第九章傅立叶变换与频域分析

介绍了傅立叶变换以及频域分析

第九章傅立叶变换与频域分析傅立叶变换及其意义( 第一节 傅立叶变换及其意义(Fourier Transform) ) 快速傅立叶变换( Transform) 第二节 快速傅立叶变换(Fast Fourier Transform) 傅立叶变换的性质( 第三节 傅立叶变换的性质(Properties of the Fourier Transform) ) 第四节 频域分析(Frequency Domain analysis) 频域分析( ) 频域分辨率和谱图表示( 第五节 频域分辨率和谱图表示(Frequency Resolution in Frequency Domain) ) 幅值平方相干函数( 第六节 幅值平方相干函数(Magnitude-Squared Coherent Function) ) 频域滤波( 第七节 频域滤波(Filtering in Frequency Domain) )

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第一节 傅立叶变换及其意义 (Fourier Transform) )9.1.1 傅立叶变换的意义及各种变换对x(n) e jw0 n x(n)Ak e jwk n ∑k

y (n)

H (e jw )

H (e jw0 )e jw0 n

图9.1

y (n)

H (e jw )

Ak H (e jwk )e jwk n ∑k

如果一个LTI系统的输入可以表示为周期复指数的线性 组合，则输出也一定能表示成这种形式，并且输出线性 组合中的加权系数与输入中对应的系数有关。 2

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各种信号的傅立叶级数和傅立叶变换对 ：

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傅立叶变换的意义 把一个无论多复杂的输入信号分解成 复指数信号的线性组合，那么系统的输出 也能通过图9.1的关系表达成相同复指数信 号的线性组合，并且在输出中的每一个频 率的复指数函数上乘以系统在那个频率的 频率响应值。 一个域离散必然另外一个域周期，相反的， 如果一个域连续必然另外一个域是非周期 的。

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9.1.2 离散傅立叶变换(DFT)X (k ) = DFT[ x(n)] = ∑ x(n)en=0 N 1 j 2π kn N

,0 ≤ k ≤ N 1

j nk 1 N 1 x(n) = IDFT[ X (k )] = ∑ X (k )e N ,0 ≤ n ≤ N 1 N k =0

2π

离散傅立叶变换的导出有多种方法，比较方便，同时 物理意义也比较清晰，是从离散时间傅立叶变换 (DTFT)和从离散傅立叶级数(DFS)入手。5

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【例9-1】试计算常用信号 RN (n)和 4π cos( n) R (n) 的N点DFT。 NN

解：

N,k = 0 2π 2π N 1 j kn j kN X1(k) = ∑RN (n)e N = 1 e N = Nδ(k),0 ≤ k ≤ N 1 , , n=0 j 2π k = 0,k =12L N 1 1 e N N 1 2π 2π 2π

j kn 4π 1 N 1 j N n ( k 2 ) 1 N 1 j N n ( 2+ k ) X 2 (k ) = ∑ cos( n)e N = ∑ e + ∑e N 2 n =0 2 n =0 n =0

N 1 N 1 j N n ( 2+ k N ) N X 2 ( k ) = δ ( k 2) + ∑ e = [δ (k 2) + δ (k ( N 2))],0 ≤ k ≤ N 1 2 2 n =0 2

2π

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WN = e周期性:n N

j

2π N

旋转因子具有下列性质：

W =Wn N

n + rN N

共轭对称性:

W = (W )m N n N /r

n * N

可约性:

W =W

W =Wm rN

m N

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第二节 快速傅立叶变换(Fast Fourier Transform) Transform)FFT是对计算DFT的快速算法的总称，FFT算 法很多，最经典的一种就是库利-图基算法， 包括

基于时间抽选和频率抽选的以二为基底 的FFT算法；由以二为基底发展了任意基数 的FFT算法。

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设序列的长度N=2m,其中m为正整数，如果不满 足该条件，可以通过补零方法来达到该条件。既 然点长为偶数，就先把序列分成两组，偶数项为 一组，奇数项为一组，分别用两个序列来表示： e(r ) = x(2r ) f (r ) = x(2r + 1)N 1 n =0

N 0 ≤ r ≤ 1 2

(9-1)

则N点DFT运算也相应分为两组：nk X (k ) = DFT ( x(n)) = ∑ x( n)WN =

∑n为偶数

nk x(n)WN +

∑n为奇数

x(n)WNnk

==

N / 2 1

∑r =0r =0

x(2r )W

2 rk N

+

N / 2 1

∑r =0

x(2r + 1)WNk (2 r +1)f (r )WNk 2 r

N / 2 1

∑

2 k e(r )WN rk + WN

N / 2 1

∑r =0

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根据的可约性，有X (k ) =N / 2 1

2 rk WN rk = WN / 2N / 2 1 k N

,上式变成：(9-2)

