自动控制原理答案 郑有根

第1章 控制系统的基本概念 1.5 图1.1所示的转速闭环控制系统中，若测速发电机的正负极性接反了，试问系统能否正常工作？为什么？

+ E 电位器 + _ + ug + + ue 电 压 功 率 ua 放大器 放大器 nM电动机 Mc _ _ _ 负载 uf + _ 测速发电机 图1.1 直流电动机转速闭环控制系统

解：若测速发电机的正负极性接反，偏差电压则为

ue?ug?uf因此，系统不能正常工作。

系统将由负反馈变为正反馈，而正反馈不能进行系统控制，会使系统的偏差越来越大。

1.9 仓库大门自动控制系统原理如图1.8所示。试说明仓库大门开启、关闭的工作原理。如果大门不能全开或全关，应该怎样进行调整？

图1.8仓库大门自动控制系统

解 当给定电位器和测量电位器输出相等时，放大器无输出，门的位置不变。假设门的原始位置在“关”状态，当门需要打开时，“开门”开关打开，“关门”开关闭合，给定电位器和测量电位器输出不相等。电位器组会测量出开门位置与大门实际位置间对应的偏差电压，偏差电压经放大器放大后，驱动伺服电动机带动绞盘转动，将大门向上提起。与此同时，和大门连在一起的电刷也

向上移动，直到电位器组达到平衡，即测量电位器输出与给定电位器输出相等，则电动机停止转动，大门达到开启位置。反之，当合上关门开关时，电动机带动绞盘使大门关闭，从而可以实现大门远距离开闭自动控制。系统方框图如图1.9所示。

如果大门不能全开或者全闭，说明电位器组给定的参考电压与期望的开门位置或关门位置不一致，应该调整电位器组的滑臂位置，即调整“开门”或“关门”位置对应的参考电压。

给定电位器

开门位置、 关门位置对应的电位 ue － 放大器 电动机 绞盘 大门 实际位置 测量电位器 图1.9 仓库大门自动控制系统方框图

第2章 自动控制系统的数学模型 2.1 求图2.1中RC电路和运算放大器的传递函数Uo(s)Ui(s)。 解：（a）令Z1=

11Cs?R1为电容和电阻的复数阻抗之和；Z2=R2为电阻的复数阻抗。由此可求得

传递函数为：

G(s)?Uo(s)Z2R2R1R2???

1Ui(s)Z1?Z2Cs??RR1Cs?R1R2?12R1(c) 该电路由运算放大器组成，属于有源网络。运算放大器工作时，A点的电压约等于零，称为虚地。输入、输出电路的复数阻抗Z1和Z2分别为 Z1=R1，Z2=R2?1。又由虚短得 C2sUi(s)?U(s)??o Z1Z2故有

G(s)?2.4 已知某系统满足微分方程组为

Uo(s)Z2R2C2s?1 ??Ui(s)Z1R1C2se(t)?10r(t)?b(t) 6dc(t)?10c(t)?20e(t) dt20db(t)?5b(t)?10c(t) dt试画出系统的结构图，并求系统的传递函数C(s)R(s)和E(s)R(s)。

解：在零初始条件下，对上述微分方程组取拉氏变换得：

E(s)?10R(s)?B(s) (6s?10)C(s)?20E(s) (20s?5)B(s)?10C(s)

每个等式代表一个环节，且系统的输入信号为R(s)，输出信号为C(s)，E(s)是偏差信号。根据各环节输入、输出变量之间的关系式，推出系统动态结构图，如图2.9所示。

R(s) 10 E(s) B(s) 206s?10C(s) 连杆、电10 20s?5图2.9 题2.4系统动态结构图

化简动态结构图，可得系统传递函数为

2010?C(s)200(20s?5)20(20s?5)6s?10 ???22010R(s)1?(6s?10)(20s?5)?20012s?23s?25?6s?1020s?5E(s)?R(s)1?

2.5 简化图2.10所示系统的结构图，求输出C(s)的表达式。

1010(6s?10)(20s?5)120s2?230s?50?? 22010(6s?10)(20s?5)?20012s?23s?25?6s?1020s?5图2.10 系统结构图

解：本系统为多输入-单输出系统，可利用线性系统的叠加定理，分别求取各个输入信号作用下的输出，其和即为所求的系统总输出。系统动态结构图可化简为图2.11(a)。

D1(s) R(s) + －G1(s)+ 1?G1(s)H1(s)+ －+ G2(s) H2(s) H4(s) (a)

+ －C(s) G3(s)G4(s) 1?G4(s)H3(s)D2(s) 图2.11 题2.5系统结构图等效过程

考虑到输入信号D1(s)附近相邻的相加点可交换，将系统结构图图2.11(a)简化为图2.11(b)。

D1(s) R(s) + －G1(s)+ 1?G1(s)H1(s)+ G2(s) 1?G2(s)H2(s)+ －C(s) G3(s)G4(s) 1?G4(s)H3(s)D2(s) H4(s) (b)

图2.11 题2.5系统结构图等效过程

1） 求输入信号R(s)用下的输出CR(s)，此时假定其他两个输入为零，即D1(s)= D2(s)=0，则根据系统结构图2.11(b)，化简可得

G1G2G4??G3?1?G1H11?G2H21?G4H3C(s)?R(s)?R?G4R(s)1?G1?G2?G3??H4

1?G1H11?G2H21?G4H3?输出CR(s)为

G1G2G3G4(1?G1H1)(1?G2H2)(1?G4H3)?G1G2G3G4H4CR(s)??R(s)R(s)

2） 求输入信号D1(s)用下的输出CD1(s)，此时假定R(s)= D2(s)=0，则系统结构图可等效为图

D1(s) －G2(s) 1?G2(s)H2(s)G3(s)G4(s) 1?G4(s)H3(s)C(s) G1(s) 1?G1(s)H1(s)(c)

H4(s) 图2.11 题2.5系统结构图等效过程

2.11(c)。 化简可得

GGG2?341?G2H21?G4H3C(s)?D1(s)?D1?D1(s)1?G1?G2?G3G4?H4

1?G1H11?G2H21?G4H3?输出CD1(s)为

G2G3G4(1?G1H1)(1?G1H1)(1?G2H2)(1?G4H3)?G1G2G3G4H4CD1(s)??D1(s)D1(s)

3） 求输入信号D2(s)用下的输出CD1(s)，此时假定R(s)= D1(s)=0，则系统结构图可等效为图

2.11(d)。

D2(s) －－G3(s)G4(s) 1?G4(s)H3(s)C(s) G2(s) 1?G2(s)H2(s)G1(s) 1?G1(s)H1(s)(d)

