考研数学二历年真题(2003—2012) - - 杨玉坤

数学二历年考研试题

2012年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题

一、选择题:1-8小题,每小题4分,共32分.下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求的,请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上. ．．．

x2?x(1)曲线y?2的渐近线条数 ( )

x?1(A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3

(2) 设函数f(x)?(ex?1)(e2x?2)?(enx?n)，其中n为正整数,则f?(0)? ( )

(A) (?1)n?1(n?1)! (B) (?1)n(n?1)! (C) (?1)n?1n! (D) (?1)nn!

(3) 设an?0(n?1,2,3?),Sn?a1?a2?a3???an，则数列?Sn?有界是数列?an?收敛的

( )

(A) 充分必要条件 (B) 充分非必要条件 (C) 必要非充分条件 (D) 非充分也非必要

k?2(4) 设Ik??exsinxdx,(k?1,2,3),则有

0 ( )

(A) I1?I2?I3 (B) I3?I2?I1 (C) I2?I3?I1 (D) I2?I1?I3 (5) 设函数f(x,y）为可微函数，且对任意的x,y都有

?(x,y)?(x,y)?0,?0,则使不等式?x?yf(x1,y1)?f(x2,y2)成立的一个充分条件是

( )

(A) x1?x2,y1?y2 (B) x1?x2,y1?y2 (C) x1?x2,y1?y2 (D) x1?x2,y1?y2 (6) 设区域D由曲线y?sinx,x???2,y?1围成，则??(x5y?1)dxdy?

D ( )

(A) ? (B) 2 (C) -2 (D) -?

?0??0??1???1????????? (7) 设α1??0?,α2??1? ,α3???1? ,α4??1? ,其中c1,c2,c3,c4为任意常数，则下列向量

?c??c??c??c??2??3??4??1?

1

数学二历年考研试题

组线性相关的为 ( )

(A)α1,α2,α3 (B) α1,α2,α4 (C)α1,α3,α4 (D)α2,α3,α4

?100???(8) 设A为3阶矩阵，P为3阶可逆矩阵，且P?1AP??010?.若P??α1,α2,α3?，

?002???Q??α1?α2,α2,α3?则Q?1AQ? ( )

?100??100??200??200?????????(A) ?020? (B) ?010? (C) ?010? (D)?020?

?001??002??002??001?????????

二、填空题：9-14小题,每小题4分,共24分.请将答案写在答题纸指定位置上. ．．．

d2y(9) 设y?y(x)是由方程x?y?1?e所确定的隐函数，则2dx2yx?0? . (10)limn? ?2???2?222?n??n?n? .?1?n2?n (11) 设z?f?lnx??111????z1?2?zx?y? . ,fu??可微，则?其中函数

?x?yy?2(12) 微分方程ydx?x?3ydy?0满足条件y??x?1?1的解为y? .

(13) 曲线y?x?x?x?0?上曲率为2*2的点的坐标是 . 2(14) 设A为3阶矩阵，A=3，A为A伴随矩阵，若交换A的第1行与第2行得矩阵B，则

BA*? .

三、解答题：15-23小题,共94分.请将解答写在答题纸指定位置上.解答应写出文字说明、证明．．．过程或演算步骤.

(15)(本题满分 10 分)

已知函数f?x??

1?x1?，记a?limf?x?，

x?0sinxx2

数学二历年考研试题

(I)求a的值;

(II)若x?0时，f?x??a与x是同阶无穷小，求常数k的值.

k(16)(本题满分 10 分)

求函数f?x,y??xe?x2?y22的极值.

(17)(本题满分12分)

过(0,1)点作曲线L:y?lnx的切线,切点为A,又L与x轴交于B点,区域D由L与直线AB围成,求区域D的面积及D绕x轴旋转一周所得旋转体的体积.

(18)(本题满分 10 分)

计算二重积分

??xyd?，其中区域D为曲线r?1?cos??0?????与极轴围成.

D(19)(本题满分10分)

已知函数f(x)满足方程f??(x)?f?(x)?2f(x)?0及f??(x)?f(x)?2ex, (I) 求f(x)的表达式;

(II) 求曲线y?f(x2)?x0f(?t2)dt的拐点.

(20)(本题满分10分)

证明xln1?x1?xcosx?1?x2?2,(?1?x?1). (21)(本题满分10 分)

(I)证明方程xn+xn-1???x?1?n?1的整数?，在区间??1?2,1???内有且仅有一个实根；(II)记(I)中的实根为xn，证明limn??xn存在，并求此极限.

(22)(本题满分11 分)

??1a00?设A??01a0?????1??1??001a?，?????0?

?a001????0??(I) 计算行列式A；

(II) 当实数a为何值时，方程组Ax??有无穷多解，并求其通解. (23)(本题满分11 分)

??101?已知A??011?????10a?，二次型f?xTT1,x2,x3??x?AA?x的秩为2，

?0a?1??

3

数学二历年考研试题

(I) 求实数a的值；

(II) 求正交变换x?Qy将f化为标准形.

2011年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题

4

数学二历年考研试题

5

数学二历年考研试题

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数学二历年考研试题

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数学二历年考研试题

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数学二历年考研试题

2010年考研数学二真题一 填空题(8×4=32分)

9

数学二历年考研试题

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数学二历年考研试题

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数学二历年考研试题

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数学二历年考研试题

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数学二历年考研试题

2009年全国硕士研究生入学统一考试

数学二试题

一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内.

（1）函数

x?x3f?x??的可去间断点的个数，则（ ）

sinnx

?A?1.

