自动控制原理答案 郑有根
更新时间:2023-03-18 01:41:01 阅读量: 综合文库 文档下载
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第1章 控制系统的基本概念 1.5 图1.1所示的转速闭环控制系统中,若测速发电机的正负极性接反了,试问系统能否正常工作?为什么?
+ E 电位器 + _ + ug + + ue 电 压 功 率 ua 放大器 放大器 nM电动机 Mc _ _ _ 负载 uf + _ 测速发电机 图1.1 直流电动机转速闭环控制系统
解:若测速发电机的正负极性接反,偏差电压则为
ue?ug?uf因此,系统不能正常工作。
系统将由负反馈变为正反馈,而正反馈不能进行系统控制,会使系统的偏差越来越大。
1.9 仓库大门自动控制系统原理如图1.8所示。试说明仓库大门开启、关闭的工作原理。如果大门不能全开或全关,应该怎样进行调整?
图1.8仓库大门自动控制系统
解 当给定电位器和测量电位器输出相等时,放大器无输出,门的位置不变。假设门的原始位置在“关”状态,当门需要打开时,“开门”开关打开,“关门”开关闭合,给定电位器和测量电位器输出不相等。电位器组会测量出开门位置与大门实际位置间对应的偏差电压,偏差电压经放大器放大后,驱动伺服电动机带动绞盘转动,将大门向上提起。与此同时,和大门连在一起的电刷也
向上移动,直到电位器组达到平衡,即测量电位器输出与给定电位器输出相等,则电动机停止转动,大门达到开启位置。反之,当合上关门开关时,电动机带动绞盘使大门关闭,从而可以实现大门远距离开闭自动控制。系统方框图如图1.9所示。
如果大门不能全开或者全闭,说明电位器组给定的参考电压与期望的开门位置或关门位置不一致,应该调整电位器组的滑臂位置,即调整“开门”或“关门”位置对应的参考电压。
给定电位器
开门位置、 关门位置对应的电位 ue - 放大器 电动机 绞盘 大门 实际位置 测量电位器 图1.9 仓库大门自动控制系统方框图
第2章 自动控制系统的数学模型 2.1 求图2.1中RC电路和运算放大器的传递函数Uo(s)Ui(s)。 解:(a)令Z1=
11Cs?R1为电容和电阻的复数阻抗之和;Z2=R2为电阻的复数阻抗。由此可求得
传递函数为:
G(s)?Uo(s)Z2R2R1R2???
1Ui(s)Z1?Z2Cs??RR1Cs?R1R2?12R1(c) 该电路由运算放大器组成,属于有源网络。运算放大器工作时,A点的电压约等于零,称为虚地。输入、输出电路的复数阻抗Z1和Z2分别为 Z1=R1,Z2=R2?1。又由虚短得 C2sUi(s)?U(s)??o Z1Z2故有
G(s)?2.4 已知某系统满足微分方程组为
Uo(s)Z2R2C2s?1 ??Ui(s)Z1R1C2se(t)?10r(t)?b(t) 6dc(t)?10c(t)?20e(t) dt20db(t)?5b(t)?10c(t) dt试画出系统的结构图,并求系统的传递函数C(s)R(s)和E(s)R(s)。
解:在零初始条件下,对上述微分方程组取拉氏变换得:
E(s)?10R(s)?B(s) (6s?10)C(s)?20E(s) (20s?5)B(s)?10C(s)
每个等式代表一个环节,且系统的输入信号为R(s),输出信号为C(s),E(s)是偏差信号。根据各环节输入、输出变量之间的关系式,推出系统动态结构图,如图2.9所示。
R(s) 10 E(s) B(s) 206s?10C(s) 连杆、电10 20s?5图2.9 题2.4系统动态结构图
化简动态结构图,可得系统传递函数为
2010?C(s)200(20s?5)20(20s?5)6s?10 ???22010R(s)1?(6s?10)(20s?5)?20012s?23s?25?6s?1020s?5E(s)?R(s)1?
2.5 简化图2.10所示系统的结构图,求输出C(s)的表达式。
1010(6s?10)(20s?5)120s2?230s?50?? 22010(6s?10)(20s?5)?20012s?23s?25?6s?1020s?5图2.10 系统结构图
解:本系统为多输入-单输出系统,可利用线性系统的叠加定理,分别求取各个输入信号作用下的输出,其和即为所求的系统总输出。系统动态结构图可化简为图2.11(a)。
D1(s) R(s) + -G1(s)+ 1?G1(s)H1(s)+ -+ G2(s) H2(s) H4(s) (a)
+ -C(s) G3(s)G4(s) 1?G4(s)H3(s)D2(s) 图2.11 题2.5系统结构图等效过程
考虑到输入信号D1(s)附近相邻的相加点可交换,将系统结构图图2.11(a)简化为图2.11(b)。
D1(s) R(s) + -G1(s)+ 1?G1(s)H1(s)+ G2(s) 1?G2(s)H2(s)+ -C(s) G3(s)G4(s) 1?G4(s)H3(s)D2(s) H4(s) (b)
图2.11 题2.5系统结构图等效过程
1) 求输入信号R(s)用下的输出CR(s),此时假定其他两个输入为零,即D1(s)= D2(s)=0,则根据系统结构图2.11(b),化简可得
G1G2G4??G3?1?G1H11?G2H21?G4H3C(s)?R(s)?R?G4R(s)1?G1?G2?G3??H4
1?G1H11?G2H21?G4H3?输出CR(s)为
G1G2G3G4(1?G1H1)(1?G2H2)(1?G4H3)?G1G2G3G4H4CR(s)??R(s)R(s)
2) 求输入信号D1(s)用下的输出CD1(s),此时假定R(s)= D2(s)=0,则系统结构图可等效为图
D1(s) -G2(s) 1?G2(s)H2(s)G3(s)G4(s) 1?G4(s)H3(s)C(s) G1(s) 1?G1(s)H1(s)(c)
H4(s) 图2.11 题2.5系统结构图等效过程
2.11(c)。 化简可得
GGG2?341?G2H21?G4H3C(s)?D1(s)?D1?D1(s)1?G1?G2?G3G4?H4
1?G1H11?G2H21?G4H3?输出CD1(s)为
G2G3G4(1?G1H1)(1?G1H1)(1?G2H2)(1?G4H3)?G1G2G3G4H4CD1(s)??D1(s)D1(s)
3) 求输入信号D2(s)用下的输出CD1(s),此时假定R(s)= D1(s)=0,则系统结构图可等效为图
2.11(d)。
D2(s) --G3(s)G4(s) 1?G4(s)H3(s)C(s) G2(s) 1?G2(s)H2(s)G1(s) 1?G1(s)H1(s)(d)
图2.11 题2.5系统结构图等效过程
H4(s) 化简可得
G3G41?G4H3C(s)?D2(s)?D2??GGG1G2D2(s)1???34?H4
1?G1H11?G2H21?G4H3??G3G4(1?G1H1)(1?G2H2)(1?G1H1)(1?G2H2)(1?G4H3)?G1G2G3G4H4
输出CD2(s)为
CD2(s)??D2(s)D2(s)
4)综上所述,本系统的总输出为
C(s)?CR(s)?CD1(s)?CD2(s)
图2.12 控制系统结构图
2.6 简化图2.12所示各系统的结构图,并求出传递函数C(s)R(s)。
解:图2.12(a)是具有交叉连接的结构图。为消除交叉,可采用移动相加点、分支点的方法处理。图中a、b两点,一个是相加点,一个是分支点,二者相异,不可以任意交换,但可以相对各串联环节前移或后移,如图2.13(a)所示。
求解步骤:
(1)将分支点a后移,等效图如图2.13(b)所示。 (2)将相加点b前移,等效图如图2.13(c)所示。
(3)将相加点b与前一个相加点交换,并化简各负反馈及串、并联环节,得图2.13(d)。 (4)化简局部负反馈,故得图2.13(e)。
(5)前向通道两环节串联,再化简单位负反馈系统,得到系统(a)的闭环传递函数为
G1G2(1?G3G4)1?G2G3H1?H2?G3G4H2G1G2(1?G3G4)C(s)??