图2.11 题2.5系统结构图等效过程

H4(s) 化简可得

G3G41?G4H3C(s)?D2(s)?D2??GGG1G2D2(s)1???34?H4

1?G1H11?G2H21?G4H3??G3G4(1?G1H1)(1?G2H2)(1?G1H1)(1?G2H2)(1?G4H3)?G1G2G3G4H4

输出CD2(s)为

CD2(s)??D2(s)D2(s)

4）综上所述，本系统的总输出为

C(s)?CR(s)?CD1(s)?CD2(s)

图2.12 控制系统结构图

2.6 简化图2.12所示各系统的结构图，并求出传递函数C(s)R(s)。

解：图2.12（a）是具有交叉连接的结构图。为消除交叉，可采用移动相加点、分支点的方法处理。图中a、b两点，一个是相加点，一个是分支点，二者相异，不可以任意交换，但可以相对各串联环节前移或后移，如图2.13(a)所示。

求解步骤：

（1）将分支点a后移，等效图如图2.13(b)所示。 （2）将相加点b前移，等效图如图2.13(c)所示。

（3）将相加点b与前一个相加点交换，并化简各负反馈及串、并联环节，得图2.13(d)。 （4）化简局部负反馈，故得图2.13(e)。

（5）前向通道两环节串联，再化简单位负反馈系统，得到系统(a)的闭环传递函数为

G1G2(1?G3G4)1?G2G3H1?H2?G3G4H2G1G2(1?G3G4)C(s)??

GG(1?GG)R(s)1?1?G2G3H1?H2?G3G4H2?G1G2(1?G3G4)12341?G2G3H1?H2?G3G4H2

H1(s) R(s) －－b +G1(s) G2(s) －a G3(s) G4(s) C(s) H2(s) (a)

H1(s) R(s) －－b 1 G3(s)G1(s) G2(s) G3(s) －a G4(s) +C(s) H2(s) (b)

H1(s) R(s) －－1 G3(s)G1(s) b －G2(s) G3(s) a G4(s) +C(s) 1 G2(s)(c)

H2(s) R(s) －G1(s) －G2(s)G3(s) 1?G2(s)G3(s)H1(s)H2(s) G2(s)(d)

1?G3(s)G4(s) G3(s)C(s) R(s) －G1(s) G2(1?G3G4) 1?G2G3H1?H2?G3G4H2C(s) (e)

图2.13 题2.6(a)系统结构图简化过程

2.10 分别用结构图变换法及梅逊公式求图2.21所示各系统的传递函数C(s)R(s)。 (a) 解：

1） 结构图变换法

如图2.22(a)所示，虚线框内部分为典型的负反馈环节，因此系统动态结构图的等效变换如图2.22(b)所示。系统闭环传递函数为

G1(s)G1(s)(1?G2(s))C(s)??R(s)1?G(s)?G2(s)1?G2(s)?G1(s)G2(s)11?G2(s)R(s) －G1(s) + C(s)

R(s) －G1(s) C(s)

G2(s) （a）

G2(s) 1?G2(s)（b）

图2.22 题2.10(a)系统结构图等效变换

(e)

解：结构图变换法

为解除交叉连接，可分别将相加点a前移、分支点b后移，如图2.26(a)所示。 动态结构图的等效变换见图2.26(b)、(c)、(d)。系统闭环传递函数为

G(s)G4(s)G1(s)G2(s)?31?G1(s)G2(s)1?G3(s)G4(s)C(s)?R(s)1?G1(s)G2(s)?G3(s)G4(s)?G1(s)G4(s)?11?G1(s)G2(s)1?G3(s)G4(s)G1(s)G4(s)G(s)G4(s)G1(s)G2(s)?31?G1(s)G2(s)1?G3(s)G4(s)?G3(s)G2(s)G(s)G4(s)?11???11?G1(s)G2(s)1?G3(s)G4(s)1G1(s)G2(s)G3(s)G4(s)1?G1(s)G2(s)?G3(s)G4(s)?G1(s)G2(s)G3(s)G4(s)?G1(s)G2(s)G3(s)G4(s)?G2(s)G3(s)?

G1(s)G2(s)G3(s)G4(s)1?G1(s)G2(s)?G3(s)G4(s)?G2(s)G3(s)①－R(s) AB－+G1(s) ③++CC(s)②－+G2(s) 连杆、电位器 （a） G2(s) G2(s) R(s) A－B①－②+－G1(s) ③++CC(s) G1(s) ++G2(s) －G1(s) （b）

G2(s)?1 R(s) －G1(s) 1?G1(s)G2(s)G2(s) 1?G1(s)G2(s)++C(s) G1(s)?1 （c）

R(s) －(G2(s)?1)G1(s)(G1(s)?1)G2(s) ?1?G1(s)G2(s)1?G1(s)G2(s)C(s) （d）

图2.25题2.10(d)系统结构图等效变换

2.12 已知各系统的脉冲响应函数，试求系统的传递函数G(s)。 （2）g(t)?2t?5sin(3t?解：(2) 方法1：

?3)

????g(t)?2t?5sin(3t?)?2t?5sin?3(t?)?

39??在零初始条件下，等式两端取拉氏变换，根据拉氏变换的时域平移定理，得

?s23G(s)?2?522e9

ss?3由欧拉公式ej??cos??jsin?，且s?j??j3,j?s/3，则有

??j3?j232323139G(s)?2?52e?2?52e3?2?52(?j)ss?9ss?9ss?922

231s325(3?3s)?2?52(??)?2?ss?9232s2(s2?9)方法二

根据三角函数的求和定理，系统的脉冲响应函数可展开为

g(t)?2t?5sin(3t?)?2t?5(sin3tcos?cos3tsin)333

13?2t?5(sin3t??cos3t?)22在零初始条件下，等式两端取拉氏变换，得

???G(s)?253325(3?3s) ?(?s?)?2?222ss?922s2(s?9)第3章 控制系统的时域分析法

3.2 某单位负反馈系统的开环传递函数为

GK(s)?K

s(0.1s?1)试分别求出K?10s–1和K?20s–1时，系统的阻尼比?和无阻尼自然振荡角频率?n，及单位阶跃响应的超调量?%和调节时间ts。并讨论K的大小对过渡过程性能指标的影响。

解：系统闭环传递函数为

?(s)?二阶系统标准的零极点表达式为

K10K?

