习题（第5章）

第五章习题答案

5-2 如题图所示，一半径为a的金属圆盘，在垂直方向的均匀磁场B中以等角速度?旋转，其轴线与磁场平行。在轴与圆盘边缘上分别接有一对电刷。这一装置称为法拉第发电机。试

Ba2?证明两电刷之间的电压为。

2证明：，选圆柱坐标， ?z

??????Eind?v?B?ve??Bez?vBe? ?其中 v???e?

??v ?

a?????Eind?dl?la??Ba??B??d???2020??Bve??d?e?

题图5-2

证毕

5-4 一同轴圆柱形电容器，其内、外半径分别为R1?1cm、R2?4cm，长度l?0.5cm，极板间介质的介电常数为4?0，极板间接交流电源，电压为u?60002sin100?tV。求

t?1.0s时极板间任意点的位移电流密度。

解法一：因电源频率较低，为缓变电磁场，可用求静电场方法求解。忽略边沿效应，电容器中的场为均匀场，选用圆柱坐标，设单位长度上内导体的电荷为?，外导体电荷为??，因此有

?E?R2??e? R1???R2

2??0?R1u??R1??R2E?dl??R??d??ln2

2??0?2??0R1??所以 E??R?uln2

R12??0??u?u?e? e? ， D?R2R2ln?ln?R1R1???DJd???t当t?1s时

?lnR2?R1?u?e???t?lnR2?R1?60002?100?cos100?te?A/m2

?4?8.85?10?12Jd??60002?100?cos100?ln4??6.81?10?5?e?

??e?A/m2解法二：用边值问题求解，即

??2??0????u???0? 由圆柱坐标系有

??1 ??4(1)

1???(?)?0 ?????解式(1)得

??c1ln??c2

uln4 c2?u

由边界条件得： c1??????uln4ln??u

?60002sin100?t?所以 E?????e?

?ln4 D??E???4?060002sin100?t?e?

?ln4??D4?060002cos100?t???100?e? JD??t?ln4当t?1s时

?6.81?10?5?JD?e?(A?m2)

5-5由圆形极板构成的平板电容器(R??d)见题5-5图所示，其中损耗介质的电导率为?、介电系数为?、磁导率为?，外接直流电源并忽略连接线的电阻。试求损耗介质中的电场强度、磁场强度和坡印廷矢量，并根据坡印廷矢量求出平板电容器所消耗的功率。

解：由于电容器两端的电压为直流电压，因此没有位移电流，只有漏电流。 ?U?ez ,为均匀电场。 由 U?Ed 知 E?d???U?ez 任意一点的电流密度：J??E?dUI??R2J??R2?

d电流均匀分布且垂直于极板。

?H + ? R d ?,?,? U0

I'??U?磁场强度有安培环路定律得到：H?e???e?

2??2dz - ????U2?H=2?(?e?) 所以坡印亭矢量为：S?E×2d进入电容器的总功率，即电容器消耗的功率为：

题图5-5

???U2?R2?22P???S?dS?R2?Rd?U?GU?IU 2?s2dd

5-8在一个圆形平行平板电容器的极间加上低频电压u?Umsin?t，设极间距离为d，极间绝缘材料的介电常数为?，试求极板间的磁场强度。 解：采用圆柱坐标系

?u?极板间的电场为：E?ez

d????D?E??Um????cos?tez 所以， JD??t?td??2由全电流定律（此时传导电流为零）有： ??H?dl?I???JD

l???Um??cos?te? 所以： H?2d5-9 在交变电磁场中，某材料的相对介电常数为?r?81，电导率为??4.2S/m。分别求频率f1?1kHz、f2?1MHz以及f3?1GHz时位移电流密度和传导电流密度的比值。

??解：传导电流JC和位移电流JD分别由以下公式计算

?????D JC??E ， JD??t所以传导电流和位移电流的幅值比为：

-9JD??81?0?81??136???10?2?ff K?????JC?4.24.29.3?108分别将三种频率代入式(1)中得：

Kf?103＝1.07?10-6 Kf?106＝1.07?10-3 Kf?109＝1.07

5-11题图所示的一对平行长线中有电流i(t)?Imsin?t。求矩形线框中的感应电动势。 解：在圆柱坐标中，由无限长直导线产生的磁感应强度为

??0I?B?e?

2??现设右边一条电流为i1， i1的方向为参考方向，其产生的磁感应强度为

??i??I? B1?01e??0msin?te?

2??12??1在矩形框产生的磁通

题图5-11

?1??a?ca?0Im?Iha?c sin?t?hd?1?0mln2??12?a左边一条电流设为i2， 则 B2???0i2??I?e???0msin?te? 2??22??2在矩形框产生的磁通

?2??b?cb??b?c?I?Ihb B2?dS???0msin?t?hd?2?0msin?tlnb2??22?b?c矩形框的总磁通 ???2??1??0Imhsin?tb?a?c? ln2?a?b?c?所以 ??????0Imh?cos?tb?a?c??ln

?t2?a?b?c????5-13 真空中磁场强度的表达式为H?Hzez?H0sin(?t??x)ez，求空间的位移电流密度

和电场强度。

?ex??解：由 ??H??x0?ey00?ez??Hz?0??ey?Jd 得

?xHz??Jd?H0?cos??t??x?ey

???D 又由：Jd?，

?t??H0??sin(?t??x)ey 所以 D??Jd?dt????DH0?? 所以 E??sin??t??x?ey

?0??0

??5-14 已知在某一理想介质中的位移电流密度为JD?2sin(?t?5z)ex?A/m2，介质的介电

??常数为?0，磁导率为?0。求介质中的电场强度E和磁场强度H。

???D 解： 由JD?得

?t???2t???2?D??JDdt?cos(?t?5z)ex ， E?cos(?t?5z)ex

0???0???B 又由??E??可得

?t? ?H??110?2?0?0?cos(?t?5z)ey

??0?0?c2,c??,??5 ????2 所以： H?Hy??cos(?t?5z)ey

5?5-16 半径为R，厚度为h、电导率为?的导体圆盘，盘面与均匀正弦磁场B正交，如

??题5-16图所示。已知B?B0sin?tex，忽略圆盘中感应电流对均匀磁场的影响，试求：（1）?圆盘中的涡流电流密度Jc；（2）涡流损耗Pe。

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