电动力学的第一章总结

杨海 电动力学 第一章 电磁现象的普遍规律 1-1

第一章 电磁现象的普遍规律

本章重点：从特殊到一般，由实验定律加假设总结出麦克斯韦方程。 主要内容：讨论几个定律，总结出静电场、静磁场方程；

找出问题，提出假设，总结真空中麦氏方程； 讨论介质电磁性质，得出介质中麦氏方程； 给出求解麦氏方程的边值关系；

引入电磁场能量，能流并讨论电磁能量的传输。

§1. 电荷和静电场

一、 库仑定律和电场强度

1. 库仑定律

??QQ?r一个静止点电荷Q对另一静止点电荷Q?的作用力为:F?

34??or ⑴ 静电学的基本实验定律 （2）两种物理解释

超距作用： 一个点电荷不需中间媒介直接施力与另一点电荷。 场传递： 相互作用通过场来传递。 对静电情况两者等价。 2. 点电荷电场强度

每一电荷周围空间存在电场：即任何电荷都在自己周围空间激发电场。它的基本性质是：电荷对处在其中的其它电荷具有作用力。

对库仑定律重新解释:描述一个静止点电荷激发的电场对其他任何电荷的电场力。

?描述电场的函数——电场强度定义：试探点电荷F，则

????FQr? E(x)? 3Q?4??0r它与试探点电荷无关，给定Q，它仅是空间点函数，因而是一个矢量场——静电场。

3．场的叠加原理（实验定律）

n个点电荷在空间某点的场强等于各点电荷单独存在时在该点场强的矢量

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杨海 电动力学 第一章 电磁现象的普遍规律 1-2

?nn???Qiri??Ei。 和，即：E(x)??3i?14??0rii?14．电荷密度分布

?QdQ ??V?0?V??dV?QdQ?面密度： ??x???lim ??S?0?S?dS??QdQ?线密度 ： ??x???lim ??l?0?l?dl?体密度： ??x???lim?dQ???x??dV????Q????x??dV?,Q????x??dS?,Q????x??dl?

VSL

5．连续分布电荷激发的电场强度

??????????x??r??x??rE(x)??dV?或E(x)??dS? 33V4??S4??0r0r??????x??rdl? 或 E(x)??3L4??0r??对于场中的一个点电荷，受力F?Q?E仍然成立。

???若已知??x??，原则上可求出E?x?，若积分不可,可近似求解或数值积

分。但是在许多实际情况，不总是已知的，例如，空间存在导体线介质，导体上会出现感应电荷分布，介质中会出现束缚电荷分布，这些电荷分布一般

????是不知道或不可测的，它们产生一个附加场E?，总场E总=E?E?，因此要

确定空间电场在许多情况下，不能用上式，而需用其他方法。

二、 高斯定理与静电场的散度方程

1. 高斯定理

??S??Q?E?dS? Q????x??dV?

?0V ⑴ 静电场对任一闭合曲面的通量等于面内电荷与真空介电常数比值。 ⑵ 它适用求解某种具有对称性的场强。

2

杨海 电动力学 第一章 电磁现象的普遍规律 1-3

⑶ 它反映了电荷分布与电场强度在某给定区域内的关系，不反应场点与点的关系。

⑷ 电场是有源场，源心为电荷。

证明

? E?14??0???x???r3?VrdV?

??r??1?????E?dS??xdS?dV ???3??S?????VS4??0?r???r1r?????????x????3dV?dV（??x?x??? ???3）

V4??0?V??r4?r??1 ???????x?4??x?x??dV?dV? ?????VV?4??0?11 ??0?V??x??????x?x??dV?dV????V???Q??0

??Q??? (a) x?在V内（V?在V内） ???x?x??dV?1, ??SE?dS??0 V????? (b) x?不在V内（V?在V内） ???x?x??dV?0, ??E?dS?0

VS (a) V与V?相交,设V内电荷Q,

?V??x?x??dV?1,

1?????S??1E?dS??0?V1??x??????x?x??dV?dV????V?????0?V2??x??????x?x??dV?dV? ??V????1?0?V1??x??dV????1?0Q

2. 静电场的散度方程。

??S???1E?dS????EdV?V?0?V??x??dV

? 3

杨海 电动力学 第一章 电磁现象的普遍规律 1-4

?? 由于它对任意V均成立，所以被积函数应相等，即有??E?。

?0⑴ 它又称为静电场高斯定理的微分形式。

⑵ 它说明空间某点的电场强度的散度只与该点电荷体密度有关，与其它点的?无关。（但要注意：E本身与其它点电荷仍有密切关系），

???? ??E?0，但??E?dS?0。

S⑶ 它刻划静电场在空间各点发散和会聚情况

?电力线发源于正电荷， ??E?0,? 电力线终止于负电荷， ??E?0,???0? ???0?

