泰勒公式及其应用

本科毕业论文

论文题目：泰勒公式及其应用 学生姓名：王子贺 学专

号：201100810613 业：数学与应用数学(金融与金融工程方向)

指导教师：崔振 学 院：数学科学学院

1 2015年 04月 20日

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毕业论文（设计）内容介绍

论文（设计） 题 目 选题时间 高等数学中的数形结合思想 论文（设计） 字数 2014、12 完成时间 2015、5 关 键 词 泰勒公式 应用 论文（设计）题目的来源、理论和实践意义：泰勒公式作为数学分析的重要内容，利用微积分“逼近法”的思想，用简单的多项式函数近似的替代复杂函数，在近似运算方面发挥了巨大作用，成为研究函数极限和误差估计的重要理论工具。同时泰勒公式在求极限，判断级数的敛散性，证明不等式，求初等函数的幂级数展开式,证明根的唯一存在性,函数的凸凹性，拐点等方面都有着重要应用。为此，本文将对泰勒公式做出详细的介绍，在此基础上简述泰勒公式在求极限，判断级数的敛散性，证明不等式等方面的应用。对我们今后数学分析的学习和理解有着重要的意义。 论文（设计）的主要内容及创新点：本文将对泰勒公式做出详细的介绍，简要介绍了泰勒公式的几种推广，在此基础上简述泰勒公式在求极限，判断级数的敛散性，证明不等式等方面的应用。本文通过列举大量例题将抽象的泰勒公式问题简洁明了的呈现出来，利于理解以及掌握。最后简要论述了泰勒公式在经济学问题中的应用。 附：论文（设计）

本人签名： 年 月 日 2

泰勒公式及其应用

摘要：

泰勒公式作为数学分析的重要内容，利用微积分“逼近法”的思想，用简单的多项式函数近似的替代复杂函数，在近似运算方面发挥了巨大作用，成为研究函数极限和误差估计的重要理论工具。本文论述了泰勒公式的基本内容，简单介绍了带佩亚诺型余项和拉格朗日型余项的泰勒公式。进而探讨了泰勒公式在数学以及经济学中的广泛应用。

关键词：泰勒公式 佩亚诺型余项 拉格朗日型余项 应用

Abstract:As one of the important content of mathematics Analysis,the Taylor formula uses

the calculus\

with simple and

thought, instead

of approximate polynomial play

a

great

role

function

complex

function, which

in approximate calculation, obviously it has become an important theoretical tool to research the error estimation and function limit in calculus. This paper discusses the basic content of Taylor's formula,and introduces Taylor formula with Pei Jarno remainder and Lagrange remainder. In the end,this paper discuss the application of Taylor’s formula in the problem of calculate limit, determine the convergence of series, the proof of inequality, power series expansion for the elementary functions, uniqueness of the root,concave and convex function, the inflection point. Keywords: Taylor formula; Peano more than; Lagrange remainder; application

1.绪论 ............................................................................................................. 错误！未定义书签。

1.1泰勒公式的研究背景 ....................................................................... 错误！未定义书签。 1.2泰勒公式的研究意义 ....................................................................... 错误！未定义书签。 1.3泰勒公式的研究目的 ....................................................................... 错误！未定义书签。 2.泰勒公式........................................................................................................................................ 5

2.1泰勒公式 ............................................................................................................................. 5 2.2带有佩亚诺余项的泰勒公式 ............................................................................................. 6 2.3带有拉格朗日余项的泰勒公式 ......................................................................................... 7 3.泰勒公式的推广 ............................................................................................................................ 8

3.1迈克劳林展开 ..................................................................................................................... 8 3.2泰勒中值定理 ..................................................................................................................... 8 3.3多元泰勒公式 ..................................................................................................................... 9 4.泰勒公式的应用 ............................................................................................................................ 9