0.1s2?s?Ks2?10s?10K2?n，闭环传递系数K=1 ?(s)?22s?2??ns??n 比较可得，系统的性能参数为

?n=10K，??5 10K且有??n?5，说明K值的大小对系统的快速性影响较小。

（1）当K=10时，系统闭环传递函数为：

?(s)? 系统的性能参数为

100

s2?10s?100?=0.5，?n=10

系统相关动态性能指标为

?%?e???ts?（2）当K=20时闭环传递函数为：

1??2?100%?25.7%

(??5%)

3??n?0.6s?(s)? 系统的性能参数为

200 2s?10s?200?n=102，??系统相关动态性能指标为

2 4?%?ets????1??2?100%?35.4%

3??n(??5%)?0.6s

由以上分析可见，增大系统开环传递系数K，将增大系统超调量，使系统振荡加剧，对系统的动态性能不利。

3.4 如图3.3所示，若某系统加入速度负反馈?s，为使系统阻尼比??0.5，试确定（1）?的取值；（2）系统的动态性能指标?%和ts。

图3.3 加入速度负反馈的系统

解：（1）该控制系统的闭环传递函数为

1010s(s?1)?(s)??2

105?s?(1?5?)s?101??s(s?1)s?1与二阶系统标准的零极点表达式比较，可得

2??n?1?5?

并考虑到：?n?10，??0.5，所以

??（2）系统的动态性能指标如下

10?1?0.432 5?%?ets????1??2?100%?25.7%

3??n(??5%)? 1.9s

3.5 实验测得单位负反馈二阶系统的单位阶跃响应曲线如图3.4所示。试确定该系统的开环传递函数GK(s)。

图3.4 二阶系统的阶跃响应曲线

解：由图3.4所示，可知二阶系统的单位阶跃响应峰值时间为

tp???n1??2?3.14?n1??2?0.2s

?%?e联立以上方程可得：

???1??2?100%?1.25?1?100%?25%1??0.515，?n=18.33

并由于系统的单位阶跃响应稳态值为1，说明系统的闭环传递系数K=1，故求得系统闭环传递函数为

2K?n335 ?(s)?2?2s?2??ns??ns2?18.88s?335系统为单位负反馈结构，因此有

?(s)?推出系统开环传递函数如下

GK(s)

1?GK(s)2?n?(s)335 GK(s)??2?21??(s)s?2??nss?18.88s

3.7 已知单位负反馈系统的开环传递函数为 （1）GK(s)?205s?1 （4）GK(s)?3

s(s?1)(s?5)s(s?1)(s?2)试分别用劳斯判据判定系统的稳定性。

解：（1）系统闭环传函为：

?(s)?3220 32s?6s?5s?20闭环特征方程为：s?6s?5s?20=0，列劳斯表如下

s3

1 5 6 20

s2

s1

6?5?20?15?

6320

s0

由于劳斯表的第一列系数均大于零，故该系统稳定。 也可直接利用基于劳斯判据的三阶系统稳定性结论，如下：

三阶系统特征方程为a3s?a2s?a1s?a0?0，则系统稳定的充分必要条件为：a3、a2、a1、

32a0均大于0及a1a2?a3a0。

对于本系统有：特征方程所有系数均大于零，且6?5?1?20，因此系统稳定。 （4）系统闭环传函为：

?(s)?系统闭环特征方程为

5s?1 543s?3s?2s?5s?1s5?3s4?2s3?5s?1=0

因为特征方程缺相（缺s），故该系统不稳定。 3.9 设单位负反馈系统的开环传递函数分别为 （1）GK(s)?2KK （2）GK(s)? （3）

(s?2)(s?4)s(s?1)(0.2s?1)试确定使系统稳定的开环增益K的取值范围。

解：（1）该系统的闭环传函为：

?(s)?闭环特征方程为：

K

s2?6s?8?Ks2?6s?8?K=0

对于二阶系统，如欲使闭环系统稳定，则保证特征多项式的每个系数都大于零即可：

8+K>0 K>-8

3.11 设单位负反馈系统的开环传递函数为

GK(s)?Ks(s?12)

(s?5)(s?3)(s?6)若要求闭环特征方程根的实部分别小于0、-1、-2，试问K值应怎么选取？

解：该系统的闭环传函为

?(s)?特征方程为

Ks(s?12)

s3?14s2?63s?90?Ks2?12Kss3?(14?K)s2?(63?12K)s?90?0

欲闭环特征方程根的实部小于0、-1、-2，实际上就是使闭环特征方程根具有相应的稳定裕量（? =0、1、2），可利用劳斯判据确定对应的K值。

1） 使闭环特征方程根的实部小于0

即求使系统保持稳定的K值。由系统的闭环特征方程，有

?14?K?0? 即 ?63?12K?0?(14?K)?(63?12K)?90?求得满足条件的K值为

?K??14??K??5.25?K??14.79,or?

K??4.46K??4.46

2） 使闭环特征方程根的实部小于-1

进行坐标变换，令s=z-1，代入闭环特征方程得

z3?(11?K)z2?(38?10K)z?(40?11K)?0

根据劳斯判据，欲使该系统在z域稳定的条件是

?11?K?0?38?10K?0?即 ??40?11K?0??(11?K)?(38?10K)?40?11K则在s域中满足条件的K值为

?K?K???K??K??11??3.8?3.64??13,or

K??2.9?2.9?K?3.64

3）使闭环特征方程根的实部小于-2

进行坐标变换，令s=z-2，代入闭环特征方程得

z3?(K?8)z2?(8K?19)z?(12?20K)?0

根据劳斯判据，欲使该系统在z域稳定的条件是

?K?8?0?8K?19?0?即 ??12?20K?0??(K?8)?(8K?19)?12?20K则在s域中满足条件的K值为

?K??8?K??2.38???K?0.6?o,r?K??11.33

K??1.54?1.54?K?0.6

由以上分析可见，对闭环系统的稳定性要求越高，则系统传递系数的取值范围越小。

3.12 已知单位负反馈系统开环传递函数 （1）GK(s)?2010(s?0.1) （3）GK(s)?22

(0.1s?1)(s?2)s(s?6s?10)试分别求出各系统的静态位置误差系数Kp、静态速度误差系数Kv、静态加速度误差系数Ka；计算当输入信号r(t)?(1?t?t2)?1(t)时的稳态误差essr。

