高数4_1不定积分

高等数学 同济第六版上

第四章 不定积分微分法: F′(x) = ( ? ) 互逆运算 积分法: ( ? )′ = f (x)

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第一节 不定积分的概念与性质一、 原函数与不定积分的概念 二、 基本积分表 三、不定积分的性质

第四章 四

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一、 原函数与不定积分的概念引例: 引例 一个质量为 m 的质点, 在变力 下沿直线运动 , 试求质点的运动速度 根据牛顿第二定律, 加速度

A 因此问题转化为: 已知 v′(t) = sint , 求 v(t) = ? m 定义 1 . 若在区间 I 上定义的两个函数 F (x) 及 f (x) 满足 则称 F (x) 为f (x)在区间 I 上的一个原函数 . A A A 如引例中, sint 的原函数有 cos t, cost + 3,L m m m目录 上页 下页 返回 结束

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问题: 问题 1. 在什么条件下, 一个函数的原函数存在 ? 2. 若原函数存在, 它如何表示 ? 定理1. 定理 存在原函数 .

(下章证明 下章证明) 下章证明

初等函数在定义区间上连续

初等函数在定义区间上有原函数

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定理 2. 原函数都在函数族 证: 1) ( C 为任意常数 ) 内 .

即

又知

∴ [Φ(x) F(x)]′=Φ′(x) F′(x) = f (x) f (x) = 0故

Φ(x) = F(x) +C0 (C0 为 个 数) 某 常

它属于函数族 F(x) + C .目录 上页 下页 返回 结束

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定义 2.

在区间 I 上的原函数全体称为 其中 — 被积函数 被积函数; — 被积表达式 被积表达式.(P185)

上的不定积分, 记作 — 积分号 积分号; — 积分变量 积分变量; 若 则

( C 为任意常数 ) 例如,

ex + C ∫e dx =x

x2dx = 1 x3 + C ∫ 3

C 称为积分常数 积分常数, 积分常数 不可丢 !

∫sin xdx = cos x+C目录 上页 下页 返回 结束

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不定积分的几何意义: 不定积分的几何意义 的原函数的图形称为 的积分曲线 . 积分曲线 的所有积分曲线组成 的平行曲线族.

∫ f (x)dx 的图形y

O

x0

x目录 上页 下页 返回 结束

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例1. 设曲线通过点(1, 2), 且其上任一点处的切线 斜率等于该点横坐标的两倍, 求此曲线的方程. 解:

y所求曲线过点 (1, 2) , 故有

(1,2)

O因此所求曲线为 y = x2 +1

x

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例2. 质点在距地面 力, 求它的运动规律.

处以初速

垂直上抛 , 不计阻

解: 取质点运动轨迹为坐标轴, 原点在地面, 指向朝上 , 质点抛出时刻为 此时质点位置为 初速为 设时刻 t 质点所在位置为 则

dx dx = v(t) dt

xx = x(t)x0 = x(0)

(运动速度) 再由此求 x(t) (加速度) 先由此求 v(t)目录

d2 x dv = = g 2 dt dt

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先求

由

知

xx = x(t)x0 = x(0)

v(t) = ∫ ( g ) dt = g t +C 1

由v(0) = v0 , 得C = v0 , 故 1 v(t) = g t + v0再求 由 知

O

x(t) = ∫ ( g t + v0 )dt = 1 g t 2 + v0t + C2 2

由x(0) = x0 , 得C2 = x0 , 于是所求运动规律为1 g t2 +v t

+ x x(t) = 2 0 0目录 上页 下页 返回 结束

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从不定积分定义可知: d [ ∫ f (x)d x ] = f (x) 或 d[ ∫ f (x)dx ] = f (x)dx (1) dx

(2)

∫F′(x) dx =F(x) +C

或 ∫ d F(x)= F(x)+ C利用逆向思维

二、 基本积分表 (P188)(1) (2)

∫ kdx = kx +C ∫ x dx =µ

( k 为常数)

1 xµ+1 + C µ+1

(µ ≠ 1 )

dx (3) ∫ = ln x + C x

x < 0时 1 ( ln x )′ =[ ln( x) ]′ = x目录 上页 下页 返回 结束

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dx (4) ∫ = arctan x+ C 或 arccot x+ C 2 1+ x dx (5) ∫ = arcsin x+C 或 arccos x+ C 1 x2

(6) (7)

∫cos xdx = sin x+C ∫sin xdx = cos x+C

dx (8) ∫ 2 = ∫sec2 xdx = tan x+ C cos x dx (9) ∫ 2 = ∫ csc2 xdx = cot x+ C sin x目录 上页 下页 返回 结束

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(10) (11)

∫sec x tan xdx = sec x+C ∫csc xcot xdx = csc x+Cexdx = ex + C ∫x

(12)

a +C (13) ∫ a dx = lnax

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例3. 求

x 3 解: 原式 = ∫ x dx = 4 +C 3 +1

4 3

4+1

= 3x + C例4. 求 解: 原式=

1 3

∫

1 sin xdx = 1 cos x+ C 2 2

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三、不定积分的性质1. ∫ k f (x) dx = k∫ f (x)dx (k≠ 0) 2. ∫[ f (x) ± g(x)]dx = ∫ f (x)dx ± ∫ g(x) d x推论: 若 推论n

则

∫ f (x)dx = ∑ki ∫ fi (x)dx i=1目录 上页 下页 返回 结束

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例5. 求 解: 原式 = ∫[(2e) 5 2 ]dxx x

(2e)x 2x = +C 5 ln(2e) ln2 ex 5 x =2 +C ln2 +1 ln2

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例6. 求 解: 原式 =

∫(sec x 1)dx = ∫sec2xdx ∫ dx2

= tan x x + C

例7. 求

x + (1+ x2) dx 解: 原式 = ∫ 2 x(1+ x ) 1 1 =∫ dx + ∫ dx x 1+ x2 = arctan x +ln x + C目录 上页 下页 返回 结束

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x4 dx . 例8. 求 ∫ 2 1+ x (x4 1) +1 解: 原式 = ∫ dx 2 1+ x (x2 1)(x2 +1) +1 =∫ dx 1+ 1+ x2 dx 2 = ∫ (x 1) dx + ∫ 2 1+ x

1 3 = x x + arctan x + C 3

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内容小结1. 不定积分的概念 原函数与不定积分的定义 不定积分的性质 基本积分表 (见P188) 2. 直接积分法: 利用恒等变形 积分性质 及 基本积分公式 恒等变形, 基本积分公式进行积分 . 恒等变形 分项积分 常用恒等变形方法 加项减项 利用三角公式 , 代数公式 , L目录 上页 下页 返回 结束

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/2dai.html