厦门理工线性代数练习册--2014版参考答案

线性代数练习题 第一章 行 列 式

系 专业 班 姓名 学号 第一节 二阶与三阶行列式 第三节 n阶行列式的定义

一．选择题

121．若行列式153?2 = 0，则x? [ C ] 25x（A）2 （B）?2 （C）3 （D）?3 2．线性方程组??x1?2x2?3，则方程组的解(x1,x2)= [ C ]

?3x1?7x2?4（A）（13，5） （B）（?13，5） （C）（13，?5） （D）（?13,?5）

1x3．方程12x24?0根的个数是 [ C ] 913（A）0 （B）1 （C）2 （D）3

4．下列构成六阶行列式展开式的各项中，取“+”的有 [ A D ] （A）a15a23a32a44a51a66 （B）a11a26a32a44a53a65 （C）a21a53a16a42a65a34 （D）a51a32a13a44a65a26

5．若(?1)N(1k4l5)a11ak2a43al4a55是五阶行列式aij的一项，则k,l的值及该项的符号为[ B ] （A）k?2,l?3，符号为正； （B）k?2,l?3，符号为负； （C）k?3,l?2，符号为正； （D）k?3,l?2，符号为负

6．下列n（n >2）阶行列式的值必为零的是 [ B ] (A) 行列式主对角线上的元素全为零 (B) 三角形行列式主对角线上有一个元素为零 (C) 行列式零的元素的个数多于n个 (D) 行列式非零元素的个数小于等于n个 二、填空题 1．行列式

k?12?0的充分必要条件是 k?3,k??1

2k?12．排列36715284的逆序数是 13

3．若a1ia23a35a4ja54为五阶行列式带正号的一项，则 i = 2 j = 1

1

4．在六阶行列式aij中，a23a14a46a51a35a62应取的符号为 负 。 三、计算下列行列式：

1231．3111xyx?yxx?yxy12=18 2．314=5 ３．yx?y231895??2(x3?y3)

00４．

01010010000000=1 ５．?100n10?02???00??(?1)n?1n!

00?n?100?0n(n?1)2a11?a1,n?1６．

a1n0?0a21?a2,n?1???0an1??(?1)a1na2,n?1an1

线性代数练习题 第一章 行 列 式

系 专业 班 姓名 学号

一、选择题：

a111．如果D?a21a12a22a32a13a112a31?5a212a32?5a222a33?5a233a213a22，则D1? [ B ] 3a23a31a23?3，D1?a12a13a33（A）18 （B）?18 （C）?9 （D）?27

a2b22 2cd2(a?1)2(b?1)2(c?1)2(d?1)2(a?2)2(b?2)2(c?2)2(d?2)2(a?3)2(b?3)2 = [ C ] 2(c?3)(d?3)2（A）8 （B）2 （C）0 （D）?6 二、选择题：

111．行列式

101101101102113?1? -3 行列式1121504

23611=0 22

2

?32. 行列式504203 中元素3的代数余子式是 -6 ?213153. 设行列式D?02?6，则第三行各代数余子式之和的值为 -8 。 5?72114. 设行列式D?215102713381，设M4j,A4j分布是元素a4j的余子式和代数余子式， 64则A41?A42?A43?A44 = 0 ，M41?M42?M43?M44= -66 三、计算下列行列式：

1?11x?11?1x?1?141. 计算行列式=x

1x?11?1x?1?11?1

xa?aax?a2．?[x?(n?1)a](x?a)n?1.

???aa?x1?a12.

11?a21111?an

11?1?a1111?a200anan?11).ai?1in?1?a1111?a211111

11?anDn?1?a1a2?a1a2an(1??3

线性代数练习题 第二章 矩 阵

系 专业 班 姓名 学号 §2.1 矩阵的概念

1．指出下列矩阵属于何种特殊矩阵

?21?13??12?2?????3214??3? 实矩阵 ；?? 上三角阵 ； ?????4??1?225??????1

10???????0?20 对角阵 ；???0????3?????0

01000010

0??0?

单位阵 ; ?0?1?

?10???00000?????92000000 下三角阵 ; ?? 零矩阵 ; ???00000??1???3?????2．写出下列线性方程组的系数矩阵和增广矩阵。

2?31??x1?2x2?3x3?x4??1?1????11?4? (1) ?2x1?x2?x3?4x4?0 系数矩阵：?2??x?3x?x?x?3??13?1?1???234?1?12?31?1???增广矩阵：?2?11?40?