GG(1?GG)R(s)1?1?G2G3H1?H2?G3G4H2?G1G2(1?G3G4)12341?G2G3H1?H2?G3G4H2
H1(s) R(s) --b +G1(s) G2(s) -a G3(s) G4(s) C(s) H2(s) (a)
H1(s) R(s) --b 1 G3(s)G1(s) G2(s) G3(s) -a G4(s) +C(s) H2(s) (b)
H1(s) R(s) --1 G3(s)G1(s) b -G2(s) G3(s) a G4(s) +C(s) 1 G2(s)(c)
H2(s) R(s) -G1(s) -G2(s)G3(s) 1?G2(s)G3(s)H1(s)H2(s) G2(s)(d)
1?G3(s)G4(s) G3(s)C(s) R(s) -G1(s) G2(1?G3G4) 1?G2G3H1?H2?G3G4H2C(s) (e)
图2.13 题2.6(a)系统结构图简化过程
2.10 分别用结构图变换法及梅逊公式求图2.21所示各系统的传递函数C(s)R(s)。 (a) 解:
1) 结构图变换法
如图2.22(a)所示,虚线框内部分为典型的负反馈环节,因此系统动态结构图的等效变换如图2.22(b)所示。系统闭环传递函数为
G1(s)G1(s)(1?G2(s))C(s)??R(s)1?G(s)?G2(s)1?G2(s)?G1(s)G2(s)11?G2(s)R(s) -G1(s) + C(s)
R(s) -G1(s) C(s)
G2(s) (a)
G2(s) 1?G2(s)(b)
图2.22 题2.10(a)系统结构图等效变换
(e)
解:结构图变换法
为解除交叉连接,可分别将相加点a前移、分支点b后移,如图2.26(a)所示。 动态结构图的等效变换见图2.26(b)、(c)、(d)。系统闭环传递函数为
G(s)G4(s)G1(s)G2(s)?31?G1(s)G2(s)1?G3(s)G4(s)C(s)?R(s)1?G1(s)G2(s)?G3(s)G4(s)?G1(s)G4(s)?11?G1(s)G2(s)1?G3(s)G4(s)G1(s)G4(s)G(s)G4(s)G1(s)G2(s)?31?G1(s)G2(s)1?G3(s)G4(s)?G3(s)G2(s)G(s)G4(s)?11???11?G1(s)G2(s)1?G3(s)G4(s)1G1(s)G2(s)G3(s)G4(s)1?G1(s)G2(s)?G3(s)G4(s)?G1(s)G2(s)G3(s)G4(s)?G1(s)G2(s)G3(s)G4(s)?G2(s)G3(s)?
G1(s)G2(s)G3(s)G4(s)1?G1(s)G2(s)?G3(s)G4(s)?G2(s)G3(s)①-R(s) AB-+G1(s) ③++CC(s)②-+G2(s) 连杆、电位器 (a) G2(s) G2(s) R(s) A-B①-②+-G1(s) ③++CC(s) G1(s) ++G2(s) -G1(s) (b)
G2(s)?1 R(s) -G1(s) 1?G1(s)G2(s)G2(s) 1?G1(s)G2(s)++C(s) G1(s)?1 (c)
R(s) -(G2(s)?1)G1(s)(G1(s)?1)G2(s) ?1?G1(s)G2(s)1?G1(s)G2(s)C(s) (d)
图2.25题2.10(d)系统结构图等效变换
2.12 已知各系统的脉冲响应函数,试求系统的传递函数G(s)。 (2)g(t)?2t?5sin(3t?解:(2) 方法1:
?3)
????g(t)?2t?5sin(3t?)?2t?5sin?3(t?)?
39??在零初始条件下,等式两端取拉氏变换,根据拉氏变换的时域平移定理,得
?s23G(s)?2?522e9
ss?3由欧拉公式ej??cos??jsin?,且s?j??j3,j?s/3,则有
??j3?j232323139G(s)?2?52e?2?52e3?2?52(?j)ss?9ss?9ss?922
231s325(3?3s)?2?52(??)?2?ss?9232s2(s2?9)方法二
根据三角函数的求和定理,系统的脉冲响应函数可展开为
g(t)?2t?5sin(3t?)?2t?5(sin3tcos?cos3tsin)333
13?2t?5(sin3t??cos3t?)22在零初始条件下,等式两端取拉氏变换,得
???G(s)?253325(3?3s) ?(?s?)?2?222ss?922s2(s?9)第3章 控制系统的时域分析法
3.2 某单位负反馈系统的开环传递函数为
GK(s)?K
s(0.1s?1)试分别求出K?10s–1和K?20s–1时,系统的阻尼比?和无阻尼自然振荡角频率?n,及单位阶跃响应的超调量?%和调节时间ts。并讨论K的大小对过渡过程性能指标的影响。
解:系统闭环传递函数为
?(s)?二阶系统标准的零极点表达式为
K10K?
0.1s2?s?Ks2?10s?10K2?n,闭环传递系数K=1 ?(s)?22s?2??ns??n 比较可得,系统的性能参数为
?n=10K,??5 10K且有??n?5,说明K值的大小对系统的快速性影响较小。
(1)当K=10时,系统闭环传递函数为:
?(s)? 系统的性能参数为
100
s2?10s?100?=0.5,?n=10
系统相关动态性能指标为
?%?e???ts?(2)当K=20时闭环传递函数为:
1??2?100%?25.7%
(??5%)
3??n?0.6s?(s)? 系统的性能参数为
200 2s?10s?200?n=102,??系统相关动态性能指标为
2 4?%?ets????1??2?100%?35.4%
3??n(??5%)?0.6s
由以上分析可见,增大系统开环传递系数K,将增大系统超调量,使系统振荡加剧,对系统的动态性能不利。
3.4 如图3.3所示,若某系统加入速度负反馈?s,为使系统阻尼比??0.5,试确定(1)?的取值;(2)系统的动态性能指标?%和ts。
图3.3 加入速度负反馈的系统
解:(1)该控制系统的闭环传递函数为
1010s(s?1)?(s)??2
105?s?(1?5?)s?101??s(s?1)s?1与二阶系统标准的零极点表达式比较,可得
2??n?1?5?