解：

（1）该系统标准的时间常数表达式为

GK(s)?系统为0型系统，则有

10

(0.1s?1)(0.5s?1)Kp=10，Kv=0，Ka=0

输入信号r(t)?(1?t?t2)?1(t)的拉普拉斯表达式为

112R(s)??2?3

sss则系统对应的稳态误差essr为

essr?（3）该系统标准的时间常数表达式为

112???? KpKvKa10s?1

10s2(0.1s2?0.6s?1)GK(s)?该系统为II型系统，则有

Kp=?，Kv=?，Ka=0.1

则系统对应的稳态误差essr为

essr?112???20 KpKvKa3.13 系统如图3.5所示。试判断系统闭环稳定性，并确定系统的稳态误差essr及essd。

图3.5 反馈控制系统

解：（1）该系统给定输入信号下的闭环传函为：

1105s?10(?0.5)?C(s)ss(0.2s?1)s2(0.2s?1)?(s)???5s?10R(s)1?(1?0.5)?101?2

ss(0.2s?1)s(0.2s?1)5s?10?0.2s3?s2?5s?10系统闭环特征方程为：

0.2s3?s2?5s?10=0

由劳斯判据，有

1?5?0.2?10

故该系统闭环稳定。

（2）该系统给定输入信号下的开环传函为：

GK(s)?5s?10

s2(0.2s?1)前向通道有两个积分环节，v=2，该系统为II型系统，所以输入信号r(t)?1?t下的稳态误差为

essr=0

系统对于干扰的闭环传递函数为

10D(s)10ss(0.2s?1)?D(s)???

R(s)1?(1?0.5)?100.2s3?s2?5s?10ss(0.2s?1)因此阶跃干扰信号作用下的系统稳态误差为

essd?0?lims?D(s)D(s)s?0 0.110ss?lim?s???lim??0s?0s0.2s3?s2?5s?10s?00.2s3?s2?5s?10第5章

频率特性法

5.2 已知单位负反馈系统的开环传递函数为

GK(s)?5 s?1根据频率特性的物理意义，求闭环输入信号分别为以下信号时闭环系统的稳态输出。

（1）r（t）=sin（t+30°）； 解：该系统的闭环传递函数为

?(s)?闭环系统的幅频特性为

5 s?6A(?)?闭环系统的相频特性为

5??36?62

?(?)??arctan（1）输入信号的频率为??1，因此有

A(?)?系统的稳态输出

537?，?(?)??9.46 37css(t)?537sin(t?20.54?) 375.4 求图5.8所示的电网络的频率特性表达式，以及幅频特性与相频特性表达式，并绘制出对数频率特性曲线。

图5.8 题5.4图

解：

（a）电网络的传递函数为

G(s)?R2R1?1R1R2?CsR1Cs?1R2?1R1?CsR2R1Cs?1Ts?1????R1?R2R2R1Cs?1?Ts?1(R1?R2)L(?)/(dB) 1?T?R2?R2(R1Cs?1)R2R1Cs?R1?R2

L(?)/(dB) 0 1T1?T[+20] 20lg? ?(?)/? ?/ (rad·s) －10 [-20] 1T20lg1?/ (rad·s－1)

??(?)/? 60 30 0 10 ?T?m 1－?/ (rad·s1) ?m ?/ (rad·s－1)

－90 ?T（a） （b） 图5.9 题5.4伯德图

??R2?1,T?R1C

R1?R2j?T?1

j??T?1频率特性为 G(j?)??幅频特性

(?T)2?1 A(?)?(??T)2?1相频特性

?(?)?arctan?T?arctan??T

伯德图见图5.9（a），此电网络是系统校正中常用的超前校正装置（见第六章），呈现以下特点： 1） 转折频率1与1之间渐近线斜率为20dB/dec，起微分作用；

T?T2）?(?)在整个频率范围内都>0，具有相位超前作用，故名超前校正装置； 3）?(?)有超前最大值?m。

（b）电网络的传递函数为

G(s)?R2?1CsR?R??12?1,T?R2CR2R1?R2?1Cs?R2Cs?1(R1?R2)Cs?1

频率特性为 G(j?)?幅频特性

j?R2C?1

j?(R1?R2)C?1A(?)?相频特性

T2?2?1(?T?)?12 ?(?)?arctan?T?arctan??T

伯德图见图5.9（b），此电网络是系统校正中常用的滞后校正装置（见第六章），呈现以下特点： 1） 转折频率1与1之间渐近线斜率为－20dB/dec，起积分作用；

T?T 2）?(?)在整个频率范围内都<0，具有相位滞后作用，故名滞后校正装置；

3）?(?)有滞后最大值?m。

5.8 已知最小相位系统开环对数幅频特性如图5.13所示。

（1）写出其传递函数； （2）绘出近似的对数相频特性。

图5.13 题5.8图

解：（a）

1） 由低频段确定系统积分环节的个数v与开环传递系数K

由于低频段的斜率为0dB/dec，该系统为0型系统。由20lgK?60，求出K=1000。 2）确定串联的各典型环节

1； s?11－

第二个转折频率?2=10rad·s1，且斜率减小20dB/dec，有一个惯性环节；

s?1101－

第三个转折频率?3=300 rad·s1，且斜率减小20dB/dec，有一个惯性环节。

s?1300 第一个转折频率?1=1rad·s1，且斜率减小20dB/dec，有一个惯性环节

－

3）综上所述，该系统的开环传递函数为

GK(s)?4） 绘出近似的对数相频特性

100011(s?1)(s?1)(s?1)10300

对于最小相位系统，对数频率特性的低频渐近线斜率为－20vdB/dec，相频特性?(?)|?→0=－90v°，均与积分环节的个数v有关；当? → ?时，若n＞m，高频渐近线斜率为－20（n－m）dB/dec的斜线，

?(?)|?→∞=－90（n－m）°。因此，本开环系统相频特性有，?(0)=0°，?(∞)=－270°。

E(s)B(s)图解8.57（b）

（b） C(z)?G1G2(z)E(z)

E(z)?R(z)?B(z)

B(z)?G1G2(z)H(z)E(z)

C(z)/R(z)?G1G2(z)

1?G1G2(z)H(z)8.8 确定由下列特征方程表示的数字控制系统的稳定性。 解（3）z?1.5z?2z?3?0 将z?32w?1代入方程作双线性变换得到 w?1?w?1??w?1??w?1??1.5?2???????3?0

