在直线ME 上. ……………………………………5分

②以P 、N 、C 、D 为顶点的多边形面积可能为5

∵ 点A 在x 轴的非负半轴上，且N 在抛物线上，

∴ OA=AP=t .

∴ 点P ，N 的坐标分别为(t ,t )、(t ,-t 2+4t ) …………………………………6分

∴ AN=-t 2+4t (0≤t ≤3) ,

∴ AN -AP=(-t 2+4 t )- t=-t 2+3 t=t (3-t )≥0 , ∴ PN=-t 2+3 t

…………………………………………………………………………………7分

（ⅰ）当PN=0，即t=0或t =3时，以点P ，N ，C ，D 为顶点的多边形是三角形，此三角形

的高为AD ，∴ S=21DC ·AD=21

×3×2=3.

（ⅱ）当PN ≠0时，以点P ，N ，C ，D 为顶点的多边形是四边形

∵ PN ∥CD ，AD ⊥CD ，

∴ S=21(CD+PN )·AD=21

[3+(-t 2+3 t )]×2=-t 2+3 t +3…………………8分

当-t 2+3 t +3=5时，解得t=1、2…………………………………………………9分 而1、2都在0≤t ≤3范围内，故以P 、N 、C 、D 为顶点的多边形面积为5

综上所述，当t=1、2时，以点P ，N ，C ，D 为顶点的多边形面积为5，

当t=1时，此时N 点的坐标（1,3）………………………………………10分

当t=2时，此时N 点的坐标（2,4）………………………………………11分

说明：（ⅱ）中的关系式，当t=0和t=3时也适合.（故在阅卷时没有（ⅰ），只有（ⅱ）

- 16 - 也可以,不扣分）

9．（2010山东青岛）已知：把Rt △ABC 和Rt △DEF 按如图（1）摆放（点C 与点E 重合），点B 、C （E ）、F 在同一条直线上．∠ACB = ∠EDF = 90°，∠DEF = 45°，AC = 8 cm ，BC = 6 cm ，EF = 9 cm ．

如图（2），△DEF 从图（1）的位置出发，以1 cm/s 的速度沿CB 向△ABC 匀速移动，在△DEF 移动的同时，点P 从△ABC 的顶点B 出发，以2 cm/s 的速度沿BA 向点A 匀速移动.当△DEF 的顶点D 移动到AC 边上时，△DEF 停止移动，点P 也随之停止移动．DE 与AC 相交于点Q ，连接PQ ，设移动时间为t （s ）（0＜t ＜4.5）．解答下列问题：

（1）当t 为何值时，点A 在线段PQ 的垂直平分线上？

（2）连接PE ，设四边形APEC 的面积为y （cm 2），求y 与t 之间的函数关系式；是否存在某一时刻t ，使面积y 最小？若存在，求出y 的最小值；若不存在，说明理由．

（3）是否存在某一时刻t ，使P 、Q 、F 三点在同一条直线上？若存在，求出此时t 的值；若不存在，说明理由．（图（3）供同学们做题使用）

【答案】

解：（1）∵点A 在线段PQ 的垂直平分线上，

∴AP = AQ .

∵∠DEF = 45°，∠ACB = 90°，∠DEF ＋∠ACB ＋∠EQC = 180°，

∴∠EQC = 45°.

∴∠DEF =∠EQC . ∴CE = CQ .

由题意知：CE = t ，BP =2 t ， ∴CQ = t . ∴AQ = 8－t . 在Rt △ABC 中，由勾股定理得：AB = 10 cm . 则AP = 10－2 t . ∴10－2 t = 8－t .

解得：t = 2.

答：当t = 2 s 时，点A 在线段PQ 的垂直平分线上. ························· 4分

（2）过P 作PM BE ⊥，交BE 于M ，

∴90BMP ∠=?.

A B

C 图（3） A

D B

C F （ E ） 图（1） A

D B C F

E 图（2） P Q 图（2） Q

A D

B

C F E P

M

- 17 - 在Rt △ABC 和Rt △BPM 中，sin AC PM B AB BP =

=， ∴8210

PM t = . ∴PM = 85t . ∵BC = 6 cm ，CE = t ， ∴ BE = 6－t .

∴y = S △ABC －S △BPE =12BC AC ?－12BE PM ?= 1682??－()186t t 25

?-? =24242455t t -+ = ()2484355

t -+. ∵405

a =>，∴抛物线开口向上. ∴当t = 3时，y 最小=845

. 答：当t = 3s 时，四边形APEC 的面积最小，最小面积为845

cm 2. ·················· 8分 （3）假设存在某一时刻t ，使点P 、Q 、F 三点在同一条直线上.

过P 作PN AC ⊥，交AC 于N ，

∴90ANP ACB PNQ ∠=∠=∠=?.

