概率统计在金融中的应用

题 目：学 院：专 业：姓 名：学 号 xxxxxxx 指导老师：完成时间： 毕 业 论 文 概率统计在金融中的应用

数理学院

数学与应用数学 x xxx xxxxx 2013年5月27日

河南xxxxxxx本科毕业论文 摘要

摘 要

概率统计课程是金融数学的必修课，它作为重要的数学工具，在金融领域的分析中发挥着举足轻重的作用。当今概率统计与经济的关系可以说是息息相关的,几乎任何一项经济学的研究、决策都离不开它的应用。例如:实验设计、多元分析、质量控制、抽样检查、价格控制等都要用到概率统计知识。实践证明,概率统计是对经济学问题进行研究的有效工具,并且它为经济管理、经济预估、经济预测和决策提供了新的手段。

本文首先详细阐述了本课题的研究背景、研究目的和意义，以及它的来源和发展现状，而且还对论文的组织结构予以讨论：首先通过重点分析了概率统计常用的理论和知识，以及基于理论的若干模型，为下章的举例介绍概率统计在金融中的经济管理决策、经济损失估计、最大经济利润求解、经济保险、经济预测等几个经济学问题中的应用中所遇到的知识做个简单知识准备；接下来就是举例介绍概率统计在金融中的经济管理决策、经济损失估计、最大经济利润求解、经济保险、经济预测等几个经济学问题中的应用；文章的最后则是对整篇文章进行了总结。

关键词：概率统计，现代金融 ，经济管理决策，经济损失估计，经济保险， 最大经济利润求解，经济预测

I

河南xxxxxxx本科毕业论文 abstract

ABSTRACT

Probability and statistics course is a required subject in financial mathematics. As an important mathematical tool ,probability and statistics plays an important role in the field of financial analysis.Today, probability and statistics is closely linked with the areas of the economy, and any economics research, economics decision making is arguably almost inseparable from its applications,such as: experiment design, multivariate analysis, quality control and sampling inspection, price control, and so on,which all take advantage of the knowledge of and statistics. Practice has proved, probability and statistics is an effective tool for the study of economics, and it provides a new means for the economic management, economic forecasts, economic forecasts and decision-making and so on.

At first,this article elaborated the paper’s research background, research purpose and research significance, as well as the source of the topic and the current situation of the development, but also the organizational structure of paper: firstly, focuses on the analysis of the commonly used theory and knowledge in mathematical statistics , and several models which based on the theory of the probability and statistics,which makes simple preparation for the knowledge used in the introdution of the next chapter.Followed by,next chapter makes some examples for the introduction of the application of probability and statistics in Some of the economics problems,such as the economic management of financial decisions, economic loss estimation, maximum economic profit solution, economic safe, economic forecasts,and so on.The end of the article makes a summary about the whole paper.

Keywords: Probability and statistics, modern finance, economic management, economic loss estimation, economic security, maximum economic profit, economic forecasts

II

河南xxxxxx本科毕业论文 目录

目录

摘 要 ............................................................. I ABSTRACT ............................................................ II 第一章 概论 ....................................................... 1

1.1 研究背景、意义及目的 ......................................... 1

1.1.1背景 ..................................................... 1 1.1.2研究目的 ................................................. 1 1.1.3 研究意义 ............................................... 1 1.2 发展近况 .................................................... 1 1.3 概率统计与金融学的联系与应用 ................................ 2 1.4 论文的组织结构 ............................................... 3 第二章 概率统计常用理论知识 ........................................ 4

2.1概率统计知识概述 .............................................. 4

2.1.1概率论的内容 ............................................. 4 2.1.2概率统计的内容 ........................................... 4 2.2 概率统计常用理论模型 ......................................... 5

2.2.1 中心极限定理 ............................................ 5 2.2.2 矩估计和最大似然估计 .................................... 5 2.2.3 置信区间和置信度 ........................................ 7 2.2.4 线性回归模型 ........................................... 7 2.2.5 一元线性回归分析 ........................................ 8

第三章 概率统计在金融中的应用实例 ................................ 13

3.1引言 ......................................................... 13 3.2实例举例 ..................................................... 13