（2）当x?B?2. ?C?3.

?D?无穷多个.

?0时，f?x??x?sinax与g?x??x2ln?1?bx?是等价无穷小，则（ ）

?A?a?1,b??6. ?B?a?1,b?6. ?C?a??1,b??6. ?D?a??1,b?6.

（3）设函数z1111?f?x,y?的全微分为dz?xdx?ydy，则点?0,0?（ ）

?A?不是f?x,y?的连续点. ?B?不是f?x,y?的极值点. ?C?是f?x,y?的极大值点. ?D?是f?x,y?的极小值点.

（4）设函数

f?x,y?连续，则?dx?f?x,y?dy??dy?1x124?x114?y2224?yyf?x,y?dx?（ ）

?A??dx?2f?x,y?dy. f?x,y?dx.

?B??dx?124?xxf?x,y?dy.

?C??1dy?1（5）若

（ ）

?D?.?1dy?yf?x,y?dx

22f???x?不变号，且曲线y?f?x?在点?1,1?上的曲率圆为x2?y2?2，则f?x?在区间?1,2?内

?A?有极值点，无零点. ?B?无极值点，有零点. ?C?有极值点，有零点. ?D?无极值点，无零点.

（6）设函数

y?f?x?在区间??1,3?上的图形为：

14

数学二历年考研试题

f(x)O -2 0 -1 1 2 3 x

x则函数F?x???0f?t?dt的图形为（ ）

f(x)f(x)1 1 -2 0 1 2 3 x-2 0 1 2 3 x?A?.

-1

?B?.

-1

f(x)f(x)1 1 -1 0 1 2 3 x-2 0 1 2 3 x?C?.

?D?.

-1

（7）设A、B均为2阶矩阵，A*，B*分别为A、B的伴随矩阵。若A=2，B=3，则分块矩阵??0?B的伴随矩阵为（ ）

?*A?.??03B*?

?2A*0?

??B?.??02B??3A*0?

?

A?0??15

数学二历年考研试题

?03A*??C?.?*?

0??2B

?0.D???*?3B2A*?? 0??100???TT（8）设A，P均为3阶矩阵，P为P的转置矩阵，且PAP=010，若

???002???T，则QAQ为（ ） P=（?1，?2，?3），Q=（?1+?2，?2，?3）?210??110?A?.??? ?002????200??010?C?.??? ?002???

?110??120?B?.??? ?002????100?

?

020?D?.??? ?002???

二、填空题：9-14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上.

1-t?u2?x=edu??（0，0）（9）曲线?在处的切线方程为 0?y?t2ln(2?t2)?（10）已知

+?kx???edx?1,则k?

1?x（11）lim?esinnxdx?

n??0d2y（12）设y?y(x)是由方程xy?e?x?1确定的隐函数，则

dx2yx=0= （13）函数

y?x2x在区间?01，?上的最小值为 ?200?

??TTT(14)设?，?为3维列向量，?为?的转置，若矩阵??相似于000，则??= ???000???

三、解答题：15－23小题，共94分.请将解答写在答题纸指定的位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算

16

数学二历年考研试题 步骤.

（15）（本题满分9分）求极限limx?0?1?cosx??x?ln(1?tanx)?

sin4x

（16）（本题满分10 分）计算不定积分

（17）（本题满分10分）设z

（18）（本题满分10分） 设非负函数

?ln(1?1?x)dx (x?0) x?f?x?y,x?y,xy?，其中

?2z f具有2阶连续偏导数，求dz与

?x?yy?y?x???x?0?满足微分方程xy???y??2?0，当曲线y?y?x??过原点时，其与直线

x?1及y?0围成平面区域D的面积为2，求D绕y轴旋转所得旋转体体积。

17

数学二历年考研试题

（19）（本题满分10分）求二重积分

2???x?y?dxdy，

D2其中D?

??x,y??x?1???y?1??2,y?x?

（20）（本题满分12分） 设

（-?，?）（-内过y?y(x)是区间

?，）的光滑曲线，当-??x?0时，曲线上任一点处的法线都过

22?原点，当0?

x??时，函数

y(x)满足y???y?x?0。求y(x)的表达式

（21）（本题满分11分）

（Ⅰ）证明拉格朗日中值定理：若函数

f?x?在?a,b?上连续，在?a,b?可导，则存在???a,b?，使得

f?b??f?a??f?????b?a?（Ⅱ）证明：若函数f?x?在x?0处连续，在?0,?????0?内可导，且

x?0limf??x??A，则f???0?存在，且f???0??A。

?

18

数学二历年考研试题

?1?1?1???1?（22）（本题满分11分）设A????111?，????1??0?4?2???1? ????2??（Ⅰ）求满足

A?2??1,A2?3??1的所有向量?2,?3

（Ⅱ）对（Ⅰ）中的任一向量?2,?3，证明：?1,?2,?3线性无关。

（23）（本题满分11分）设二次型f?x2x21,x2,x3??ax21?ax2??a?1?3?2x1x3?2x2x3（Ⅰ）求二次型

f的矩阵的所有特征值；

（Ⅱ）若二次型f的规范形为

y221?y2，求a的值。

19

数学二历年考研试题

2008年全国硕士研究生入学统一考试

数学二试题

一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内. （1）设

f(x)?x2(x?1)(x?2)，则f'(x)的零点个数为（ ）

?A?0 ?B?1. ?C?2 ?D?3

y?f(x)函数在区间[0,a]上有连续导数，则定积分?aft(x)dx（ ）

0a（2）曲线方程为

?A?曲边梯形ABOD面积. ?B?梯形ABOD面积. ?C?曲边三角形ACD面积. ?D?三角形ACD面积.