4.1应用泰勒公式求极限 ......................................................................................................... 9 4.2应用泰勒公式求近似值 ................................................................................................... 11 4.3应用泰勒公式求极值 ....................................................................................................... 13 4.4应用泰勒公式证明不等式 ............................................................................................... 16 4.5应用泰勒公式判断函数的凹凸性 ................................................................................... 19 4.6应用泰勒公式判断函数的拐点 ....................................................................................... 20

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4.7应用泰勒公式判断级数的敛散性 ................................................................................... 21 4.8泰勒公式在经济学中的应用 ........................................................................................... 22 5结束语.......................................................................................................................................... 24 6参考文献...................................................................................................................................... 24

1.绪论

1.1泰勒公式的研究背景

十七世纪以来，数学界人才辈出，近代微积分高速发展，极限作为数学研究的重要概念也被明确的提了出来。最初极限没有形成严谨完善的定义。可想而知，极限并没有被认可。最先给出极限严格定义的是捷克斯洛伐克数学家贝尔纳·波尔查诺，但在很长一段时间中极限没有受到应有的重视。直至18世纪，数学家们才开始了对极限的深度研究柯，1820年法国数学家柯西创造性地使用极限理论将微积分学中的定理加以严格全面的证明。之后德国数学家魏尔斯特拉斯先生给出了精确的“???”方法，最终解决了之前存在的问题。经过长达近百年的研究和论证，极限在数学界中的地位不断提高，近代大量数学家都从事了相关问题的研究。泰勒、笛卡尔、费马等人都贡献了重要理论知识和实践研究。

泰勒公式的提出和发展也经历了相当漫长的过程。1715年泰勒出版《增量法及其逆》首次提出了泰勒公式，泰勒根据牛顿提出的有限差分法，推导出了格里戈里-牛顿插值公式,进而设初始变量为零,项数为无穷，但没有给出余项的具体表达式。泰勒的理论在当时并没有引起关注和认可。直到1755年，瑞士数学家欧拉把泰勒级数应用于他的“微分学”，世人才开始渐渐认识并接受泰勒公式，后来拉格朗日另辟蹊径，采用带余项的级数作为其函数理论的基础，引起了数学家的广泛关注，一举确认了泰勒级数在数学研究以及应用中的重要地位。

泰勒公式作为分析和研究函数极限的重要理论工具，可以将复杂的问题简单化，并且能够满足较高的精确度和准确率，可以应用多个数学领域。为近代微积分的高速展提供了强有力的支持。

虽然泰勒公式应用于多个数学领域，但有些学者或学派不认同或很少提及泰勒公式，他们普遍认为泰勒公式不够严谨，不能完全适用于解题以及计算当中。因此在泰勒公式的应用方面还有很大的提升空间值得我们研究。 1.2泰勒公式的研究意义

泰勒公式作为数学分析学习的重要工具以及一元微积分的基本理论，在近似计算，求极限，不等式的近似计算等方面有着重要应用。因此，熟练掌握和应用泰勒公式有利于数学知识的学习。此外，在经济学，统计学，金融学等领域也可以利用泰勒公式解决实际问题。因此泰勒公式已经不仅仅应用在数学领域，更成为日常生活中解决实际问题的重要理论工具。

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1.3泰勒公式的研究目的

通过对泰勒公式的简单介绍和总结，拓宽泰勒公式在数学问题上的广泛应用，探究泰勒公式在具体数学问题上的应用，使泰勒公式成为被大家广泛接受的数学学习工具。进而讨论泰勒公式在其他领域的应用，使泰勒公式真正成为能够解决实际问题的重要工具和理论基础。

在数学学习的过程中我们可以发现很多函数都能用泰勒公式表示，特别在求函数的近似值，求函数的极值和判断级数收敛性的问题中泰勒公式都有着重要作用。正因为泰勒公式是数学学习和解决实际问题的重要理论工具，这就要求我们要掌握泰勒公式的基本思想和在各个领域中的具体应用，以便在今后的学习生活中更方便和灵活的研究一些运算复杂和函数问题，更好的利用泰勒公式解决各领域的实际问题。