3.2.1.在经济管理决策中的应用 ................................. 13 3.2.2.在经济损失估计中的应用 ................................. 14 3.2.3.在求解最大经济利润问题中的应用 ......................... 15 3.2.4.在经济预测中的应用 ..................................... 16 3.2.5.在经济保险问题中的应用 ................................. 17

第四章 总结 ...................................................... 21 参考文献 ............................................................ 22 致谢 ................................................................ 23

河南xxxxxxx本科毕业论文 第一章 概论

第一章 概论

1.1 研究背景、意义及目的

1.1.1背景

由于数学固有的灵活性，可使金融领域的相关研究和探索借助于其多种计算方法以及数学模型,从而更好地发现现实金融问题背后的经济变量函数,使复杂的关系得以清晰化；由于其固有的精确性,采用数学方法可以准确的研究和描述经济范畴之间的数量关系；由于其固有的严密逻辑性,使得数学分析成为科学推理的主要手段,可以使一些用其他方法难以说清的逻辑关系得到简洁明了的说明和解决。

随着金融市场的繁荣与发展,以及概率统计相关理论的不断进步和发展,概率统计在金融领域中的应用越来越受到重视。金融学作为立足于经济现象之上的一门学科,与概率统计之间有着千丝万缕的联系，越来越多的统计方法被运用到金融领域当中,金融统计学这一新兴边缘学科也由此应运而生。随着知识经济的到来,人们对各种问题的要求越来越精确,概率统计方法以其精确和严密性在金融学中被广泛应用,阐述金融工具从日常语言发展到数理语言,具有了理论上的抽象,是金融学科的一种进步。

1.1.2研究目的

本文主要介绍了概率统计在金融领域中主要发展及应用。

通过介绍概率统计中的几种最常用的模型和计算方法，做到对概率统计知识和原理的再学习以及更深层次的探索和发现；举例说明概率统计知识在金融领域中某些方面中的实际运用以及模拟操作，达到对各方面知识的相互渗透。

1.1.3 研究意义

从系统科学的观点出发，着眼于金融市场的整体，运用模型，特别是借用数学模型并运用概率统计来寻求金融市场系统的相关需求和应用，并结合计算机的应用，从而达到最精确、满意的结果，也使金融市场系统整体达到最经济、最有效、最合理的理想状态。

1.2 发展近况

早些年我国概率统计在社会经济金融领域中的应用,主要是抽样法和相关分析,其它方法应用的还很少;从应用的发展阶段看,除抽样调查和产品质量管理等应用的较多外,多数还处在试验阶段,离广泛实际应用,还有相当距离;从应用的单位看,也只是少数。如今概率统计在金融中的应用已经发展的相当之快，虽然还不是太成熟，但是我们已经取得了惊人的成就。

1

河南xxxxxx本科毕业论文 第二章 概率统计常用理论知识

?)为g(?)的极大似然估计。 若?为?的极大似然估计，g(x)为单调函数，则g(??2.2.3 置信区间和置信度

设总体X含有一个待估的未知参数?。如果我们从样本x1,x,2,?,xn出发，找出两个统计量?1??1(x1,x,2,?,xn)与?2??2(x1,x,2,?,xn)(?1??2)，使得区间

[?1,?2]以1??(0???1)的概率包含这个待估参数?，即：

P{?1????2}?1??,

那么称区间[?1,?2]为?的置信区间，1??为该区间的置信度或置信水平。

2.2.4 线性回归模型

当变量间存在相关关系时，我们特别关心因变量y的取值的平均，即在给定

x1,x2?,xn的条件下，随机变量y的数学期望，记作??x1,x2?xk??E?yx1,x2?xk?.

此时，因变量y与自变量x1,x2?,xn之间的相关关系可以表示为： y?E?yx1,x2?xk???