（3）在下列微分方程中，以

y?C1ex?C2cos2x?C3sin2x（C1,C2,C3为任意常数）为通解的是（ ）

?A?y'''?y''?4y'?4y?0 ?C?y'''?y''?4y'?4y?0

（5）设函数

?B?y'''?y''?4y'?4y?0 ?D?y'''?y''?4y'?4y?0

f(x)在(??,??)内单调有界，?xn?为数列，下列命题正确的是（ ）

?A?若?xn?收敛，则?f(xn)?收敛. ?C?若?f(xn)?收敛，则?xn?收敛.

（6）设函数

?B?若?xn?单调，则?f(xn)?收敛. ?D?若?f(xn)?单调，则?xn?收敛.

dxdy，其中区域Duv为图中阴影部分，则

?F? ?uf连续，若F(u,v)???Duvf(x2?y2)x2?y2?A?vf(u2) ?C?vf(u)

?B?u?D?vf(u2)

vf(u) u20

数学二历年考研试题 （7）设

A为n阶非零矩阵，E为n阶单位矩阵. 若A3?0，则（ ）

?A?E?A不可逆，E?A不可逆. ?C?E?A可逆，E?A可逆.

（8）设

?B?E?A不可逆，E?A可逆. ?D?E?A可逆，E?A不可逆.

?12?A???，则在实数域上与A合同的矩阵为（ ）

?21?

?A????21??.

1?2???B???2?1??.

?12???21??C???.

?12?

?1?2??D???.

??21?1?cos[xf(x)](e?1)f(x)x2二、填空题：9-14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上. （9） 已知函数

f(x)连续，且limx?0?1，则f(0)?____.

（10）微分方程(y?x（11）曲线sin2?xe)dx?xdy?0的通解是y?____.

?xy??ln?y?x??x在点?0,1?处的切线方程为?????????????????.

23（12）曲线

y?(x?5)x?y?????x?xy的拐点坐标为______.

（13）设z，则

?z?x(1,2)?____.

（14）设3阶矩阵

A的特征值为2,3,?.若行列式2A??48，则??___.

三、解答题：15－23题，共94分.请将解答写在答题纸指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

sinx?sin?sinx??sinx???(15)（本题满分9分）求极限lim. x?0x4

21

数学二历年考研试题

(16)（本题满分10分）

?dxx?x(t)??2te?x?0??设函数y?y(x)由参数方程?确定，其中x(t)是初值问题?dt的解.求t2??y??0ln(1?u)du??xt?0?0?2y?x2.

(17)（本题满分9分）求积分

?1xarcsinx01?x2dx.

(18)（本题满分11分）

求二重积分??max(xy,1)dxdy,其中D?{(x,y)0?x?2,0?y?2}

D

22

数学二历年考研试题

(19)（本题满分11分）

设

f(x)是区间?0,???上具有连续导数的单调增加函数，且f(0)?1.对任意的t??0,???，直线

x?0,x?t，曲线y?f(x)以及x轴所围成的曲边梯形绕x轴旋转一周生成一旋转体.若该旋转体的侧面积

在数值上等于其体积的2倍，求函数

(20)（本题满分11分）

(1) 证明积分中值定理：若函数

f(x)的表达式.

f(x)在闭区间[a,b]上连续，则至少存在一点??[a,b]，使得

3?

ba (2)若函数?(x)具有二阶导数，且满足?(2)??(1),?(2)???(x)dx，证明f(x)dx?f(?)(b?a)2至少存在一点??(1,3),使得???(?)?0

（21）（本题满分11分）

求函数u

23

?x2?y2?z2在约束条件z?x2?y2和x?y?z?4下的最大值与最小值.

数学二历年考研试题

（22）（本题满分12分）

设矩阵

?2a1??2?a2a??，现矩阵AA?????1???2a2a??n?n满足方程

AX?B，其中X??x1,?,xn?T，

B??1,0,?,0?，

（1）求证

A??n?1?an；

（2）a为何值，方程组有唯一解，并求x1； （3）a为何值，方程组有无穷多解，并求通解.

（23）（本题满分10分）

设

A为3阶矩阵，?1,?2为A的分别属于特征值?1,1特征向量，向量?3满足A?3??2??3，

（1）证明?1,?2,?3线性无关； （2）令P?

24

??1,?2,?3?，求P?1AP.

数学二历年考研试题

2007年全国硕士研究生入学统一考试

数学二试题

一、选择题：1～10小题，每小题4分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内. （1）当x?0?时，与x等价的无穷小量是

x （A）1?e （B）ln1?x （C）1?x?1 （D）1?cosx [ ]

1?x(ex?e)tanx（2）函数f(x)?在???,??上的第一类间断点是x? [ ]

?1?x?ex?e????? （A）0 （B）1 （C）? （D）

22（3）如图，连续函数

y?f(x)在区间??3,?2?,?2,3?上的图形分别是直径为

x01的上、下半圆周，在区间

??2,0?,?0,2?的图形分别是直径为2的下、上半圆周，设F(x)??f(t)dt，则下列结论正确的是：

（A）F(3)35??F(?2) (B) F(3)?F(2)

4435（C）F(3)?F(2) （D）F(3)??F(?2) [ ]

44

（4）设函数

f(x)在x?0处连续，下列命题错误的是：

25

数学二历年考研试题

（A）若limf(x)x?0x存在，则f(0)?0 （B）若limf(x)?f(?x)x?0x存在，则f(0)?0 .