∵PAN BAC ∠=∠，∴△PAN ∽△BAC . ∴PN AP AN BC AB AC

==. ∴1026108PN t AN -==. ∴665PN t =-，885AN t =-. ∵NQ = AQ －AN ，

∴NQ = 8－t －(885

t -) = 35t ． ∵∠ACB = 90°，B 、C （E ）、F 在同一条直线上，

∴∠QCF = 90°，∠QCF = ∠PNQ .

∵∠FQC = ∠PQN ，

∴△QCF ∽△QNP . ∴PN NQ FC CQ = . ∴636559t t t t

-=- . ∵0t <<4.5 ∴663595

t t -=- 解得：t = 1.

答：当t = 1s ，点P 、Q 、F 三点在同一条直线上. ······························· 12分

10．（2010山东烟台）（本题满分14分）

如图，△ABC 中AB=AC,BC=6,点D 位BC 中点，连接AD ，AD=4,AN 是△ABC 外角∠CAM 的平分线，CE ⊥AN ，垂足为E 。

（1）试判断四边形ADCE 的形状并说明理由。

（2）将四边形ADCE 沿CB 以每秒1个单位长度的速度向左平移，设移动时间为t （0≤t ≤6）秒，平移后的四边形A ’D ’C ’E ’与△ABC 重叠部分的面积为S ，求S 关于t 的函数表达式，并写出相应的t 的取值范围。 C E A D B F 图（3） P Q

N

【答案】

- 18 -

- 19 -

11．（2010山东威海）（1）探究新知：

①如图，已知AD ∥BC ，AD ＝BC ，点M ，N 是直线CD 上任意两点． 求证：△ABM 与△ABN 的面积相等．

A B D C M N 图 ①

- 20 -

②如图，已知AD ∥BE ，AD ＝BE ，AB ∥CD ∥EF ，点M 是直线CD 上任一点，点G 是直线EF 上任一点．试判断△ABM 与△ABG 的面积是否相等，并说明理由．

（2）结论应用：

如图③，抛物线c bx ax y ++=2的顶点为C （1，4），交x 轴于点A （3，0），交y 轴于点D ．试探究在抛物线c bx ax y ++=2上是否存在除点C 以外的点E ，使得△ADE 与△ACD 的面积相等？ 若存在，请求出此时点E 的坐标，若不存在，请说明理由．

﹙友情提示：解答本问题过程中，可以直接使用“探究新知”中的结论．﹚

【答案】

﹙1﹚①证明：分别过点M ，N 作 ME ⊥AB ，NF ⊥AB ，垂足分别为点E ，F ． A 备用图 C

D B O

x y A 图 ③ C D B O

x y C

图 ② A B D M F E G

- 21 - ∵ AD ∥BC ，AD ＝BC ，

∴ 四边形ABCD 为平行四边形．

∴ AB ∥CD ．

∴ ME = NF ．

∵S △ABM ＝ME AB ?21，S △ABN ＝NF AB ?2

1， ∴ S △ABM ＝ S △ABN ． ……………………………………………………………………1分 ②相等．理由如下：分别过点D ，E 作DH ⊥AB ，EK ⊥AB ，垂足分别为H ，K ．

则∠DHA =∠EKB =90°．

∵ AD ∥BE ，

∴ ∠DAH =∠EBK ．

∵ AD ＝BE ，

∴ △DAH ≌△EBK ．

∴ DH =EK ． ……………………………2分

∵ CD ∥AB ∥EF ，

∴S △ABM ＝DH AB ?21，S △ABG ＝EK AB ?2

1， ∴ S △ABM ＝ S △ABG . ………………………………………………………………………3分 ﹙2﹚答：存在． …………………………………………………………………………4分 解：因为抛物线的顶点坐标是C (1，4)，所以，可设抛物线的表达式为4)1(2+-=x a y . 又因为抛物线经过点A (3，0)，将其坐标代入上式，得()41302

+-=a ，解得1-=a . ∴ 该抛物线的表达式为4)1(2+--=x y ，即322++-=x x y ． ………………………5分 ∴ D 点坐标为（0，3）．

设直线AD 的表达式为3+=kx y ，代入点A 的坐标，得330+=k ，解得1-=k . ∴ 直线AD 的表达式为3+-=x y ．

过C 点作CG ⊥x 轴，垂足为G ，交AD 于点H ．则H 点的纵坐标为231=+-．

∴ CH ＝CG －HG ＝4－2＝2． …………………………………………………………6分 设点E 的横坐标为m ，则点E 的纵坐标为322++-m m ．

过E 点作EF ⊥x 轴，垂足为F ，交AD 于点P ，则点P 的纵坐标为m -3，EF ∥CG ． A

B D C

M N 图 ① E F H C

图 ② A B

D M F

E G K

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/2ehl.html