这里?表示为随机误差，上式成为y关于x1,x2?,xn的回归。y对自变量

x1,x2?,xn取值的依赖关系为：??x1,x2?xk?，它反映了y取值的平均趋势，这是相

关关系的主要部分。

回归函数E?yx1,x2?xk?可以是线性的，也可以是非线性的。但是对于线性回归y??0??1x1????kxk??中回归函数是参数的线性回归。

而E?yx1,x2?xk?????0??1x1????kxk是最简单且最重要的情况，但是在理论上有比较深入的讨论结果，是非线性回归的基础。

y??0??1x1????kxk??称为理论线性回归模型。由随机误差?在线性模型中的地位可见，他的概率性质决定了模型的性质。根据回归函数的意义，自然有

E(?)?0。

关于变量x1,x2?,xn的n次观测，我们假定各次观测所受的随机影响程度相同。且任意两次观测的误差不相关。这种假定在一般情况下是合理的。称之为Gauss-Markov条件

2 Cov(?,?)??In

这里?如

?y1???1???1??1x11?x1k?????????y1x?x??2?2212k2???????,X?,??,?? Y? ?????????????????????1x?xy?n1kk???n??n???n? 7

河南xxxxxx本科毕业论文 第二章 概率统计常用理论知识

那样的随机误差向量且E(?)?0，为了不引进更多符号。以后?有时候表示一个随机变量，有时候表示为一个随机向量。由模型的意义，这样我们可以得到线性回归模型Y?X???，E(?)?0，Cov(?,?)?? ，?0称之为常数项。

?0,?1,?2??k称为回归函数，表示自变量x1,x2?,xn的改变时对y的影响大小。在

2某些问题当中，我们还假设?满足正态条件??N?0,?In? 其中?2?(0,?)，也

是线性回归模型中的重要参数，In为n阶单位阵。

为了对未知参数进行估计或者研究其他有关的统计推断问题，需进行试验，设做了n次试验。第i次试验的观测值为(xi1???xik:y)，称为第i个试验点。以后我们假定试验总数n不小于线性回归模型 Y?X???，E(?)?0，Cov(?,?)??包含的未知参数个数，且设计矩阵X是列满秩的，即：rk(X)?k?1。

2.2.5 一元线性回归分析

一元线性回归模型

设随机变量Y与普通变量x间存在相关关系，且假设对于x的每一个取值有

2 Y?N(?0??1x,?)

其中?0 ,?1 ,?2 都不是不依赖于x的未知参数。记??Y?(?0??1x)，则对Y做这样的正态假设，相当于假设：

Y?(?0??1x)?? ,??N(0,?2) 其中未知参数?0 ,?1 ,?2都是不依赖于x的未知参数。

此时，Y?(?0??1x)??，??N(0,?2)称为一元线性回归模型，其中?1称为回归系数。

因变量Y由两部分组成，一部分是x的线性函数：?0??1x；另一部分是随机误差：?，是不可控制的。下面的任务是对参数?0 ，?1的估计，那参数?0,?1的最小二乘估计如下：

令x取n个不全相同的取值，用x,x,?,x表示，并作n次独立试验，得到

n12样本：

(x,Y),(x,Y),?,(x,Y) nn1122和样本观测值：

(x,y),(x,y),?,(x,y) nn1122把样本观测值(x,y),(x,y),?,(x,y)代入Y?(?0??1x)??，??N(0,?2)

nn1122得： yi??0??1xi??i ， i?1,2?n。

8

河南xxxxxx本科毕业论文 第二章 概率统计常用理论知识

2而使此函数Q(?0,?1)?????(yi??0??1xi)达到最小为原则，则此时对未知参

2ii?1i?1nn数?0和?1的估计,就称为未知参数?0和?1的最小二乘估计，估计值记为?0和?1。通过以上的分析，这时候我们称此方程y??0??1x为Y关于x的经验回归方程,简称为回归方程。

接下来就是求未知参数?0 ，?1的最小二乘估计： 因为此方程Q(?0,?1)的极值点可以写成：

n?Q??2?(yi??0??1xi)?0 ?ai?1nn??n?0?(?xi)?1??yi?i?1i?1由此式子得方程组： ?n nn?(x)??(x2)??xy?i0??iii?i?1i?1?i?1?????现在对上面方程组进行求解，得唯一解如下：

nnn???n?xiyi?(?xi)(?yi)i?1i?1??1?i?1n?n?n?xi2?(?xi)2 ?i?1i?1?_?_??1nbn??0??yi??xi?y??1xni?1ni?1????(x?x)(yii?1n_ii?1n_i?y)2_?(x?x)