??13?1?13????x1?x2?x3?0?(2) ?2x1?2x2?x3?0． 系数矩阵：

?3x?3x?x?023?1?10??11??0? 增广矩阵：?2?21?33?10???3．两矩阵称为同型矩阵满足什么条件? 满足：行数、列数相同

?1??11??2?21?? ?33?1???线性代数练习题 第二章 矩 阵

系 专业 班 姓名 学号 §2.2 矩阵的运算

4

一．选择题

1．有矩阵A3?2，B2?3，C3?3，下列运算正确的是 [ B ] （A）AC （B）ABC （C）AB－BC （D）AC+BC 二、填空题：

a11x12??a21?a12?x1x2?a11?a12a13??x1??a13?a31x1x3???????a23?a32?x2x31．?x1,x2,x3??aa?2122a23?a31a32a??x2?=

??2233??x3???a22x2?a33x3

三、计算题：

?1?23设A??11?11?1???，B??1???1?24??，求3AB?2A及ATB

??1?11????051??AT?A,?058?ATB?AB????0?56???;?290???0?1524??222?3AB?2A???0?1518?????22?2??????213??2?17??6270????2?22????429四、设A???11?01?，求所有与A相乘可换的矩阵． ??

5

22?20??.?2??

?ab?设B???与A可以交换，则有?cd??11??ab??ab??11?AB?BA,即????=?????01??cd??cd??01??a?cb?d??aa?b? 则有??=??cdcc?d?????c?0,即??a?d?ak?则B????a,k?R?与A可以交换?0a?线性代数练习题 第二章 矩 阵

系 专业 班 姓名 学号 §2.3 方阵 一、f(x)?3?5x?x2，A???2?1?． ?，计算f(A)。?33??-5??12??5??7-5??00????????15???1512??00??2?1??2?1??7解：A2?????=???33???33???15?30??10f?A??3E?5A?A2??????03???15

?1???2?，且?(x)?x2?2x?3. 求?(?),?(?). 二、设????3??????1???1+2?3??0???????解：?(?)=???2?=4?4?3?5?????

??????3??9?6?3??12??????(?)?0三、已知A是n阶方阵,且满足A?A?E?A?A,计算A?E.

4235解：因为A4?A2?E?A3?A，则A5?A3?A?A4?A2即A?A?A?A?A，两边同时加E有A+E?A?A?E?A?A?054235423

6

四、设A???12??10??B?????下列等式是否成立。

?13??12?

(1) AB?BA；

(2) (A?B)2?A2?2AB?B2； (3) (A?B)(A?B)?A2?B2． 均不成立

五、举反例说明下列命题是错误的． (1) 若A2?O? 则A?O；

2(2) 若A?A? 则A?O或A?E；

(3) 若AX?AY? 且A?O? 则X?Y．

?01?（1）A???

00??（2）A???00?? ?01??01??11??10?（3）A???,X???,Y???

000000??????六、计算题

(1) ??1????10?0????； (2) ?0?1?(n?2) 1??00????nn?10??10??10??10?（）解：1??????????类推可得??1???1???1??2?1??10??10???????1n?1????n2

7

2??10???10???10??????????（2）解：0?1?0?10?1????????0?00???00???00???0???????2??10??????0?1????0?00???0???322??201??2???2??2??201???10???33?2????2???0?1???0?3?00???0?2?0????3???3?2?类推可得 ?3????10???0?1????00????n线性代数练习题 第二章 矩 阵

系 专业 班 姓名 学号 §2.4 逆矩阵

一．选择题

1．设A是n阶矩阵A的伴随矩阵，则 [ B ] （A）A??AA?1 （B）A?A?n?1? （C）(?A)??A （D）(A)?0

?n???2．设A，B都是n阶可逆矩阵，则 [ C ] （A）A+B 是n阶可逆矩阵 （B）A+B 是n阶不可逆矩阵 （C）AB是n阶可逆矩阵 （D）|A+B| = |A|+|B|

3．设A是n阶方阵，λ为实数，下列各式成立的是 [ C ] （A）

?A??A （B）?A??A （C）?A??nA （D）?A??nA

4．设A，B，C是n阶矩阵，且ABC = E ，则必有 [ B ] （A）CBA = E （B）BCA = E （C）BAC = E （D）ACB = E 二、填空题：

??1?1?2?1．已知AB?B?A，其中B???21??，则A??1??????22．设??1?2?? 1????25??46????，则X = X?????13??21??213??? ?0?4???13．设A，B均是n阶矩阵，A?2，B??3，则2AB4n = ?