2泰勒公式

2.1泰勒公式的定义及推导

给定一个函数f(x)在点x0处可微，则有：

f(x0??x)?f(x0)?f?(x0)?x??(?x)

即 f(x)=f(x0)+f'(x0)(x?x0)+?(x?x0)

即在点x0附近，用一次多项式f(x0)+f'(x0)(x?x0)逼近函数f(x)，为了提高近似的精确度，令p1?x?=pf(x0)+f'(x0)(x?x0)

为x的一次多项式，可得：

p1(x0)?f(x0)

p1'(x0)?f'(x0)

对于任意n次多项式pn(x)，要求:

'(n)pn(x0)?f(x0),pn(x0)?f'(x0), ?,pn(x0)?fn(x0)

令

pn(x)?a0?a1(x?x0)?a2(x?x0)2???an(x?x0)n

逐次求在点x0处的各阶导数得：

' pn(x)?a1?2a2(x?x0)???nan(x?x0)n?1

5

\pn(x)? 2!a2???n(n?1)an(x?x0)n?2

???

(n)pn(x)?n!an

a0?pn(x0)?f(x0)，

'a1?pn(x0)?f'(x0)，

a2?1\1pn(x0)?f\(x0)， 2!2!?， 1(n)1an?pn(x0)?f(n)(x0)

n!n!故

11pn(x)?f(x0)?f'(x0)(x?x0)?f\(x0)(x?x0)2???f(n)(x0)(x?x0)n

2!n!下面对余项进行估计

令Rn(x)?f(x)?pn(x)为余项，则有

(n)Rn(x0)?R'n(x0)???Rn(x0)?0

'Rn(?1)Rn(x)?Rn(x0)Rn(x)?=(x0

(n)(n)(n?1)Rn(?n)?Rn(x0)Rn(?) = = (x0

(n?1)?2(?n?x0)?0(n?1)!从而 Rn(x)?f(x)?pn(x)

(n?1)Rn(?)Rn(x)?(x0

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f(n?1)(?)Rn(x)?(x?x0)(n?1)(x0

(n?1)!当在x0的某领域内 f(n?1)(x)?M时

Rn(x)?Mx?x0(n?1)!n?1

?Rn(x)??((x?x0)n) （x?x0）

所以有

1f(x)?f(x0)?f'(x0)(x?x0)?f\(x0)(x?x0)2??2!?

1(n)f(x0)(x?x0)n??((x?x0)n) n!上式即为f(x)在x0处的n阶泰勒公式。 2.2带有佩亚诺余项的泰勒公式

若函数f在点x0处存在直至n阶导数，则有

Pn(x)??k?0nf(k)(x0)(x?x0)k， k!Rn(x)?f(x)?Pn(x)．

则当x?x0时，Rn(x)??((x?x0)n)．即有

f(n)(x0)f(x)?f(x0)?f?(x0)(x?x0)?...?(x?x0)n??((x?x0)n) (2.2.1)

n!称为函数f(x)在点x0处的泰勒公式，Rn(x)?f(x)?Pn(x)称为泰勒公式的余项的，形如?((x?x0)n)的余项称为皮亚诺型余项，所以（2.2.1）式又称为带有皮亚诺型余项的泰勒公式。

特别的当（2.1）式中x0?0时，可得到

f??(0)2f(n)(0)nf(x)?f(0)?f?(0)x?x?...?x??(xn) （2.2.2）

2!n!（2.2.2）式称为带有皮亚诺型余项的麦克劳林公式。麦克劳林公式在数学分析

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解题过程以及特殊问题的解决中有着重要应用。 2.3带有拉格朗日余项的泰勒公式

假设函数f(x)在|x?x0|?h上存在直至n?1阶的连续导函数，则对任一

x?[x0?h,x0?h],泰勒公式的余项为

f(n?1)(?)Rn(x)?(x?x0)n?1

(n?1)!其中??x0??(x?x0)为x0与x间的一个值.即有

f(n)(x0)f(n?1)(?)nf(x)?f(x0)?f?(x0)(x?x0)?...?(x?x0)?(x?x0)n?1

n!(n?1)!(2.3)

