线性二层决策问题的期望收益模型及算法

下层反应不唯一时 ,如何确定二层线性决策问题最优策略为一非确定型决策问题 .对此类问题 ,本文通过引入领导者对追随者合作程度的期望系数 ,提出期望收益模型 .利用双罚函数把该问题转换为一单层次优化问题 ,并提出一种求解问题的全局优化算法 .应用此模型分析二层线性问题可知

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第 4卷第 2期20 0 1年 4月

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J OURNAL OF M ANAGEM E NT CI S ENC N ES I CHI NA

线性二层决策问题的期望收益模型及算法。曹东 (深圳大学管理学院，深圳 5 8 6 ) 1 0 0摘要：下层反应不唯一时，何确定二层线性决策问题最优策略为一非确定型决策问题 .此如对类问题，文通过引入领导者对追随者合作程度的期望系数，出期望收益模型 .用双罚函本提利

数把该问题转换为一单层次优化问题，井提出一种求解问题的全局优化算法.用此模型分析应=层线性问题可知：对存在不确定性反应的=层决策问题，下层追随者与上层领导者的合作态度是领导者确定其最优策略的关键；对下层追随者而言，些情况下，取与领导者部分合作某采的态度对其自身收益的提高是合理的. 关键词：:层决策；不确定性反应；期望收益#对策论中豳分类号： 2; 2 . 02 5 02 1 6文献标识码} A文章缩号： 0 79 0 ( 0 1 0—0 80 1 0—8 7 2 0 ) 20 3—7者追求其自身收益最大的前提下，何决定其最如优策略以得到其最大收益 ( 大 ) _最， . 过去十多年，线性二层决策问题由于其正确地描述了管理决策问题的分散 (ee tazt n d cn rlai ) i o性特缸，管理科学和运筹学研究领域引起充分在的关注.量的研究工作围绕线性二层决策问题大在不同决策环境如何建立适合模型及具有不同特的过去一些研究工作假定下层反应是唯一 .处理实际问题时，但下层反应唯一这一假设不一定满足.当下层反应有多选择可能性时 ( lpecocs,常假设下层追随者在达到其 mu i h i )通 tl e收益最大后，选择最有利于上层领导利益的反应决策 .文称追随者的这种反应为完全合本作型反应 (oo eai eci )另一种现象为已 c—p rt erat n . v o知下层追随者与上层领导者存在敌对关系，层下反应将选取对领导者最不利的反应一这种反应，) () 1

0引言

性的二层决策问题的求解方法展开[ .已有。从 _的研究成果来看，大部分有关线性二层决策问绝题的研究工作都把该类问题归结为研究以下二层线性优化问题ma 1 Cz+ 2 x一 1

为完全不合作型反应 ( o—o p rt erat n . n nco eai ec o ) v i

st ..

∈

={∈婀： A1≤ b,≥ 0) 1

追随者完全合作和完全不合作模型只适用于上层领导者与下层追随者有合作协议和下层追随者与上层领导者存在对抗性矛盾两种特殊情况.一般情况下，上下层决策是独立进行的，下层追随者在不了解决策结果的前提下，不能确定其与上层并领导者的合作程度 .因此，以反应不确定模型描述

其中， C f一 l X+ E 2

)为上层领导者的目标函 )为上层领

数 (益)领导者的可控变量为 -收， z;身收益一

导者给定诱导决策 z后，下层追随者在追求其自 最大的反应决策，该反应决策为下子优化问题的最优解：ma x f2= cy 3 s t A3 . . Y≤ b 2一 A2 ≥ 0,∈婀 , Y

下层反应不唯一是合理的，而且能应用于一般情况下二层问题的决策分析.全合作和完全不合完作只是不确定模型的两个特例. 本文就下层反应不唯一的线性二层问题提出

线性二层决策问题在于领导者在考虑到追随①收稿日期：9 91 4修订日期；0 00— 3 19 01 I 2 0—21 . 作者筒开 r东 ( 9 2)男 t东广州^,士 t教授曹 16,广博副

