高中数学培养运算能力的培养

高中数学培养运算能力的培养

高碑店一中数学组

摘 要 理解概念，运用公式，掌握技能

关键词 培养运算能力

引言

为贯彻落实《中共中央国务院关于深化教育改革全面推进素质教育的决定》和江泽民《关于教育问题的谈话》的精神，教育部制定出《国家基础教育课程改革纲要》，国家高中数学课程标准制定组拟定了《高中数学课程标准》的框架设想。这个《标准》根据时代的要求，依“课改”精神，在素质教育、创新教育方面有重大突破，尤其是对高中数学课堂教学有着重要的指导作用。

一、算法方面的基本要求

（1）能透彻理解数学概念,并能运用有关概念进行运算.

培养运算能力的首要前提,是让学生准确掌握数学概念,在理解的基础上记忆,运用公式,法则,并在运用过程中加深理解.根据美国心理学家奥苏贝尔的意义学习理论,所谓理解,就是符号所表示的新知识与学习者认知结构中已有的适当的知识建立非人为的和实质性的联系.具体地说,理解就是在感知的基础上,通过思维加工,把新学习的内容同化于已有的认知结构,或者改变原有的认知结构,把新知识纳入其中,以获得对事物本质和联系的认识. 例 已知A ={1,2,3,k} ,B={4,7,a4,a2+3a},a∈N*,k∈N*,x∈A,y∈B,f : x→y= 3x+1是从集合A到集合B的一个函数，求a ,k, A, B

【解析】 由对应关系：1→4,2→7,3→10,k→3k+1,

∵a∈N*, ∴ a4≠10.

∴ 可知a2+3a= 10得 a=2或a= -5(舍去)

∴ a4= 16.又3k+1= 16 ∴ k= 5.

故 A ={1,2,3,5},B ={4,7,10,16}

本题中考查的概念就是集合和函数，集合中的元素具有确定性、互异性和无序性，而函数要求的像的唯一性，决定了3k+1= 16 是本题的关键。加深了对函数概念的理解，从而能够准确建立方程，提高了运算的有效性，形成了运算能力。

（2）能深刻理解数学公式,运算法则的语法结构，运用公式解决问题.

已知a,b,c为不等的正数，且abc = 1.求证

【解析】∵a, b, c是不等的正数,且abc = 1

∴ a = a b+c< 111 abc1, ∴a b+ bc

111111 111bcacac bcacab222=

= 111 abc

本题要求准确理解数学公式，深刻领悟数学公式 2ab a b (a , b是不等的正实数) 及其变形

ab a b (a , b是不等的正实数) 2

其次要求正确利用题给条件abc =1及其变形形式。

二、运算技能方面的要求

（1）在进行各种运算时,过程要合理,方法要简捷,结果要正确.

2 cosx (x ∈R)的最值. 2 cosx

2 cosx【解析】∵y = ∴ 2y – ycosx = 2 + cosx, 2 cosx例 求函数y =

∴ cosx = 2y 2 .又∵ cosx≤1 y 1

∴2y 2 1 ∴ 2y 2 y y 1

222∴ (2y-2)≤(y+1), 3y – 10y + 3≤0

1 y 3 3

1 ∴ ymin = ymax = 3 3解得

本题对函数解析式的变形要熟练，函数的有界性准确把握，变形过程合理、简捷。

（2）能根据问题的需要灵活自如地变换运算的方法.

22 已知实数x, y满足方程x + y – 4x+1=0. ⑴求y的最大值和最小值. x

⑵求y -x的最小值.

22⑶求x+y的最大值和最小值

22【解析】⑴方程x + y – 4x+1=0.表示以点（2，0）为圆心，以为半径的圆。

设y=k,即 y = kx,由圆心（2，0）到直线 y = kx x

的距离为半径时直线与圆相切，

斜率取得最大值、最小值。

由点到直线的距离公式得

2k 0

k2 1

所以 kmax= 解得k2 =3 ,kmin= -。

⑵设y – x = b ,则 y = x + b , 仅当直线y = x + b与圆切于第四象限时，纵轴截距b取得最小值。由点到直线的距离公式，得2 0 b

2 , 即b 2

故 (y –x )min = -2 -

2 2 。 ⑶ x+ y 是圆上点与原点距离的平方，故连接oc，与圆交于B点，本延长交圆于D，

则 ( x+ y )max = OD

2 22 7 4

( x+ y )min = OB2 22 7 4

本题设变量代入，灵活变形；充分运用数形结合的思想方法，解决了问题。

（3）能简化运算过程,缩短运算环节,较快地进入“跳步”运算阶段.