当n?0，（2.3）式即为拉格朗日中值公式：

f(x)?f(x0)?f?(?)(x?x0)

所以，泰勒定理也可以看作是拉格朗日中值定理的推广． 若令

f(n?1)(?)Rn(x)?(1??)n?1?p(x?x0)n?1p?n!则称Rn(x)为一般形式的余项公式, 其中??格朗日型余项．若令p?1，则得

f(n?1)(?)Rn(x)?(1??)n(x?x0)n?1n!(p?0)

??x0x?x0．在上式中，p?n?1即为拉

(p?0),

此式称为柯西余项公式．

当x0?0，得到泰勒公式：

f??(0)2f(n)(0)nf（n?1）(?x)n?1f(x)?f(0)?f?(0)x?x?...?x?x，(0???1)

2!n!(n?1)!（2.4）

则（2.4）式称为带有拉格朗日型余项的麦克劳林公式． 3泰勒公式的推广

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3.1麦克劳林展开

函数的麦克劳林展开指上面泰勒公式中a取0的情况，即是泰勒公式的特殊形式，若

在x=0处n阶连续可导，则下式成立：

其中

表示

的n阶导数。

3.2泰勒中值定理 若

在包含的某开区间（a，b）内具有直到n+1阶的导数，则当x∈（a，b）

时，有

其中

是n阶泰勒公式的拉格朗日余项：4泰勒公式的应用 4.1泰勒级数

在数学学习中我们定义泰勒级数是用无限项连加式——级数来表示一个函数，这些相加的项由函数在某一点的导数求得。通过函数在自变量零点的导数求得的泰勒级数又叫做麦克劳林级数。泰勒级数在近似计算中有重要作用，特别是麦克劳林级数经常应用于日常实际数学问题当中。为此给出常见的麦克劳林公式，在熟练掌握的基础上要学会灵活应用在实际问题当中。

泰勒级数作为数学分析中级数部分的重要内容，其主要内容包括两个方面： （1）：幂级数的收敛理论；

（2）：如何把一个函数展开成泰勒级数。

我们知道把一个函数展开成泰勒级数的方法大致上可分为两类，即直接展开法和间接展开法．

直接展开法可按下列步骤进行： 第一步:求出函数的各阶导数f??x?,f???x???????f

?n??x?

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第二步：求函数f（x）及其各项导数在f?x0?,f??x0????f?n??x0? 第三步：写出泰勒级数

f???x0?f?n??x0?2?x?x0???????x?x0?n???? f?x0??f??x0??x?x0??2!n!第四步：考察余项Rn?x?在x?的某一领域U?x??内极限是否为零 例1：展开三角函数解：根据导数表得：

最后可得：

其中

为皮亚诺余项：

或：

其中

同理我们可以求出常见函数麦克劳林公式：

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1''f(x0)(x?x0)??((x?x0)2) 同号。 2!故当f''(x0)?0时，对?x?U(x0;?1)有

f(x)?f(x0)?0

即f(x)于x0处取得极大值。

同理当f''(x0)?0时，则f(x)在x0处取极小值。

例9：设f在x0附近有n?1阶连续导数，且

f?(x0)?f??(x0)?...?f(n)(x0)?0， f(n?1)(x0)?0

（1）如果n为偶数，则x0不是f的极值点．

（2）如果n为奇数，则x0是f的严格极值点，且当f(n?1)(x0)?0时，x0是f的严格极小值点；当f(n?1)(x0)?0 时，x0是f的严格极大值点．

证明：将f在x0点处作带皮亚诺型余项的Taylor展开，即：

f(n?1)(x0)f(x)?f(x0)?(x?x0)n?1??((x?x0)n?1)