68

4．设矩阵A满足A?A?4E?0，则(A?E)?1? 三、计算与证明题：

2A?2E 21． 设方阵A满足A?A?2E?0，证明A及A?2E都可逆，并求A和(A?2E)?1 2?1答案： A?1?A?E2;(A?2E)?1?3E?A4. ?12． 设A??2?1??34?2??，求A 的逆矩阵A?1

??5?41????4A*??20???136???1A,|?|2;???324???2?答案：

??210??A?1?A*|A|??131 ??3??.?22???167?1??

?3． 设A??033??110??且满足AB?A?2B，求 B

???123??答案： B?(A?2E)?1A

???33?A?2E???233??1?10??,(A?2E)*??1???113???121????,?11?1??

??133??33??03?B?1???02??11310????1???3??123??.?11?1?????123????110??9

A?2E|?2;|

线性代数练习题 第二章 矩 阵

系 专业 班 姓名 学号 §2.5 转置矩阵与对称矩阵

一\\选择题 1、设C?(11,0,0,)，A?E?CTC，B?E?2CTC，则AB? [ B ] 22T（A）E?CC （B）E （C）?E （D）0

2．设A为任意n阶矩阵，下列为反对称矩阵的是 [ B ] （A）A?A （B）A?A （C）AA （D）AA

3．设n阶矩阵A，B，C，满足ABAC = E，则 [ A ] （A）ABACTTTTTTTT?E （B）A2B2A2C2?E （C）BA2C?E （D）CA2B?E

?1?13??x1?????T二、设对称矩阵A???122?，x??x2?，计算xAx．

?320??x????3?解：xTAx??x1

三、已知???1,2,3? ???1,,?，设A??x2?1?13??x1? ????x3???122??x2??x12?2x22?2x1x2?6x1x3?4x2x3?320??x????3??11??23?T?，计算An．

解：An??T??T??T???T???T?n?1???T3n?1?

121321?3??2?3??1?????1?1??11?????3n?1?T??3n?1?2??1,,??3n?1?2??3??23??????3?

10

四、证明任意的方阵A可以表示为一个对称矩阵与一个反对称矩阵之和。

?A?AT解：设B???2

??A?AT?,C????2? ?,则A?B?C，显然B是对称阵，C是反对称阵。?T五、设A,B都是n阶方阵且A为对称矩阵，证明BAB也是对称矩阵。

证明：因为?BAB??BTATB?BTAB,则命题成立。

TT

B是对称矩阵，六、设A是反对称矩阵，证明：(1)A是对称矩阵；(2)AB?BA是对称矩阵；(3)AB是反对称矩阵的充要条件是AB?BA．

2证明：根据题意有AT??A,BT?B.(1)因为?A2???AA??ATAT???A???A??A2,则A2是对称阵；TTTTTTTTT(2)由于?AB?BA???AB???BA??BA?AB??BA?AB,则AB?BA是对称阵；(3)?AB???AB?BTAT??AB?B(?A)??AB?BA?AB.

T

线性代数练习题 第二章 矩 阵

系 专业 班 姓名 学号 §2.6 初等变换与初等矩阵

一、选择题

?a11?1．设A??a21?a?31a12a22a32a13??a21??a23?，B??a11?a?aa33?11??31a22a12a32?a12??010????a13?，P1??100?，

?001?a33?a13????a23?100???P2??010?，则必有B? [ C ]

?101???（A）AP1P2 （B）AP2P1 （C）P1P2A （D）P2P1A

?1?3二、把矩阵A???2??3?1?3?2?33534?43???41?化为行最简形矩阵然后再化成标准形 ??20??2?1?11

?1?0 ??0??00100000000000??0? ?0?0?三、用矩阵的初等变换，求矩阵的逆矩阵

?3?20?1???0221?? A???1?2?3?2???0121???r(A|E)???(E|A?1);11?2?4??3?20?11??1????211010?1??02?r?1???; ?1?2?3?2?1?1?1?136??????01??211?121?6?10????1?2?4??1??010?1??则该矩阵的逆为.??1?136????21?6?10???