?w?1??w?1??w?1?整理化简后得

320.5w3?5.5w2?15.5w?2.5?0

由于a2?0，a0?0，所以该系统不稳定。

8.13 设离散系统如图8.63所示，其中采样周期Ts?1s，试求当r(t)?a?1(t)?bt时，系统无稳态误差、过渡过程在最少拍内结束的D(z)。

解 系统开环脉冲传递函数为

K?1K? G(z)?(1?z?1)?Z?????ss?z?1R(s)+ －Ts D(z) Ts ZOH KsC(s)图8.63 题8.13图

R(z)?令

azbz ?z?1(z?1)2?azbz?可取得

则

e(?)?lim(1z?1?z?1)?E(z)??z?1?(z?1)2???0 ?1E(z)?(1?z?)2

?(z)?1??E(z)?2z?1?z?2

D(z)??(z)(2?z?1)z?12?z?1G(z)??E(z)K??(1?z?1)2K(1?z?1)z?1

最小相位系统的对数相频特性和对数幅频特性的变化趋势相同，即若L(?)的斜率减小（或增大），则?(?)的相位也相应地减小（或增大）；如果在某一频率范围内，对数幅频特性L(?)的斜率保持不变，则在这些范围内，相位也几乎保持不变。因此，系统的相频特性在每个惯性环节的转折频率处有相应的变化，并可直接求取几个典型频率处（如转折频率）的相位，以提高曲线的准确性。如果系统有开环零点，则在相关转折频率处特性曲线出现凹凸。

?(?)/（°） 1 10 100 300 0 ?(?)/（°） 1 10 100 0 －90 －180 －270 ?/ (rad·s－1) ?/ (rad·s－1)

－90 －180 －270 (a) (b) 图5.14 题5.8系统开环对数相频特性

转折频率处相位为：?(1)=－51.7°，?(10)=－131°，?(300)=－223°。 本系统近似的对数相频特性见图5.14(a)。 解：（b）

1）由低频段确定系统积分环节的个数v与开环传递系数K

低频段的斜率为－20dB/dec，该系统为I型系统，v=1。将低频渐近线延长线上的点L(100)=0，代入低频渐近线的表达式L(?)=20lgK－20lg?，可以求出K=100。

2）确定串联的各典型环节

第一个转折频率?1=1rad·s1，且斜率减小20dB/dec，有一个惯性环节

－

1； s?11－

第二个转折频率?2=100rad·s1，且斜率减小20dB/dec，有一个惯性环节；

s?11003）综上所述，该系统的开环传递函数为

GK(s)?4） 绘出近似的对数相频特性

100

1s(s?1)(s?1)100与题（a）的分析相同，本开环系统相频特性满足，?(0)=－90°，?(∞)=－270°。转折频率处相位为：?(1)=－135°，?(10)=－180°，?(100)=－225°。系统的相频特性在每个惯性环节的转折频率处有相应的变化。本系统近似的对数相频特性见图5.14(b)。

解：(c)

1）由低频段确定系统积分环节的个数v与开环传递系数K

低频段的斜率为0dB/dec，该系统为0型系统。由20lgK?20，求出K=10。 2）确定串联的各典型环节

第一个转折频率?1=5rad·s1，且斜率减小40dB/dec，有一个二阶振荡环节，其时间常数为

－

T1?1?1?111，由?1?0.2?，此振荡环节为2；

s2s55??12525－

第二个转折频率?1=80rad·s1，且斜率增加40dB/dec，所以有一个二阶微分环节，其时间常数为

1s2s1??1。 T2??，由?2?0.1?，此二阶微分为

106400400?28013）综上所述，该系统的开环传递函数为

10(GK(s)?4） 绘出近似的对数相频特性

121s?s?1)6400400 122s?s?12525本开环系统相频特性满足，?(0)=0°，?(∞)= 0°，转折频率处相位为?(5)=?(80)=－91°。系统的相频特性在每个二阶振荡环节的转折频率处有相应的变化。本系统近似的对数相频特性见图5.15(c)。

?(?)/（°） 0 －90 －180 0 1 10 (d)

100 5 80 ?(?)/（°） ?/ (rad·s－1)

90 45

?/ (rad·s－1) (c)

图5.15 题5.8系统开环对数相频特性

解：(d)

1）由低频段确定系统积分环节的个数v与开环传递系数K

由于低频段的斜率为+20dB/dec，该系统有一个纯微分环节。低频渐近线表达式为L(?)=20lgK+20lg?，将点L(10)=0代入，可求出K=0.1。

2）确定串联的各典型环节

转折频率?=100rad·s1，且斜率减小20dB/dec，有一个惯性环节

－

1s?1100。

3）综上所述，该系统的开环传递函数为

GK(s)?4） 绘出近似的对数相频特性

0.1s

1s?1100同上，本开环系统相频特性满足，?(0)= 90°，?(∞)=0°。系统的相频特性在惯性环节的转折频率处为?(100)=45°。本系统近似的对数相频特性见图5.15(d)。 5.10 已知系统的开环传递函数如下

GK?s??（1）当K=1时，求系统的相位裕量； （2）当K=10时，求系统的相位裕量；

K

s?s?1??0.1s?1?（3）分析开环传递系数的大小对系统稳定性的影响。 解：（1）当K=1时，求系统的相位裕量；

L(?)/dB 40 K=10 b [－20] 20 K=1 a 0.1 1 [－40] 3.16 ωca －Lh= －20dB ωcb 10 100 －

?/ (rad·s1)

－20 －40 [－60] ?(?)/（°） 0.01 －90 ?=39.3? －180 1 ?g 10 100 －?/ (rad·s1)

－270 图5.18 题5.10控制系统的开环伯德图

绘制开环伯德图如图5.18对数频率特性(a)所示。低频段斜率为－20dB/dec，并通过点L(1)=20lgK－20lg1=0dB。经过转折频率?1=1rad·s1后斜率为－40dB/dec，经过转折频率?2=10rad·s1后最终斜率

－

－

为－60dB/dec。

系统的幅值穿越频率?ca=1 rad·s1，代入系统的相频特性有

－

?(?)??90??arctan??arctan0.1?

??180???(?c)?39.3??0?相角穿越频率?g=3.16 rad·s1，可求得系统的幅值裕量为

－

Lh=－L(?g)=20dB>0

因此，闭环系统稳定，并具有较好的稳定裕量。 （2）当K=10时，求系统的相位裕量；

绘制开环伯德图如图5.18对数频率特性(b)所示。相对于对数频率特性(a)，开环传递系数增加10倍， L(?)曲线上升20dB，相频特性保持不变。

系统的幅值穿越频率?cb=3.16 rad·s1，也是系统的相角穿越频率，代入系统的相频特性有

－

??180???(?c)?0?