(n?1)!于是

?f(n?1)(x0)?((x?x0)n?1)?n?1 f(x)?f(x0)???(x?x)?0n?1(x?x0)?(n?1)!?由于

?f(n?1)(x0)?((x?x0)n?1)?f(n?1)(x0) lim???n?1?x?x0(n?1)!(n?1)!(x?x0)??f(n?1)(x0)?((x?x0)n?1)f(n?1)(x0)故???0，(x0??,x0??)中，与同号． ?(n?1)!(n?1)!(x?x0)n?1（1）如果n为偶数，则由(x?x0)n?1在x0附近变号知，f(x)?f(x0)也变号，故x0不是f的极值点．

（2）如果n为奇数，则n?1为偶数，于是，(x?x0)n?1在x0附近不变号，故

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f(n?1)(x0)同号． f(x)?f(x0)与

(n?1)!若f(n?1)(x0)?0，则f(x)?f(x0)，?x?(x0??,x0)?(x0,x0??)，x0为f的严格极小值点．

若f(n?1)(x0)?0，则f(x)?f(x0)，?x?(x0??,x0)?(x0,x0??)，x0为f的严格极大值点．

4.4应用泰勒公式证明不等式

不等式的证明可用的方法很多，其中利用泰勒公式证明不等式是不等式证明中的一个重要方法。在此主要介绍泰勒公式在证明一般不等式中的应用，泰勒公式在证明有关定积分不等式问题的应用，泰勒展开式在一元函数、二元函数不等式中的推广应用与证明。

泰勒公式在证明一般不等式中的应用

一般的证明思路为：如果函数f(x)存在二阶及二阶以上导数并且有界，利用泰勒公式去证明这些不等式。

(1)写出比最高阶导数低一阶的函数的泰勒展开式； (2)恰当地选择等式两边的x与x0；

(3)按照最高阶导数的大小对函数的泰勒展开式进行放缩。 例10：设f(x)在（??,??）上满足f''(x)?0 ，证明：

f(x1?x2???xnf(x1)?f(x2)???f(xn))? 。

nn证 ：令

x0?x1?x2???xn

n则

nx0?x1?x2???xn

则由泰勒展开式得

f(x)?f(x0)?f'(x0)(x?x0)?1''f(?)(x?x0)2，x0???x 2!当x?xk(k?1,2,?n)时亦有

f(xk)?f(x0)?f'(x0)(xk?x0)?

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1''f(?k)(xk?x0)2 2!其中?k在x0与xk之间。

因为f''(x)?0，所以有

f''(?k)?0

因此有

f(xk)?f(x0)?f'(x0)(xk?x0)(k?1,2,?n)

从而得到

?f(xk?1nk)?nf(x0)?f(x0)?(xk?x0)

'k?1n =nf(x0) 则

f(x1)?f(x2)???f(xn)1nf(x0)??f(xk)=

nnk?1即

f(x1?x2???xnf(x1)?f(x2)???f(xn))?。

nn泰勒公式在证明有关定积分不等式问题的应用 例11:设f?x?在?a,b?上单调增加，且f''?x?＞0， 证明 ：?f?x?dx＜?b?a?abf?a??f?b?.

2题设条件告知f?x?二阶可导且f''?x?＞0，由于高阶导数的存在，提示我们尝试使用泰勒公式.因为不等式左边被积函数是f?x?，右边有f?a?、f?b?，我们不妨对?t??a,b?，将f?t?在点x处展开为泰勒公式，再令t?a,t?b，进而找出

f?x?与f?a?、f?b?的关系.

证明 对?t??a,b?,f?t?在点x处的一阶泰勒展开式为：

f?t?=f?x?+f'?x??t-x?+

f''???2t-x?，其中?在t与x之间， ?2! ∵ f''???＞0, ∴ f?t?＞f?x?+ f'?x??t-x? （1）

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将t?a,t?b，分别代入（1）并相加，得

f?a??f?b?＞2f?x?+?a?b?f'?x?－2xf'?x? (2) 对(2)的两边在?a,b?上积分，则

??f?a??f?b????b?a?＞2?baf?x?dx+?a?b?b?baf?x?dx－2ba?baxf'?x?dx

a???f?a??f?b????b?a?＞2?af?x?dx+?a?b?f?x??2??f?a??f?b????b?a?＞4 故?f?x?dx＜?b?a?abb—2?xf?x?b?a?f?x?dx?