???0?

? 无电荷处电力线连续通过， ??E?0,⑷ 它仅适用于?连续分布的区域，在分界面上，一般?不连续不能用。

???⑸ 由于E有三个分量，仅此方程不能确定E，还要知道E的旋度方程。

三、 静电场的环路定理与旋度方程

??1. 环路定理 ??E?dl?0

L⑴ 静电场对任意闭合回路的环量为零。

⑵ 说明在L回路内无涡旋存在，静电场是不闭合的。

???1r??????x????dl? 证明（不要求） ??LE?dl?4??0?V?dV???Lr3???r??????x??dV?????3??dS?0 ??VS4??0r??12. 旋度方程 ∵

??L?????E?dl????E?dS?0 （由于L任意）∴ ??E?0

S??⑴ 它又称为环路定理的微分形式。

⑵ 它说明静电场为无旋场，电力线永不闭合。

?⑶ 在分界面上一般E不连续，旋度方程不适用，且它仅适用于静电场，变

4

杨海 电动力学 第一章 电磁现象的普遍规律 1-5

化场??E?0。

??⑷ 有三个分量方程，但只有两个独立的方程，这是因为????E?0

??四、 静电场的基本方程

??? ??E?0,??E? 微分形式

?0

??L????Q1E?dl?0， ??E?dS??S?0?0?V??x??dV? 积分形式

?物理意义：反映了电荷激发电场及电场内部联系的规律性。 物理图像：电荷是电场的源，静电场是有源无旋场。

[例]：电荷Q均匀分布于半径为a的球体内，求各点场强的散度和旋度。 [解]：它的场强由高斯定理可求出，

??QrE?4??0r3?r?a? （与点电荷在r?a处产生的场相同）

?r?a?

Q4??0a?r?3Q4??0a???r?33Q

4??0a3??QrE?4??0a3?求散度： r?a,??E?????3Q又因为在球内 ??，所以??E? 3?04?a???Qrr?a,??E???3?0?r?0?, 即??E?0。

4??0r求旋度： r?a,???E?Q4??0a???r 3 5

杨海 电动力学 第一章 电磁现象的普遍规律 1-11

证明：

??S????????B?dS????BdV?0，因为V任意，所以??B?0，它

V??可以从毕萨定律直接证明。说明： 1) 静磁场为无源场（指通量而言），磁力线闭合； 2) 它不仅适用于静磁场，它也适用于变化磁场。

五．静磁场的基本方程

??????微分形式：??B??0J，??B?0

积分形式：

??L????B?dL??0I,

??S????B?dS?0

反映静磁场为无源有旋场，磁力线总是闭合的。它的激发源是流动的电荷（电流）。

注意：静电场可单独存在，稳恒电流磁场不能单独存在（永磁体存在可无宏观静电场）。例1．见教材p18例题 例2．习题5

???????dp????证明：由p?t????x,txdV?,得??Jx?,tdV?

VVdt???????????x,t????dpd????'?'????x,txdV??xdV??????Jx?,tx?dV'由

VVdtdtV?t???????????????????J??0， 且??fg???fg?f??g ?t?????????????t??x??J,????,????? xt?x????J,xxt则有 ???J?x??????????????????得????J?x?,t??x?????J?x?,t?x??J?x?,t????x? ????????dp????????J?x?,t?xdV???J?x?,t????x?dV?VVdt????????????? ???dS?Jx,tx?Jx,t????S?V??ldV?