∑r =0

e(r )W

rk N /2

+W

∑r =0

k f (r )WNkr/ 2 = E (k ) + WN F ( k )

其中 E (k ), F (k ) 分别为N / 2 1 rk E (k ) = ∑ e(r )W N / 2 r =0 N / 2 1 rk F (k ) = ∑ f (r )W N / 2 r =0

e(r ), f (r ) 的N/2点DFT:0 ≤ k ≤ N / 2 1 0 ≤ k ≤ N / 2 1

(9-3)

利用 E(k),F(k)的隐含周期性可以得到 X (k) 另外一半值. 从而得到N点DFT分解计算式：k X (k ) = E (k ) + WN F (k ) 0 ≤ k ≤ N / 2 1 k X (k + N / 2) = E (k ) WN F (k ) 0 ≤ k ≤ N / 2 1

(9-4)

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将式(9-4)用信号流图表示，如图9-2,左边表示输入， 右边表示输出，支路上的箭头表示乘法运算，乘的因 子只对有相位变换而没有幅度变换，所以被称为旋转 因子，由于此图像蝴蝶，故称为蝶形运算。一个蝶形 运算只包括一次复数乘法、两次复数加法。E(k) X (k)

F(k)

k WN

X (k + N / 2) 1

图9-2 蝶形流图

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第三节 傅立叶变换的性质(Properties of the Fourier Transform) Transform)设序列和都是N点长，它们对应的N点DFT 分别为 X (k ) 和 Y (k ),来讨论傅立叶变换的一 些性质。 1. 线性DFT ax(n) + by(n)] = aX(k) + bY(k),0 ≤ k ≤ N 1 [

a,b为任意常数。如果两个序列的长度不同 则短的序列补零使得两个序列长度相同即 可。12

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2.时间翻转特性 时间翻转特性DFT [ x ( N n)] = X ( N k )DFT 证明： [ x( N n)] = ∑ x( N n)WNnk = ∑ x(m)WN( N m) k = ∑ x(m)WNm( N k )n =0 m =1 m =1 N 1 N N

这里需要补充 x ( N ) =

x ( 0 ) 因而有 DFT [ x ( N n)] = X ( N k )

3.序列的循环移位 序列的循环移位 序列的循环移位在第六章详细介绍过， 这里简单给出循环移位的定义：f (n) = x((n + m)) N R N (n)

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上式表示的含义为，先将序列 x (n) 以N为周期进行周期 ~ 性延拓，得到 x ( n) ,然后再进行移 位，得 x 到 ~ ( n + m ) = x (( n + m )) N ,最后取主值序列，得到 f (n) 仍 然是一个N点长的序列。N 1 n=0

循环移位后的DFT为:

F ( k ) = DFT [ f ( n )] = ∑ x (( n + m )) N W Nnk R N ( n ) = W N mk X ( k )

~ nk = RN (k )∑ ~(n + m)WN = RN (k ) DFS[ ~(n + m)] = RN (k )WN mk X (k ) = WN mk X (k ) x xn =0

N 1

F ( k ) = W N mk X ( k )

因此，序列循环移位后的DFT为：

F ( k ) = W N mk X ( k )

即序列的循环移位相当于频域的相移。 即序列的循环移位相当于频域的相移。根据时域和频 域的对偶性质，则频域的循环移位对应时域的调制： 域的对偶性质，则频域的循环移位对应时域的调制：14

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mn W N x ( n) = IDFT [ X ((k + m)) N R N ( k )]

4.循环卷积 循环卷积第六章介绍了循环卷积的计算，这里考虑时域循环卷积 F ( k ) = X ( k )Y ( k ) 结果和频域的关系。设 N 1 则有: f (n) = ∑ x(m) y ((n m)) N R N ( n) (9-5) m =0 通常把式(9-5)称为循环卷积，它的结果仍然是N点长的序列, 循环卷积交换序列的先后次序得到的结果都相同。时域和频 域的对偶关系，可以得到频域循环卷积对应时域相乘：1 DFT [ x ( n ) y ( n )] = N

∑ X ( l )Y (( k l ))l=0

N 1

N

R N (k )

时域循环卷积对应于DFT的相乘，注意不要和线性卷积混淆， 两个序列线性卷积对应于DTFT的相乘：15

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DFT [ x(n) y (n)] = DFT [ f (n)] = X (k )Y (k ) DTFT [ x(n) y (n)] = DTFT [e(n)] = X (e jw )Y (e jw ) 式中 表示循环卷积运算符，式中 表示线性卷积运算符。循环 卷积和线性卷积存在一定关系，由第六章知道，循环卷积 是N点循环卷积结果，(n)序列长度为N,线性卷积 e(n) 序列长 f 度为2N-1。假设序列 f 1 ( n ) 是 x ( n ), y ( n ) 两 个序列的L点循环卷 积，L>N,就需要对 x(n), y(n) 补零，然后以L为周期进行周期 延拓, 则它们的L点循环卷积为：~ ( n ) yL 1