?????f?x?dx

abf?a??f?b?.

2泰勒展开式在一元函数、二元函数不等式中的推广应用与证明

泰勒展开式在一元函数、二元函数不等式中也有着重要应用，只要f(x)在x0处存在且二阶可导，那么泰勒展开式可以推广为以下两种类型： 定理： 设函数y?f(x)在点x0附近二阶可导，则 （1） 若f''(x)＞0，具有f(x)≥f(x0)?f'(x0)?x?x0?； （2） 若f''(x)＜0，具有f(x)≤f(x0)?f'(x0)?x?x0?； 等号在x?x0时成立.

对于定理1的证明，利用一元函数的泰勒展开式，结论显然成立。 下面我们利用定理1，对下面两个初等不等式作出证明. 例13： 证明：设n?N，nn?nn?nn?nn≤2nn，n≥2.

1?n1?2n111?nxn?0， 证明 设 f?x??nx(x?0)，则f'?x??xn，f''?x??nnn有定理1知：fn?nn≤f?n?+f'fn?nn≤f?n?+f'???n?，

n???n???n?

nn两式相加即得结论。

多数情况下单独利用泰勒公式无法完成对不等式的证明,要结合其他知识一起使用。当所要证明的不等式是含有多项式和初等函数的混合式时,可以作辅助函数并用泰勒公式代替。这样可以灵活的解决一些不等式证明的问题。 4.5应用泰勒公式判断函数的凹凸性

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研究函数的凹凸性可以更好的了解函数的性质，接下来简要探讨在判断函数的凹凸性时如何应用泰勒公式简化计算过程。

例14：设f?x?在?a,b?上连续，在（a,b)上具有一阶和二阶导数，证明：若在（a,b)内f???x?>0,则f?x?在?a,b?上的图形是凹的。

证明：设c

2!(x1-x0)2(x2-x0)2′′f(x1)+f(x2)=2f(x0)+f(x0)(x1-x0)+f(x0)(x2-x0)+f(x0)+f(x0)2!2!′′′′+o[(x1-x0)2]+o[(x2-x0)2]

因为余项为?x?xn?的高阶无穷小，又因为?x1,x2?足够小，

22?x?x0?2所以泰勒公式中f???x0??o??x?x0??的符号于f???x0?相同。

2!又因为x0?x1?x2，所以f??x0??x1?x0??f??x0??x2?x0??0可得2′′(x1-x0)2(x2-x0)2′′f(x1)+f(x2)-2f(x0)=f(x0)+f(x0)+o[(x1-x0)2]+o[(x2-x0)2]>0

2!2!即f(x1)+f(x2)-2f(x0)>0可得f(x0)

2由x1，x2的任意性，可得f?x?在足够小的区间?c,d?上是凹的，再有c，d的任意性可得f?x?在?a,b?内任意一个足够小的区间内部都是凹的。 4.6应用泰勒公式判断函数的拐点

定理4.2 若f(x)在x0处可导，在某邻域U(x0,?)内n阶可导，且满足

f'(x0)?f''(x0)???f(n?1)(x0)?0，且fn(x0)?0(n?2)

则：

（1）若n为奇数，则(x0,f(x0))为曲线y=f(x)的拐点； （2）若n为偶数，则(x0,f(x0))不是曲线y=f(x)的拐点 。 证明：f??(x)在x0处的泰勒公式

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fn?x0??f????x0??x?x0??????fn?x0??x?x0?因为

n?2/?n?2?!?o?x?x0??n?2?

f?(x0)?f??(x0)?所以

?f(n?1)(x0)?0

f??(x)?fn(x0)(x?x0)n?2/(n?2)!?o((x?x0)n?2)