（C）若limf(x)fx?0x存在，则f?(0)?0 （D）若lim(x)?f(?x)x?0x存在，则f?(0)?0.

[ ] （5）曲线

y?1x?ln?1?ex?的渐近线的条数为 （A）0. （B）1. （C）2. （D）3. [ ] （6）设函数

f(x)在(0,??)上具有二阶导数，且f??(x)?0，令un?f(n)，则下列结论正确的是：(A) 若u1?u2 ，则?un?必收敛. (B) 若u1?u2 ，则?un?必发散

(C) 若u1?u2 ，则?un?必收敛. (D) 若u1?u2 ，则?un?必发散. [ ]

（7）二元函数f(x,y)在点?0,0?处可微的一个充要条件是[ ]

（A）

(x,ylim)??0,0??f(x,y)?f(0,0)??0.

（B）limf(x,0)?f(0,0)x?0x?0,且limf(0,y)?f(0,0)y?0y?0.

（C）

,y)?f(0,0)(x,ylimf(x)??0,0?x2?y2?0.

（D）lim?x?0?fx?(x,0)?fx?(0,0)???0,且lim?fy?(0,y)?fy?y?0?(0,0)???0.

y)?（8）设函数

f(x,连续，则二次积分?1?dx2?sinxf(x,y)dy等于

??（A）?1 （B）?10dy???arcsinyf(x,y)dx 0dy???arcsinyf(x,y)dx

dy??（C）

?1?arcsiny1??arcsiny0?f(x,y)dx （D）2?0dy??f(x,y)dx

2（9）设向量组?1,?2,?3线性无关，则下列向量组线性相关的是

线性相关，则

(A) ?1??2,?2??3,?3??1

(B) ?1??2,?2??3,?3??1

(C)

?1?2?2,?2?2?3,?3?2?1. (D)

?1?2?2,?2?2?3,?3?2?1. [ ]

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数学二历年考研试题

?2?1?1??100??????1,B?010（10）设矩阵A??12????，则A与B

??1?12??000?????(A) 合同且相似 （B）合同，但不相似.

(C) 不合同，但相似. (D) 既不合同也不相似 [ ] 二、填空题：11～16小题，每小题4分，共24分. 把答案填在题中横线上. （11）

limarctanx?sinx? __________.

x?0x3?x?cost?cos2t?（12）曲线?上对应于t?的点处的法线斜率为_________.

4?y?1?sint（13）设函数

y?1(n)，则y(0)?________.

2x?3（14） 二阶常系数非齐次微分方程

y???4y??3y?2e2x的通解为y?________.

（15） 设

?yx??z?zf(u,v)是二元可微函数，z?f?,?，则x?y? __________.

?x?y?xy??0?0（16）设矩阵A???0??0100001000??0?3

，则A的秩为 . 1??0????0,???4?

三、解答题：17～24小题，共86分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. （17） (本题满分10分)设

f(x)是区间上单调、可导的函数，且满足

?

f(x)0f?1(t)dt??t0xcost?sintdt，其中f?1是fsint?cost的反函数，求

f(x).

（18）（本题满分11分） 设D是位于曲线

y?xa?x2a(a?1,0?x???)下方、x轴上方的无界区域. （Ⅰ）求区域D绕x轴

27

数学二历年考研试题

旋转一周所成旋转体的体积V(a)；（Ⅱ）当a为何值时，V(a)最小？并求此最小值.

（19）（本题满分10分）求微分方程

（20）（本题满分11分）已知函数

y??(x?y?2)?y?满足初始条件y(1)?y?(1)?1的特解.

f(u)具有二阶导数，且f?(0)?1，函数y?y(x)由方程y?xey?1?1所

dz确定，设z?f?lny?sinx?，求

dx

（21） (本题满分11分)设函数

d2zx?0,dx2x?0.

f(x),g(x)在?a,b?上连续，在(a,b)内具有二阶导数且存在相等的最大值，

f(a)?g(a),f(b)?g(b)，证明：存在??(a,b)，使得f??(?)?g??(?).

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数学二历年考研试题

（22） (本题满分11分) 设二元函数

?x2,|x|?|y|?1?1，计算二重积分f(x,y)??,1?|x|?|y|?2?x2?y2???f(x,y)d?，其中D???x,y?|x|?|y|?2?.

D

（23） (本题满分11分)

?x1?x2?x3?0?设线性方程组?x1?2x2?ax3?0与方程x1?2x2?x3?a?1有公共解，求a的值及所有公共解.

?2?x1?4x2?ax3?0

（24） (本题满分11分)

设三阶对称矩阵向量，记BA的特征向量值?1?1,?2?2,?3??2，?1?(1,?1,1)T是A的属于?1的一个特征

?A5?4A3?E，其中E为3阶单位矩阵.

（I）验证?1是矩阵B的特征向量，并求B的全部特征值与特征向量；

29

数学二历年考研试题 （II）求矩阵B.

2006年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题

一、 填空题：1－6小题，每小题4分，共24分. 把答案填在题中横线上. （1）曲线

y?x?4sinx 的水平渐近线方程为

5x?2cosx（2）设函数

?1x2?3?0sintdt,x?0在x?0处连续，则a? . f(x)??x??a,　　　　 x?0（3）广义积分

???0xdx? . 22(1?x)y(1?x)的通解是 xdydxx?0（4）微分方程（5）设函数

y??y?y(x)由方程y?1?xey确定，则 ? ?21?（6）设矩阵A???，E为2阶单位矩阵，矩阵B满足BA?B?2E，则

??12?