并考虑到:?n?10,??0.5,所以
??(2)系统的动态性能指标如下
10?1?0.432 5?%?ets????1??2?100%?25.7%
3??n(??5%)? 1.9s
3.5 实验测得单位负反馈二阶系统的单位阶跃响应曲线如图3.4所示。试确定该系统的开环传递函数GK(s)。
图3.4 二阶系统的阶跃响应曲线
解:由图3.4所示,可知二阶系统的单位阶跃响应峰值时间为
tp???n1??2?3.14?n1??2?0.2s
?%?e联立以上方程可得:
???1??2?100%?1.25?1?100%?25%1??0.515,?n=18.33
并由于系统的单位阶跃响应稳态值为1,说明系统的闭环传递系数K=1,故求得系统闭环传递函数为
2K?n335 ?(s)?2?2s?2??ns??ns2?18.88s?335系统为单位负反馈结构,因此有
?(s)?推出系统开环传递函数如下
GK(s)
1?GK(s)2?n?(s)335 GK(s)??2?21??(s)s?2??nss?18.88s
3.7 已知单位负反馈系统的开环传递函数为 (1)GK(s)?205s?1 (4)GK(s)?3
s(s?1)(s?5)s(s?1)(s?2)试分别用劳斯判据判定系统的稳定性。
解:(1)系统闭环传函为:
?(s)?3220 32s?6s?5s?20闭环特征方程为:s?6s?5s?20=0,列劳斯表如下
s3
1 5 6 20
s2
s1
6?5?20?15?
6320
s0
由于劳斯表的第一列系数均大于零,故该系统稳定。 也可直接利用基于劳斯判据的三阶系统稳定性结论,如下:
三阶系统特征方程为a3s?a2s?a1s?a0?0,则系统稳定的充分必要条件为:a3、a2、a1、
32a0均大于0及a1a2?a3a0。
对于本系统有:特征方程所有系数均大于零,且6?5?1?20,因此系统稳定。 (4)系统闭环传函为:
?(s)?系统闭环特征方程为
5s?1 543s?3s?2s?5s?1s5?3s4?2s3?5s?1=0
因为特征方程缺相(缺s),故该系统不稳定。 3.9 设单位负反馈系统的开环传递函数分别为 (1)GK(s)?2KK (2)GK(s)? (3)
(s?2)(s?4)s(s?1)(0.2s?1)试确定使系统稳定的开环增益K的取值范围。
解:(1)该系统的闭环传函为:
?(s)?闭环特征方程为:
K
s2?6s?8?Ks2?6s?8?K=0
对于二阶系统,如欲使闭环系统稳定,则保证特征多项式的每个系数都大于零即可:
8+K>0 K>-8
3.11 设单位负反馈系统的开环传递函数为
GK(s)?Ks(s?12)
(s?5)(s?3)(s?6)若要求闭环特征方程根的实部分别小于0、-1、-2,试问K值应怎么选取?
解:该系统的闭环传函为
?(s)?特征方程为
Ks(s?12)
s3?14s2?63s?90?Ks2?12Kss3?(14?K)s2?(63?12K)s?90?0
欲闭环特征方程根的实部小于0、-1、-2,实际上就是使闭环特征方程根具有相应的稳定裕量(? =0、1、2),可利用劳斯判据确定对应的K值。
1) 使闭环特征方程根的实部小于0
即求使系统保持稳定的K值。由系统的闭环特征方程,有
?14?K?0? 即 ?63?12K?0?(14?K)?(63?12K)?90?求得满足条件的K值为
?K??14??K??5.25?K??14.79,or?
K??4.46K??4.46
2) 使闭环特征方程根的实部小于-1
进行坐标变换,令s=z-1,代入闭环特征方程得
z3?(11?K)z2?(38?10K)z?(40?11K)?0
根据劳斯判据,欲使该系统在z域稳定的条件是
?11?K?0?38?10K?0?即 ??40?11K?0??(11?K)?(38?10K)?40?11K则在s域中满足条件的K值为
?K?K???K??K??11??3.8?3.64??13,or
K??2.9?2.9?K?3.64
3)使闭环特征方程根的实部小于-2
进行坐标变换,令s=z-2,代入闭环特征方程得
z3?(K?8)z2?(8K?19)z?(12?20K)?0
根据劳斯判据,欲使该系统在z域稳定的条件是
?K?8?0?8K?19?0?即 ??12?20K?0??(K?8)?(8K?19)?12?20K则在s域中满足条件的K值为
?K??8?K??2.38???K?0.6?o,r?K??11.33
K??1.54?1.54?K?0.6
由以上分析可见,对闭环系统的稳定性要求越高,则系统传递系数的取值范围越小。
3.12 已知单位负反馈系统开环传递函数 (1)GK(s)?2010(s?0.1) (3)GK(s)?22
(0.1s?1)(s?2)s(s?6s?10)试分别求出各系统的静态位置误差系数Kp、静态速度误差系数Kv、静态加速度误差系数Ka;计算当输入信号r(t)?(1?t?t2)?1(t)时的稳态误差essr。
解:
(1)该系统标准的时间常数表达式为
GK(s)?系统为0型系统,则有
10
(0.1s?1)(0.5s?1)Kp=10,Kv=0,Ka=0
输入信号r(t)?(1?t?t2)?1(t)的拉普拉斯表达式为
112R(s)??2?3
sss则系统对应的稳态误差essr为
essr?(3)该系统标准的时间常数表达式为
112???? KpKvKa10s?1
10s2(0.1s2?0.6s?1)GK(s)?该系统为II型系统,则有
Kp=?,Kv=?,Ka=0.1
则系统对应的稳态误差essr为
essr?112???20 KpKvKa3.13 系统如图3.5所示。试判断系统闭环稳定性,并确定系统的稳态误差essr及essd。
图3.5 反馈控制系统
解:(1)该系统给定输入信号下的闭环传函为:
1105s?10(?0.5)?C(s)ss(0.2s?1)s2(0.2s?1)?(s)???5s?10R(s)1?(1?0.5)?101?2
ss(0.2s?1)s(0.2s?1)5s?10?0.2s3?s2?5s?10系统闭环特征方程为:
0.2s3?s2?5s?10=0
由劳斯判据,有
1?5?0.2?10
故该系统闭环稳定。
(2)该系统给定输入信号下的开环传函为:
GK(s)?5s?10
s2(0.2s?1)前向通道有两个积分环节,v=2,该系统为II型系统,所以输入信号r(t)?1?t下的稳态误差为
essr=0
系统对于干扰的闭环传递函数为
10D(s)10ss(0.2s?1)?D(s)???