余项同样是(x?x0)n?2的高阶无穷小。

因此：

??当n为奇数时,(n?2)仍为奇数，在U?(x0)和U?(x0)上

fn(x0)(x?x0)n?2/(n?2)!符号相反，即f??(x)的符号相反，所以(x0,f(x0))为曲线

y=f(x)的拐点；

??当n为偶数时，(n?2)仍为偶数，则f??(x)在U?(x0)和U?(x0)上的符号相同，

所以(x0,f(x0))不是曲线y=f(x)的拐点。

例15：判断（0，4）是否是f?x??ex?e?x?2cosx的拐点？

解： ?′(x)=ex-e-x-2sinx, ?′(0)=0

?′′(x)=ex-e-x-2cosx,?′′(0)=0

?′′′(x)=ex-e-x+2sinx, ?′′′(0)=0

?(4)(x)=ex-e-x-2cosx, ?(4)(0)=4≠0

因为n=4，所以（0，4）不是f?x??ex?e?x?2cosx的拐点。

4.7应用泰勒公式判断敛散性

敛散性的学习作为数学分析中的基础内容，为今后数学课程的学习奠定了重要的理论基础。泰勒公式作为数学分析学习的重要工具，在敛散性的判断中有着

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重要作用，在此讨论利用泰勒公式判断级数的敛散性和判断广义积分的敛散性。 判断级数的敛散性

x例15:判断级数?(n?11n?lnn?1)的敛散性。 n分析：若直接根据通项去判断该级数是正项级数还是非正项级数会比较困难，因而也就无法恰当地选择判敛方法。

注意到

lnn?11?ln(1?) nn若将其泰勒展开为性更容易进行。

解：

11的幂的形式，开二次方后恰好与 呼应，使得判断敛散nn? lnn?1111111?ln(1?)??2?3?4??? nnn2nn3n4n ? lnn?11 ?nn? un?1n?lnn?1?0 n所以该级数是正项级数。

?lnn?1?n111111111?2?3??(3)??2?3?(?3)2?n2nnn3nn4nn2n21n?12n32

?un?

1n?ln1111n?1?(?3)= 3 <

nnn2n22n2? ?n?1?12n32具有收敛性

所以由正项级数比较判别法可得原级数收敛。 判断广义积分的敛散性

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在判断定积分???af(x)dx的敛散性时, 通常选用定积分?????a1dx(p?0)进xp行比较后通过研究无穷小量f(x)(x???)的阶来有效地选?a从而简单地判定???a1dx中的p值，pxf(x)dx的敛散性（注意到：如果???af(x)dx得收敛，则

???af(x)dx得收敛）。

例16:判定广义积分?(x?3?x?3?2x)dx的敛散性。

6??解：由

(1?x)a?1?ax?得

a(a?1)2x??(x2) 2!f(x)??x?3?x?3?2x 33x(1?)2?(1?)2?2

xx113191131911 ?x(1????2?o(2))?(1????2?o(2))?2

2x8xx2x8xx911?3??(3) 42xx2=?因此，limx?????1f(x)91(x???)dxf(x)?0，即是的3/2阶，因为?3/2?61xx4x3/2收敛，所以???6f(x)dx收敛，从而?(x?3?x?3?2x)dx收敛。

6??4.8利用泰勒公式解经济学问题 随着我国经济的高速发展，作为数学专业的学生，将数学知识应用在经济学中，并能够解决基本的经济学问题则成我们日常生活中一项必要的能力。经济学中应用最多的数学知识是定积分的应用，在这里将以定积分为基础，利用泰勒公式去解决经济学问题。

例17：已知某厂商的成本函数表达式为：STC=(1+x)3，假定每件商品的最终销售的价格为66元。求在新的价格下，厂商的盈利情况，若发生亏损，则最小的亏损金额是多少。

解：根据题意，由于受到外来市场的冲击，该厂商的供求发生波动，厂商决定下

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调价格，若将降价后价格定为27元。此时不论利润最大还是亏损最小，均衡条件都是P=MC，若要计算利润的正负需要根据P=MC所决定的均衡产量来计算，