下层反应不唯一时 ,如何确定二层线性决策问题最优策略为一非确定型决策问题 .对此类问题 ,本文通过引入领导者对追随者合作程度的期望系数 ,提出期望收益模型 .利用双罚函数把该问题转换为一单层次优化问题 ,并提出一种求解问题的全局优化算法 .应用此模型分析二层线性问题可知

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曹东：性二层决策问题的期望收益模型及算法线

3 9

一

描述上层领导者对下层追随者合作程度的期望

领导者的收益实现值将在 5 0到 1 O区间变动 . ) 4 2上层领导者以下层追随者完全不合作为假设制定其最优决策领导者与追随者的最优策略为 (, zY,,1Y )= (,0 0 1 ); 0 1,,0领导者的收益值至少可达到 f一 9, 0而追随者的收益实现为一 1 . 0 追随者的收益一 1的实现可在区域{, ; 0 ( Y ) Y+Y: 1, Y≥ 0内任意一点实现. 0Y,:}当追随

者以 (, Y )一 (0 0 1,)实现时 (领导者而言为对完全合作的最理想情况 )领导者收益的实现值为，

系数 (x ett n o h ere o Oo eai e p c i f te d ge f C—prt n ao o f m h ol r r tefl we)并建立一期望收益模型.用 o o利双罚函数可把二层决策问题转换为一等价单层次优化问题+基于外逼近理论，建立一求解等价单层次优化问题的全局优化方法 .应用该模型分析二层决策问题，可得到应用现有分析方法不可能得到，与实际决策原理相符合的结果：但在二层决策环境下，下层追随者采取与领导者部分合作 (即非完全合作又非完全不合作一at l￣o eain p ra c prt ) i o态度有时对其自身收益的提高是合理的.该结果

f一 10当下层追随者的合作程度介乎于完全 2.合作与完全不合作之间时，随者收益实现值总追为= 1,但领导者收益实现值将在 9 0 0到 1 0 2区间变动. 以上结果说明，由于追随者与领导者的合作

对领导者正确选定其能为下层追随者所接受的最优策略有决定意义+

1下层合作程度的期望系数及期望 收益模型本节首先从分析一简单二层线性问题出发， 了解下层反应不唯一二层问题具有的一些特性 . 在此基础上，出上层领导者对下层追随者合作提程度的期望系数.

程度不确定，以追随者完全合作或完全不合作仅作假设得到的领导者的最优决策具有片面性 .

定义卢为领导者对追随者合作程度的期望系数，≤卢 1其中， 1表完全合作， 0 0≤,卢=代卢一代表完全不合作. 问题 ( )中， 1当领导者决策给定后，随者追的反应决策为 Y∈ y( )一{ ( Y )∈ ag l: Y r mf x/ ; st A Y≤ b一 A, .. a 2 Y≥ 0 )

考虑下二层线性决策问题：ma x/ 1= 8 1+ l z x O 2+ 2】 1 )一 y(,Y (, 2 l z )

当下层反应不唯一时， )为一集合 .当追随者 y

st .. l + 2≤ 1,, 2 0 0 1≥

反应在该集合变动时，导者收益值为不确定值，领 收益值的变化区

闻为[( )一 c+ 1

其中 y x, )为以下决策子问题的反应解 ( : m x,一 Y+ Y 2 1 2,

),

),]这里() 2() 3

片( )一￣+/ ( - 1 )( )

st Y . . 1+ Y≤ 2 2 0+ l— 2 Y, 2≥ 0, 1Y

其中

对此简单二层问题，注意到以下现象：)可 1上层领导者以下层追随者完全合作为假设制定其最优决策：导者与追随者的最优策略为 (,,领而。 Y, Y ) (0 0 3,)领导者的收益值^一 1,,0 0; 1 0而追随者的收益实现为，一 3 .注意到领 4, 0但导者该收益值的实现只在追随者以 (, M Y )一 ( 0 0作为反应才能得到.而追随者实现其收益 3,)值 f一 3可在区域{M, )Y+ Y= 3,】Y 0 (弘： 2 0Y, 2≥ 0}内任意一点实现.当追随者以 (,。 Y )= (,3 )现时( 0 0实对领导者而言为完全不合作的最坏情况 )领导者收益的实现值仅为^一 5 ., 0当下层追随者的合作程度介乎于完全合作与完全不合作之间时，随者的收益实现值总为一 3 .追 0但