L

=

k = ∞L 1 +∞

∑

+∞

y ( n

+

kL

)

f 1 (n) = ∑ ~ ( m) L ~ ( n m) L R L ( n) = ∑ x(m) ∑ y ( n + kL m) R L (n) x ym =0 m =0 k = ∞

=

k = ∞ m = 0

∑ ∑ x(m) y(n + kL m)R

+∞

L 1

L

( n) =

k = ∞

∑ e(n + kL) R

+∞

L

( n)

(9-6)16

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式(9-6)表示循环卷积是线性卷积以L为周期进行周期延 拓，然后取L点主值的结果。明显，如果 L ≥ 2 N 1线性卷积 就等于循环卷积结果，如果 L < 2 N 1 ,则循环卷积是线性卷积 以L为周期延拓的混叠。

【例9-2】设有两序列分别为x ( n ) = [1,1], 1, y ( n ) = [ 2 ,3 , 4 ,5 ]2 2

求它们的线性卷积和5点循环卷积。 5 解：线性卷积 e(n) = ∑ x(m) y(n m) = ∑ y(n m) ,直接计算得

到6点序列值：

m =0

m =0

e(0) = 2 e(1) = 5 e( 2) = 9 e(3) = 12 e( 4) = 9 e(5) = 5

e ( n ) = [ 2 , 5 , 9 ,12 , 9 , 5 ]

循环卷积 f ( n ) = 如表9.2所示。

m =0

∑ x ( m ) y (( n m ))

4

5

R5 (n)

,用表格法来计算，17

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表9.2 表格法求循环卷积n 1

x (m)

1

1

0

0

f (n

)7

0

2

0

5

4

3

1

3

2

0

5

4

5

2

4

3

2

0

5

9

3

5

4

3

2

0

12

4

0

5

4

3

2

9

f ( n ) = [ 7 , 5 , 9 ,12 , 9 ]

我们利用上述结果来验证式(9-6)是否正确.对线性卷 +∞ 积结果 e(n) 以5为周期进行周期延拓,则有 f ( n ) = ∑ e ( n + 5 k ) R ( n )1 k = ∞ 5

f1 (0) = e(0) + e(5) = 7

f1 (1) = e(1) = 5f1 (4) = e(4) = 918

f1 (2) = e(2) = 9

f1 (3) = e(3) = 12

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结果和5点循环卷积相同，比较这两个卷积结果， 发现只有两点(n=0,n=5)发生了重叠，其它点 结果都相同。 5.共轭对称性 共轭对称性 我们知道任意一个信号可以表示成它的奇对称 部分和偶对称部分之和，那里的对称是关于坐标原 & 点或者纵坐标的对称性。DFT中的复序列 x(n) 和频 域 X (k ) 都是在0到N-1的范围内，因而它的对称是在 & 主值范围内的对称，称为周期共轭对称 x (n) 和周期 & 共轭反对称 x (n) ,它们的对称关系如下：e

o

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xe (n) = xe ( N n) & & & & xo (n) = xo ( N n)

0 ≤ n ≤ N 1

& xe (N ) 出现，已经超过主值范围， 严格说上式当n=0时有所以一般补充认为N点的值就等于在0点的值。 设任意有限长复序列可以分解成周期共轭对称分量和周期 共轭反对称分量之和： 其中易证

& & & x(n) = xe (n) + xo (n)1 & & & x e ( n ) = [ x ( n ) + x ( N n )] 2 1 x o ( n ) = [ x ( n ) x ( N n )] & & & 2

当 x(n) 是实数序列时，共轭可以去掉,得：

xe (n) = xe (N n) xo (n) = xo (N n)

0 ≤ n ≤ N 120

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x ( n ) = x e ( n) + x o ( n ) x e (n) = x o (n) = 1 [ x ( n ) + x ( N n )] 2 1 [ x ( n ) x ( N n )] 2

同理，频域序列也可以分解成周期共轭对称分量和周期 共额反对称分量之和： Xe (k) = Xe (N k) 0 ≤ k ≤ N 1 Xo (n) = Xo (N k)X (k ) = X e (k ) + X o (k )

周期共轭对称分量的含义是模数相等，幅角相反，周期共 额反对称分量的含义是实部相反，虚部相等。 易证明DFT的共轭对称性可以用下式表示：21

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/2cx4.html