二、选择题：7－14小题，每小题4分，共32分. 每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内. （7）设函数分别为

B? . y?f(x)具有二阶导数，且f?(x)?0,f??(x)?0，?x为自变量x在点x0处的增量，?y与dyf(x)在点x0处对应的增量与微分，若?x?0，则[ ]

(A)

0?dy??y. (B) 0??y?dy.

30

数学二历年考研试题

(C)

（8）设

?y?dy?0.

(D)

dy??y?0 .

xf(x)是奇函数，除x?0外处处连续，x?0是其第一类间断点，则?f(t)dt是

0（A）连续的奇函数. （C）在x

（B）连续的偶函数

?0间断的奇函数 （D）在x?0间断的偶函数.

[ ]

（9）设函数g(x)可微，h(x)?e

（A）ln3?1.

1?g(x),h?(1)?1,g?(1)?2，则g(1)等于

（B）?ln3?1.

[ ]

（D）ln2?1.

（C）?ln2?1.

（10）函数

y?C1ex?C2e?2x?xex满足的一个微分方程是 y???y??2y?3xex. y???y??2y?3xex.

?

（A）（C）

1（B）（D）

y???y??2y?3ex.

y???y??2y?3ex. [ ]

（11）设

f(x,y)为连续函数，则?4d??f(rcos?,rsin?)rdr等于

00（Ａ）

?220dx?1?x2xf(x,y)dy. （B）?220dx?dy?1?x20f(x,y)dy.

(C)

?220dy?1?y2yf(x,y)dx.

(D)

?221?y200f(x,y)dx . [ ]

（12）设

f(x,y)与?(x,y)均为可微函数，且?y?(x,y)?0，已知(x0,y0)是f(x,y)在约束条件

?(x,y)?0下的一个极值点，下列选项正确的是 [ ]

(A) 若(B) 若

fx?(x0,y0)?0，则fy?(x0,y0)?0. fx?(x0,y0)?0，则fy?(x0,y0)?0. fx?(x0,y0)?0，则fy?(x0,y0)?0. fx?(x0,y0)?0，则fy?(x0,y0)?0.

(C) 若(D) 若

（13）设?1,?2,?,?s均为n维列向量，

A为m?n矩阵，下列选项正确的是 [ ]

31

数学二历年考研试题

(A) (B)

若?1,?2,?,?s线性相关，则若?1,?2,?,?s线性相关，则

A?1,A?2,?,A?s线性相关. A?1,A?2,?,A?s线性无关.

(C) 若?1,?2,?,?s线性无关，则(D) 若?1,?2,?,?s线性无关，则

（14）设

A?1,A?2,?,A?s线性相关.

A?1,A?2,?,A?s线性无关.

A为

3阶矩阵，将

A的第2行加到第1行得B，再将B的第1列的?1倍加到第2列得C，记

?110???P??010?，则

?001???（Ａ）C（Ｃ）C?P?1AP. ?PTAP.

（Ｂ）C （Ｄ）C?PAP?1. ?PAPT.

［ ］

三 、解答题：15－23小题，共94分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. （15）（本题满分10分） 试确定A,B,C的值，使得e无穷小.

x(1?Bx?Cx2)?1?Ax?o(x3)，其中o(x3)是当x?0时比x3高阶的

（16）（本题满分10分）求

arcsinex?exdx.

32

数学二历年考研试题

（17）（本题满分10分）设区域D?(x,y)x2?y2?1,x?0??， 计算二重积分

1?xydxdy. 22??D1?x?y

（18）（本题满分12分）设数列

?xn?满足0?x1??,xn?1?sinxn(n?1,2,?)

1（Ⅰ）证明limn??x?xn?1?xn2n存在，并求该极限；（Ⅱ）计算limn????x?. n?

（19）（本题满分10分）

证明：当0?a?b??时，

bsinb?2cosb??b?asina?2cosa??a.

（20）（本题满分12分）

设函数

f(u)在(0,??)内具有二阶导数，且z?f?x2?y2?满足等式?2z?2z?x2??y2?0.

33

数学二历年考研试题

（I）验证（II）若

（21）（本题满分12分）

f??(u)?f?(u)?0； uf(1)?0,f?(1)?1，求函数f(u)的表达式.

?x?t2?1,已知曲线L的方程?（II）过点(?1,0)引L的切线，求切点(t?0)（I）讨论L的凹凸性；

2y?4t?t?（III）求此切线与L（对应于x?x0的部分）及x轴所围成的平面图形的面积. (x0,y0)，并写出切线的方程；

（22）（本题满分9分）

已知非齐次线性方程组

?x1?x2?x3?x4??1??4x1?3x2?5x3?x4??1有?ax?x?3x?bx?134?12（Ⅱ）求a,b的值及方程组的通解. r?A??2；

3个线性无关的解.（Ⅰ）证明方程组系数矩阵

A的秩

34

数学二历年考研试题 （23）（本题满分9分）

设3阶实对称矩阵

A的各行元素之和均为

3,向量?1???1,2,?1?,?2??0,?1,1?TT是线性方程组

Ax?0的两个解. (Ⅰ) 求A的特征值与特征向量；

(Ⅱ) 求正交矩阵Q和对角矩阵?,使得Q

2005年全国硕士研究生入学统一考试

数学二试题

二、 填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 把答案填在题中横线上） （1）设

TAQ??.

y?(1?sinx)x，则dy(1?x)x32x?? = .