求出的解中的?0和?1为未知参数?0，?1的最小二乘估计量。

1?y?yi这表明，关于样本值，???1(x?x) 而此时回归方程也可写成y?y?ni?1(x1,y1),(x2,y2),?,(xn,yn)的回归直线通过散点图的几何中心(x,y)。为了计算上的

n方便，我们引入记号：

9

河南xxxxxx本科毕业论文 第二章 概率统计常用理论知识

1n2 Sxx??(xi?x)???(?xi)ni?1i?1i?1nn1n22 Syy??(yi?y)??yi?(?yi)2ni?1i?1i?1nnn1nSxy??(xi?x)(yi?y)??xiyi?(?xi)(?yi)ni?1i?1i?1i?1n2nxi2这样，?0 ，?1的估计值可写成：?1???Sxx， Sxy?1n1n ?0??yi??(?xi)?1。

ni?1ni?1 下面是对?2的估计：

2222 由于E??[Y?(?0??1xi)]??E(?)?D(?)?[E(?)]??，所以我们就把式子

记做： yi?y??x?xi??0??1xi，

??此时我们称y?y?i为xi处的残差；而平方和式： i Qn??(yi?yi)??(yi??0??1xi)

i?1i?1n_2n??2称为残差平方和。

下面我们计算Q：

e 我们首先将Q做如下分解：

e Qn??(yi?yi)??[yi?y??1(x?xi)]

i?1_i?1n_2n_?2 ??(yi?yi)?2?1?(xi?x)(yi?y)?(?1)i?1i?1n2?n__?2?(x?x)ii?1n_2

?Syy?2?1Sxy?(?1)2Sxx 再由?1????Sxx?得Q的另一个分解式：Qn?Syy??1Sxy。相应的统计量为： Sxye? Qn?SYY??1SxY 然后我们可以证明：

10

河南xxxxxx本科毕业论文 第二章 概率统计常用理论知识

于是：

Q??2??2(n?2)

E(即：

Q??2)?(n?2)

E(Q?这样就得到了?2的无偏估计量为：

)??2 n?2?Q?1 ???[Syy??1SxY]

n?2n?2?2 最后我们进行线性假设的显著性检验：

在以上的讨论中，我们假定Y关于x的回归函数?(x)具有线性形式：?0??1x。在处理实际问题时，?(x)是否为x的线性函数，首先要根据有关专业知识和实践来判断，其次就要根据实际观察得到的数据运用假设检验的方法来判断。这就是说，求得的线性回归方程是否具有实用价值，一般来说，需要经过假设检验才能确定。若线性假设符合实际，则?1不应为零，因为若?1?0则?(x)就不依赖于x了。

因此，我们需要检验假设：

H0:?1?0 H1:?1?0 用t检验法来进行检验，可以证明：?1?(?1,?S)

xxQQ2由?2??(n?2)和E(?2)?(n?2)得到：

?2?? (n?2)??Q???2(n?2)

22?2??由于?1与Q?相互独立，故有：

???1??1?即：

2(n?2)??2?2(n?2)?t(n?2)

Sxx 11

河南xxxxxx本科毕业论文 第二章 概率统计常用理论知识

??1??1?t(n?2) 2?Sxx?且E(?1)??0?0，即得H的拒绝域为：

0 t?此处?为显著性水平。

当假设H被拒绝时，认为回归效果是显著的，反之，就认为回归效果不显著。

0?1???Sxx?t?2)n?2

回归效果不显著的原因可能有如下几种：

（1）影响Y的取值，除了x及随机误差外还有其它不可忽略的因素； （2）?(x)不是x的线性函数，而是其它形式的函数； （3）Y与x不存在关系。

12

河南xxxxx本科毕业论文 第三章 概率统计在金融中的应用实例

第三章 概率统计在金融中的应用实例

3.1引言

概率统计是一门相当有趣的数学分支学科。随着科学技术的发展和计算机的普及,它最近几十年来在自然科学和社会科学中得到了比较广泛的应用,在社会生产和生活中起着非常重要的作用。当今概率统计与经济的关系可以说是息息相关的,几乎任何一项经济学的研究、决策都离不开它的应用,例如:实验设计、多元分析、质量控制、抽样检查、价格控制等都要用到概率统计知识。实践证明,概率统计是对经济学问题进行量的研究的有效工具,为经济预测和决策提供了新的手段。本文通过一些具体的例子讨论概率统计在经济管理决策、经济损失估计、最大经济利润求解、经济保险、经济预测等几个经济学问题中的应用。