():[ i; ..Y∈ y() r n 2 st a C] ( )= E xc) st ma . ..Y∈ y() 2;,],. )为追随者与领导者完全合作时领导者 i 的收益实现；片 )为追随者与领导者完全不合作时领导者的收益实现.当合作程度为 0≤≤ l领导者期望收益可定义为 0 )“,一+ ( 1一卢 0 )+ ) ( .层反应不唯一，导者以 )下领其期望收益 f )大为优化目标的期望收益模 f最型 (x etdrtr o e)描述如下： e pce eunm d 1

r x片 )一 C+ ( n a 1 1一卢 0)+ )) () 4

st ..∈

一{∈飒： l≤ b, A 1z≥ 0 )

下层反应不唯一时 ,如何确定二层线性决策问题最优策略为一非确定型决策问题 .对此类问题 ,本文通过引入领导者对追随者合作程度的期望系数 ,提出期望收益模型 .利用双罚函数把该问题转换为一单层次优化问题 ,并提出一种求解问题的全局优化算法 .应用此模型分析二层线性问题可知

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(] ( )+ 1~卢 ( )— )st .. ∈一 i∈辨：A1≤ b, 】≥ 0 ) () 7

很明显，当一 1时，上模型等价于二层问题的合作反应模型；当

一 0时 .上模型等价于二层问题的完全不合作反应模型.当 0<< 1时，模

A3 Y≤ b 2一 A2,Y≥ 0∈窜 , t

型 () 4为一介于合作与不合作 (即部分合作 )之间的折衷模型 (o rmi d 1. cmpo s m0 e e )应用参数分析方法，[,]区问变动数在 o1值并求解问题 ( )得到追随者不同合作程度下 4可领导者的最优策略及领导者和追随者的收益实

其中， )定义如下： ( / ): ri + K2S x ( a nc 2 E ( )一 c ( ) a] 8 yy

S t A3≤ b一 A2 .. Y 2, Y≥ 0∈辨 , z

这里，

为非负惩罚系数 .

现 .些信息有助于领导者正确选定其能为追随这者接受的“定”的最优策略 .稳

以下两定理说明问题 ()与问题 ()的等价 6 7关系并构成求解问题 ( )效算法的理论基础： 7有 定理 1存在某一正数，使得当>>时，问题 ( )的目标函数为一连续凸函数； 7 定理 2问题 ( )的最优解必可在多面体区 7

2期望收益模型的等价数学规划问 题本节讨论如何利用双罚函数把相应于期望收

问题 ( )与问题 ( )同解 . 7 6域， 一{∈辨’,∈辨：∈ R, y , y≤岛 A3一

益模型的二层决策问题转化为一等价单层数学规划问题 .

A: ≥ 0, )的某一端点实现. 以上两定理的证明在附录给出. 从定理 1定理 2可知，、采用期望收益模型的

不失一般性，本文对线性二层问题作如下假设；

线性二层决策问题最终等价于在一多面体区域内寻求一连续凸函数目标函数最大的特殊单层数学规划问题 .

1 )问题 ( ) 4有解；2一{∈窜： 1≤ b,≥ 0为一非 ) t A 1 )

空有界域； 3给定一领导决策∈, ) 参数决策区域丘=

3全局优化算法从上节定理 1定理 2可知，、问题 ( )为线性 7二层问题的数值等价问题 .此问题为在一组线性

{∈辨： Y≤占一 A2 Y≥ 0若非空集， A3 2, )对给定∈ 及丘≠,义隐函数定( ): m x“Y () 5

必为一有界集.

约束条件下，求使

具有连续凸函数特性的目标寻函数最太的一般优化问题.该类问题从全局优化理论口来看，已有较为有效的求解方法.本文应用外逼近方法口求解 . 其基本步骤如下： 步骤 0设立一可行区域 F _的初始外逼近足T区域，该外逼近区域的顶点集合为 D.计算目标函数在各端点 (, Y )∈ D的数值 F( Ly ) x .步骤 1确定，(, )在集合 D中达最大 值的顶点 L .

st A3≤ b一 A, .. 2 2 Y≥ 0

模型 ( )可表达为下优化问题： 4ma ( x )一 c+ 2 l Y+ ( 1一卢 ( ) )I’

St ..