例 设函数f (x) = 11 x+lg. x 21 x

⑴试判断函数f (x)的单调性，并给出证明；

-1-1⑵若函数f (x)的反函数为f (x)，证明方程f (x) =0有唯一解。

【解析】⑴设u =

得1 x21 x = -1 + , 由lg可知 1 x1 x1 x1 x＞ 0 解之得 - 1＜ x ＜ 1. 1 x

设 – 1 ＜x1 ＜x2 ＜ 1

U1 –u2 = -1 + x2 x12222 -( -1 + ) = - =2 – 1 ＜(1 x1)(1 x2)1 x11 x11 x21 x2

x1 ＜x2 ＜ 1 ∴x2 x1 ＞ 0 (1 x1)(1 x2)

1 x 在（ -1,1）上减函数； 1 x

1 x1 x1 x而 lg的单调性与 单调性相同，故lg在（-1，1）上减函数。 1 x1 x1 x

1显然 v = 是减函数，∴ f(x)在（-1，1）是减函数。 x 2∴ U1 ＞ u2 ， 故u =

⑵ 根据原函数f(x)与反函数f (x)的关系可知，f (x)与f(x)单调性相同。

方程f (x) =0 的唯一解为 x = -1-1-11 。 2

本题中原函数的单调性的证明被合理简化。同时，原函数反函数相同的单调性又能充分说明反函数所对应的方程解是唯一的，实现了“跳步”运算。

二、运算纠错方法：

计算教学直接关系着学生对数学基础知识与基本技能的掌握，在日常生活与生产中应用非常广泛。运算技能培养的科学化要做到有效和合理，最关键的是研究学生在计算技能中出现的错误，挖掘其错误的本质，把错误消灭在萌芽状态，从而提高学生的计算技能。在计算中灵活运用技巧，结合实际，将实际问题逐步抽象成数学问题。因此，我先对小学生计算容易出错的原因进行了几点归纳。

一是学生心理方面的原因。我们常常听家长为自己的孩子辩解说：“这道题目孩子是会做的，只是考试或做作业的时候粗心做错了。” “粗心”大多是感知情感、注意、思维、记忆等心理原因造成的。大多数学生对计算题都十分轻视的，在他们看来，计算只不过是算数，是最不用动脑筋的数学题。因此从思想上就不重视，从而导致了他们在计算方面的不认真，又由于他们的年龄特点，感知比较粗略，就更容易出错。我在平日的测试中发现，题目中明明是写着6.4，学生在下一步计算中居然抄写成64；明明让你算的是加法，学生就列成了减法。这

样的情况在小学阶段的计算学习中比比皆是。

二是学生的思维定势也会带来非常大的干扰。是由先前的活动而造成的一种对活动的特殊的心理准备状态，或活动的倾向性。在环境不变的条件下，定势使人能够应用已掌握的方法迅速解决问题。而在情境发生变化时，它则会妨碍人采用新的方法。积极的思维定势可以促进知识的迁移，消极的思维定势是束缚创造性思维的枷锁。比如：“一块地3公亩，种白菜用去1/4，还剩下几公亩？”常出现3-1/4的算式，这是受整数应用题求剩余的解题思路的影响，又如：“一块地6公亩，种白菜用去1/4公亩，还剩下几公亩？”常出现6×(1-1/4)的算式，这是受分数应用题“求一个数的几分之几是多少”的解题思路的影响。

三是学生的短时记忆比较弱。短时记忆一般是保存1分钟以内记忆。这1分钟的保存时间虽然很短，但是在计算的过程中却是十分重要的。

三、如何提高学生的计算能力?

(一)、充分认识计算的重要性：

(二)、要落实基础

(三)、要充分加强口算能力的训练

(四)、要培养学生良好的计算习惯

1、“一看、二想、三计算”的认真计算习惯。计算是一件非常严肃认真的事情，来不得半点马虎，但恰恰有许多学生没有这一良好习惯，拿到一道计算题，没有看清数字，没有弄清楚运算顺序，就算起来了，那能不出错吗？ ，在计算中， 一定要注意培养学生一丝不苟的习惯。

2、善于打草稿的习惯。学生在计算时，不喜爱打草稿，是一个普遍存在的现象。老师布置了作业，有的口算，有的在书上、桌子上或者其他地方，写上一两个竖式，算是打草稿，有的干脆观望，等待别人的结果，这些都是不良的计算习惯。