3.2实例举例

3.2.1.在经济管理决策中的应用

在进行经济管理决策之前,往往存在不确定的随机因素,从而所作的决策有一定的风险,只有正确、科学的决策才能达到以最小的成本获得最大的安全保障的总目标,才能尽可能节约成本。利用概率统计知识可以获得合理的决策,从而实现这个目标。下面以数学期望、方差等数字特征为例说明它在经济管理决策中的应用。

例 1 某人有一笔资金,可投入三个项目:房产x、地产y 和商业z,其收益和市场状态有关,若把未来市场划分为好、中、差三个等级,其发生的概率分别为

p1?0.2,p2?0.7, p3?0.1 ,根据市场调研的情况可知不同等级状态下各种投资

的年收益(万元) ,见表1

表3.1 各种投资年收益分布表

房产 地产 商业 好 中 差 p1?0.2 11 6 10 p2?0.73 4 2 p3?0.1 -3 -1 -2 请问:该投资者如何投资好?

解：我们先考察数学期望,可知

E?x??11?0.2?3?0.7???3??0.1?4.0

13

河南xxxxx本科毕业论文 第三章 概率统计在金融中的应用实例

E?y??6?0.2?4?0.7???1??0.1?3.9 E?z??10?0.2?2?0.7???2??0.1?3.2

根据数学期望可知,投资房产的平均收益最大,可能选择房产,但投资也要考虑风 险,我们再来考虑它们的方差:

D?x???11?4??0.2??3?4??0.7???3?4??0.1?15.4

D?y???6?3.9??0.2??4?3.9??0.7???1?3.9??0.1?3.29 D?z???10?3.?2?22222220.??2?2?2???0.?7?3.2??223.?20. 112.96因为方差愈大,则收益的波动大,从而风险也大。

分析：根据数学期望可知,投资房产的平均收益最大,可能选择房产,但是从方差看,投资房产的风险比投资地产的风险大得多,若收益与风险综合权衡,该投资者还是应该选择投资地产为好,虽然平均收益少0.1万元,但风险要小一半以上。

概率统计中特有的期望、方差等统计量本身的计算过程就蕴含着一定的模型意义，它的这种模型意义正好和金融中很多的抽象的概念相吻合，使一些其他数学方法无法解决的问题变得容易很多，这些特征量和金融结合起来使得到各结果都更加的令人满意。

3.2.2.在经济损失估计中的应用

随着经济建设的高速发展，火灾、车祸等各种意外事故所造成的经济损失成明显上升的趋势,从而买保险成为各单位及个人分担经济损失的一种有效方法。利用统计知识可以估计各种意外事故发生的可能性，以及发生后导致的经济损失大小。之后可以根据这些估计出来的数据来购买相应的保险产品。下面的例子就是以参数估计为方法来说明它在这一方面的应用。

例 2 已知某仓库货物在储藏过程中,仓库货物因火灾而损失的金额服从正态分布N??,?2? ,今随机抽取8 次货损资料,得到如下仓库货物损失金额表。根据这些数据估计平局损失数据。

表3.2 仓库货物损失金额表

货物损失金额(元) 1000 次数 2 2000 1 3000 4 5000 1 解：利用矩估计法或最大似然估计法可知: ?, ?2的矩估计量分别为:

14

河南xxxxx本科毕业论文 第三章 概率统计在金融中的应用实例

—1n???Xi?Xni?11n2，???(Xi?X)

ni?12利用上面两个公式并结合表2中的数据可计算出:

1???1000?2?2000?1?3000?4?5000?1??2625812222?2???1000?2625??2??2000?2625???3000?2625??4??5000?2625??^

?8??1101562.5

??1049.55 分析：从而得到仓库货物损失的平均估计值为2625元,标准差的估计值为1049.55 元。所以我们在为这些仓库物品购买保险的时候，可以参考这些数据，购买相应的险种，以及确定该险种的数量和相应金额。将估计理论应用于金融、保险中，对金融、保险中的极值事件建立模型，并以我国实际的股票收益率数据和医疗及巨灾保险索赔数据进行实证分析，达到了对金融、保险中的极值风险进行有效度量的目的。

3.2.3.在求解最大经济利润问题中的应用

如何获得最大利润是商界永远追求的目标,虽然在数学方法中有很多方法都可以用来进行求解最大利润的问题，但是概率统计中的随机变量函数期望的应用为此问题的解决提供了新的思路。

例 3 某公司经销某种原料,根据历史资料:这种原料的市场需求量x(单位:吨)服从（300,500）上的均匀分布,每售出1吨该原料,公司可获利1.5千元;若积压1吨,则公司损失0.5千元,问公司应该组织多少货源,可使期望的利润最大?