R(s)1?(1?0.5)?100.2s3?s2?5s?10ss(0.2s?1)因此阶跃干扰信号作用下的系统稳态误差为
essd?0?lims?D(s)D(s)s?0 0.110ss?lim?s???lim??0s?0s0.2s3?s2?5s?10s?00.2s3?s2?5s?10第5章
频率特性法
5.2 已知单位负反馈系统的开环传递函数为
GK(s)?5 s?1根据频率特性的物理意义,求闭环输入信号分别为以下信号时闭环系统的稳态输出。
(1)r(t)=sin(t+30°); 解:该系统的闭环传递函数为
?(s)?闭环系统的幅频特性为
5 s?6A(?)?闭环系统的相频特性为
5??36?62
?(?)??arctan(1)输入信号的频率为??1,因此有
A(?)?系统的稳态输出
537?,?(?)??9.46 37css(t)?537sin(t?20.54?) 375.4 求图5.8所示的电网络的频率特性表达式,以及幅频特性与相频特性表达式,并绘制出对数频率特性曲线。
图5.8 题5.4图
解:
(a)电网络的传递函数为
G(s)?R2R1?1R1R2?CsR1Cs?1R2?1R1?CsR2R1Cs?1Ts?1????R1?R2R2R1Cs?1?Ts?1(R1?R2)L(?)/(dB) 1?T?R2?R2(R1Cs?1)R2R1Cs?R1?R2
L(?)/(dB) 0 1T1?T[+20] 20lg? ?(?)/? ?/ (rad·s) -10 [-20] 1T20lg1?/ (rad·s-1)
??(?)/? 60 30 0 10 ?T?m 1-?/ (rad·s1) ?m ?/ (rad·s-1)
-90 ?T(a) (b) 图5.9 题5.4伯德图
??R2?1,T?R1C
R1?R2j?T?1
j??T?1频率特性为 G(j?)??幅频特性
(?T)2?1 A(?)?(??T)2?1相频特性
?(?)?arctan?T?arctan??T
伯德图见图5.9(a),此电网络是系统校正中常用的超前校正装置(见第六章),呈现以下特点: 1) 转折频率1与1之间渐近线斜率为20dB/dec,起微分作用;
T?T2)?(?)在整个频率范围内都>0,具有相位超前作用,故名超前校正装置; 3)?(?)有超前最大值?m。
(b)电网络的传递函数为
G(s)?R2?1CsR?R??12?1,T?R2CR2R1?R2?1Cs?R2Cs?1(R1?R2)Cs?1
频率特性为 G(j?)?幅频特性
j?R2C?1
j?(R1?R2)C?1A(?)?相频特性
T2?2?1(?T?)?12 ?(?)?arctan?T?arctan??T
伯德图见图5.9(b),此电网络是系统校正中常用的滞后校正装置(见第六章),呈现以下特点: 1) 转折频率1与1之间渐近线斜率为-20dB/dec,起积分作用;
T?T 2)?(?)在整个频率范围内都<0,具有相位滞后作用,故名滞后校正装置;
3)?(?)有滞后最大值?m。
5.8 已知最小相位系统开环对数幅频特性如图5.13所示。
(1)写出其传递函数; (2)绘出近似的对数相频特性。
图5.13 题5.8图
解:(a)
1) 由低频段确定系统积分环节的个数v与开环传递系数K
由于低频段的斜率为0dB/dec,该系统为0型系统。由20lgK?60,求出K=1000。 2)确定串联的各典型环节
1; s?11-
第二个转折频率?2=10rad·s1,且斜率减小20dB/dec,有一个惯性环节;
s?1101-
第三个转折频率?3=300 rad·s1,且斜率减小20dB/dec,有一个惯性环节。
s?1300 第一个转折频率?1=1rad·s1,且斜率减小20dB/dec,有一个惯性环节
-
3)综上所述,该系统的开环传递函数为
GK(s)?4) 绘出近似的对数相频特性
100011(s?1)(s?1)(s?1)10300
对于最小相位系统,对数频率特性的低频渐近线斜率为-20vdB/dec,相频特性?(?)|?→0=-90v°,均与积分环节的个数v有关;当? → ?时,若n>m,高频渐近线斜率为-20(n-m)dB/dec的斜线,
?(?)|?→∞=-90(n-m)°。因此,本开环系统相频特性有,?(0)=0°,?(∞)=-270°。
E(s)B(s)图解8.57(b)
(b) C(z)?G1G2(z)E(z)
E(z)?R(z)?B(z)
B(z)?G1G2(z)H(z)E(z)
C(z)/R(z)?G1G2(z)
1?G1G2(z)H(z)8.8 确定由下列特征方程表示的数字控制系统的稳定性。 解(3)z?1.5z?2z?3?0 将z?32w?1代入方程作双线性变换得到 w?1?w?1??w?1??w?1??1.5?2???????3?0
?w?1??w?1??w?1?整理化简后得
320.5w3?5.5w2?15.5w?2.5?0
由于a2?0,a0?0,所以该系统不稳定。
8.13 设离散系统如图8.63所示,其中采样周期Ts?1s,试求当r(t)?a?1(t)?bt时,系统无稳态误差、过渡过程在最少拍内结束的D(z)。
解 系统开环脉冲传递函数为
K?1K? G(z)?(1?z?1)?Z?????ss?z?1R(s)+ -Ts D(z) Ts ZOH KsC(s)图8.63 题8.13图
R(z)?令
azbz ?z?1(z?1)2?azbz?可取得
则
e(?)?lim(1z?1?z?1)?E(z)??z?1?(z?1)2???0 ?1E(z)?(1?z?)2
?(z)?1??E(z)?2z?1?z?2
D(z)??(z)(2?z?1)z?12?z?1G(z)??E(z)K??(1?z?1)2K(1?z?1)z?1
最小相位系统的对数相频特性和对数幅频特性的变化趋势相同,即若L(?)的斜率减小(或增大),则?(?)的相位也相应地减小(或增大);如果在某一频率范围内,对数幅频特性L(?)的斜率保持不变,则在这些范围内,相位也几乎保持不变。因此,系统的相频特性在每个惯性环节的转折频率处有相应的变化,并可直接求取几个典型频率处(如转折频率)的相位,以提高曲线的准确性。如果系统有开环零点,则在相关转折频率处特性曲线出现凹凸。
?(?)/(°) 1 10 100 300 0 ?(?)/(°) 1 10 100 0 -90 -180 -270 ?/ (rad·s-1) ?/ (rad·s-1)
-90 -180 -270 (a) (b) 图5.14 题5.8系统开环对数相频特性
转折频率处相位为:?(1)=-51.7°,?(10)=-131°,?(300)=-223°。 本系统近似的对数相频特性见图5.14(a)。 解:(b)
1)由低频段确定系统积分环节的个数v与开环传递系数K
低频段的斜率为-20dB/dec,该系统为I型系统,v=1。将低频渐近线延长线上的点L(100)=0,代入低频渐近线的表达式L(?)=20lgK-20lg?,可以求出K=100。