（2）曲线

y?的斜渐近线方程为 . （3）

?(2?x01xdx2)1?x2? .

1的解为 . 9（4）微分方程xy??2y（5）当x?xlnx满足y(1)???0时，?(x)?kx2与?(x)?1?xarcsinx?cosx是等价无穷小，则k= .

（6）设?1,?2,?3均为3维列向量，记矩阵

A?(?1,?2,?3)，B?(?1??2??3,?1?2?2?4?3,?1?3?2?9?3)，

如果

A?1，那么B? .

二、选择题（本题共8小题，每小题4分，满分32分. 每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内） （7）设函数

f(x)?limn1?xn??3n，则f(x)在(??,??)内

(A) 处处可导. (B) 恰有一个不可导点.

35

数学二历年考研试题

(C) 恰有两个不可导点. (D) 至少有三个不可导点. [ ]

（8）设F(x)是连续函数f(x)的一个原函数，\M(A)

F(x)是偶函数?f(x)是奇函数.

（B） F(x)是奇函数?f(x)是偶函数.

(C) F(x)是周期函数?f(x)是周期函数.

?N\表示“M的充分必要条件是N”，则必有

(D) F(x)是单调函数?f(x)是单调函数. [ ]

?x?t2?2t,（9）设函数y=y(x)由参数方程?确定，则曲线y=y(x)在x=3处的法线与x轴交点的横坐标是

?y?ln(1?t)(A) (C)

11ln2?3. (B) ?ln2?3. 88?8ln2?3. (D) 8ln2?3. [ ] D?{(x,y)x2?y2?4,x?0,y?0}，f(x)为

D上的正值连续函数，a,b为常数，则

（10）设区域

??Daf(x)?bf(y)f(x)?(A)

f(y)d?? ab?2. (C)

ab?. (B)

(a?b)?. (D)

x?yx?ya?b?2 . [ ]

（11）设函数u(x,y)则必有

(A)

??(x?y)??(x?y)???(t)dt, 其中函数?? 具有一阶导数，具有二阶导数，

?2u?2u?2u?2u??2. （B） 2?22?x?y?x?y.

(C)

?2u?2u?2u?2u. (D) . [ ] ???x?y?x2?x?y?y21exx?1（12）设函数

f(x)?(A)

,则 ?1 x=0,x=1都是f(x)的第一类间断点.

（B） x=0,x=1都是f(x)的第二类间断点.

(C) x=0是f(x)的第一类间断点，x=1是f(x)的第二类间断点. (D)

x=0是f(x)的第二类间断点，x=1是f(x)的第一类间断点. [ ]

（13）设?1,?2是矩阵A的两个不同的特征值，对应的特征向量分别为?1,?2，则?1，A(?1关的充分必要条件是

(A)

??2)线性无

?1?0. (B) ?2?0. (C) ?1?0. (D) ?2?0. [ ]

36

数学二历年考研试题 （14）设A为n（n则 [ ]

(C)

交换

?2）阶可逆矩阵，交换A的第1行与第2行得矩阵B, A*,B*分别为A,B的伴随矩阵，

A*的第1列与第2列得B*. (B) 交换A*的第1行与第2行得B*.

*(C) 交换A的第1列与第2列得?B*. (D) 交换A*的第1行与第2行得?B*. 三 、解

答题（本题共9小题，满分94分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）

?（15）（本题满分11分）设函数f(x)连续，且f(0)?0，求极限limx?0x0(x?t)f(t)dtx0.

x?f(x?t)dt

（16）（本题满分11分）

如图，C1和C2分别是

y?1(1?ex)和y?ex的图象，过点(0,1)的曲线C32是一单调增函数的图象. 过C2上任一点M(x,y)分别作垂直于x轴和y轴的直线lx和

ly. 记C1,C2与lx所围图形的面积为S1(x)；C2,C3与ly所围图形的面积为S2(y).如果总有S1(x)?S2(y)，求曲线C3的方程x??(y).

37

数学二历年考研试题

（17）（本题满分11分）

如图，曲线C的方程为y=f(x)，点(3,2)是它的一个拐点，直线l1与l2分别是曲线C在点(0,0)与(3,2)处的切线，其交点为(2,4). 设函数f(x)具有三阶连续导数，计算定积分

（18）（本题满分12分） 用变量代换

?30(x2?x)f???(x)dx.

x?cost(0?t??)化简微分方程

(1?x2)y???xy??y?0，并求其满足

y

x?0?1,y?x?0?2的特解.

（19）（本题满分12分）已知函数f(x)在[0，1]上连续，在(0,1)内可导，且f(0)=0,f(1)=1. 证明：

（I）存在?

38

?(0,1), 使得f(?)?1??；（II）存在两个不同的点?,??(0,1)，使得f?(?)f?(?)?1.

数学二历年考研试题 （20）（本题满分10分）

已知函数z=f(x,y) 的全微分

，dz?2xd?x2ydy并且f(1,1,)=2. 求f(x,y)在椭圆域

y2D?{(x,y)x??1}上的最大值和最小值.

42

（21）（本题满分9分）

计算二重积分

（22）（本题满分9分）

确定常数

a,使向量组

??Dx2?y2?1d?，其中D?{(x,y)0?x?1,0?y?1}.

?1?(1,1,a)T,?2?(1,a,1)T,?3?(a,1,1)T线性表示，但向量组

可由向量组

?1?(1,1,a)T,?2?(?2,a,4)T,?3?(?2,a,a)T?1,?2,?3线性表示.