解：此问题的解决先是建立利润与需求量的函数,然后求利润的期望,从而得到利润关于货源的函数,最后利用求极值的方法得到答案。

设公司组织该货源a吨,则显然应该有300?a?500,又记y为在a吨货源的条件下的利润,则利润为需求量的函数,即y?g?x?,由题设条件知: 当x?a时,则此a吨货源全部售出,共获利1.5a；

当x?a时,则售出x吨(获利1.5x),且还有(a?x)吨积压,损失为：

(获利?0.5?a?x?) ,所以共获利：[1.5x?0.5?a?x?]，由此得：

a　　　 X?aY?g?x???1.52X? 0.5a　X?a

从而得：

E?y?????g?x?px?x?dx??300g?x???5001dx 200 15

河南xxxxx本科毕业论文 第三章 概率统计在金融中的应用实例

50011 ???2x?0.5a?dx??1.5adx

300a2002001 ??a2?900?3002? ?200a 分析：由上述计算式子可以看出E?y?是正好是a的二次函数,用通常求极值的方法就可以求得,当a?450吨时能够使得期望的利润达到最大。

在此，我们应用了概率统计中的随机变量函数期望这个知识点，由本题可以看出概率统计中的很多统计量本身就具有数学模型的性质，而且它本身计算过程就蕴含着某些经济和金融中的现实事例。从中我们可以看到概率统计和金融学有一种天然的契合，相互融合，相互解释，相互促进。同时，概率统计结合高等代数等数学知识，给予金融更丰富的意义和满意的解释。

3.2.4.在经济预测中的应用

现代风险管理中多运用衍生金融工具，如金融期权、期货、互换交易中进行风险的对冲。这些衍生工具的定价需要很专业的定价模型，而且定价模型中有许多希腊字母代表的概念，如 Delta 值、Gamma 值、Vega 值，正是这些值的加权求和，最终降低损失程度。这些值的运算中需要综合数学中各个方面的方法，如求导、求偏导、概率分布函数、顺序统计量等各种方法，概率统计作为重要的应用，为风险管理提供了精确的数学逻辑推导。同时，根据各个资产或者证券的历史价格，我们也可以合理地推算出该资产或者证券价格的合理区间。

例 4 收集了 2012 年 4月5日至2012 年 5月 11 日 25 个交易日的股指 2512.832 2520.036 2519.830 2570.436 历史数据，假定其置信水平为 0.95，计算其置信区间。

表3.3 股票指数 2495.146 2580.454 2519.788 2574.044 解：根据t 分布这里1－a=0.95，a/2 =0．025，n－1 =24t，2626.839 = 2.064 ， t0.025(24) 2541.883 2599.908 2596.056 我们算出，s=66.72108。得到u的一个置信水平为0.95的置信区2606.038 :x=2608.8492604.866 2625.990 2631.487 间:(2608.849±66.72108/5×2.064)即：( 2636.391。我们预测估计2626.157 2683.487 2691.518 ，2581.307)2715.879 沪深300指数在区间(2636.391，2581.307)的可信度为95%。 2717.778 2636.917 2709.116 2657.514 2657.214 总之，我们可以通过某个参数满足不同概率分布时，利用该参数的区间估计方法，推算置信水平( 可靠度) 。概率统计理论中对概率分布的描述，统计量的 解：我们知道置信区间是（x?s）,根据t分布这里1－a =0.95，a/2 =0．025，n－1 =24t，t0.025( 24) = 2.064 ，我们算出: x = 2608.849，s =66.72108。 分析：得到u的一个置信水平为0.95的置信区间:(2608.849±66.72108/5×2.064)，即(2636.391，2581.307)。我们预测估计沪深 300 指数在区间

16

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/2dhg.html