2)确定串联的各典型环节
第一个转折频率?1=1rad·s1,且斜率减小20dB/dec,有一个惯性环节
-
1; s?11-
第二个转折频率?2=100rad·s1,且斜率减小20dB/dec,有一个惯性环节;
s?11003)综上所述,该系统的开环传递函数为
GK(s)?4) 绘出近似的对数相频特性
100
1s(s?1)(s?1)100与题(a)的分析相同,本开环系统相频特性满足,?(0)=-90°,?(∞)=-270°。转折频率处相位为:?(1)=-135°,?(10)=-180°,?(100)=-225°。系统的相频特性在每个惯性环节的转折频率处有相应的变化。本系统近似的对数相频特性见图5.14(b)。
解:(c)
1)由低频段确定系统积分环节的个数v与开环传递系数K
低频段的斜率为0dB/dec,该系统为0型系统。由20lgK?20,求出K=10。 2)确定串联的各典型环节
第一个转折频率?1=5rad·s1,且斜率减小40dB/dec,有一个二阶振荡环节,其时间常数为
-
T1?1?1?111,由?1?0.2?,此振荡环节为2;
s2s55??12525-
第二个转折频率?1=80rad·s1,且斜率增加40dB/dec,所以有一个二阶微分环节,其时间常数为
1s2s1??1。 T2??,由?2?0.1?,此二阶微分为
106400400?28013)综上所述,该系统的开环传递函数为
10(GK(s)?4) 绘出近似的对数相频特性
121s?s?1)6400400 122s?s?12525本开环系统相频特性满足,?(0)=0°,?(∞)= 0°,转折频率处相位为?(5)=?(80)=-91°。系统的相频特性在每个二阶振荡环节的转折频率处有相应的变化。本系统近似的对数相频特性见图5.15(c)。
?(?)/(°) 0 -90 -180 0 1 10 (d)
100 5 80 ?(?)/(°) ?/ (rad·s-1)
90 45
?/ (rad·s-1) (c)
图5.15 题5.8系统开环对数相频特性
解:(d)
1)由低频段确定系统积分环节的个数v与开环传递系数K
由于低频段的斜率为+20dB/dec,该系统有一个纯微分环节。低频渐近线表达式为L(?)=20lgK+20lg?,将点L(10)=0代入,可求出K=0.1。
2)确定串联的各典型环节
转折频率?=100rad·s1,且斜率减小20dB/dec,有一个惯性环节
-
1s?1100。
3)综上所述,该系统的开环传递函数为
GK(s)?4) 绘出近似的对数相频特性
0.1s
1s?1100同上,本开环系统相频特性满足,?(0)= 90°,?(∞)=0°。系统的相频特性在惯性环节的转折频率处为?(100)=45°。本系统近似的对数相频特性见图5.15(d)。 5.10 已知系统的开环传递函数如下
GK?s??(1)当K=1时,求系统的相位裕量; (2)当K=10时,求系统的相位裕量;
K
s?s?1??0.1s?1?(3)分析开环传递系数的大小对系统稳定性的影响。 解:(1)当K=1时,求系统的相位裕量;
L(?)/dB 40 K=10 b [-20] 20 K=1 a 0.1 1 [-40] 3.16 ωca -Lh= -20dB ωcb 10 100 -
?/ (rad·s1)
-20 -40 [-60] ?(?)/(°) 0.01 -90 ?=39.3? -180 1 ?g 10 100 -?/ (rad·s1)
-270 图5.18 题5.10控制系统的开环伯德图
绘制开环伯德图如图5.18对数频率特性(a)所示。低频段斜率为-20dB/dec,并通过点L(1)=20lgK-20lg1=0dB。经过转折频率?1=1rad·s1后斜率为-40dB/dec,经过转折频率?2=10rad·s1后最终斜率
-
-
为-60dB/dec。
系统的幅值穿越频率?ca=1 rad·s1,代入系统的相频特性有
-
?(?)??90??arctan??arctan0.1?
??180???(?c)?39.3??0?相角穿越频率?g=3.16 rad·s1,可求得系统的幅值裕量为
-
Lh=-L(?g)=20dB>0
因此,闭环系统稳定,并具有较好的稳定裕量。 (2)当K=10时,求系统的相位裕量;
绘制开环伯德图如图5.18对数频率特性(b)所示。相对于对数频率特性(a),开环传递系数增加10倍, L(?)曲线上升20dB,相频特性保持不变。
系统的幅值穿越频率?cb=3.16 rad·s1,也是系统的相角穿越频率,代入系统的相频特性有
-
??180???(?c)?0?
系统的幅值裕量为
Lh=-L(?g)=-L(?c)=0dB
因此,稳定裕量为零,闭环系统处于临界稳定状态。 (3)分析开环传递系数的大小对系统稳定性的影响。
由以上分析可见,对一结构、参数给定的最小相位系统,当开环传递系数增加时,由于L(?)曲线上升,导致幅值穿越频率?c右移,从而使得相位裕量与幅值裕量都下降,甚至使系统不稳定。
第6章 控制系统的校正
6.8一单位负反馈系统固有部分的传递函数为Go(s)?K,若要求系统的静态速度误
s(s?1)(0.5s?1)差系数Kv=5s?1,相位裕量γ?≥40o,幅值穿越频率?’c≥0.5rad/s,幅值裕量L’h≥10dB。试设计所需串联滞后校正装置的传递函数。
解
(1)求校正前的开环频域指标
K=5时未校正系统的伯德图如图6.3中的曲线Lo(?)所示。低频段过点Lo(1)=20lgK=14dB,且中频段穿越斜率为-60 dB/dec,可见开环对数频率特性不满足稳定性的要求。
由关系
L(2)?14??40?L(2)?2dB
lg2?lg1L(?c)?L(2)??60??c?2.16rad/s
lg?c?lg2未校正系统的相位裕量为
??180??(?90??arctan2.16?arctan(2.16?0.5))??22.4?
系统是不稳定的。若采用超前校正,则需要校正装置提供的相位超前量为
?m??'?????40??22.4??5??67.4??65?
可见校正装置所需提供的相角超前量过大,对抗干扰有不利影响,且物理实现较为困难。同时由于采用超前校正幅值穿越频率会右移,从原系统的相频特性可见,系统在原?c处相位急速下降,需要校正装置提供的相角超前量可能更大,因此不宜采用超前校正。
由于要求的?'c?0.5rad/s在?c?2.16rad/s的左边,所以可以考虑采用串联滞后校正装置。 (2)确定校正后的幅值穿越频率
选择未校正系统伯德图上相位裕量为?0??'???40??8??48?时的频率,作为校正后的幅值穿越频率??c,根据下式确定
?o?180??(?90??arctan?'c?arctan(?'c?0.5))?48?