?1 1?36???四、 对矩阵A??4?2 35?进行下面的系列初等变换，则相当于对矩阵A左乘或右乘可逆

?3 2?14???矩阵，请求出相应的可逆矩阵，并指出是左乘还是右乘．

(1) 交换A的第2列和第3列，然后再交换第3列和第4列．

(2) A的第1行的元素都乘以?2加到第2行对应的元素上，然后第2行乘以?1，最后交换第2行和第3行．

(3) A的第１列的元素乘以?3加到第3列对应的元素上去，接着在交换第2行和第3行，然

后交换第2列和第3列，最后第二行元素乘以?2．

五、求下面矩阵方程的解

?010??100??1?43???????100X001?20?1?????? ?001??010??1?20???????

12

?010??010?????解：100?100?????001??001??????100??100?????001?001?????010??010??????0?则X??1?0??01???10?00?10??1?43??100??????00??20?1??001??1?20??010?01??????

0??1?43??100??2?10????????0??20?1??001???13?4??????1????1?20??010??10?2?线性代数练习题 第二章 矩 阵

系 专业 班 姓名 学号 §2.7 矩阵的秩

一、选择题

1．设A，B都是n阶非零矩阵，且AB = 0，则A和B的秩 [ D ] （A）必有一个等于零 （B）都等于n （C）一个小于n，一个等于n （D）都不等于n 2．设m?n矩阵A的秩为s ，则 [ C ] （A）A的所有s－1阶子式不为零 （B）A的所有s阶子式不为零 （C）A的所有s +1阶子式为零 （D）对A施行初等行变换变成???1?1?1?1?Es?00?? ?0??11213???3．欲使矩阵?2s126?的秩为2，则s，t满足 [ C ]

?455t12???（A）s = 3或t = 4 （B）s = 2或t = 4 （C）s = 3且t = 4 （D）s = 2且t = 4

4．设A是m?n矩阵，B是n?m矩阵，则 [ B ] （A）当m?n时，必有行列式|AB|?0 （B）当m?n时，必有行列式|AB|?0

13

（C）当n?m时，必有行列式|AB|?0 （D）当n?m时，必有行列式|AB|?0 二、填空题：

?02?1．设A??31?1?12?1??，则R(A)? 2

??13?44????121?2．已知A??23a?2???的秩为2，则a 应满足 a?1a?2??3或a??1 ??2a?2?1???

三、计算题

??21837?1． 设A??2?307?5????3?2580?，求R(A). ??10320?????21837??0??2?307?5??1032?5?r?2r?10??r1?r42?307?r21r3?3r1?4?2r0?3?3?2580???????3?0????1???0?2?10320???258?21837????01??10320??0320????r2?r4??012?17?1rr3?2r2?4?3012?17???r2???0?2?420??????000014??0?3?63?5????000016???10320???r16???4?14r3??012?17???000014??00000??故R(A)?3.

14

32?63?422?10?7??0?7??

?1?23k???2．设A ???12k?3?，问k为何值，可使 ⑴ R(A)?1 ⑵R(A)?2 ⑶R(A)?3

?k?23???

?23k??1??A?????02(k?1)3(k?1)??k?1?0?3(k?1)??若k?1?0,则R(A)?1;r2?r1r3?r1若k?1?0,则?23k?r?(k?1)r?1?23k?1?31??r3?r2??02(k?1)3(k?1)?????02(k?1)3(k?1)????:?B?k?1??0?0?3(k?1)0?3(k?2)(k?1)????|B|??6(k?2)(k?1)2若k??2,则|C|?0,但?1?20?6?6?0,故R(A)?2.若k??2,则|C|?0,故k?1且k??2时,R(A)?3.

四、设n阶方阵A满足A?4E,证明R(2E?A)?R(2E?A)?n.

2证明：已知A2?4E,则A2?4E?0,即(A+2E)(A?2E)?0,则有R(A?2E)?R(A?2E)?n,即R(2E?A)?R(2E?A)?n另一方面4E=2E?A+2E?A,则有R(2E?A)?R(2E?A)?R(4E)?n综上两个方面，有R(2E?A)?R(2E?A)?n成立。

15

线性代数练习题 第二章 矩 阵

系 专业 班 姓名 学号 §2.8 分块矩阵

一、选择题

1设A，B为n阶矩阵A，B分别为A，B对应的伴随矩阵，分块矩阵C???0?????A0??，则C的伴B??随矩阵C? [ D ]

