吉林省长白山高中数学 第一章同步检测112 新人教A版必修5

用心 爱心 专心 1 一、选择题

1．在△ABC 中，a ＝3，b ＝7，c ＝2，那么B 等于( )

A ．30°

B ．45°

C ．60°

D ．120°

2．在△ABC 中，a ＝12，b ＝13，C ＝60°，此三角形的解的情况是( )

A ．无解

B ．一解

C ．两解

D ．不能确定

3．在△ABC 中，若a <b <c ，且c 2<a 2＋b 2，则△ABC 为( )

A ．直角三角形

B ．锐角三角形

C ．钝角三角形

D ．不存在

4．在钝角三角形ABC 中，若sin A <sin B <sin C ，则( )

A ．cos A ·c os C >0

B ．cos B ·cos

C >0

C ．cos A ·cos B >0

D ．cos A ·cos B ·cos C >0

5．(2010～2011·醴陵二中、四中期中)在△ABC 中，已知a 2＝b 2＋c 2＋bc ，则角A 等于

( )

A.π3

B.π6

C.2π3

D.π3或2π3

6．钝角三角形的三边为a 、a ＋1、a ＋2，其最大角不超过120°，则a 的取值范围是( )

A ．0<a <3 B.32

≤a <3 C ．2<a ≤3 D ．1≤a <52

二、填空题

7．(2011·德州高二检测)在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若(a ＋b ＋c )(b ＋c －a )＝3bc ，则A ＝________.

8．在△ABC 中，已知sin A ＝2cos B ·sin C ，则三角形的形状为__________．

9．在△ABC 中，a ＝b ＋2，b ＝c ＋2，又最大角的正弦等于32

，则三边长为__________． 三、解答题

10．在△ABC 中，BC ＝a ，AC ＝b ，a 、b 是方程x 2－23x ＋2＝0的两个根，且2cos(A

＋B )＝1.求：

(1)角C 的度数；

(2)AB 的长度．

能力拓展提升

一、选择题

11．如果等腰三角形的周长是底边边长的5倍，那么它的顶角的余弦值为( ) A.518 B.34

C.32

D.78

12．(2010～2011·福建福州高二期中)在△ABC 中，内角A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c ，若a cos A ＝b cos B ＝c cos C

，则△ABC 是( ) A ．正三角形 B ．等腰三角形

C ．直角三角形

D ．等腰直角三角形

13．在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若(a 2＋c 2－b 2)tan B ＝3ac ，则

角B 的值为( )

用心 爱心 专心 2 A.

π6 B.π3

C.π6或5π6

D.π3或2π3

14．在△ABC 中，若(a ＋b ＋c )(a ＋b －c )＝3ab 且sin C ＝2sin A cos B ，则△ABC 是( )

A ．等边三角形

B ．等腰三角形，但不是等边三角形

C ．等腰直角三角形

D ．直角三角形，但不是等腰三角形

二、填空题

15．(2012·陕西文，13)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对边的长分别为a ，b ，c .若a ＝2，B ＝π6

，c ＝23，则b ＝________. 16．在△ABC 中，三个角A ，B ，C 的对边边长分别为a ＝3，b ＝4，c ＝6，则bc cos A ＋ca cos B ＋ab cos C 的值为________．

三、解答题

17．在△ABC 中，已知AB ＝102，A ＝45°，在BC 边的长分别为20，203

3，5的情况下，求相应角C .

*18.在四边形ABCD 中，已知BC ＝a ，DC ＝2a ，四个内角A 、B 、C 、D 的度数之比为3:7:4:10，求AB 的长．

备选题库 1．在△ABC 中，C ＝60°，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边，则a

b ＋

c ＋b c ＋a

＝________. 2．在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c .若(3b －c )cos A ＝a cos C ，则cos A ＝________.

3．在△ABC 中，已知A >B >C ，且A ＝2C ，b ＝4，a ＋c ＝8，则a 、c 的长分别为________．

4．(2011·营口高二检测)在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且2b ·cos A ＝c ·cos A ＋a ·cos C .