??????????? ???dS?Jx,tx?Jx????S?V?,t?dV???? ??J?x?,t?dV??????????????????????????V???其中利用了J?x?,t?＝0, 此题也可用分量方法证明。

§3. 麦克斯韦方程组

11

杨海 电动力学 第一章 电磁现象的普遍规律 1-12

麦氏方程在电动力学中的地位就像牛顿定律在经典力学中的地位一样。麦氏方程建立的实验基础是电磁感应定律，理论基础是静电场、磁场的场方程。

一、电磁感应定律

1． 电磁感应现象

1831年法拉第发现：当一个导体回路中电流变化时，在附近的另一个回路中将出现感应电流。由此他总结了这一现象服从的规律：

????d?B， （?B??B?dS） ?i??Sdt??其中S是闭合电路L所围的任一曲面，dS与L满足右手关系。

实验发现：?B变化率大于零，?i与L反向；?B变化率小于零，?i与L同向。因此公式中加一个负号。 2． 磁通变化有三种公式：

a) 回路相对磁场做机械运动（B与t无关，但?B??B?t?），

??????b) 回路静止不动，但磁场B?B?t?，感生电动势，

c) 两种情况同时存在。 3． 物理机制 有电流，说明电荷受到了电的作用，动生可以认为是电荷受到磁场的洛伦兹力，感生情况回路不动，应该是受到电场力的作用（无外电动势，由

??于它不是由静止电荷产生的场，故称为感生电场Ei（对电荷有作用力是电

场的本质，因此它与静电场在这一点上无本质差别）。

????电磁感应现象的实质：变化磁场激发电场Ei?Ei?t?

二、总电场的旋度和散度方程 ??1．Ei和?i的关系

一般情况： ?i????L???F外?dl?Q?????E?dl?外

L??其中E外为单位电荷受到的非电场力。

12

杨海 电动力学 第一章 电磁现象的普遍规律 1-13

?2．Ei的旋度方程

????d 电磁感应定律形式可以写为 ?E?dl??B?dS ?Li?Sdt 这是L可认为是电磁场中的 任一闭合回路。感生电动势是由于变化磁场

产生了电场而出现的与导体是否存在无关。（与静电场由Q激发，与场中是否存在无关的道理类似）

???????d?B?由斯托克斯定理 ??LEi?dl??S??Ei?dS 且 dt?SB?dS??S?t?dS得

??????????B??B??E?dS???dS??E?? ?ii??S?S??t?t????（1）它反映感生电场为有旋场（Ei又称漩涡场）,与静电场ES本质不同。

??（2）它反映变化磁场与它激发的电场间关系是电磁感应定律的微分形式。 3．感生电场的散度方程

????由于Ei不是由电荷直接激发，可以认为??Ei?dS?0，即??Ei?0

S?从这里可认为Ei为无源有旋场。

4．总电场的旋度与散度方程

? 假定电荷分布??t?激发的场为ES?t?，它包括静电场，称为库仑场（指

???????t???ES?0，??ES?）总电场为E?ES?Ei

?0?????t??B,??E? ??E?? ?t?0因此空间中的电场是有源有旋场，他们与试验结果一致。

三、位移电流假设

1． 变化电场激发磁场假设：

与变化磁场产生感生电场类比，人们提出变化电场同样可激发磁场。因此，总磁场一般为传导电流产生的磁场与变化电场产生的磁场之和。 2． 位移电流假设

13

杨海 电动力学 第一章 电磁现象的普遍规律 1-14

? 对于静磁场：，它与??J?0相一致，

??∵ ????B??0??J?0

???????对于一般情况??B??0J不适用，因为??J???0?t???J?J(t)

?在变化情况下电流一般不再闭合（交流电路，电容器被充、放电，但两极中间无电荷通过） 要导出一个旋度方程并与电荷守恒定律不矛盾。麦氏假

?????定电路中存在位移电流JD，J?JD构成闭合电流，即??J?JD?0 ，

?????这样可有??B??0J?JD。若要与电荷守恒不矛盾：

??????t????E???????0??E?????0 又由??E?? ?0?t?t??t????????， 设??JD? ??J???JD???t?t????????E??E??J?????? 即 ??JD?????0 ?D0?t?t?????E 麦克斯韦取 JD??0，及变化电场产生位移电流。