∈

={∈辨：

A】≤ b,≥ 0 )A3 y≤ b 2一 A2 Y,Y≥ 0 Y∈辨 ,。

() 6

(, )

求解问题 ( )的困难在于该问题中出现含隐 6函数等式约束 c a y— 0 ),函数及知.

)性质未一

步骤 2若 (,一 )为可行解 (即 L, l)∈ _ ,至步骤 4 足T转 ) .否则，步骤 3转 .

为避开以上困难，虑问题 ( )的以下罚函考 6

数表达式：ma F( )= f+犀 2+ K1 5一 x x, 1 Y

由于采用外逼近方法， , ( )算时可能无可行解 . ( ) 计 可由计算问愿 () ( )的对偶问题得到，两对俩问置要 5、8进加人充分大上界作为对偶变量的取值附加约束 .

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4— 1—

步骤 3引入切割约束， 删去不可行顶点，并产生新顶点.顶点集合 D随之刷新 .回步骤 1返 . 步骤 4最优解已求出， 停止. 顶点的产生方法可参阅文[]本文不再叙 u,述.由于可行区域 FR为有界区域， 上迭代过程必然在有限次迭代后收敛.

可能性很低 (能性小于 3%或合作程度低于可 73%) 7领导者策略的确定可以追随者完全不合作为假设.于两者之间需采用由期望收益模型优介化得到的折衷方案 . 同时，表 2领导者、随者收益变化可注意从追到，卢在区间[ . 7 0 7 3变动时，当 O 3,.8下层追随者取得

其最大收益 1 0 0 .也就是说从自身利益考虑， 下层追随者应采取与领导者部分 (部 )合作局 ( at l oo eai )的态度 . p ri -p rt n ac o考虑到这一影响因

4应用期望收益模型决策结果分析 本节应用上两节提出的期望收益模型和求解方法分析一下层反应不唯一的线性二层决策问

素，领导者应以卢= 0 7或一小于 0 7但接近 .7( .8该值的数 )为最终决策用期望合作系数，因为该数值能在追随者接受 (因：收益能达最大)的原其前提下使得领导者的真实收益最大 (稳定收一益) .

题 .过分析该问题得到期望值模型一些有现实通指导意义的基本信息，讨论如何利用这一信息并对线性二层决策问题作出合理的最优决策 . 讨论的线性二层决策问题如下：La 'x t l= 8+ 6+ 2 y1 )+ 3 y ( x1 5 0 2z)一

以上分析结论是应用传统二层决策方法分析无法得到的结果.该结果是合理的，因为下层决策者是独立进行决策的，与上层领导者合作与否及

2 z)一 1 y ( y( 6‘ )

s t X1 x≤ 1, 1 2≥ 0 ..+ z O,

合作程度多大完全从提高自身收益考虑.以，所本例子出现的与领导者部分合作对其最有利的结果，领导者必须考虑这一现实反应与实际决策及原则是相符合的.

其中 ( )= I 1,￡z,az,‘] z F ( ) Y ( )Y ( ) Y (为以 ) 下决策子问题的最优解1a T x l= l y+ l y+ l y+ 1 O 1 O 2 O 3 04

st ..

Y 1+ Y+弘+ Y≤ 1一 X 2 4 0 1一 2一

Y+ Y≤ 0 8 I 08 2 1‘ . x+ . x

5结论 本文就下层反应不唯一的线性二层问题提出一

Y 2+ Y≤ 4 4 2

Y≥ 0

设定下层追随者合作程度的期望系数卢取区

描述上层领导者对下层追随者合作程度的期望

间[,]的不同值，用期望收益模型及算法于 o1应上问题，到决策结果如表 1表 2所示 .得、 从表 1表 2结果可注意到：用期望收益模、应型分析二层决策问题时，决于追随者合作程度取期望值大小，导者有三种不同的