但直接求解此三角函数是比较困难的,根据题意可将??c=0.5 rad/s代入上式,求得
?0?49.4??48?
故选定??c=0.5rad/s。 (3)确定滞后网络的?值
未校正系统在??c处的对数幅值为
Lo(?'c)?20lg???20lg1?
L(?)/dB 60 40 [-20] Lo(?) 20 14 0 ?2 0.01 [-40] L(?) [-20] [-40] ??c=0.5 1 ?c=2.16 ?2=0.1 ?L?h 2 [-60] -?/ (rad·s1) -20 ?(?)/? LC(?) 0.01 0 -90 0.1 1 -?/ (rad·s1) ?c (?) ? o (?) -180 ? (?) γ?=40? γ=?22.4? -270 Lo(?)-未校正系统; Lc(?)-校正装置; L(?)-校正后系统
?o(?)-未校正系统; ?c(?)-校正装置; ?(?)-校正后系统
图6.3 题6.8系统校正前后的伯德图
根据
Lo(?'c)?20lgK20lg??20lg5???20
lg?'c?lg1lg0.5?lg1可计算出?=10。
(4)确定滞后校正装置转折频率
?2?选?2?1?c'?c' ?~T1051?'c??0.1rad/s,推出T=1/?2=10s,并有?1=1/?T=0.01rad/s。 T5滞后校正装置的传递函数为
Gc(s)?Ts?110s?1?
?Ts?1100s?1(5)校验系统校正后的稳定裕量r'与L?h 校正后系统的开环传递函数为
GK(s)?Gc(s)Go(s)?5(10s?1)
s(s?1)(0.5s?1)(100s?1)r'?180??(?90??arctan(0.5?10)?arctan0.5?arctan(0.5?0.5)?arctan(0.5?100))?40?
满足设计要求。
系统校正前后的频率特性见图6.3。
由于系统的相角穿越频率??g需通过复杂的三角函数才能正确求解,因此幅值裕量一般通过间接的方法验证,方法如下:
系统校正后的相频特性为
?(?)=?90?+ arctan10??arctan??arctan0.5??arctan100?
由图6.3可见,??g在频率范围(1,2)之间,可求得校正后?=1.3rad/s时的相位与对数幅值分别为
?(1.3)= ?179.4?
L(1.3)= ?20lg1/0.5?40lg1.3/1=?10.6(dB)
因此判断出校正后的??g稍大于1.3rad/s,并由系统的频率特性可知,在频率大于1rad/s的范围内,随频率的升高,系统对数幅值与相位均呈下降的趋势,所以必有L(?’g)<?10.6dB,即L’h>10.6dB,满足设计要求。
幅值裕量的验证也可通过精确的坐标系直接判断,见图6.3。
比较校正前后系统的性能,有
(1)滞后校正装置的负斜率段压缩了系统开环对数幅频特性的中频段,使穿越频率由-40dB/dec变为-20dB/dec,系统的幅值穿越频率?c由2.16rad/s左移到0.5rad/s,利用系统本身的相频特性使系统稳定,并具有40°的相位裕量与足够的幅值裕量。
(2)不影响系统的低频段,不改变系统的稳态精度。 (4)高频段对数幅值下降,抗干扰性能有所提高。
总的来说,系统串联滞后校正装置后,在保证稳态性能的前提下,改善了动态性能。 6.15原系统的开环传递函数为Go(s)?频特性曲线L(?)如图6.10所示。试求:
(1)在原图上绘制所需校正装置的伯德图Lc(?),求出此装置的传递函数Gc(s),并说明该装置的类型。
(2)简要说明系统校正前后性能的变化。 解: (1)
方法一:绘制系统校正前的频率特性,如图6.11 Lo (?)所示。根据
10,采用串联校正,期望校正以后的开环幅
s(s?1)Lc(?)= L(?)? Lo(?)
绘制系统所需校正装置的伯德图Lc(?),见图6.11,可见所需装置为超前校正装置,其传递函数Gc(s)的求取过程如下:
校正装置低频段与0dB线重合,斜率为0dB/dec,推出传递系数为
K=1
确定各典型环节: 第一个转折点 第三个转折点
?1=2.2rad/s,斜率增加20db/dec,有一个积分环节
1s?1; 2.2,有一个惯性环节?3=8.8rad/s 斜率减小20dB/dec,
11s?18.8。
因此,校正装置的传递函数Gc(s)为
1s?10.45s?1 Gc(s)?2.2?1s?10.11s?18.8L(?)/dB 40 [-20] L(?) 20 [-40] LC(?) 6 0 0.1 1 2.2 4.47 8.8 [-20] 10 [-40] -?/ (rad·s1)
Lo(?) [-40] Lo(?)-未校正系统,Lc(?)-校正装置,L(?)-校正后系统 图6.11 题6.15系统校正前后的伯德图
方法二:根据图6.10所示系统校正后的期望特性L(?),推出系统校正后的开环传递函数为
GK(s)?
故所需校正装置为
10(0.45s?1)s(s?1)(0.11s?1)
Gc(s)?(2)系统校正前,幅值穿越频率为
GK(s)0.45s?1?Go(s)0.11s?1
?c=1020/40=3.16rad/s
相位裕量为
??180??90??arctan3.16?17.6?
串联超前校正装置后,开环对数幅频特性的中频段抬高,幅值穿越频率右移,增加了带宽,快速性改善;相位裕量
?'?180??90??arctan4.47?0.45?arctan4.47?arctan4.47?0.11?50.0?
明显增加,系统稳定性改善;高频段对数幅值上升,抗干扰性下降。
第7章 非线性控制系统
7.1 求下列方程的奇点,并确定奇点的类型。
??(1?x2)x??x?0 (1)?x??(0.5?3x2)x??x?x2?0 (2)?x解:(1) 由题得:
???(1?x2)x??x?f?x?,x? x?为因变量,则上式可改写为 ?,x?为解析函数。若以x为自变量,x式中f?x?,x???xf?x? ??xx考虑到
???xdx,因此有 ?dx?xdtdt?,x??f?xdx?