?AA?（A）??0??AB?（C）??0?二、填空题：

?BB?0?? （B）????0BB???BA?0?? （D）????0BA??0?? ??AA?0?? ??AB??1??31．A??0??0??0??02．设A??3??0?240000240????30??1A? ?2，则??3??0?5???0???211?20000?5220??0?? A= 4 3??2??1??001320001??6??2?2?0A?，则

?00???0??0?560000600??0? 5??6?三、计算题：

1．设PAP??，其中P???1??1??14???10?11A???，，求 ?????1??02??11A114??1??55??111?111?1?;?(PAP)?PAP,P??1??1??5??50??1?4?1??14???1?P?11P?1????????5?11??0211???1?1?1?1???5??1213??1??211???1?4?1?213?1???11?1?5?2?1213?4??211?4?

16

?0??02. 设A??0??2?3?0100??0020?0003?，求A?1

?1000?4000????10?0??1??A???0P?A?1???0Q?1??1??Q0??,0P???1Q?1?1?P?1?,??00??2?,5?4??32???1?

?003????0004?5?1?5???000?32??55?A?1???10000????01?2000??????001300?????3400?3．设A??4?300????0020?，求A8 及 A4 ??0022???|A8|?|A|8,A???P0?8816?0Q??,|A|?|P||Q|??25?4??100,|A|?|A|?10;A???P440??6250?4?160??0Q4??,P4???0625??,Q???6416??; ??625000?A4??062500????00160?.?006416??

线性代数练习题 第二章 矩 阵

系 专业 班 姓名 学号 §2.9 线性方程组有解的条件

一．选择题：

1．设A是m?n矩阵，齐次线性方程组Ax?0仅有零解的充要条件是R(A) [ D17

]

(A) 小于m (B) 小于n (C) 等于m (D) 等于n

2. 如果方程组 对应的齐次方程组 有无穷多解，则 [ C ] (A) 必有无穷多解 (B) 可能有惟一解 (C) 可能无解 (D) 一定无解

3．设A是m?n矩阵，如果m?n，则 [C ] (A) Ax?b必有无穷多解 (B) Ax?b必有唯一解 (C) Ax?0必有非零解 (D) Ax?0必有唯一解 二．计算题：

1. 求解线性方程组

?x1?4x2?x3??1?x2?x3??1 ??x?3x?2x?023?1

?14?1?1??10?53?????解：A??011?1???011?1?

?13?20??0000??????x1??5??3??x1?5x3?3??????则?,令x3?c,则有?x2??c??1????1??x2?x3??1?1??0? ?x??????3?

2. 取何值时，线性方程组

?(5??)x1?2x2?2x3?0? ?2x1?(6??)x2 ?0

?2x ?(4??)x?03?1有非零解?

解：要使该齐次方程组有非零解，则它的系数矩阵的秩小于3，即它的行列式等于零。5??226??2020?0，即有: 2?(??5)?0,亦即：?=0或者?=5.4??18

?2x1?x2?5x3?x4?x?3x?6x4?123. 用克拉默法则解方程组?2x2?x3?2x4???x1?4x2?7x3?6x4参考书中的例题去做。

?8?9 ??5?0线性代数练习题 第二章 矩 阵

系 专业 班 姓名 学号 综 合 练 习

一、选择题

1．设n阶矩阵A，B是可交换的，即AB = BA，则不正确的结论是 [ B ] （A）当A，B是对称矩阵时，AB是对称矩阵 （B）当A，B是反对称矩阵时，AB是反对称矩阵 （C）(A?B)2?A2?2AB?B2 （D）(A?B)(A?B)?A2?B2

2．方阵A可逆的充要条件是 [ B ] （A）A ≠ 0 （B）| A | ≠ 0 （C）A* ≠ 0 （D）| A* | ＞0 3．设n阶矩阵A，B，C和D满足ABCD?E，则(CB)?1? [ A ] （A）CDADAB （B）DA （C）AD （D）DABCDA 二．填空题：

1．已知二阶矩阵M的伴随矩阵M*???2??12??4-2?M????，则 ???4??-21??3??12．若A??2??1?426103a21??2? 可逆，则a为 ?-6 ?0?1??n三．计算题与证明题：

T1． 已知??(1,2,3)，??(1,1/2,1/3)，设A???，求A

1?1?2?1????111???21三、1. A??T???2?????23???3????3?3?2?A2?3A A3?32A An?3n?1A????19

1?3??2?3??1???

?211??103?????*?1*2．设A??010?，B??001?，A，B与X满足AXA?6XA?BA?0，求X

???101????020??