?t?? JD并不表示电荷移动，它仅在产生磁场的作用上与J相同。

四、 总磁场的旋度和散度方程

?????E引入JD后 ??B??0J??0?0

?t（1） （2）

?B?t?为总磁场感应强度。 ??若J?t??0，B?t?仍为有旋场。

（3） 可认为磁场的一部分直接由变化电场激发。

（4） 关于B的散度：稳恒时??B＝0，同样，变化电场产生的磁场也应

?? 14

杨海 电动力学 第一章 电磁现象的普遍规律 1-15

该是无源场。所以可认为??B＝0

????B实际上它可由??E??导出：

?t?????B??????E?0 即?????B?0???B?f?x?与t无关。

?t?t???? 当t?0时，x处无磁场或仅有静磁场则f?x??0那么以后f?x??0。

???t?0?，

?五、真空中的电磁场基本方程——麦克斯韦方程

????B??E????t??????E???B??0J??0?0微分形式 ??t

????E????0?????B?0?????d???LE?dl??dt?SB?dS???????B?dl??I???dE?dS000????LSdt积分形式 ?

?1?E?dS??dV??S??V?0?????SB?dS?0?说明：

（1）真空中电磁场的基本方程

揭示了电磁场内部的矛盾和运动，电荷激发电场，时变电磁场相互激发。微分形式反映点与点之间场的联系，积分方程反映场的局域特性。

??（2）线性偏微分方程，E,B满足叠加原理

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杨海 电动力学 第一章 电磁现象的普遍规律 1-16

它们有6个未知变量（Ex,Ey,Ez,Bx,By,Bz）8个方程，因此有两个不独立。一般认为前后两个方程为附加条件，它可由前两个方程导出。

??(a) ????E?0???B?0

??????(b) ????B?0???J??0??E?0

?t?????? 即 ?0??E????E?

?t?t?0??????具体求解方程还要考虑空间中的介质，导体以及各种边界上的条件。

（3）预测空间电磁场以电磁波的形式传播

?在??0,J?0的自由空间，方程具有高度对称性。

????B???E???t?????E ???B??0?0?t?????E?0????B?0????2利用????E????E??E可得到波动方程

??????22??????E?E2???E??2E????B??0?02， ?E??0?02?0

?t?t?t?2?11?E2?0 令 c? ?E?22c?t?0?0????它的每个分量方程都为波动方程。

（4）方程通过电磁感应定律加位移电流假设导出，它们的正确性是由方程与实际情况相比较验证的。

§4、介质的电磁性质

一、 介质的极化和磁化

1、 介质：电介质由分子组成，分子内部有正电的原子核及核外电子，

内部存在不规则而迅变的微观电磁场。

16

杨海 电动力学 第一章 电磁现象的普遍规律 1-17

2、 宏观物理量：因我们仅讨论宏观电磁场，用介质中大量分子的小体

元内的平均值表示的物理量称为宏观物理量（小体元在宏观上无限小，在微观上无限大）。在没有外场时，介质内不存在宏观电荷、电流分布，因此宏观场为零。 3、 分子分类： ? 有极分子：无外场时，正负电中心不重合，有分子电偶极矩。但取向无规，不表现宏观电矩。 ? 无极分子：无外场时，正负电中心重合，无分子电偶极矩，也无宏观电矩。 ? 分子电流：介质分子内部电子运动可以认为构成微观电流。无外场时，分子电流取向无规，不实现宏观电流分布。 4、 极化和磁化： ⑴ 在外场作用下，（指宏观电磁场），无极 分子正负电中心分离，成为有极分子。分子的 电偶析矩沿外场方向规则取向产生宏观电荷分 布，产生宏观电矩。这称为介质的极化。

⑵ 在外场作用下，分子电流出现规则取向，产生宏观电流分布，出现宏观磁偶极矩，称为介质的磁化。极化使介质内部或表面上出现的电荷称为束缚电荷。磁化和极化使内部出现的电流统称为诱导电流。

这些电荷，电流分布反过来也要激发宏观电磁场，它们与外场迭加构成总电磁场。

二、介质存在时电场的散度和旋度方程

???pi1、极化强度：p? 单位体积内总电偶极矩，描述宏观极矩分布。

?V? 2、束缚电荷密度 ?p???p???可以证明：??pdV????p?dS （体积V内的总束缚电荷）

vs面密度：当介质为均匀介质时，束电荷只分布在介质表面与自由电荷附近表层上。将积分形式用在介质表面（或两介质分界在上）薄层内，取小面元

????????p?ds??(p?ds?p?ds) ds，电荷为?ds =??12?s????????pds??(p2?p1)?dsn??p??(p2?p1)?n