最优决策选择领( X ) z, ( 0。当 0≤卢≤ 0 3 1,) .7

系数 (x ett n o h e re o oo eai e pcai fte d ge f c-p rt n o o

f m h oo r并建立一期望收益模型.用 r t flwe) o e l利双罚函数可把二层决策问题转换为一等价单层次优化问题 .于外逼近理论，基建立一求解等价单层次优化问题的全局优化方法 .应用该模型分析二层决策问题，可得到应用现有分析方法不可能得到，但与实际决策原理相符合的结果：二层决策在

( 1X )一 (, ) ,2 O 0 ( X )一 (, ) z, 0 2

当 03 . 7<卢< 0 7 .8当 07 . 8≤卢≤ 1 0 .

环境下，追随者采取与领导者部分合作(下层即非完全合作又非完全不合作一 pni ooeain a a c-prt ) 1 o态度有时对其自身收益的提高是台理的.该结果对领导者正确选定其能为下层追随者所接受的最优策略有决定意义 .

也即，当追随者反应不确定时，领导者有足够把若握 (能性大于 7%或合作程度大于 7%)为可 8 8认追随者与其合作，导者策略的确定可以追随者领完全合作为假设.领导者认为追随者与其合作若

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表 l最优决策领导者的最优策略 (L, 2

追随者的完全合作反应策略(… Y, ) 1 Y 3 4 ( 0 0 0 0 ) ( 0 0 0 0 )

追随者的完全不合作反应策略( Y… Y 4 )

卢0 0 3 .O

)

( 0 0 1 ) (0 1 0 )

( 0 0 0 0 ) ( 0 0 0 0 )

O 3 .70 3 .8 O S .0

( 0 0 1 )( 0 0 ) ( 0 0 )

( 0 0 0 0 )(O 0 0 0 1 ) (0 0 0 0 1 )

( 0 0 0 0 )( 0 1 0 0 0 ) ( 0 1 0 0 0 )

0 7 .70 7 .8 0 8 .0

( 0 0 )( 2 0 ) ( 2 O )

(O 0 0 0 1 )( 8 0 0 0 ) ( 8 0 0 0 )

( 0 l 0 o 1 O )(

0 6 4 1 6 0 . . ) ( 0 6 4 1 6 0 . . )

l0 _

( 2 O )

( 8 0 0 9 )

( 0 6 4 16 0 . . )

表 2领导者与追随者的收益实现 追随者完全合作时领导者的收益实现追随者完全不合作时领导者的收益实现领导者真实收益追随者收益实现

O 0 0 .3 0 .37 O 8 .3 0 0 .5 O 7 .7 0 8 .7 0 0 .8 1. 0

8 0 8 0 8 O 20 5 2O 5 Z0 5 22 5 22 5 22 5

8O 80 80 — 2 0 2 0 2 0— 26 .4 26 .4 26 .4

8 0 8 0 8 O 82 .6 l15 1 .9 87 l . 90 75 l . 96 32 25 2

0 O 0 10 0 l0 0 l0 O 8O 8O 80

*注：明显，很当追随者与领导者的合作程度确实为，领导者的期望收益 f )就是其真实收益 f也

参考文献[] A n nMigm r s T L 1 n ad n a GtF i z .Hi aci l pi zt n e e rhc t ai{AnIt d co[] r a o mi o nr ut n J .An aso p rt n sac o i nl fO eai sReer o hl 2;}— l 99乳 l l

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E] Ba s F, awa H.Tw— vlier rga r ia l W K r nM ol e L a pormmig J . aae n c ne 1 8,0 1 0—0 0 e n n[] M ngme t i c, 9￣ 3: 0 412 Se[] C n l,T w s yR.Ln a t— vl rga 8 a de W r o nl e ier wol e pormmigpol J .C mp tr n p rt n eerh 9 2 9 e n rb m[] o ue dO eai sR sac,1 8, e a o( ): 5— 6 1 97