?1,?2,?3不能由向量组

39

数学二历年考研试题

（23）（本题满分9分）

?123???已知3阶矩阵A的第一行是(a,b,c),a,b,c不全为零，矩阵B?246（k为常数），且AB=O, 求????36k??线性方程组Ax=0的通解.

2004年考硕数学（二）真题

一. 填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 把答案填在题中横线上. ）

（1）设

f(x)?lim(n?1)x, 则f(x)的间断点为x? .

n??nx2?13??x?t?3t?1 确定, 则曲线y?y(x)向上凸的x取值范围为____.. ?3??y?t?3t?1（2）设函数

y(x)由参数方程

（3）

?1??dxxx?12?_____..

?z?z??______. ?x?y（4）设函数z?z(x,y)由方程z?e2x?3z?2y确定, 则33（5）微分方程(y?x)dx?2xdy?0满足yx?1?6的特解为_______. 5?210??????

（6）设矩阵A?120, 矩阵B满足ABA?2BA?E, 其中A为A的伴随矩阵, E是单位

???001???矩阵, 则

B?______-.

二. 选择题（本题共8小题，每小题4分，满分32分. 每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求, 把所

40

数学二历年考研试题

选项前的字母填在题后的括号内. ）

（7）把x?0时的无穷小量????x0costdt, ???tantdt, ???sint3dt排列起来, 使排

002x2x在后面的是前一个的高阶无穷小, 则正确的排列次序是

（A）?,?,?. （B）?,?,?.

,?. ?（C）?,?,?. （D）?,??

（8）设

f(x)?x(1?x), 则

（A）x?0是f(x)的极值点, 但(0,0)不是曲线y?f(x)的拐点. （B）x?0不是f(x)的极值点, 但(0,0)是曲线y?f(x)的拐点. （C）x?0是f(x)的极值点, 且(0,0)是曲线y?f(x)的拐点. （D）x?0不是f(x)的极值点, (0,0)也不是曲线y?f(x)的拐点. （9）

nlim??lnn(1?1n)2(1?2n)2?(1?nn)2等于

（A）

?221ln2xdx. （B）2?1lnxdx.

（C）2?2x)dx. （D）?21ln(1?1ln2(1?x)dx （10）设函数

f(x)连续, 且f?(0)?0, 则存在??0, 使得

（A）f(x)在(0,?)内单调增加. （B）

f(x)在(??,0)内单调减小.

（C）对任意的x?(0,?)有f(x)?f(0).

（D）对任意的x?(??,0)有f(x)?f(0). （11）微分方程

y???y?x2?1?sinx的特解形式可设为

（A）

y??ax2?bx?c?x(Asinx?Bcosx).

??

??

??

41

数学二历年考研试题

（B）（C）（D）

y??x(ax2?bx?c?Asinx?Bcosx). y??ax2?bx?c?Asinx.

y??ax2?bx?c?Acosx ?f(u)连续, 区域D?(x,y)x2?y2?2y1?x2?

（12）设函数

??, 则??f(xy)dxdy等于

D（A）

??1dx??1?x?0dy?0?212f(xy)dy. f(xy)dx.

（B）2（C）（D）（13）设

2y?y2?0d??0?0?2sin?f(r2sin?cos?)dr.

f(r2sin?cos?)rdr ?d??2sin?0?

A是3阶方阵, 将A的第1列与第2列交换得B, 再把B的第2列加到第3列得C, 则满足

AQ?C的可逆矩阵Q为

?010??010?????（A）100. （B）101.

?????101??001??????010??011?????（C）100. （D）100. ??????011??001?????（14）设

?

A,B为满足AB?0的任意两个非零矩阵, 则必有

（A）（B）（C）（D）

A的列向量组线性相关,B的行向量组线性相关. A的列向量组线性相关,B的列向量组线性相关. A的行向量组线性相关,B的行向量组线性相关.

A的行向量组线性相关,B的列向量组线性相关. ??

三. 解答题（本题共9小题，满分94分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. ）

（15）（本题满分10分）

42

数学二历年考研试题

1求极限lim3x?0x

??2?cosx?x?????1?.

3??????（16）（本题满分10分） 设函数

f(x)在（??,??）上有定义, 在区间[0,2]上, f(x)?x(x2?4), 若对任意的x都满足

f(x)?kf(x?2), 其中k为常数.

(Ⅰ)写出

（17）（本题满分11分）

x?xf(x)在[?2,0]上的表达式; (Ⅱ)问k为何值时, f(x)在x?0处可导.

?2设

f(x)??sintdt,(Ⅰ)证明f(x)是以?为周期的周期函数;(Ⅱ)求f(x)的值域.

（18）（本题满分12分）

43

数学二历年考研试题

ex?e?x曲线y?2与直线x?0,x?t(t?0)及y?0围成一曲边梯形. 该曲边梯形绕x轴旋转一周得

一旋转体, 其体积为V(t), 侧面积为S(t), 在x?t处的底面积为F(t).

(Ⅰ)求

S(t)S(t)的值; (Ⅱ)计算极限lim.

t???V(t)F(t)

（19）（本题满分12分）设e?a?b?e, 证明ln

（20）（本题满分11分）

某种飞机在机场降落时,为了减小滑行距离,在触地的瞬间,飞机尾部张开减速伞,以增大阻力,使飞机迅速减速并停下来.现有一质量为9000kg的飞机,着陆时的水平速度为700km/h.经测试,减速伞打开后,飞机所受的总阻力与飞机的速度成正比(比例系数为k22b?ln2a?4(b?a). 2e?6.0?106).问从着陆点算起,飞机滑行的最长距离是多少?