2. 由AXA*?6XA?1?BA*?0，得AAX?6X??AB 将A?3代入，有(A?2E)X??B ? ??32?1313?8?13?? 则 X???00?1? ?3?

????113?813?8?39???3．设n阶矩阵A满足A2?A?6E?0，试证：

（1）A与A－E都可逆，并求它们的逆矩阵； （2）A + 2E和A－3E不同时可逆

3.(1)由A2?A?6E?0，得A?A?E??6E A?1A?EA ?6 (A?E)?1?6

(2)由A2?A?6E?0，得(A?2E)(A?3E)?0 取行列式A?2E?A?3E?0，则A?2E和A?3E不同时可逆

线性代数练习题 第三章 向量与向量空间

系 专业 班 姓名 学号 §3.1 n维向量及其运算 §3.2 向量组的线性相关性

一．选择题

1．n维向量组?1,?2,?,?s(?1?0)线性相关的充分必要条件是 [ D （A）对于任何一组不全为零的数组都有k1?1?k2?2???ks?s?0 （B）?1,?2,?,?s中任何j(j?s)个向量线性相关

（C）设A?(?1,?2,?,?s)，非齐次线性方程组AX?B有无穷多解 （D）设A?(?1,?2,?,?s)，A的行秩 ＜ s.

20

]

2．若向量组?,?,?线性无关，向量组?,?,?线性相关，则 [ C ] （A）?必可由?,?,?线性表示 （B）?必不可由?,?,?线性表示 （C）?必可由?,?,?线性表示 （D）?比不可由?,?,?线性表示 二．填空题：

1． 设3(?1??)?2(?2??)?5(?3??)，其中?1?(2,5,1,3)T，?2?(10,1,5,10)T

2，3，4)T ?3?(4,1,?1,1)T，则?? (1，2． 已知?1?(1,1,2,1)T,?2?(1,0,0,2)T,?3?(?1,?4,?8,k)T线性相关，则k? 2 3． 设向量组?1?(a,0,c),?2?(b,c,0),?3?(0,a,b)线性无关，则a,b,c满足关系式abc?0 三．计算题：

1． 设向量?1??k?1,1,1?，?2?(1,k?1,1)T，?3?(1,1,k?1)T，??(1,k,k2)T，试问当k为

T何值时 （1）?可由?1,?2,?3线性表示，且表示式是唯一？

（2）?可由?1,?2,?3线性表示，且表示式不唯一？ （3）?不能由?1,?2,?3线性表示？

11 0??k?1?三、 1. (?1,?2,?3,?)=?1k?11 k??2??11k?1 k???11k?1 k2 ??????????0k-k k?k2 ??00?k2?3k k(1?2k?k2)???(1)k?0且k??3时，R(?1,?2,?3,?)=R(?1,?2,?3)?3,?可由 ?1,?2,?3线性表示，且表达式唯一.(2)k?0时，R(?1,?2,?3,?)?R(?1,?2,?3)?1,?可由 ?1,?2,?3线性表示，且表达式不唯一.(3)k??3时，R(?1,?2,?3,?)?R(?1,?2,?3),?不能 由?1,?2,?3线性表示.21

2． 设向量?1?(1,0,2,3)T，?2?(1,1,3,5,)T，?3?(1,?1,a?2,1)T，?4?(1,2,4,a?8)T （1）?不能由?1,?2,?3,?4线性表示？ ??(1,1,b?3,5)T，试问当a,b为何值时，

（2）?有?1,?2,?3,?4的唯一线性表达式？并写出表达式。

111??11111??11 ???01?1?101?12121 ?????2. 4b?3??00a?10b? ?23a?2????0 ?351a?85??000a?10?

0 (1)a??1且b?0，R(1,2,3,4,)?R(1,

不能由1,2,3,4线性表示.