(1)求角A 的大小； (2)若a ＝7，b ＋c ＝4，求bc 的值．

详解答案

1[答案] C

[解析] cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝9＋4－712＝12

， ∴B ＝60°.

2[答案] B

[解析] 已知两边和夹角，三角形唯一确定．

3[答案] B

[解析] ∵c 2<a 2＋b 2，∴∠C 为锐角．

∵a <b <c ，∴∠C 为最大角，∴△ABC 为锐角三角形．

4[答案] C

[解析] 由正弦定理得，a <b <c ，∴角C 是最大角，

∴角C 为钝角，∴cos C <0，cos A >0，cos B >0.

5[答案] C

[解析] a 2＝b 2＋c 2＋bc 变形为b 2＋c 2－a 22bc ＝－12

， ∴cos A ＝－12，∴A ＝2π3

.

用心 爱心 专心 3 6[答案] B

[分析] 钝角三角形最大角α不超过120°，则90°<α≤120°，∴－12≤cos α<0. [解析] ∵三角形为钝角三角形，最大边长为a ＋2，则 ??

??? a ＋a ＋1>a ＋2

－12≤a 2＋a ＋12－a ＋2

2

2a a ＋1<0，

解得：3

2≤a <3，故选B.

7[答案] 60°

[解析] ∵(a ＋b ＋c )(b ＋c －a )＝3bc ，

∴(b ＋c )2－a 2＝3bc ，∴b 2＋c 2－a 2＝bc ，

∴cos A ＝b 2＋c 2－a 2

2bc ＝1

2，∴A ＝60°.

8[答案] 等腰三角形

[解析] 由正弦定理得sin A ＝a 2R ，sin C ＝c 2R ；由余弦定理得cos B ＝a 2＋c 2－b 2

2ac .

所以a ＝2·a 2＋c 2－b 2

2ac ·c ，即b 2＝c 2.

所以b ＝c .因此三角形为等腰三角形．

9[答案] 3,5,7

[解析] ∵a －b ＝2，b －c ＝2，∴a >b >c ，

∴最大角为A .sin A ＝32，∴cos A ＝±1

2，

设c ＝x ，则b ＝x ＋2，a ＝x ＋4，

∴x 2＋x ＋22

－x ＋42

2x x ＋2＝±1

2，

∵x >0，∴x ＝3，故三边长为3,5,7.

10[解析] (1)cos C ＝cos[π－(A ＋B )]

＝－cos(A ＋B )＝－1

2，

∴C ＝120°.

(2)由题设：??? a ＋b ＝23

ab ＝2 ，

∴AB 2＝AC 2＋BC 2－2AC ·BC cos C

＝b 2＋a 2－2ab cos120°

＝a 2＋b 2＋ab ＝(a ＋b )2－ab ＝(23)2－2＝10，

∴AB ＝10.

11[答案] D

用心 爱心 专心 4 [解析] 设等腰三角形的底边边长为x ，则两腰长为2x (如图)，

由余弦定理得

cos A ＝4x 2＋4x 2－x 22·2x ·2x ＝78

， 故选D.

12[答案] A

[解析] 由正弦定理及条件式可得sin A cos A ＝sin B cos B ＝sin C cos C

(*) 由sin A cos A ＝sin B cos B

得，sin(A －B )＝0， ∵0<A <π，0<B <π，∴－π<A －B <π，

∴A －B ＝0，同理B －C ＝0，∴A ＝B ＝C .

[点评] (*)式即tan A ＝tan B ＝tan C ，∵0<A ，B ，C <π，∴A ＝B ＝C .

13[答案] D

[解析] 依题意得，a 2＋c 2－b 22ac ·tan B ＝32

， ∴sin B ＝

32，∴B ＝π3或B ＝2π3

，选D. 14[答案] A

[解析] ∵(a ＋b ＋c )(a ＋b －c )＝3ab ，

即a 2＋b 2－c 2＝ab ，

∴cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝12

， ∴C ＝60°.