根据函数STC=(1+x)3，设f(x)=(1+x)3应用泰勒公式得有：

(1+x)m=1+mx+m(m-1)2x?? 2!得 STC=1+3x+3x2+x3 因为 P=MC，即27=3x2+6x+3 所以x=4,x=1

1′′f(x0)(1-x0)2 （1） 21′′′=f(x+)f(x-)(xf0x(-2)0 (x f(0) )（2） 000+)2因为 f(1)=f(x0)+f′(x0)(1-x0)+d2TCd2TC=6×4+6=30>0，=6×1+6=12>0 所以 22dxdx故 x=4,x=1是利润最大或者最小的产量。 利润 π=TR-TC=PQ-(1+x)3=27×4-(1+4)3=-17 π=TR-TC=PQ-(1+x)3=27×1-(1+1)3=19

则：当商品的价格为27元时。若厂商的商品产量为1时，获得最大盈利，

利润为19元。若厂商的商品产量为4时，会产生亏损，最小亏损为17元。

5结束语：

泰勒公式作为数学分析中非常重要的内容，已经成为各个领域的数学研究中不可或缺的工具。本文介绍了泰勒公式的起源以及研究的背景意义，详细阐述了泰勒公式的性质并做出了一定的推广。进而探讨了泰勒公式在数学中的广泛应用，最后例举了泰勒公式在经济学中的简单应用，充分说明了泰勒公式应用的领域之广以及在数学中的重要地位。在我们今后深入研究中，要充分认识到泰勒公式提出的思想内涵，弄清泰勒的思维方式，这对培我们思维能力与独立工作的能力，从根本上强化已学知识，提高学生的素质是十分必要的。不可否认的是泰勒公式在应用方面存在一些问题和漏洞，我们只有熟练掌握基础知识，才能在此基础上加强训练，总结经验和前人的研究成果，深刻领会不同时代数学大师在泰勒公式这一问题中的思想内涵，争取探索出新的解题方法和途径，以便为我们今后更好的钻研和研究，将泰勒公式应用于更多的实际问题中，使泰勒公式真正成为被广泛认可的理论工具。

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6参考文献：

[1] 华东师范大学数学系，数学分析上册第三版[M].北京：高等教育出版社，2001 .119-156. [2] 欧阳光中. 数学分析[M]. 第三版. 北京:高等教育出版社, 2008.184-227. [3] 陈守信. 数学分析选讲[M]. 第一版. 北京:机械工业出版社, 2009.328-347.

[4] 王海燕. 带皮亚诺余项的泰勒公式及若干应用. 科技信息(科学·教研).2007, (35): 134.

[5] 雷开洪. 利用泰勒公式理解等价无穷小替换的实质. 宜宾学院学报.2011, 11(6): 112-114.

[6] 张跃,宋洁,董俊. 泰勒公式的应用. 中国教育发展研究杂志.2008, 5(11): 37-39. [7] 陈纪修,徐惠平.数学分析习题全解指南[M].高等教育出版社,2005.

[8] 赵中,张秀全. 泰勒公式在高阶导数和高阶偏导数方面的应用. 天中学刊.2011, 26(2): 81-82.

[9] 汪俭彬,黄瑞芳. 泰勒公式在解决典型问题方面的应用研究. 焦作师范高等专科学校学

报.2011, 27(2): 76-77.

[10] 孔珊珊.泰勒公式在数值计算中的应用. 济宁学院学报.2011, 32(3): 70. [11] 王新,任佩文. 泰勒展开式不同形式的各种应用. 高等函授学报.2009, 22(1): 32-24. [12] 李鑫. 探讨泰勒公式在高等数学中的应用. 中国科技纵横.2009, (11): 116. [13] 裴莉. 探讨泰勒公式在高等数学中的应用. 中国电子商务.2010, (6): 261.

[14] 熊灿. 讨论泰勒公式的综合应用. 北京电力高等专科学校学报.2009, (11): 103-104. [15] 何青龙,张跃. 微分中值定理和泰勒公式的一些应用. 中国教育发展研究杂志.2010, 7(6): 20-22.

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