系统的幅值裕量为

Lh=－L(?g)=－L(?c)=0dB

因此，稳定裕量为零，闭环系统处于临界稳定状态。 （3）分析开环传递系数的大小对系统稳定性的影响。

由以上分析可见，对一结构、参数给定的最小相位系统，当开环传递系数增加时，由于L(?)曲线上升，导致幅值穿越频率?c右移，从而使得相位裕量与幅值裕量都下降，甚至使系统不稳定。

第6章 控制系统的校正

6.8一单位负反馈系统固有部分的传递函数为Go(s)?K，若要求系统的静态速度误

s(s?1)(0.5s?1)差系数Kv=5s?1，相位裕量γ?≥40o，幅值穿越频率?’c≥0.5rad/s，幅值裕量L’h≥10dB。试设计所需串联滞后校正装置的传递函数。

解

（1）求校正前的开环频域指标

K=5时未校正系统的伯德图如图6.3中的曲线Lo（?）所示。低频段过点Lo（1）=20lgK=14dB，且中频段穿越斜率为-60 dB/dec，可见开环对数频率特性不满足稳定性的要求。

由关系

L(2)?14??40?L(2)?2dB

lg2?lg1L(?c)?L(2)??60??c?2.16rad/s

lg?c?lg2未校正系统的相位裕量为

??180??(?90??arctan2.16?arctan(2.16?0.5))??22.4?

系统是不稳定的。若采用超前校正，则需要校正装置提供的相位超前量为

?m??'?????40??22.4??5??67.4??65?

可见校正装置所需提供的相角超前量过大，对抗干扰有不利影响，且物理实现较为困难。同时由于采用超前校正幅值穿越频率会右移，从原系统的相频特性可见，系统在原?c处相位急速下降，需要校正装置提供的相角超前量可能更大，因此不宜采用超前校正。

由于要求的?'c?0.5rad/s在?c?2.16rad/s的左边，所以可以考虑采用串联滞后校正装置。 （2）确定校正后的幅值穿越频率

选择未校正系统伯德图上相位裕量为?0??'???40??8??48?时的频率，作为校正后的幅值穿越频率??c，根据下式确定

?o?180??(?90??arctan?'c?arctan(?'c?0.5))?48?

但直接求解此三角函数是比较困难的，根据题意可将??c=0.5 rad/s代入上式，求得

?0?49.4??48?

故选定??c=0.5rad/s。 （3）确定滞后网络的?值

未校正系统在??c处的对数幅值为

Lo(?'c)?20lg???20lg1?

L(?)/dB 60 40 [-20] Lo(?) 20 14 0 ?2 0.01 [-40] L(?) [-20] [-40] ??c=0.5 1 ?c=2.16 ?2=0.1 ?L?h 2 [-60] －?/ (rad·s1) -20 ?(?)/? LC(?) 0.01 0 -90 0.1 1 －?/ (rad·s1) ?c (?) ? o (?) -180 ? (?) γ?=40? γ=?22.4? -270 Lo(?)-未校正系统; Lc(?)-校正装置; L(?)-校正后系统

?o(?)-未校正系统; ?c(?)-校正装置; ?(?)-校正后系统

图6.3 题6.8系统校正前后的伯德图

根据

Lo(?'c)?20lgK20lg??20lg5???20

lg?'c?lg1lg0.5?lg1可计算出?=10。

(4)确定滞后校正装置转折频率

?2?选?2?1?c'?c' ?~T1051?'c??0.1rad/s，推出T=1/?2=10s，并有?1=1/?T=0.01rad/s。 T5滞后校正装置的传递函数为

Gc(s)?Ts?110s?1?

?Ts?1100s?1(5)校验系统校正后的稳定裕量r'与L?h 校正后系统的开环传递函数为

GK(s)?Gc(s)Go(s)?5(10s?1)

s(s?1)(0.5s?1)(100s?1)r'?180??(?90??arctan(0.5?10)?arctan0.5?arctan(0.5?0.5)?arctan(0.5?100))?40?

满足设计要求。

系统校正前后的频率特性见图6.3。

由于系统的相角穿越频率??g需通过复杂的三角函数才能正确求解，因此幅值裕量一般通过间接的方法验证，方法如下：

系统校正后的相频特性为

?(?)=?90?+ arctan10??arctan??arctan0.5??arctan100?

由图6.3可见，??g在频率范围（1，2）之间，可求得校正后?=1.3rad/s时的相位与对数幅值分别为

?(1.3)= ?179.4?

L(1.3)= ?20lg1/0.5?40lg1.3/1=?10.6（dB）

因此判断出校正后的??g稍大于1.3rad/s，并由系统的频率特性可知，在频率大于1rad/s的范围内，随频率的升高，系统对数幅值与相位均呈下降的趋势，所以必有L（?’g）＜?10.6dB，即L’h>10.6dB，满足设计要求。

幅值裕量的验证也可通过精确的坐标系直接判断，见图6.3。

比较校正前后系统的性能，有

（1）滞后校正装置的负斜率段压缩了系统开环对数幅频特性的中频段，使穿越频率由－40dB/dec变为－20dB/dec，系统的幅值穿越频率?c由2.16rad/s左移到0.5rad/s，利用系统本身的相频特性使系统稳定，并具有40°的相位裕量与足够的幅值裕量。

（2）不影响系统的低频段，不改变系统的稳态精度。 （4）高频段对数幅值下降，抗干扰性能有所提高。

总的来说，系统串联滞后校正装置后，在保证稳态性能的前提下，改善了动态性能。 6.15原系统的开环传递函数为Go(s)?频特性曲线L(?)如图6.10所示。试求：

（1）在原图上绘制所需校正装置的伯德图Lc(?)，求出此装置的传递函数Gc（s），并说明该装置的类型。

（2）简要说明系统校正前后性能的变化。 解： （1）

方法一：绘制系统校正前的频率特性，如图6.11 Lo (?)所示。根据

10，采用串联校正，期望校正以后的开环幅

s(s?1)Lc(?)= L(?)? Lo(?)

绘制系统所需校正装置的伯德图Lc(?)，见图6.11，可见所需装置为超前校正装置，其传递函数Gc（s）的求取过程如下：

校正装置低频段与0dB线重合，斜率为0dB/dec，推出传递系数为

K=1

确定各典型环节： 第一个转折点 第三个转折点

?1=2.2rad/s，斜率增加20db/dec，有一个积分环节

1s?1； 2.2，有一个惯性环节?3=8.8rad/s 斜率减小20dB/dec，

11s?18.8。

因此，校正装置的传递函数Gc（s）为

1s?10.45s?1 Gc(s)?2.2?1s?10.11s?18.8L(?)/dB 40 [-20] L（?） 20 [-40] LC(?) 6 0 0.1 1 2.2 4.47 8.8 [-20] 10 [-40] －?/ (rad·s1)

Lo(?) [-40] Lo(?)-未校正系统，Lc(?)-校正装置，L(?)-校正后系统 图6.11 题6.15系统校正前后的伯德图

方法二：根据图6.10所示系统校正后的期望特性L(?)，推出系统校正后的开环传递函数为

GK(s)?