又sin C ＝2sin A cos B ，

∴sin(A ＋B )＝sin(A ＋B )＋sin(A －B )，

即sin(A －B )＝0，∴A ＝B ，∴A ＝B ＝C ＝60°.

∴△ABC 为等边三角形．

15[答案] 2

[解析] 本题考查了余弦定理的应用 由b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝4＋12－2×2×23×32

＝4，可得b ＝2. [点评] 在解三角形时，一般具备两边及其夹角这一条件时，应用余弦定理来解决．

16[答案] 612

[解析] ∵bc cos A ＋ca cos B ＋ab cos C ＝b 2＋c 2－a 22＋c 2＋a 2－b 22＋a 2＋b 2－c 22＝a 2＋b 2＋c 2

2＝612

. 17[解析] 由正弦定理得sin C ＝AB sin A BC ＝10BC

， (1)当BC ＝20时，sin C ＝12

， ∵BC >AB ，∴A >C ，∴C ＝30°.

(2)当BC ＝2033时，sin C ＝32

， ∵AB ·sin45°<BC <AB ，

∴C 有两解，∴C ＝60°或120°，

(3)当BC ＝5时，sin C ＝2>1，∴C 不存在．

用心 爱心 专心 5 18[解析] 设四个角A 、B 、C 、D 的度数依次为3x,7x,4x,10x

则3x ＋7x ＋4x ＋10x ＝360°，∴x ＝15°，

∴A ＝45°，B ＝105°，C ＝60°，D ＝150°.

在△BCD 中，由余弦定理：

BD 2＝a 2＋(2a )2－2×a ×2a cos60°＝3a 2， ∴BD ＝3a .

此时有DC 2＝BD 2＋BC 2，∴△BCD 为直角三角形，∠CDB ＝30°，∴∠ADB ＝120°. 在△ABD 中，由正弦定理：AB ＝BD ·sin∠ADB sin A ＝3a sin120°sin45°＝32a 2

. 备选题库

1[答案] 1

[解析] ∵C ＝60°，∴a 2＋b 2－c 2＝ab ，

∴a 2＋b 2＝ab ＋c 2，

等式两边都加上ac ＋bc ，整理得 (a 2＋ac )＋(b 2＋bc )＝(b ＋c )(a ＋c )，

∴a b ＋c ＋b c ＋a ＝ac ＋a 2b 2＋bc b ＋c c ＋a

＝1. 2[答案] 33

[解析] 由正弦定理得(3sin B －sin C )cos A ＝sin A cos C ，即3sin B cos A ＝sin A cos C ＋sin C cos A ，

即3sin B cos A ＝sin(A ＋C )＝sin B ，故cos A ＝33

. 3[答案] 245，165

[解析] 由正弦定理得：a sin A ＝c

sin C ∵A ＝2C ，∴a sin2C ＝c sin C ，即a 2sin C cos C ＝c sin C

， ∴cos C ＝a 2c

.① 又由已知a ＋c ＝8＝2b 及余弦定理知：

cos C ＝a 2＋b 2－c 2

2ba ＝a 2＋a ＋c 22－c 2a a ＋c

＝5a －3c a ＋c 4a a ＋c ＝5a －3c 4a

，② 由①②可知：a 2c ＝5a －3c 4a

，整理得： (2a －3c )(a －c )＝0，

∵A >B >C ，∴a ≠c ，∴2a ＝3c .

又∵a ＋c ＝8，∴a ＝245，c ＝165

. 4[解析] (1)根据正弦定理

2b ·cos A ＝c ·cos A ＋a ·cos C 可化为

2cos A sin B ＝sin C cos A ＋sin A cos C ＝sin(A ＋C )＝sin B ，

∵sin B ≠0，∴cos A ＝12

， ∵0°<A <180°，∴A ＝60°.

(2)由余弦定理得：

7＝a2＝b2＋c2－2bc·cos60°＝b2＋c2－bc＝(b＋c)2－3bc，

把b＋c＝4代入得bc＝3.

用心爱心专心 6

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