书上要做的和老师要求做的计算题，必定有一定的计算目的，或是有一定的难度，除开有少数学生能够直接口算出结果以外，大多数学生恐怕没有这个能力。要专门的草稿纸，认认真真地打草稿计算，养成这一良好习惯。

3、认真检查的习惯。一道题初步计算完了，不能算计算完全结束了，学生在计算中，难免出现这样或那样的错误，这就要求学生进行仔细的检查。比如，数字看错了没有，运算顺序错了没有，写错了没有等，有的还可以进行检验和验算，看结果是否正确。

四、学生的学习过程再次提醒我重视学生的计算能力。我觉应从以下几点做起：

一.培养学生计算的兴趣。

在计算教学中，首先要激发学生的计算兴趣，让学生乐于学、乐于做，教会学生用口算、笔算和计算工具进行计算，并掌握一定的计算方法，达到算得准、快的目的。讲究训练形式，激发计算兴趣。为了提高学生的计算兴趣，寓教于乐，结合每天的教学内容，可以让学生练习一些口算,在强调计算的同时，讲究训练形式多样化。如：用游戏、竞赛等方式训练；用卡片、小黑板视算，听算；限时口算，自编计算题等。2．让孩子去买东西是

学习数学的捷径。商店是培养孩子计算能力的最好教室。提高孩子的加法计算能力，最能发挥作用的方法莫过于数钱币了。把钱币交给孩子，让他计算“花了多少”,“还剩下多 少”。从实际应用出发进行学习，可以称得上学习计算的捷径了。 如“5个一角的钱为5角”，“用～元钱买一个3角钱的夹馅面包，应该找回7角钱”。尽量要求孩子快速回答问题。用钱币训练会使孩子很快掌握计算本领。多种形式的训练，不仅提高学生的计算兴趣，还培养学生良好的计算习惯。

二. 培养坚强的意志。

培养学生坚强的意志对学生能够长期进行准确、快速的计算，会产生良好的促进作用。当然，计算能力的培养，不是一朝一夕就可以完成的，只靠在校练习也是远远不够的，还需要家长平时在家有意对孩子进行多种形式的训练。 每天坚持练一练。计算教学中，口算是笔算的基础，可以根据每天的教学内容适时适量地进行一些口算训练，通过长期坚持的训练，既培养学生坚强的意志，又可提高学生的计算能力，口算是小学生必备的基本功，口算训练不但可以集中孩子的注意力，使记忆能力、获取信息能力、语言表达能力和思维能力得到培养与提高，而且还能增加他们学习数学的兴趣。

三、注意培养学生口算能力,打好计算的基础。

培养学生的计算能力，要重视基本的口算训练，口算既是笔算、估算和简便运算的基础，也是计算能力的重要组成部分。只有口算能力强，才能加快笔算速度，提高计算的正确率。因此，每位同学都要打好口算基础，加强口算训练，提高口算能力。首先，掌握方法。如：运用数的组成计算10以内的加减法；用凑十法，计算20以内的进位加法；做减法，想加法；转化为整十数加减一位数；转化成20 以内的加减法；把两位数加减整十数转化成一位数减一位数；先把两位数加减两位数转化成两位数加减整十数，然后再转化成两位数加减一位数；用乘法口诀直接求积、求商；教给学生一些运算技能，不断提高口算能力。

四、在教学中，要注意估算能力的培养

加强估算，能促进学生数感的发展，估算在计算教学中起着重要的作用,在计算教学中应逐步渗透估算的意识和方法，指导学生养成“估算——计算——审查”的习惯，有助于学生适时找出自己在解题中的偏差，重新思考和演算，从而预防和减少差错的产生，提高计算能力。例如，在计算3×486时，可以让学生大致说说积大概是多少，从而知道，积的位数，不至于出现较大的错误.

通过以上得出：要想迅速有效的提高学生的计算能力，发展学生的思维，必须加强计算教学和计算练习，使学生的计算既准确又迅速，从而达到提高学生计算能力的目的。还应该做好对学生的个别辅导，对学生计算中出现的问题，要及时加以解决并认真分析错误原因，找出规律。作为教师，首先自身要对计算法则、定律等运用自如，指导时才能得心应手，提高效果。同时训练应持之以恒，三天打渔两天晒网，是难见成效的。在计算教学中,做到不断思考，不断探索，不要单纯为了计算而计算，而要把它和目前新课标所倡导的生活实际、情感态度等结合起来，避免计算的单一性、枯燥性。只有这样，才能使全班学生的计算能力得到更大的提高。

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