(2)a??1，R(?1,?2,?3,?4,?)?R(?1,?2,?3,?4)?4, ?可由?1,?2,?3,?4唯一线性表示. 2ba?b?1b??????+?3+0?412 a?1a?1a?1

??1??0????0??0?0000010012b?a?1??a?b?1?a?1??b?a?1??0?????????2,?3,?4),?????线性代数练习题 第三章 向量与向量空间

系 专业 班 姓名 学号 §3.3 向 量 组 的 秩

一．选择题：

1．已知向量组?1,?2,?3,?4线性无关，则下列向量组中线性无关的是 [ C ] （A）?1??2,?2??3,?3??4,?4??1 （B）?1??2,?2??3,?3??4,?4??1 （C）?1??2,?2??3,?3??4,?4??1 （D）?1??2,?2??3,?3??4,?4??1 2．设向量?可由向量组?1,?2,?,?m线性表示，但不能由向量组（Ⅰ）：?1,?2,?,?m?1线性表示，记向量组（Ⅱ）：?1,?2,?,?m?1,?，则 [ B ] （A）?m不能由（Ⅰ）线性表示，也不能由（Ⅱ）线性表示

22

（B）?m不能由（Ⅰ）线性表示，但可由（Ⅱ）线性表示 （C）?m可由（Ⅰ）线性表示，也可由（Ⅱ）线性表示 （D）?m可由（Ⅰ）线性表示，但不可由（Ⅱ）线性表示

3．设n维向量组?1,?2,?,?s的秩为3，则 [ C ] （A）?1,?2,?,?s中任意3个向量线性无关 （B）?1,?2,?,?s中无零向量

（C）?1,?2,?,?s中任意4个向量线性相关 （D）?1,?2,?,?s中任意两个向量线性无关 4．设n维向量组?1,?2,?,?s的秩为r，则 [ C ] （A）若r?s，则任何n维向量都可用?1,?2,?,?s线性表示 （B）若s?n，则任何n维向量都可用?1,?2,?,?s线性表示 （C）若r?n，则任何n维向量都可用?1,?2,?,?s线性表示 （D）若s?n，则r?n

二．填空题：

1．已知向量组?1?(1,2,?1,1),?2?(2,0,t,0),?3?(0,?4,5,?2)的秩为2，则t = 3 2．已知向量组?1?(1,2,3,4)，?2?(2,3,4,5)，?3?(3,4,5,6)，?4?(4,5,6,7)，则该向量组的秩为 2

3． 向量组?1?(a,3,1)，?2?(2,b,3)，?3?(1,2,1)T，?4?(2,3,1)的秩为2， 则a = 2 ， b = 5

三．计算题：

1．设?1?(3,1,1,5)，?2?(2,1,1,4)，?3?(1,2,1,3)T，?4?(5,2,2,9)，??(2,6,2,d) （1）试求?1,?2,?3,?4的极大无关组

（2）d为何值时，?可由?1,?2,?3,?4的极大无关组线性表示，并写出表达式

23

TTTTTTT

?3215??1?1122??0?????????三、1.(1)(?1,?2,?3,?4)?????1112??0???5439???0因为R(?1,?2,?3)?3,则?1,?2,?3线性无关，且?4故?1,?2,?3为?1,?2,?3,?4的一个极大无关组.?3?1(2)??1??5212?2??321?112?126?6?????????????00?1?4?112????43d?000d?6??只有d?6时R(?1,?2,?3,?)?R??1,?2,?3??3,2??321?0?104??1126??1002?r????????00?1?4??00?1?4??????0000??0000?所以?=2?1?4?2?4?3.32112?121??010??000???1??2.即?可由?1,?2,?3,?4的极大无关组?1,?2,?3表示.22．已知3阶矩阵A有3维向量x满足Ax?3Ax?Ax，且向量组x,Ax,Ax线性无关。 2 （1）记P?(x,Ax,Ax)，求3阶矩阵B，使AP?PB； （2）求 | A |

2322.(1)AP?Ax,Ax,Ax?x,Ax,Ax

?0 0 0?

?P?1 0 3??PB??

?0 1 -1? ?? 2又x,Ax,Ax线性无关，?P可逆.

?????0 0 0??1 0 3?,???0 1 -1???24

?000???B??103?

?01-1???（2）A?PBP?1,则有A?PBP?1?B?0

线性代数练习题 第三章 向量与向量空间

系 专业 班 姓名 学号 §3.4 n维向量空间的定义

一．选择题：

1．设向量组?1,?2,?3线性无关，则下列向量组中，线性无关的是 [ B ] （A）?1??2,?2??3,?3??1 （B）?1??2,?2??3,?1?2?2??3

（C）?1?2?2,2?2?3?3,3?3??1 （D）?1??2??3,2?1?3?2?22?3,3?1?5?2?5?3 2．设矩阵Am?n的秩R(A)?m?n，Em为m阶单位矩阵，下列结论中正确的是 [ D ] （A）A的任意m个列向量必线性无关 （B）A通过初等行变换，必可以化为（Em0）的形式