故所需校正装置为

10(0.45s?1)s(s?1)(0.11s?1)

Gc(s)?（2）系统校正前，幅值穿越频率为

GK(s)0.45s?1?Go(s)0.11s?1

?c=1020/40=3.16rad/s

相位裕量为

??180??90??arctan3.16?17.6?

串联超前校正装置后，开环对数幅频特性的中频段抬高，幅值穿越频率右移，增加了带宽，快速性改善；相位裕量

?'?180??90??arctan4.47?0.45?arctan4.47?arctan4.47?0.11?50.0?

明显增加，系统稳定性改善；高频段对数幅值上升，抗干扰性下降。

第7章 非线性控制系统

7.1 求下列方程的奇点，并确定奇点的类型。

??(1?x2)x??x?0 （1）?x??(0.5?3x2)x??x?x2?0 （2）?x解：（1） 由题得：

???(1?x2)x??x?f?x?,x? x?为因变量，则上式可改写为 ?,x?为解析函数。若以x为自变量，x式中f?x?,x???xf?x? ??xx考虑到

???xdx，因此有 ?dx?xdtdt?,x??f?xdx?

?dxx根据奇点的定义

?0dx?，列方程组为 dx0??0?x ??,x??0?f?x得到系统的奇点为

??0?x ?x?0??,x?进行泰勒级数展开，保留一次项有 即奇点在坐标原点。在奇点（0，0）处，将f?x?,x??,x??f?x?f?x?,x??f?0,0????f?x?x?x?x?x?x??x?0??x?0x?0?(1?x2)??x?x??x?0x??(2xx??1)?x??x?0x?x

奇点附近线性化方程为

???f?x?,x??x??x x其特征方程为

s2?s?1?0

特征根为

?1,2?13 ?j22为s平面的右半部分的共轭复数根，故奇点为不稳定焦点。概略画出奇点附近的相轨迹如图7（a）所示：

（2）由题得：

???(0.5?3x2)x??x?x2?f?x?,x? x由

??0?x ??,x??0?f?x得到

??0?x ??x?0或?1即奇点为（0，0）和（-1，0）。

?x?xxx（a） （b）

图7.71 题7.1 奇点附近的相轨迹

?,x?进行泰勒级数展开，保留一次项有 1）在奇点（0，0）处，将f?x?,x??,x??f?x?f?x?,x??f?0,0????f?x?x?x?x?x?x??x?0??x?0x?(0.5?3x2)??1??xx2x?x?0??(?6xx??1?2x)x?x?x ??x?0奇点（0，0）附近线性化方程为：

???x其特征方程为

1??x x21s2?s?1?0

2特征根为：

?1,2??j1415?0.25?j0.984 4为s平面的右半部分的共轭复数根，故奇点（0，0）为不稳定焦点。

?,x?进行泰勒级数展开，保留一次项有 2）在奇点（-1，0）处，将f?x?,x??f??1,0??f?x?(0.5?3x2)?,x??f?x??x??0xx??1??0xx??1??0)??(x?,x??f?x?x??0xx??1??0xx??1?(x?1)

??(?6xx??1?2x)?x?(x?1)5??x?1??x2??x坐标系的奇点（-1，??x?，??y???x。即x在奇点（-1，0）处，进行坐标变换，令y?x?1，则y??0），变换为yy坐标系下的奇点（0，0）。因此有

??y??5??y y2其特征方程为

s2?特征根为：

5s?1?0 2?3,4???5441 4??x坐标系下的奇点（-1，0）为鞍点。 为一正一负的两个实数根，故x概略画出奇点附近的相轨迹如图7（b）所示：

7.3 系统结构图如图7.71，设系统初始条件是静止状态，试绘制相轨迹图。系统输入为 （1）r(t)?R，R?a

解：（1）

非线性特性的数学表达式为

?e?y??a??a?由结构图可知线性部分的传递函数为：

e?a?e?a?? e??a???Xc?s?1 ?Y?s?s?Ts?1?由此可得线性部分的微分方程为：

??c?t??x?c?t??y(t) Tx由比较环节：e?xr?t??xc?t?，上式又可以写成

???e??y?T??r?x?r Tex?r?x?r?0，因此系统的微分方程为 输入信号为阶跃函数，当t?0时，?x???e??y?0 Te根据已知的非线性特性，开关线e??a将相平面分为正饱和区II、线性区I、负饱和区III三个线性区域。

??????????????e??e?0Te???e??a?0Te???e??a?0Te(e?a)(e?a)(e??a)

1)Ⅰ区（线性区）：系统的微分方程为

???e??e?0Te???将e(e?a)

?de?代入上式，求得Ⅰe区相轨迹的斜率方程为 de???ede1e??

?deTe?0de? de0??0代入上式，得到 以e?0及e?的原点（0，0）为I区相轨迹的奇点，该奇点因位于I区内，故为实奇点。线这说明相平面e?e性区I区的特征方程及特征值分别为

Ts2?s?1?0(e?a)

?1?1?4T?1,2?2若1?4T?0，则系统在I区工作于欠阻尼状态，这时奇点（0，0）为稳定焦点；若1?4T?0，则系统在I区工作于过阻尼状态，这时的奇点（0，0）为稳定结点。为方便讨论奇点的性质及绘制相平面图，以下分析假定1?4T?0。

若记等倾线斜率为???de，则I区的等倾线方程为 dee???e e?a

T??1当1?4T?0时，该区的相轨迹是一簇螺旋线，收敛于相平面原点，如图解7-8(a)所示。当

1?4T?0时，该区的对应的相轨迹是一簇趋向相平面原点的抛物线。

2)Ⅱ、Ⅲ区（饱和区）：系统的微分方程为

????????e??a?0Te???e??a?0Te(e?a) (e??a)