?其中n为界面法线方向单位矢量，由1—2。

3、电位移矢量的引入

17

杨海 电动力学 第一章 电磁现象的普遍规律 1-18

不敷出在存在束缚电荷的情况下总电场包含了束缚电荷产生的场,

??f??p??E? 一般情况?f是可知的,但?p难以得到(即任意实验到

?0??p,p的散度也不易求得)为计算方便，想办法消掉?p。

?????(?0E)??p+?f=?f??P ??（?0E?P）??f ???引入D??0E?P(电位移矢量)

??它仅起辅导作用并不代表场量，E与D关系可由实验上确定。

4、散度、旋度方程

????B??D?? ??E??

?t??引入D，可使方程不含?P，但E值与?p有关，场方程仍与?p有关，?只是含在D中。

三、介质存在时磁场的散度和旋度方程.

???mi1、磁化强度:M? ,单位2体积内的磁偶极距,描述宏观磁偶极距

?V分布。

??2、磁化电流密度： JM=??M

可以证明：IM???L????JM?dl??JM?dS

S????P3、极化电流密度：p随变化产生的电流。JP?

?t??设每个带电粒子位置为xi,电荷为ei，p??? 4、诱导电流：JP?JM

18

?ex?ii?V????p ??pvp?JP。

?t杨海 电动力学 第一章 电磁现象的普遍规律 1-19

?????JM?0???JM?????M?0 ?????p??p?P???JP??????P?????JP??0?t?t?t?t??? 5、磁场强度：介质磁场由Jf，JP，JM即变化电场共同决定：

????????????? ?????0Jf?JP?JM??0?0?t??????P?将JP?，JM???M代入，?T?? ????P???????0Jf??0??0?????0?0?t?t???????????1???P??D?????????Jf??0?，即??????J? f???0?t?t?t??0??????? （磁场强度） 引入 H??0???它仅是一个辅助量并不代表磁场的强度，?才描述磁场的强度。H与?的关系可由实验给出。

6、散度、旋度方程

????D ????0，??H?Jf?

?t????? 引入H可使方程不显含JP，JM，但场量仍与JP，JM有关。

四、介质中的麦克斯韦方程

微分形式 积分形式

????????????t?????D? ?????J??t???????D??????0?????????dS??L??dl???S?t????????dl?I?dD??dS? ??Ldt?????dS?Q?SD?????S???dS?0? 19

杨海 电动力学 第一章 电磁现象的普遍规律 1-20

???????D??0??P，????

?0??说明：1、介质中普适的电磁场基本方程，使用于任意介质????0，

回到真空情况。

2、有12个未知量，6个独立方程，求解必须给出D与E，B与H的

关系。

????五、介质中的电磁性质方程

若为非铁磁介质

????????1、电磁场较弱时：P与E，M与H，D与E，B与H均呈线性关系。

⑴各向同性均匀介质

?? P=?e?0E ?0—介质极化率（有实验得到）

??????????D???（D=?0E+P=?0E+?e?0E=?0?1+?e?E=?0?rE=?E）

?r?1??e相对介电常数 ???0?r介电常数

??M=?MH ??—介质磁化率

??????????????????? ?? 或???? ??????0?0????? ?0?1??????? ???0?r????

?r?1??? ???0?r 为相对磁导率和磁导率 以上结果对介质正均匀同样适用 ⑵各向异性介质（如晶体）

????D???? ?为场量（介电常数张量）

????????? ???11ii??12ij?????32kj??33kk （共九项）

它的分量形式：

20

杨海 电动力学 第一章 电磁现象的普遍规律 1-26

守恒与转化：能量可以相互转化，但总量保持不变。

电磁能：电磁场作为一种物质，具有能量和动量，电磁场弥散于全空间，电磁能也应弥散于全空间。

认识一种新物质的能量从能量转化入手。

热能：从机械能转化认识到热能和存在与怎样量度。 电磁能：从电磁场中带电体系做功入手。

二、 机械功与场能的变化关系

1、电磁场对运动带电体系所作的功

设一带电体由一种粒子组成，在电磁场中运动，电荷密度为?，运动速

??dr?度为v?，J??v

dt△ 带电体受电磁场的洛伦兹力（力密度）

??????f????J??????V??

