05-06(2)高等数学试题(B)解答

更新时间：2024-04-20 09:49:01 阅读量：综合文库文档下载

说明：文章内容仅供预览，部分内容可能不全。下载后的文档，内容与下面显示的完全一致。下载之前请确认下面内容是否您想要的，是否完整无缺。

高等数学二专升本试题解答推荐度：
相关推荐

学院领导审批并签名

B 卷姓专学业广州大学2005-2006学年第二学期考试卷

班名级院

高等数学（90学时）参考解答与评分标准

题次一二三四五六七八总分分数 20 10 21 21 14 14 100 得分评卷人一．填空题（每空2分，本大题满分20分）

1. 设z?x2?lnx?z1?2z1y, 则?x?2x?xy, ?x?y?xy2. 2. 曲面z?xy在点(1,2,2)处的法向量n??(2,1,?1), 切平面方程为

2x?y?z?2.

3. 设L为曲线y?x2上从点(0,0)到点(1,1)的一段弧, 则ds?1?4x2dx,

?L1?4yds?73. ??(?1)n?14. 级数当p?(1,??)时绝对收敛, 当p?(0,1]时条件收敛n?1np. 5. 微分方程y???3y??2y?0的通解为y?C1ex?Cx2e2, 满足初始条件y(0)?0, y?(0)?1的特解为y?e2x?ex.

高等数学试卷(B卷) 第 1 页共 6页

二．选择题 (每小题2分, 本大题满分10分)

1. f(x,y)在点(x0,y0)可微是偏导数fx(x0,y0)和fy(x0,y0)存在的( A ). (A) 充分条件; (B) 必要条件; (C) 充要条件; (D) 无关条件. 2. lim1?xy?1xy??02x?( B ).

(A) 0; (B) 1; (C) 2; (D) ?.

3. 设L为正向单位圆周, 则?(2x?y)dx?(3x?y)dy?( L(A)

?; (B) 2?;

??nx2n的收敛半径是( C ). n?14n(A) R?4; (B) R?14; (C) R?2; (D) R?12.

5. 方程xy(dx?dy)?y2dx?x2dy是( B ). (A) 可分离变量的微分方程; (B) 一阶齐次微分方程; (C) 一阶线性微分方程; (D) 全微分方程.

高等数学试卷(B卷) 第 2 页共 6页

D ).

三．解答下列各题（每小题7分，本大题满分21分）

y?z?2z1. 设z?f(xy,), 求和 (其中f(u,v)具有二阶连续偏导数).

x?x?x?y?z?z?u?z?vy?????yf1??2f2?.........................................................3分 ?x?u?x?v?xx?f1?1?2zy?f2??? ……………………………………...4分 ?f1?y?f2?2?x?y?yx2x?y11y1???f12??]?2f2??2[xf21???f22??]…………..……6分 ?f1??y[xf11xxxx1y???3f22??……………………………………….7分 ?f1??2f2??xyf11xx解

2. 已知z?f(x,y)是由方程z4?2z2?4xlny确定的隐函数, 求z?f(x,y) 的偏导数和全微分.

解记F?z?2z?4xlny，则

424x3, Fz?4z?4z…………………….…………2分 yFyFx?zlny?zx , ……………………..…....5分 ???3????xFzz?z?yFzy(z3?z)?z?zlnyxdz?dx?dy?3dx?dy…………………………7分 3?x?yz?zy(z?z)Fx??4lny, Fy??

3. 求f(x,y)?e?x?y?5y的极值.

x??fx?e?1?0解令?， 4f?5y?5?0??y得驻点(0,1),(0,?1)……………………………………………………………...3分

x5 A?fxx?ex, B?fxy?0, C?fyy?20y

3D?AC?B2?20y3ex……………………...……………………………4分在点(0,1)处，D?20?0，且A?1?0，f(0,1)??3为极小值…………6分在点(0,?1)处，D??20?0，f(0,?1)不是极值…………………………..7分

高等数学试卷(B卷) 第 3 页共 6页

四．解答下列各题（每小题7分，本大题满分21分）

1. 设二次积分I??dy?011yf(x,y)dx. 1) 画出二次积分I中的积分区域D;

2) 改换二次积分I的积分次序; 3) 将二次积分I化为极坐标形式的二次积分. 解 1）作图从略………………………...…………………………………………2分 2） I?3） I? 2. 计算闭区域. 解

??10dx?f(x,y)dy…………..…..………………………………………..4分

0x?40d??sec?0f(?cos?,?sin?)?d?…...…..…………………………..7分

zdxdydz, 其中?是由曲面z?x????2?y2及平面z?4所围成的有界

?z???z?d?d?dz…………………….………………………..2分 zdxdyd????? ??2?0d??d??2z?dz…………………………………………….…………4分

024? ?? ??20(16???5)d?………………………...…………………………….….6分

64?………………………………………………………………………….7分 3

3. 证明曲线积分

?(2,3)(1,1)(2xy?y3)dx?(x2?3xy2)dy与路径无关,并计算积分值.

3?P?2x?3y2 ?y?Q2?2x?3x2y,?2?x3 Q(x,y) y?x?P?Q??,?曲线积分与路径无关…………………………………………..3分 ?y?x解 P(x,y)?2xy?y,

原积分=?(2x?1)dx??(4?6y2)dy1123……………………………………..7分

??42

高等数学试卷(B卷) 第 4 页共 6页

五．解答下列各题（本大题满分14分）

1. (本题6分)

(?1)n判别级数?是绝对收敛, 条件收敛, 还是发散?

n?2lnn??111解记un?, 则un?, 又?发散,

lnnnn?2n所以原级数不是绝对收敛…………………………………………………………3分 un?0, 且un?un?1, 因 limn??所以原级数条件收敛………………………………………………………………6分

2. (本题8分)

(?1)n将函数f(x)?arctanx展开成x的幂级数, 并求级数?n的和.

3(2n?1)n?0??1解 f?(x)???(?1)nx2n, （|x|?1）……………………………..2分 21?xn?0 f(x)?f(0)?x??x0f?(x)dx

n2n?nx2n?1, （|x|?1），………….4分 ??[?(?1)x]dx??(?1)02n?1n?0n?02n?1?nx因f(x)在点x??1处连续，而?(?1)在点x??1处收敛， 2n?1n?02n?1?nx从而 f(x)??(?1) （|x|?1）………………………………….5分 2n?1n?0?(?1)n于是 ?n

3(2n?1)n?0(?1)n?1??3??????2n?1n?0?3??2n?1…………………………………………………6分

?3f(

13)?3?…………………………………………………….…8分 6

高等数学试卷(B卷) 第 5 页共 6页

六．解答下列各题（本大题满分14分）

1. (本题6分) 求微分方程y'?解通解为

1ycosx?的通解. xx1y?e ???xdxcosx?xdx[?edx?C]……………………………………….…...3分

x1[cosxdx?C]……………………………..………………………...5分 x?1x?C)…………………………………………………………….6分 ?(sinx

2. (本题8分)

假定物体在空气中的冷却速度是正比于该物体的温度和它周围的空气温度之差，若室温为20c时，一物体由100c冷却到60c须经过20分钟，问共经过多少时间方可使此物体的温度从开始时的100c降低到30c. 解设在时刻t物体的温度为T(t)，则有

00000dT??k(T?20)………………………………………………………2分 dt且T(0)?100，T(20)?60

dT??kdt 分离变量得