2018年普通高等学校招生全国统一考试 文科数学（新课标II卷）精校版 含答案

2018年普通高等学校招生全国统一考试(新课标II卷)

文 科 数 学

注意事项：

1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形 号位码粘贴在答题卡上的指定位置。

封座2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂 黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草 密 稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。

号一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符不场考合题目要求的。 1．i?2?3i??（ ） A．3?2i

B．3?2i

C．?3?2i

D．?3?2i

订 2．已知集合A??1,3,5,7?，B??2,3,4,5?，则AB?（ ）

A．?3?

B．?5?

C．?3,5?

D．?1,2,3,4,5,7?

f?x??ex?e?x3．函数 装x2的图象大致为（ ）

号证考准 只

卷 4．已知向量a，b满足a?1，a?b??1，则a??2a?b??（ ） A．4

B．3

C．2

D．0

名姓5．从2名男同学和3名女同学中任选2人参加社区服务，则选中的2人都是女同学的概率为（ ） 此 A． 0.6

B．0.5

C．0.4

D．0.3

．双曲线x2y26 a2?b2?1?a?0,b?0?的离心率为3，则其渐近线方程为（ ）

级A．y??2x B．y??3x

C．y??22x D．y??32x 班7．在△ABC中，cosC5 2?5，BC?1，AC?5，则AB?（ ）

A．42 B．30 C．29 D．25 8．为计算S?1?111?112?3?4?99?100，设计了右侧的程序框图，则在空白框中应填入（ ）

A．i?i?1

B．i?i?2

C．i?i?3

D．i?i?4

9．在正方体ABCD?A1B1C1D1中，E为棱CC1的中点，则异面直线AE与CD所成角的正切值为（ ）A．22 B．32 C．52 D．72 10．若f?x??cosx?sinx在?0,a?是减函数，则a的最大值是（ ） A．

π π4B．

2 C．

3π4 D．π

11．已知F1，F2是椭圆C的两个焦点，P是C上的一点，若PF1?PF2，且?PF2F1?60?，则C的离心率为（ ） A．1?32 B．2?3 C．3?12 D．3?1

12．已知f?x?是定义域为???,???的奇函数，满足f?1?x??f?1?x?．若f?1??2， 则f?1??f?2??f?3???f?50??（ ） A．?50

B．0

C．2

D．50

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．曲线y?2lnx在点?1,0?处的切线方程为__________．

?x?2y?514．若x，y满足约束条件??0?x?2y?3?0，则z?x?y的最大值为__________．

??x?5?015．已知tan??5??1?α?4???5，则tanα?__________．

16．已知圆锥的顶点为S，母线SA，SB互相垂直，SA与圆锥底面所成角为30?，若△SAB的面积为8，则该圆锥的体积为__________．

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23为选考题。考生根据要求作答。 （一）必考题：共60分。

17．（12分）记Sn为等差数列?an?的前n项和，已知a1??7，S3??15． （1）求?an?的通项公式； （2）求Sn，并求Sn的最小值．

18．（12分）下图是某地区2000年至2016年环境基础设施投资额y（单位：亿元）的折线图．

为了预测该地区2018年的环境基础设施投资额，建立了y与时间变量t的两个线性回归模型．根据2000年至2016年的数据（时间变量t的值依次为1,2,2010年至2016年的数据（时间变量t的值依次为1,2,???30.4?13.5t；根据,17）建立模型①：y??99?17.5t． ,7）建立模型②：y（1）分别利用这两个模型，求该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值； （2）你认为用哪个模型得到的预测值更可靠？并说明理由．

19．（12分）如图，在三棱锥P?ABC中，AB?BC?22， PA?PB?PC?AC?4，O为AC的中点．

220．（12分）设抛物线C:y?4x的焦点为F，过F且斜率为k?k?0?的直线l与C交于A，B两点，

AB?8．

（1）证明：PO?平面ABC；

（2）若点M在棱BC上，且MC?2MB，求点C到平面POM的距离．

P（1）求l的方程；

（2）求过点A，B且与C的准线相切的圆的方程．

ABOCM

121．（12分）已知函数f?x??x3?ax2?x?1．

3??（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。

22．（10分）[选修4－4：坐标系与参数方程]

?x?2cosθ在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为?，（θ为参数），直线l的参数方程为

y?4sinθ??x?1?tcosα，（t为参数）． ?y?2?tsinα?（1）若a?3，求f?x?的单调区间； （2）证明：f?x?只有一个零点．

（1）求C和l的直角坐标方程；

（2）若曲线C截直线l所得线段的中点坐标为?1,2?，求l的斜率．

23．（10分）[选修4－5：不等式选讲] 设函数f?x??5?x?a?x?2．

（1）当a?1时，求不等式f?x??0的解集； （2）若f?x??1，求a的取值范围．

2018年普通高等学校招生全国统一考试(新课标II卷)

文科数学答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 D C B B D A A B C C D C 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 13．y?2x?2

14．9

15．

32 16．8?