注 kg表示千克,km/h表示千米/小时.

44

数学二历年考研试题

22xy（21）（本题满分10分）设z?f(x?y,e),其中

?z?z?2zf具有连续二阶偏导数,求,,.

?x?y?x?y

（22）（本题满分9分） 设有齐次线性方程组

??(1?a)x1?x2?x3?x4?0,??2x1?(2?a)x2?2x3?2x4?0, ?3x1?3x2?(3?a)x3?3x4?0,??4x1?4x2?4x3?(4?a)x4?0,试问a取何值时, 该方程组有非零解, 并求出其通解.

45

数学二历年考研试题

（23）（本题满分9分）

?12?3???设矩阵?14?3的特征方程有一个二重根, 求a的值, 并讨论A是否可相似对角化.

???1a5???

2003年考研数学（二）真题

三、 填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 把答案填在题中横线上）

（1） 若x14?0时，(1?ax)?1 与xsinx是等价无穷小，则a= .

2（2） 设函数y=f(x)由方程xy?2lnx（3）

?y4所确定，则曲线y=f(x)在点(1,1)处的切线方程是 .

y?2x的麦克劳林公式中xn项的系数是__________.

?ea?(a?0) ，则该曲线上相应于?从0变到2?的一段弧与极轴所围

（4） 设曲线的极坐标方程为?成的图形的面积为__________.

?1?11???，则 TT1?1（5） 设?为3维列向量，?是?的转置. 若????1????1?11???T?= .

A2B?A?B?E，其中

（6） 设三阶方阵A,B满足E

?101???，则

20为三阶单位矩阵，若A?0?????201??B?________.

二、选择题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所

46

数学二历年考研试题

选项前的字母填在题后的括号内）

（1）设{an},{bn},{cn}均为非负数列，且limn??an?0,limn??bn?1,limn??cn??,则必有

(A)

an?bn对任意n成立. (B) bn?cn对任意n成立.

(C) 极限nlim??ancn不存在. (D) 极限nlim??bncn不存在. [ ]

n（2）设a3n?1n?2?n?10x1?xndx, 则极限limn??nan等于 33 (A)

(1?e)2?1. (B) (1?e?1)2?1.

33 (C)

(1?e?1)2?1. (D) (1?e)2?1. [ ]

（3）已知

y?xylnx是微分方程y??x??(xy)的解，则?(xy)的表达式为 2 （A）

yy2?x2. (B) x2.

2 (C)

?xy (D) x22. y2. [ ]

（4）设函数f(x)在(??,??)内连续，其导函数的图形如图所示，则f(x)有

(A) 一个极小值点和两个极大值点. (B) 两个极小值点和一个极大值点. (C) 两个极小值点和两个极大值点.

(D) 三个极小值点和一个极大值点. [ ]

y

O x ??（5）设Itanx1??40xdx,Ix2??40tanxdx, 则

(A) I1?I2?1. (B) 1?I1?I2.

47

数学二历年考研试题

(C)

I2?I1?1. (D) 1?I2?I1. [ ]

（6）设向量组I：?1,?2,?,?r可由向量组II：?1,?2,?,?s线性表示，则 (A) 当r?s时，向量组II必线性相关. (B) 当r?s时，向量组II必线性相关.

(C) 当r?s时，向量组I必线性相关. (D) 当r?s时，向量组I必线性相关.

[ ]

???ln(1?ax3)三 、（本题满分10分）设函数

f(x)??x?arcsinx,x?0,?6,x?0,

??eax?x2?ax?1,x?0,??xsinx4问a为何值时，f(x)在x=0处连续；a为何值时，x=0是f(x)的可去间断点？

四 、（本题满分9分）

?x?1?2t2, 设函数y=y(x)由参数方程??1?2lntd2?eu(t?1)所确定，求y2x?9.

?y??1ududx

48

数学二历年考研试题

xearctanx五 、（本题满分9分）计算不定积分

?.

(1?x2)3dx2

六 、（本题满分12分）

设函数y=y(x)在(??,??)内具有二阶导数，且

y??0,x?x(y)是y=y(x)的反函数.

(1) 试将x=x(y)所满足的微分方程d2xdx3dy2?(y?sinx)(dy)?0变换为y=y(x)满足的微分方程；(2) 求变换后的微分方程满足初始条件y(0)?0,y?(0)?32的解.

七 、（本题满分12分） 讨论曲线y?4lnx?k与y?4x?ln4x的交点个数.

49

数学二历年考研试题

八 、（本题满分12分）

设位于第一象限的曲线y=f(x)过点(被x轴平分.

(1) 求曲线 y=f(x)的方程；

(2) 已知曲线y=sinx在[0,?]上的弧长为l，试用l表示曲线y=f(x)的弧长s.

九 、（本题满分10分）

有一平底容器，其内侧壁是由曲线x半径为2 m.根据设计要求，当以3m321,)，其上任一点P(x,y)处的法线与y轴的交点为Q，且线段PQ22??(y)(y?0)绕y轴旋转而成的旋转曲面（如图），容器的底面圆的

/min的速率向容器内注入液体时，液面的面积将以?m2/min的速率均

匀扩大（假设注入液体前，容器内无液体）.

(1) 根据t时刻液面的面积，写出t与?(y)之间的关系式； (2) 求曲线x??(y)的方程.

(注：m表示长度单位米，min表示时间单位分.)

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