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E 0 Hos H, u .Go a o t zt nd t miii a poc e[ 3 el:S r grVe/,1 9 l] rt T yH lbl pi ai ee nsc p rah sM .B rn pi e r g 9 0 mi o r t i n a[ 1 H r 1] os R,V i - o i t r sJ Tha N V.O id gnw v rcsa drdn a t o s ansi ctn l ea oi m

sfr e nf i e et e n eu dn nt it n ut g p n l r h o nn i c r i a g t g b l pi zt n J.O eai sR sac etr, 9 8 7 8 0 l a o t ai ] prt n eerhL t s 1 8,:5 9 o mi o o e[ L e bre Lna n o l erpo rmmig J .R aig Ad i n Wel u lhn o a y 4 I] un ef r G, i radn ni a rga 2 D e n n[] edn: ds— s yP bi igC mpn .18 o e s 9

An e p c e— e u n m o e o i e r b l v l p o l m s wih u c r a n x e t d r t r d l f r ln a ie e r b e t n e t i r a to n t o to r c du e e c i n a d is s l i n p o e r uCAO n Do gS h o fM a a e n,S e z e ie st c o l n g me t o h n h n Un v r i y,S e z e 1 0 0 h n h n 5 8 6,Ch n ia

Ab ta t sr c: Th sp p r p o o e o e p ce— e u n mo e o n a i v l r b e t n e t i e c i a e r p s s a x e td r t r d l r l e r bl e p o lms wi u c r an r a f[ e h

1 n fo fl we. U s g d u l p n l u cin,t eblv lp o lm sta so me n o asn l ee i r m ol o o r i o b e e at f n t s h i e r be i r n fr d it ige lv l n y o eo t z t n p o l m. A l b l o t z t n p o e r s d v l p d t i d t e o t pi a i rbe mi o g o a p i a i r cdu e i e eo e o f h p i ld cs n I i mi o n ma e ii . t s o s o h t sn h smo e, h e r eo o o e a i n fo t ef l we ly e o ef r h a e O h wn t a i g t i d l t ed g e fc - p r to r m h o l u o rpa sa k y r l o e l

d rt t e d t r n i p i a sr t g e e mi e h so t m 1 ta e y,a d t a h o bwe t a d l O o e ai n wih t e la e a a e . n h tt e f l rwi a p r a — p r t t h d rm y h v h C o ehs m o tf v rt to e i s a o leou c m .

Ke o d; b lv l r b e;u c r an r a t n;e p c e e u n;g me t e r y w r s i e p o lms n e t i e c i e o x e td rt r a h o y

附录：理 1 2明定、证定理 1

证明定理 1证明由以下三部分组成：)当的 1于 ) )存在某一正实数 l,;3’使得当>

>时，问题 ( )的目标函数为一连续凸函数； 7 ,> 及 K>。,时问题 ( )问题 ( )具 7与 6

2 )存在某一正实数 K, 使得对任意∈{ ∈辨：∈及≠ )当> K ,时 .v )厂工等价 有相同解 .

1 )从对偶原理可直接得出给定任一 3∈{辨； 及≠ )隐函数 s )为一连续； z∈ 2 tz∈,凹函数，且 ( )可表达为， ( )= K )+ s口 )一 ma v A一 ) x ( z

),其中

)为定义如下的连续凸函数

St

口且≤ c 2一 K2,口≥ 0

因此，问题 ( )的目标函数当 K 7>。为连续凸函数.时 2 )本部分只需证明存在某一正实数，任意∈{∈辨：∈及丘≠ )当>对 ,时，问题 ( )中的惩罚项 I ( )一 c 8 - x s s]等于 0 y . 定义 y (为问题 ( ) ) 2的最优解； ( )为问题 ( )的最优解 .明显可知 y’ )问题 ( )的可 8 为 8行解，有 (且 )一立：

(]一 0由罚函数理论[ 2可知， ) . 1]给定任一非负惩罚系数，不等式成下 ( )+ K 5 )一 c )≤ f’ ) ( s y] 2’ (.) R 1

问题 ( ) 8为一线性规划问题，优解 Y )必可在多面体的某一顶点实现 .定义 V为使得不等式最

下层反应不唯一时 ,如何确定二层线性决策问题最优策略为一非确定型决策问题 .对此类问题 ,本文通过引入领导者对追随者合作程度的期望系数 ,提出期望收益模型 .利用双罚函数把该问题转换为一单层次优化问题 ,并提出一种求解问题的全局优化算法 .应用此模型分析二层线性问题可知

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管理科学学报

2 0年 4月 01

) c]>

0成立的顶点集合 .一。 及 1 ml S( )一 QY]一 n E x s t Y∈ V . ..