?dxx根据奇点的定义
?0dx?,列方程组为 dx0??0?x ??,x??0?f?x得到系统的奇点为
??0?x ?x?0??,x?进行泰勒级数展开,保留一次项有 即奇点在坐标原点。在奇点(0,0)处,将f?x?,x??,x??f?x?f?x?,x??f?0,0????f?x?x?x?x?x?x??x?0??x?0x?0?(1?x2)??x?x??x?0x??(2xx??1)?x??x?0x?x
奇点附近线性化方程为
???f?x?,x??x??x x其特征方程为
s2?s?1?0
特征根为
?1,2?13 ?j22为s平面的右半部分的共轭复数根,故奇点为不稳定焦点。概略画出奇点附近的相轨迹如图7(a)所示:
(2)由题得:
???(0.5?3x2)x??x?x2?f?x?,x? x由
??0?x ??,x??0?f?x得到
??0?x ??x?0或?1即奇点为(0,0)和(-1,0)。
?x?xxx(a) (b)
图7.71 题7.1 奇点附近的相轨迹
?,x?进行泰勒级数展开,保留一次项有 1)在奇点(0,0)处,将f?x?,x??,x??f?x?f?x?,x??f?0,0????f?x?x?x?x?x?x??x?0??x?0x?(0.5?3x2)??1??xx2x?x?0??(?6xx??1?2x)x?x?x ??x?0奇点(0,0)附近线性化方程为:
???x其特征方程为
1??x x21s2?s?1?0
2特征根为:
?1,2??j1415?0.25?j0.984 4为s平面的右半部分的共轭复数根,故奇点(0,0)为不稳定焦点。
?,x?进行泰勒级数展开,保留一次项有 2)在奇点(-1,0)处,将f?x?,x??f??1,0??f?x?(0.5?3x2)?,x??f?x??x??0xx??1??0xx??1??0)??(x?,x??f?x?x??0xx??1??0xx??1?(x?1)
??(?6xx??1?2x)?x?(x?1)5??x?1??x2??x坐标系的奇点(-1,??x?,??y???x。即x在奇点(-1,0)处,进行坐标变换,令y?x?1,则y??0),变换为yy坐标系下的奇点(0,0)。因此有
??y??5??y y2其特征方程为
s2?特征根为:
5s?1?0 2?3,4???5441 4??x坐标系下的奇点(-1,0)为鞍点。 为一正一负的两个实数根,故x概略画出奇点附近的相轨迹如图7(b)所示:
7.3 系统结构图如图7.71,设系统初始条件是静止状态,试绘制相轨迹图。系统输入为 (1)r(t)?R,R?a
解:(1)
非线性特性的数学表达式为
?e?y??a??a?由结构图可知线性部分的传递函数为:
e?a?e?a?? e??a???Xc?s?1 ?Y?s?s?Ts?1?由此可得线性部分的微分方程为:
??c?t??x?c?t??y(t) Tx由比较环节:e?xr?t??xc?t?,上式又可以写成
???e??y?T??r?x?r Tex?r?x?r?0,因此系统的微分方程为 输入信号为阶跃函数,当t?0时,?x???e??y?0 Te根据已知的非线性特性,开关线e??a将相平面分为正饱和区II、线性区I、负饱和区III三个线性区域。
??????????????e??e?0Te???e??a?0Te???e??a?0Te(e?a)(e?a)(e??a)
1)Ⅰ区(线性区):系统的微分方程为
???e??e?0Te???将e(e?a)
?de?代入上式,求得Ⅰe区相轨迹的斜率方程为 de???ede1e??
?deTe?0de? de0??0代入上式,得到 以e?0及e?的原点(0,0)为I区相轨迹的奇点,该奇点因位于I区内,故为实奇点。线这说明相平面e?e性区I区的特征方程及特征值分别为
Ts2?s?1?0(e?a)
?1?1?4T?1,2?2若1?4T?0,则系统在I区工作于欠阻尼状态,这时奇点(0,0)为稳定焦点;若1?4T?0,则系统在I区工作于过阻尼状态,这时的奇点(0,0)为稳定结点。为方便讨论奇点的性质及绘制相平面图,以下分析假定1?4T?0。
若记等倾线斜率为???de,则I区的等倾线方程为 dee???e e?a
T??1当1?4T?0时,该区的相轨迹是一簇螺旋线,收敛于相平面原点,如图解7-8(a)所示。当
1?4T?0时,该区的对应的相轨迹是一簇趋向相平面原点的抛物线。
2)Ⅱ、Ⅲ区(饱和区):系统的微分方程为
????????e??a?0Te???e??a?0Te(e?a) (e??a)
?de?代入上式,求得Ⅱe、Ⅲ区相轨迹的斜率方de???由微分方程知,系统没有奇点,但有渐近线。将e程为
????????????若记等倾线斜率为?????ade1e?? e?a ?deTe
???ade1e?? e??a?deTe?de,则分别求得II、III区的等倾线方程为 de???????????????ea e?a T??1
a??e e??aT??1??常数,即等倾线斜率均为0。当相轨迹斜率?与等倾线斜率相等,即??0时,直相轨迹方程为e线
???a (II区) e??a (III区) e???a,III区的全部相轨迹均分别为II、III区内??0的等倾线。由于II区的全部相轨迹均渐近于e??a,故称??0的两条等倾线为相轨迹的渐近线。 渐近于e由此应用等倾线法,在相平面图的II、III区分别绘制的一簇相轨迹如图7.35(b)所示,II、III区相轨迹图对称于坐标原点。
3)非线性系统的相平面图
基于图7.35(a)、(b)将以上各区的相轨迹连接起来,可以绘制非线性系统的完整相轨迹图,见图(c),其中相轨迹的初始点由
e(0)?r(0)?c(0) ?(0)?r?(0)?c?(0) e来确定。
假使系统原来处于静止状态,则在阶跃输入(r(t)?R,R?a)作用时,相轨迹的起始点应为
?(0)?0。此时的非线性系统的完整相平面图如图7-8( d)所示。正负饱和区的相轨迹e(0)?R,e与理想继电特性的相轨迹相同,但是由饱和点所决定,切换位置提前。由于线性区的奇点性质为稳定焦点,所以最后一次进入I区后,相轨迹不再进入其它工作区,在I区内经有限次衰减振荡后,最终收敛于原点。
1???0T1T??????0a
e ?a
?a
???1Ta
??0? (a)
1???0T?ea
a
?a a
?a ?a
图7. 5 题7.3含饱和特性的非线性系统相
从饱和特性的相平面分析可以看到:
(1) 阶跃输入作用时,系统是稳定的,其稳态误差为零。如果系统的固有部分具有良好的阻尼特性,系统最后进入I区后,在超调量、调节时间、振荡次数等方面均良好的动态特性,而且不产生自持振荡。最大超调量可从图中量得,为相轨迹第一次与负实轴的交点坐标的绝对值,而相轨迹绕原点
的次数为过渡过程的振荡次数。
(2)饱和点的大小可以决定分区切换次数的多少。饱和点的值大,则线性工作区大, 分区切换次数少,非线性振荡次数少,饱和非线性对系统的影响小。饱和点的值小,则线性工作区范围小,分区切换次数增加,非线性振荡次数增多,饱和非线性对系统的影响就不可忽视。
当1?4T?0时,I区的相轨迹为收敛于原点的抛物线,其他与1?4T?0时相同。 7.8 图7.76所示为继电器控制系统的结构图,其线性部分的传递函数为
W(s)?10
(s?1)(0.5s?1)(0.1s?1) xr(t)+ e(t) 2 1 y(t) s)W(xc(t) 题7.4图
试确定自持振荡的频率与振幅。
解:带有滞环的继电器特性的描述函数为:
4M4Ma?a?R?A??1????j,2?A?A?A?输入为e(t)=Asinωt。已知M?2,a?1,代入上式,则有
2A?a
88?1?R?A??1????j,2?AA?A??写出描述函数的负倒数特性为
2A?1
?1?1?2R(A)88?1?1????j?A?A2?A???A?1
?A8??1?1????j8?A?2由上式可知,A由1??时,Im??11???,因此曲线平行于负实轴,且??j?R(A)8?R(A)???1?Re???由0???。
R(A)??
