2022优化方案高考总复习·数学(理)山东专用第八章讲座五知能训练

1．(2016·长春质量检测)若F (c ，0)是双曲线x 2a 2－y 2

b 2＝1(a >b >0)的右焦点，过F 作该双曲线一条渐近线的垂线与两条渐近线交于A ，B 两点，O 为坐标原点，△OAB 的面积为12a 27，则该双曲线的离心率e ＝( )

A.53

B.43

C.54

D.85

解析：选C.设过第一、三象限的渐近线的倾斜角为θ，则tan θ＝b a ，tan 2θ＝2ab a 2－b 2，因此△OAB 的面积可以表示为12·a ·a tan 2θ＝a 3b a 2－b 2＝12a 27，解得b a ＝34，则e ＝54.故选C. 2．(2016·山西省考前质量检测)已知F 为抛物线C ：y 2＝4x 的焦点，点E 在C 的准线上，

且在x 轴上方，线段EF 的垂直平分线与C 的准线交于点Q ?

???－1，32，与C 交于点P ，则点P 的坐标为( )

A ．(1，2)

B ．(2，22)

C ．(3，23)

D ．(4，4)

解析：选D.由题意，得抛物线的准线方程为x ＝－1，

F (1，0)．

设E (－1，y )，

因为PQ 为EF 的垂直平分线，

所以|EQ |＝|FQ |，

即y －32＝（－1－1）2＋????322

， 解得y ＝4，

所以k EF ＝4－0－1－1

＝－2，k PQ ＝12， 所以直线PQ 的方程为y －32＝12

(x ＋1)， 即x －2y ＋4＝0.

由?

????x －2y ＋4＝0，y 2＝4x ， 解得?

????x ＝4，y ＝4， 即点P 的坐标为(4，4)，故选D.

3．已知F 1、F 2分别为椭圆x 24

＋y 2＝1的左、右焦点，过椭圆的中心O 任作一直线与椭圆交于P ，Q 两点，当四边形PF 1QF 2的面积最大时，PF 1→·PF 2→的值为________．

解析：易知当P ，Q 分别是椭圆的短轴端点时，四边形PF 1QF 2的面积最大．由于F 1(－3，

0)，F 2(3，0)，不妨设P (0，1)，所以PF 1→＝(－3，－1)，PF 2→＝(3，－1)，

所以PF 1→·PF 2→＝－2.

答案：－2

4．若双曲线x 2a 2－y 2

b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的一条渐近线的倾斜角为2π3，离心率为e ，则a 2＋e 22b 的最小值为________．

解析：由题意，b a ＝3，所以b ＝3a ， 所以c ＝2a ，e ＝2，

a 2＋e 22

b ＝a 2＋423a ＝a 23＋23a

≥233(当且仅当a ＝2时取等号)，则a 2＋e 22b 的最小值为233. 答案：233

5．(2016·东北三校联合模拟)已知圆M ：x 2＋(y －2)2＝1，直线l ：y ＝－1，动圆P 与圆M 相外切，且与直线l 相切．设动圆圆心P 的轨迹为E .

(1)求E 的方程；

(2)若点A ，B 是E 上的两个动点，O 为坐标原点，且OA →·OB →＝－16，求证：直线AB 恒

过定点．

解：(1)设P (x ，y )，则x 2＋（y －2）2＝(y ＋1)＋1?x 2＝8y .

所以E 的方程为x 2＝8y .

(2)证明：易知直线AB 的斜率存在，设直线AB ：y ＝kx ＋b ，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)． 将直线AB 的方程代入x 2＝8y 中，得x 2－8kx －8b ＝0，

所以x 1＋x 2＝8k ，x 1x 2＝－8b .

OA →·OB →＝x 1x 2＋y 1y 2＝x 1x 2＋x 21x 2264

＝－8b ＋b 2＝－16?b ＝4， 所以直线AB 恒过定点(0，4)．

6．(2016·岳阳质检)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的短轴长为2，离心率为22

，直线l ：y ＝kx ＋m 与椭圆C 交于A ，B 两点．

(1)求椭圆C 的标准方程；

(2)若线段AB 的垂直平分线过点?

???0，－12，证明：2k 2＋1＝2m ； (3)在(2)的前提下，求△AOB (O 为原点)面积的最大值．

解：(1)由已知可得?????e ＝c a ＝22

，2b ＝2，a 2＝b 2＋c 2， 解得a 2＝2，b 2＝1.

故椭圆C 的标准方程为x 22

＋y 2＝1. (2)证明：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，

联立方程?????y ＝kx ＋m ，x 22

＋y 2＝1， 消去y 得(1＋2k 2)x 2＋4kmx ＋2m 2－2＝0. 当Δ＝2k 2－m 2＋1>0，

即2k 2＋1>m 2时，

x 1＋x 2＝－4km 1＋2k 2，x 1x 2＝2m 2－21＋2k 2

. 所以x 1＋x 22＝－2km 1＋2k 2，y 1＋y 22＝m 1＋2k 2

. 因为线段AB 的垂直平分线过点?