2 mi z’一 n cys t Y∈ Ex .. .

设定 K一[ () Y 的实现值 .

] ./选择 K。>

,察目标函数’考 ( )+ K

) 一

’] ( )

假设 E ( )一 c (]> 0 Sx。 ) .则有 c ( ) K2S( )一 c (]> c ( z+ x E。 ) )+ K2 一c ( 2 )+ (’ )一由于 (~ cy )/≥ 1可得 ) s], c 2 最终由于 )+ K2S( )一 c‘ ) E x ]> c ( 2 )+ E2 )一 2 cy’ ] )]> cy 2 ) )]> 0不成立 .由 ( )的定义可知 ( ) (]必为 0 ) . ∈ 及丘≠ )界，有因’ ( )≥,下不等式成立： c ( 2 )+ K (’ )一 c 3 ( ) ( x XcY ) ( )一 cy ) s (] 2/ 1]

上不等式与 ( 1 R. )矛盾，即假设 (也 )一 QY c (]≥ 0所以， K托时，罚项[ )。 )。,当>惩 (

以上确定的 K值取决于领导者决策 x,但注意到可行域{ x∈婀的惩罚项必为 0 .

此必存在某一正实数 K,使得对任意∈{婀 X∈∈ 及 E≠}当 K K时 . ,>问题 ( )中 8 3 )注意到当 K K .>时问题 ( ) 7为在一有界多面体上求连续凸函数最大，全局优化理论口其据。,

最优解可在多面体的某个顶点实现 .因此 .第三部分的证明与第二部分证明相类似 .因此，定 K一 ma{设 x K, K ),取 K K K>> .同题 ( )与问题 ( )相同解 . 7 6有定理 2

证明定理 2的证明可由全局优化理论口得到.(接第¨页 )上

[金菊良. 1] 7魏一鸣.基于遗传算法的神经网络及其在洪水灾害承灾体易损性建模中的应用D] .自鼻灾害学报曩1 9 7 2:5—6 9 8。 ( ) 6 3 6 0

[8金菊良. 1]魏一鸣.基于遗传算法的洪水灾害灾情评估模型探讨[] J.灾害学， 98 i ( ) 61 i 9, 2:- 1 3[9成思危 .复杂科学与系统工程[] 1] J管理科学学报，

1 9 . () 17 9 2 2:- 9

S s e h o y f r rs n l ss o l o ia t r y t m t e r o ik a a y i f f o d d s s ew EIYim ig - n,FAN Yig n,JI Ju l n 2 N—i g a1 I si t fP l y& Ma a e n, ieeAc d my o ce c s ej g 1 0 8,Chn .n t u eo oi t c n g me t Ch n s a e f in e,B in 0 0 0 S i ia2 S c u n Un v r i . i h a i e st y,C n d 1 0 5 he g u 6 0 6,C i a hn

Ab t a t sr c: F o t e v e on fs se t e r r m h iwp i t y t m h o y,t e c n e t flr e c mp e y t m f o d d s s e o h o c p a g o lx s s e o o i t ri o l f a s p tf r r d,o ih i b s d t v si a e t e c a a t rsis a d f n a n a o t n sa o t t e r k u o wa n wh c s a e o i e t t h h n g r c e i c n u d me t l n e t b u h i t c s a ay i f r f o ia t r n lss o l d d s s e .Th a a d a ay i o o d a d v le a i t n lsso l d ds se— fe td o e h z r n l s ff o n un r bl y a a i ff o i t ra fc e s l i y o a b y a l a s v l a i n o lo i se s t k n a h e o t n sa e s s e ai al e c ie . d o swel s l ee au t f o d ds t r a e st e k y c n e t l y t m t l d s rb d o o f a c y Ke o d: f o i se;r k ma a e n;c mp e y t m yw r s l d d s t r i n g me t o lx s se o a s

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