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23为选考题。考生根据要求作答。 17．【答案】（1）an?2n?9；（2）?16．

【解析】（1）设?an?的公差为d，由题意得3a1?3d??15．由a1?–7得d?2，所以?an?的通项 公式为an?2n?9．

（2）由（1）得S2n?n2–8n??n?4??16．所以当n?4时，Sn取得最小值，最小值为?16． 18．【答案】（1）模型①226.1亿元，模型②256．5亿元；（2）模型②，见解析． 【解析】（1）利用模型①，该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值为 y???30.4?13.5?19?226.1（亿元）． 利用模型②，该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值为 y??99?17．5?9?256．5（亿元）

． （2）利用模型②得到的预测值更可靠． 理由如下：

（i）从折线图可以看出，2000年至2016年的数据对应的点没有随机散布在直线y??30.4?13.5t上下，这说明利用2000年至2016年的数据建立的线性模型①不能很好地描述环境基础设施投资额的变化趋势．2010年相对2009年的环境基础设施投资额有明显增加，2010年至2016年的数据对应的点位于一条直线的附近，这说明从2010年开始环境基础设施投资额的变化规律呈线性增长趋势，利用2010年至2016年的数据建立的线性模型y??99?17．5t可以较好地描述2010年以后的环境基础设

施投资额的变化趋势，因此利用模型②得到的预测值更可靠．

（ii）从计算结果看，相对于2016年的环境基础设施投资额220亿元，由模型①得到的预测值226．1

亿元的增幅明显偏低，而利用模型②得到的预测值的增幅比较合理，说明利用模型②得到的预测值更可靠．

以上给出了2种理由，考生答出其中任意一种或其他合理理由均可得分． 19．【答案】（1）见解析；（2）455． 【解析】（1）因为AP?CP?AC?4，O为AC的中点，所以OP?AC，且OP?23．连结OB． 因为AB?BC?22AC，所以△ABC为等腰直角三角形，且OB?AC，OB?12AC?2． 由OP2?OB2?PB2知，OP?OB．由OP?OB，OP?AC知PO?平面ABC．

（2）作CH?OM，垂足为H．又由（1）可得OP?CH，所以CH?平面POM． 故CH的长为点C到平面POM的距离． 由题设可知OC?12422AC?2，CM?3BC?3，?ACB?45?． 所以OM?253，CH?OC?MC?sin?ACB4545OM?5．所以点C到平面POM的距离为5． 20．【答案】（1）y?x–1；（2）?x?3?2??y?2?2?16或?x?11?2??y?6?2?144． 【解析】（1）由题意得F?1,0?，l的方程为y?k?x–1?，?k?0?．

设A?x?x??y?k?x?1?1,y1?，B2,y2?．由?22?4x得kx2??2k2?4?x?k2??0． ?y??16k2?16?0，故x2k2?41?x2?k2． 4k2所以AB?AF?BF??x??x?41?1?2?1??k2． 由题设知4k2?4k2?8，解得k??1（舍去）

，k?1．因此l的方程为y?x–1． （2）由（1）得AB的中点坐标为?3,2?，所以AB的垂直平分线方程为

y?2???x?3?，即y??x?5．设所求圆的圆心坐标为?x0,y0?，则 ??y0??x0?5??2?y20?x0?1?，解得??x0?3或??x0?11， ??x0?1??2?16?y0?2?y0??6

因此所求圆的方程为?x?3???y?2??16或?x?11???y?6??144．

21．【答案】（1）–?,3?23，3?23,??单调递增，3?23,3?23单调递减； （2）见解析．

1【解析】（1）当a?3时，f?x??x3?3x2?3x?3，f??x??x2?6x?3．

32222（2）f?x??1等价于x?a?x?2?4，

??????而x?a?x?2?a?2，且当x?2时等号成立．故f?x??1等价于a?2?4， 由a?2?4可得a??6或a?2，所以a的取值范围是???,?6??2,???．