???0，－12， 所以y 1＋y 22－????－12x 1＋x 22

－0＝－1k ， 化简整理得2k 2＋1＝2m .

(3)由?

????2k 2＋1＝2m ，2k 2＋1>m 2，得0

d ＝|m |1＋k 2

. |AB |＝1＋k 2|x 1－x 2|

＝21＋k 24k 2－2m 2＋21＋2k 2

. 所以S △AOB ＝12

|AB |·d ＝|m |4k 2－2m 2＋21＋2k 2

. 而2k 2＋1＝2m 且0

4m －2m 2，0

1．(2016·洛阳统考)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为12

，一个焦点与抛物线y 2＝4x 的焦点重合，直线l ：y ＝kx ＋m 与椭圆C 相交于A ，B 两点．

(1)求椭圆C 的标准方程；

(2)设O 为坐标原点，k OA ·k OB ＝－b 2

a 2，判断△AOB 的面积是否为定值？若是，求出定值，若不是，说明理由．

解：(1)由题意得c ＝1，又e ＝c a ＝12

，所以a ＝2，从而b 2＝a 2－c 2＝3， 所以椭圆C 的标准方程为x 24＋y 23

＝1. (2)设点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，

由?????x 24＋y 23＝1y ＝kx ＋m

得(3＋4k 2)x 2＋8mkx ＋4(m 2－3)＝0， 由Δ＝(8mk )2－16(3＋4k 2)(m 2－3)>0得m 2<3＋4k 2.

因为x 1＋x 2＝－8mk 3＋4k 2，x 1x 2＝4（m 2－3）3＋4k 2

， 所以y 1y 2＝(kx 1＋m )·(kx 2＋m )＝k 2x 1x 2＋mk (x 1＋x 2)＋m 2

＝3（m 2－4k 2）3＋4k 2. 由k OA ·k OB ＝－b 2a 2＝－34得y 1y 2＝－34

x 1x 2， 即3（m 2－4k 2）3＋4k 2＝－34·4（m 2－3）3＋4k 2，化简得2m 2－4k 2＝3，满足Δ>0. 由弦长公式得|AB |＝1＋k 2|x 1－x 2|＝1＋k 2·

48（4k 2－m 2＋3）（3＋4k 2）2＝24（1＋k 2）3＋4k 2. 又点O 到直线l ：y ＝kx ＋m 的距离d ＝

|m |1＋k 2， 所以S △AOB ＝12·d ·|AB |＝12

24（1＋k 2）3＋4k 2·|m |1＋k 2 ＝12 24m 23＋4k 2＝ 3×2m 23＋4k 2＝ 3×（3＋4k 2）3＋4k 2

＝ 3. 故△AOB 的面积为定值 3.

2．(2016·太原模拟)已知椭圆x 2a 2＋y 2

b

2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别是点F 1、F 2，其离心率e ＝12

，点P 为椭圆上的一个动点，△PF 1F 2面积的最大值为4 3. (1)求椭圆的方程；

(2)若A 、B 、C 、D 是椭圆上不重合的四个点，AC 与BD 相交于点F 1，AC →·BD →＝0，求

|AC →|＋|BD →|的取值范围．

解：(1)由题意得，当点P 是椭圆的上、下顶点时，△PF 1F 2面积取最大值，

此时S △PF 1F 2＝12

·|F 1F 2|·|OP |＝bc ，所以bc ＝43， 因为e ＝12

，所以b ＝23，a ＝4， 所以椭圆的方程为x 216＋y 212

＝1. (2)由(1)得椭圆的方程为x 216＋y 212

＝1，则F 1的坐标为(－2，0)， 因为AC →·BD →＝0，所以AC ⊥BD ，

①当直线AC 与BD 中有一条直线斜率不存在时，易得|AC →|＋|BD →|＝6＋8＝14，

②当直线AC 的斜率k 存在且k ≠0时，则其方程为y ＝k (x ＋2)，设A (x 1，y 1)，C (x 2，y 2)，联立?????y ＝k （x ＋2），x 216＋y 212

＝1， 消去y ，得(3＋4k 2)x 2＋16k 2x ＋16k 2－48＝0，

所以?

????x 1＋x 2＝－16k 2

3＋4k 2x 1x 2＝16k 2－483＋4k 2，所以|AC →|＝1＋k 2|x 1－x 2|＝24（k 2＋1）3＋4k 2， 此时直线BD 的方程为y ＝－1k

(x ＋2)， 同理，由?

??y ＝－1k （x ＋2），x 216＋y 212＝1， 可得|BD →|＝24（k 2

＋1）3k 2＋4

， 所以|AC →|＋|BD →|＝24（k 2＋1）4k 2＋3＋24（k 2＋1）3k 2＋4＝168（k 2＋1）2（3k 2＋4）（4k 2＋3）， 令t ＝k 2＋1(k ≠0)，则t >1，所以|AC →|＋|BD →|＝16812＋t －1t 2， 因为t >1，所以0

，所以|AC →|＋|BD →|∈????967，14. 由①②可知，|AC →|＋|BD →|的取值范围是????967，14.

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/2dbl.html