（C）A的任意m阶子式不等于零 （D）非齐次线性方程组Ax?b一定有无穷多组解 二．填空题：

?12?2???2?，三维列向量??(a,1,1)T，已知A?与?线性相关，则a = -1 1．设A??21?304???2．从R的基?1???0??，?2????1??到基?1???1??，?2???2??的过渡矩阵，即满足条件

????????2?1??1??1??1??23?（?1,?2）（=?1,?2）T的矩阵T为??-1-2?? ??三．计算题：

1．设?1?(?1,2,?1),?2?(3,?2,1),?3?(2,?2,1)，求由向量组a1,a2,a3所生成的向量空间

TTTL(a1,a2,a3)，并说明L(a1,a2,a3)是R3的一个非平凡子空间.

25

?1??1???1???????1?1?1?1?1?1?三（1）?1?;?2?;?3?;2?1?2??1?2??1???????1?1?????1??1??1??1??1??2??3?????????????32．已知R的两个基为a1??1?，a2??0?，a3??0? 及 b1??2?，b2??3?，b3??4?

?1???1??1??1??4??3?????????????求由基a1,a2,a3到基b1,b2,b3的过渡矩阵，即满足条件 （b1,b2,b）（a,1a,aP的矩阵P. 3=2）3

?234???三（2）P=?0-10??-10-1???线性代数练习题 第三章 向量与向量空间

系 专业 班 姓名 学号 §3.5 线性方程组解的结构

一．选择题：

TT1．设A是5?4矩阵，A?(?1,?2,?3,?4)，已知?1?(0,2,0,4)，?2?(3,2,5,4)是Ax?0

的基础解系，则 [ D ] (A) (C)

?1,?3线性无关 (B) ?2,?4线性无关

?1不能被?3,?4线性表示 (D) ?4能被?2,?3线性表示

T2．设?1,?2,?3是四元非齐次线性方程组Ax?b的3个解向量，且R(A)?3，?1?(1,2,3,4)，

?2??3?(0,1,2,3)T，C表示任意常数，则线性方程组Ax?b的解是 [ C ]

(A) (1,2,3,4)?C(1,1,1,1) (B) (1,2,3,4)?C(0,1,2,3) (C) (1,2,3,4)?C(2,3,4,5) (D) (1,2,3,4)?C(3,4,5,6)

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TTTTTTTT??x1?x2??2x3?0?3．齐次线性方程组?x1??x2?x3?0 的系数矩阵记为A ，若存在三阶矩阵B?0使得

?x?x??x?023?1AB?0，则 [ C ]

(A) ???2且B?0 (B) ???2且B?0 (C) ??1且B?0 (D) ??1且B?0 二．计算题：

1．设4元非齐次线性方程组的系数矩阵的秩为3，已知?1,?2,?3是它的3个解向量，且

?1?(2,3,4,5)T，?1??2?(1,2,3,4)T，求该方程的通解。

三、 1. 解：设方程为Ax?b,则A?1?A?2?A?3?b 那么A(2?1??2??3)?2b?b?b?0，

故2?1??2??3是Ax?0的解.

又n?R(A)?4?3?1,故Ax?0的基础解系只有一个解向量?3??2??4??3?所以Ax?b的通解为k(2?1??2??3)??1?k?????.?5??4??????6??5??x1?5x2?2x3?3x4?11?2．求非齐次线性方程组?5x1?3x2?6x3?x4??1的一个解及对应的齐次方程组的基础解系.

?2x?4x?2x?x??6234?1

?1?52?311??1?5???0282、解:?536?1?1????2421?6??014?????10?1?52?311?????01 ??014?27?28????00000????027 0???2?2971?70?371?2120?41411??56???28???1???2? ?0????1?2b?Rb?????(2)(1)a?1且，bR(??0a，,?(,??,,???,,??b),??R,(??),??R(,??,,??,)21b???????+?+0?1000?1234??? ??a?11?a??1a?1.0.1?10?121a?1 ?不能由可由?,?,?,?,?,,唯一线性表示?线性表示 11223344???? 2. ??

a?4b?1b??232?300a?1????9?a??1???0?010???1?72????????35??1??1??所以通解为a?11?2???5000ak?k?????a? 8????7??2?0???b?1??0???0????????00?01?0?1??a?1? ? ??0010 ?0?

12

28

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