????dr?△ 在dt间隔内，对体元dv所做元功：fdV?dr(?v)

?dt

?????????f?vdVdt?????v??v???v?dVdt???JdVdt

????dA△ 对整个带电体单位时间所做功：?dt?V??，电磁??JdV（功率）

场对物体所做功转化为物体的机械能或转化为热能（改变速度或焦

耳热）

2、功与场量的关系：

?????D???D由??H?J? ,J???H??t?t???????D得F?J??????H???? 利用

?t???????????H?H?????E???H ? ????????????t??????? 26

杨海 电动力学 第一章 电磁现象的普遍规律 1-27

?????????????????H??H??????????E?H???H?????E?H??t??????????D??B f?v?E?J?????H?????E?H??t?t????B?????????D??JdV?????H?dV?E?H?d?????V?V?????t?t?????????w??D??B???dA令????H?,S???H,?E?JdV??f?v?w

V?t?t?tdt?V则????dA?wdW???dV??S?d?????S?d? V?t??dtdt ＊

W??wdV

V三、 能量密度与能流密度矢量

1、能量密度 V??，????S?d???????????H??d?0 ??原因：运动电荷产生的电磁场一般由两部分组成： ⑴向外传播的电磁波

（他在无穷远处为零）； ⑵与场源有关的场

???111??2,H?2?s?2?,????2S,而d??r2 在此种情

????况下dA??dW?dW

dtdtdt假定介质无热损耗（介质极化要产生热能，导体电流流动要产生焦耳热），全空间只有运动带电体系电磁场。因此由能量守恒可知：洛伦兹力对

带电体所做的功变为带电体能量的增加dW?，因而电磁场能量减少??dW??，

dt???dt?电磁场能量增加率为dW， dW?dwdV代表电磁场能量增加率，W代表电

?Vdtdtdt?D?B?代表单位体积能量的增加率，磁场总能量（体积V）。?w????????t?tt???w为能量密度。

???对于均匀各项同性线性介质：D???，????

?????????D?????1??1????????D?H?B ?? w????D?H?B? ?????t?t?t?22?

27

?

杨海 电动力学 第一章 电磁现象的普遍规律 1-21

D1??11?1??12?2??13?3?3??D2??21?1??212?2??213?3?合写成Di???ij?j ?i?1?3?

j?1D31??31?1??312?2??33?3???写成矩阵形式：

?D1???11?12??? ?D2????21?22?D????3??31?32?13???1?????23???2?

???33????3?????????? ?为磁导率张量

2、电磁场较强时：

?? D与?呈准线性关系

Di???jij?j???ijk?j?k???ijkl?j?k?l????i?1,2,3?

jkjkl?? 对于铁磁物质：?与?不仅呈非线性，且为非单值，在此不讨论。

在电磁场频率很高时，介质还会出现色散，?，?为频率的函数。 3、导体中的欧姆定律

??J??? ?—电导率 它使用于变化电磁场

????J??????在有电源时，电源内部非，非为准静电力的等效场。

??六、洛伦兹力公式

麦氏方程反映了电荷（及电流）激发电磁场以及电场，磁场相互激发的

一般规律。但它没有给出由磁场对带电体系的反作用。而实际上二者互相联系，互相制约。

库仑定律、安培定律反映了静电场，静磁场对带电体系的作用。

?????F?QE dF?J?BdV

?考虑到电荷连续分布,密度为?,定义力密度f,

单位体积受到的作用力????f??E?J?B 洛伦兹力公式

洛伦兹认为变化电磁场上述公式仍然成立，近代物理实验证实了该式的

21

杨海 电动力学 第一章 电磁现象的普遍规律 1-22

正确。

?????若对一个以速度v运动的点电荷q F?qE?qv?B

说明：

???①对于连续分布电荷?和电流J,f中包括?,和J激发的电磁场.

???②对于点电荷情况,F中的E,B不包含q激发的场.

??例如:一个点电荷q处在另一电荷Q的场中.受力F?qE.

?E仅由Q激发,不包含的场,而边分布带电体一个小体元受力不仅为外场对它的力,还包括分子其它体元对它的作用力.