由题,线性环节的传递函数为:
W(s)?10
(s?1)(0.5s?1)(0.1s?1)将s?j?代入上式,可得其频率特性为:
W(j?)?10
(j??1)(0.5j??1)(0.1j??1)由于线性环节为0型3阶系统,故W?j??曲线起于正实轴的(10, j0)点,幅值单调减小,沿顺时针方向终止于原点,最终相位为-270?,与正虚轴相切,并由Im[W?j??]?0可求得与负实轴的交点为(?0.5, j0)点。
作?11曲线和W?j??曲线,交于D点,如图所示。?自右向左移动,与曲线W(j?)R?A?R?A?1R(A)?有交点,从不稳定区域进入系统稳定区域,交点所对应的极限环是稳定的,系统存在自持振荡。
与曲线W(j?)交点的求取公式如下:
?1?W?j??R(A) 1R?A???W?j??由于
?即:
1??0.065?2?0.1??j(0.005?3?0.16?)
W?j??88?1?23R?A??1????j?0.065??0.1?j(0.005??0.16?) ??2?A?A?A?有
2?81???1????0.065?2?0.1??A?A? ??8??0.005?3?0.16??2??A2利用MATLAB求解此方程组,指令如下
[a,w] = solve('8/3.14/a*sqrt(1-(1/a)^2) =0.065*w^2-0.1','-8/3.14/a^2=0.005*w^3-0.16*w')
Im ?0.5D10?1R(A)??3.84A?2.78??j8Re W(j?)图7.18 题7.8非线性系统稳定判据
排除负根与复数根,得解为:
??3.84?rad/s?A?2.78
即系统有频率??3.84?rad/s?,振幅A?2.78的自振。
注:自持振荡的频率和振幅也可通过相对描述函数(又称基准描述函数)R0()求得,公式如下
aAaR(A)R0()?AKnKnW(j?)??1 aR0() A即将描述函数中部分非线性参数分离出来,乘到线性部分去,描述函数剩余部分的非线性参数都
a1称为负倒相对描述函数?以相对值A的形式出现,Kn称为非线性特性的尺度函数,R0(A) 。
aR0()Aaaa1的特点是:把作为一个变量,则R0()仅是的函数,其函数值与非线性特性的特征参?aAAAR0()A1数M、a无关。显然,KnW(j?)与W(j?)成比例,绘制过程相同,但?的作图过程却比绘
aR0()A制??1和KnW(j?)的相互关系,完全对应于?1和W(j?)的相互关系。负倒相对描述函数R(A)1简单得多。R(A)
本题的基准描述函数为
aR(A)R(A)44?a?R0()???1????jAKn2?A?A2?A?2Kn?M?2 aKnW(j?)?通过KnW(j?)??20
(j??1)(0.5j??1)(0.1j??1)1,所求得的系统自振参数与前面的计算结果完全相同。 aR0() A第8章 离散控制系统的分析和综合
8.1 设时间函数的拉氏变换为X(s),采样周期Ts=1秒,利用部分分式展开求对应时间函数的z变换X(z)。
(1) X(s)?(s?3)27 (3) X(s)?
s(s?1)(s?2)(s?2)(s2?4s?13)解 (1)将X(s)展成部分分式
X(s)?则其z变换为
1.5?20.5?? ss?1s?2X(z)?1.5z?2z0.5zz(0.831z?0.011) ????1?2z?1z?ez?e?z?1??z?0.368??z?0.135?(3)将X(s)展成部分分式
X(s)?则其z变换为
33s?633(s?2)?2?? s?2s?4s?13s?2(s?2)2?323z3(z2?ze?2cos3)X(z)??
z?e?2z2?2ze?2cos3?e?48.4 设Ts=0.1秒,对图8.56的结构图。求G(z)?C(z)。 R(z)图8.56 题8.4图
解 (a)
1110101?0.10.1?G(s)???2?2?? sss(s?10)s(s?10)sss?10Tsz0.1??0.1z0.1z?1??1?0.1Z??G(s)??Z?2????? ?10Ts2?ssss?10(z?1)z?1z?e????脉冲传递函数为
G(z)?C(z)?0.1z0.1z??1?z?1?Tsz?(1?z?1)?Z??G(s)??????R(z)z?(z?1)2z?1z?e?10Ts??s??
?10Ts?10Ts?10Ts(T?0.1?0.1e)z?(0.1?Tse?0.1e)?s(z?1)(z?e?10Ts)0.0368z?0.0264
z2?1.368z?0.368将Ts=0.1秒代入,整理得
G(z)?(b)
1110110?G(s)????2 sss(s?10)s?2s(s?2)(s?10)?11315111?2?????? 2s10s16s?280s?10111??1??11315Z??G(s)??Z??2?????? ?s2s10s16s?280s?10???? ?系统脉冲传递函数为
1Tsz3z5z??????2(z?12)10z?11z6?e?2Ts1?z
z8?0e?1T0sG(z)??C(z)3z5z1z?1?z?1?1Tsz?(1?z?1)?Z??G(s)???????????R(z)z?2(z?1)210z?116z?e?2Ts80z?e?10Ts??s??
将Ts=0.1秒代入,整理得
0.002z2?0.003z?0.001G(z)?3 2z?2.187z?1.488z?0.301(c)G1(s)?101 , G2(s)?
s?2s(s?10)?1?e?Tss?(Ts?0.1?0.1e?10Ts)z?(0.1?Tse?10Ts?0.1e?10Ts)G1(z)?Z??G1(s)?? ?10Tss(z?1)(z?e)???1?e?Tss?0.5(1?e?2Ts)G2(z)?Z??G2(s)?? ?2Tssz?e??(Ts?0.1?0.1e?10Ts)z?(0.1?Tse?10Ts?0.1e?10Ts)0.5(1?e?2Ts) G(z)?G1(z)?G2(z)??(z?1)(z?e?10Ts)z?e?2Ts将Ts=0.1秒代入,整理得
G(z)?0.003z?0.002
z3?2.187z2?1.488z?0.301
8.5 求图8.57示各系统的C(z)/R(z)。
图8.57 题8.5图
解 (a)
C(z)?G1(z)G2(z)E(z)
E(z)?R(z)?B(z)
B(z)?G1(z)G2H(z)E(z)
整理得
E(s)B(s)图解8.57(a)
C(z)/R(z)?G1(z)G2(z)
1?G1(z)G2H(z)
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