令f??x??0解得x?3?23或x?3?23． 当x?–?,3?23

???3?2???3,??时，f??x??0；

?当x?3?23,3?23时，f??x??0．

故f?x?在–?,3?23，3?23,??单调递增，在3?23,3?23单调递减．

?????x3（2）由于x?x?1?0，所以f(x)?0等价于2?3a?0．

x?x?12x2?x2?2x?3?x3?0，仅当x?0时g??x??0，所以g?x? 设g(x)=2?3a，则g??x??22x?x?1?x?x?1????单调递增，故g?x?至多有一个零点，从而f?x?至多有一个零点． 在?–?，11?11?又f?3a?1???6a?2a???6?a????0，f?3a?1???0，故f?x?有一个零点．

36?63?22综上，f?x?只有一个零点．

x2y222．【答案】（1）?（2）?2． ?1，当cos??0，y?tan??x?2?tan?；当cos??0，x?1；

416x2y2【解析】（1）曲线C的直角坐标方程为??1．

416当cos??0时，l的直角坐标方程为y?tan??x?2?tan?， 当cos??0时，l的直角坐标方程为x?1．

（2）将l的参数方程代入C的直角坐标方程，整理得关于t的方程

?1?3cos??t22?4?2cos??sin??t?8?0．①

因为曲线C截直线l所得线段的中点?1,2?在C内，所以①有两个解，设为t1，t2，则t1?t2?0． 又由①得t1?t2??4?2cos??sin??1?3cos2?，故2cos??sin??0，于是直线l的斜率k?tan???2．

23．【答案】（1）?x|?2?x?3?；（2）???,?6??2,???．

?2x?4,x??1?【解析】（1）当a?1时，f?x???2,?1?x?2，可得f?x??0的解集为?x|?2?x?3?．

??2x?6,x?2?

因此所求圆的方程为?x?3???y?2??16或?x?11???y?6??144．

21．【答案】（1）–?,3?23，3?23,??单调递增，3?23,3?23单调递减； （2）见解析．

1【解析】（1）当a?3时，f?x??x3?3x2?3x?3，f??x??x2?6x?3．

32222（2）f?x??1等价于x?a?x?2?4，

??????而x?a?x?2?a?2，且当x?2时等号成立．故f?x??1等价于a?2?4， 由a?2?4可得a??6或a?2，所以a的取值范围是???,?6??2,???．

令f??x??0解得x?3?23或x?3?23． 当x?–?,3?23

???3?2???3,??时，f??x??0；

?当x?3?23,3?23时，f??x??0．

故f?x?在–?,3?23，3?23,??单调递增，在3?23,3?23单调递减．

?????x3（2）由于x?x?1?0，所以f(x)?0等价于2?3a?0．

x?x?12x2?x2?2x?3?x3?0，仅当x?0时g??x??0，所以g?x? 设g(x)=2?3a，则g??x??22x?x?1?x?x?1????单调递增，故g?x?至多有一个零点，从而f?x?至多有一个零点． 在?–?，11?11?又f?3a?1???6a?2a???6?a????0，f?3a?1???0，故f?x?有一个零点．

36?63?22综上，f?x?只有一个零点．

x2y222．【答案】（1）?（2）?2． ?1，当cos??0，y?tan??x?2?tan?；当cos??0，x?1；

416x2y2【解析】（1）曲线C的直角坐标方程为??1．

416当cos??0时，l的直角坐标方程为y?tan??x?2?tan?， 当cos??0时，l的直角坐标方程为x?1．

（2）将l的参数方程代入C的直角坐标方程，整理得关于t的方程

?1?3cos??t22?4?2cos??sin??t?8?0．①

因为曲线C截直线l所得线段的中点?1,2?在C内，所以①有两个解，设为t1，t2，则t1?t2?0． 又由①得t1?t2??4?2cos??sin??1?3cos2?，故2cos??sin??0，于是直线l的斜率k?tan???2．

23．【答案】（1）?x|?2?x?3?；（2）???,?6??2,???．

?2x?4,x??1?【解析】（1）当a?1时，f?x???2,?1?x?2，可得f?x??0的解集为?x|?2?x?3?．

??2x?6,x?2?

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