§5.电磁场的边值关系

当电磁场中存在介质时，两介质分界面上，可能有电荷，电流分布，这

时?，?，?等对于两种介质的取值不同，由此会造成物理量在界面突变。 在界面处微分方程不能适用，但可用积分方程，从积分方程出发，我们可以得到在界面上场量间关系，这称为边值关系，它是表示方程积分形式在界面上的具体化，只有知道边值关系，才能求解多介质情况下场方程的解。

一、场量的边值关系

??1、D和E的法向分量边值关系：

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杨海 电动力学 第一章 电磁现象的普遍规律 1-23

?n由1—2?由?D?ds???dv?s??v?侧面?D1??sn?D2??sn???shh?0，侧面通量?0，?h??????????????n?h?D?D21??lim??h?0??????????n?D2?D1????0，D2n?D1n????0，D2n?D1n连续???????对于E，用?E?ds??sv????n?E2?E1??f??p????????0，?p?0。则E不连续?????D??E??2E2n??1E1n????对均匀各项同性线性介质：当??0，可导出?1E1n??2E2n

????而?p??0E2n?E1n???????????n?P?P?P?P??p211n2n??????2、B、H的法向分量边值关系

???n??n?

??????B2?B1?0,由?B?ds?0，B1n?B2n总连续s ??B2?H1?0对于均匀各项同向介质u1H1n?u2H2n不连续????二、切向分量边值关系

?1、H的边值关系

?????D?H?dl?(J?)?ds?L?s?t,用在界面上????????D)???hb 由H2???2?H1???1?测线环量?(J??t????这里??2???，??1???????面电流分布：??limJh

?J??h?0注意：（1）当电流仅分布在介质表面附近一个薄层时，可是体电流分布。意义是在界面上沿电流方向单位时间内通过单位横截线的电量。（2）一般在

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杨海 电动力学 第一章 电磁现象的普遍规律 1-24

理想导体导体中才有面电流分布，（此时???）。

??在导体内部J?0，E?0

????DH?0,??h?0,J??h????,则环量?0?t?????当?H2?H1???t???b??

????????????b?n?H2?H1???b，b?n?H2?H1???b??????n?H2?H1??，b为任一矢量，故? ?回路L为任取，

?H2t?H1t??t??????????????一般情况H切向分量不连续。但是对于大多数非理想导体，??0，

所以H在以后讨论的大多数问题中连续。

???????也可类似导出B的切向边值关系：n?B2?B1??0????M?。

???2、E的切向边值关系

????n?E2?E1?0,E2t?E1t，总连续，但D切向一般不连续。

??三、其它边值关系

?????dv?n?P2?P1???p?sP?ds????v?T??????M?dl?J?ds?n?M?M??21M?L?sM?????d?? ?sJM?ds??dt??dv?n?J2?J1???T,???与t无关或恒压电流，J2n?J1n??????例题：

?1、已知均匀各项同性线性介质???中放一导体，导体表面静电场强度为E， ?证明E与表面垂直，并求分界面上自由电荷、束缚电荷分布。 ?????解：在静电平衡时，内部P1?E1?D1?0,E2?E

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杨海 电动力学 第一章 电磁现象的普遍规律 1-25

???①由?f?n?D2?D1?D2n??En???由n?E2?E1?0，Et?E2t?E1t?0??所以E?Enn（垂直于导体面）??f??E??f??p?f??p??②由n?E2?E1?，E?，?????p?0??0E??E???0???E???0

??????由此得?f与?p的关系：?p??0?1??f???1?0??f???????2、有一均匀磁化介质球，磁化强度为M（常矢）。求磁化电流分布。

??????Jm?v?M,M?常矢，Jm?0，只有面电流分布??????解： 由?m?n?M2?M1，M2?0，M1?M

?????????m??n?M?M?er?Mez?er?Msin?eφ??3、无限大平衡极点容器能有两层介质，极上面电荷分为??f，求带场和束缚电荷分布。 解：

?（1）根据对称性，电场沿n方向，且为均匀场，极板为导体，在表面处：

??f??f???,E1?n用 n?Dc?D1??fE1??1?1??E2??f?2??f?,E2?n

?2（2）介质与导体板分界面上电荷分布：

3??3??p??f由n?E2?E1?，在这里?3f?0???0??f?f???0?0????0?E2n?E1n???0?????????????1?1?2?21）（2）3介质整个是点种性的。?（p??p??p?03p????f ?§6、电磁场的能量和能流

一、能量守恒与转化

能量：物质运动的量度。表示物体做功的物理量。机械能、热能、化学能、电磁能、原子能。

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