?de?代入上式，求得Ⅱe、Ⅲ区相轨迹的斜率方de???由微分方程知，系统没有奇点，但有渐近线。将e程为

????????????若记等倾线斜率为?????ade1e?? e?a ?deTe

???ade1e?? e??a?deTe?de，则分别求得II、III区的等倾线方程为 de???????????????ea e?a T??1

a??e e??aT??1??常数，即等倾线斜率均为0。当相轨迹斜率?与等倾线斜率相等，即??0时，直相轨迹方程为e线

???a （II区） e??a （III区） e???a，III区的全部相轨迹均分别为II、III区内??0的等倾线。由于II区的全部相轨迹均渐近于e??a，故称??0的两条等倾线为相轨迹的渐近线。 渐近于e由此应用等倾线法，在相平面图的II、III区分别绘制的一簇相轨迹如图7.35（b）所示，II、III区相轨迹图对称于坐标原点。

3）非线性系统的相平面图

基于图7.35（a）、（b）将以上各区的相轨迹连接起来，可以绘制非线性系统的完整相轨迹图，见图(c)，其中相轨迹的初始点由

e(0)?r(0)?c(0) ?(0)?r?(0)?c?(0) e来确定。

假使系统原来处于静止状态，则在阶跃输入（r(t)?R，R?a）作用时，相轨迹的起始点应为

?(0)?0。此时的非线性系统的完整相平面图如图7-8（ d）所示。正负饱和区的相轨迹e(0)?R,e与理想继电特性的相轨迹相同，但是由饱和点所决定，切换位置提前。由于线性区的奇点性质为稳定焦点，所以最后一次进入I区后，相轨迹不再进入其它工作区，在I区内经有限次衰减振荡后，最终收敛于原点。

1???0T1T??????0a

e ?a

?a

???1Ta

??0? (a)

1???0T?ea

a

?a a

?a ?a

图7. 5 题7.3含饱和特性的非线性系统相

从饱和特性的相平面分析可以看到：

(1) 阶跃输入作用时，系统是稳定的，其稳态误差为零。如果系统的固有部分具有良好的阻尼特性，系统最后进入I区后，在超调量、调节时间、振荡次数等方面均良好的动态特性，而且不产生自持振荡。最大超调量可从图中量得，为相轨迹第一次与负实轴的交点坐标的绝对值，而相轨迹绕原点

的次数为过渡过程的振荡次数。

(2)饱和点的大小可以决定分区切换次数的多少。饱和点的值大，则线性工作区大， 分区切换次数少，非线性振荡次数少，饱和非线性对系统的影响小。饱和点的值小，则线性工作区范围小，分区切换次数增加，非线性振荡次数增多，饱和非线性对系统的影响就不可忽视。

当1?4T?0时，I区的相轨迹为收敛于原点的抛物线，其他与1?4T?0时相同。 7.8 图7.76所示为继电器控制系统的结构图，其线性部分的传递函数为

W(s)?10

(s?1)(0.5s?1)(0.1s?1) xr(t)+ e(t) 2 1 y(t) s)W(xc(t) 题7.4图

试确定自持振荡的频率与振幅。

解：带有滞环的继电器特性的描述函数为：

4M4Ma?a?R?A??1????j,2?A?A?A?输入为e(t)=Asinωt。已知M?2,a?1，代入上式，则有

2A?a

88?1?R?A??1????j,2?AA?A??写出描述函数的负倒数特性为

2A?1

?1?1?2R(A)88?1?1????j?A?A2?A???A?1

?A8??1?1????j8?A?2由上式可知，A由1??时，Im??11???，因此曲线平行于负实轴，且??j?R(A)8?R(A)???1?Re???由0???。

R(A)??

由题，线性环节的传递函数为：

W(s)?10

(s?1)(0.5s?1)(0.1s?1)将s?j?代入上式，可得其频率特性为：

W(j?)?10

(j??1)(0.5j??1)(0.1j??1)由于线性环节为0型3阶系统，故W?j??曲线起于正实轴的（10, j0）点，幅值单调减小，沿顺时针方向终止于原点，最终相位为-270?，与正虚轴相切，并由Im[W?j??]?0可求得与负实轴的交点为（?0.5, j0）点。

作?11曲线和W?j??曲线，交于D点，如图所示。?自右向左移动，与曲线W(j?)R?A?R?A?1R(A)?有交点，从不稳定区域进入系统稳定区域，交点所对应的极限环是稳定的，系统存在自持振荡。

与曲线W(j?)交点的求取公式如下：

?1?W?j??R(A) 1R?A???W?j??由于

?即：

1??0.065?2?0.1??j(0.005?3?0.16?)

W?j??88?1?23R?A??1????j?0.065??0.1?j(0.005??0.16?) ??2?A?A?A?有

2?81???1????0.065?2?0.1??A?A? ??8??0.005?3?0.16??2??A2利用MATLAB求解此方程组，指令如下

[a,w] = solve('8/3.14/a*sqrt(1-(1/a)^2) =0.065*w^2-0.1','-8/3.14/a^2=0.005*w^3-0.16*w')

Im ?0.5D10?1R(A)??3.84A?2.78??j8Re W(j?)图7.18 题7.8非线性系统稳定判据

排除负根与复数根，得解为：

??3.84?rad/s?A?2.78

即系统有频率??3.84?rad/s?，振幅A?2.78的自振。

注：自持振荡的频率和振幅也可通过相对描述函数（又称基准描述函数）R0()求得，公式如下

aAaR(A)R0()?AKnKnW(j?)??1 aR0() A即将描述函数中部分非线性参数分离出来，乘到线性部分去，描述函数剩余部分的非线性参数都

a1称为负倒相对描述函数?以相对值A的形式出现，Kn称为非线性特性的尺度函数，R0(A) 。

aR0()Aaaa1的特点是：把作为一个变量，则R0()仅是的函数，其函数值与非线性特性的特征参?aAAAR0()A1数M、a无关。显然，KnW(j?)与W(j?)成比例，绘制过程相同，但?的作图过程却比绘

aR0()A制??1和KnW(j?)的相互关系，完全对应于?1和W(j?)的相互关系。负倒相对描述函数R(A)1简单得多。R(A)

本题的基准描述函数为

aR(A)R(A)44?a?R0()???1????jAKn2?A?A2?A?2Kn?M?2 aKnW(j?)?通过KnW(j?)??20

(j??1)(0.5j??1)(0.1j??1)1，所求得的系统自振参数与前面的计算结果完全相同。 aR0() A第8章 离散控制系统的分析和综合

8.1 设时间函数的拉氏变换为X(s)，采样周期Ts=1秒，利用部分分式展开求对应时间函数的z变换X(z)。

（1） X(s)?(s?3)27 （3） X(s)?

s(s?1)(s?2)(s?2)(s2?4s?13)解 （1）将X(s)展成部分分式

X(s)?则其z变换为

1.5?20.5?? ss?1s?2X(z)?1.5z?2z0.5zz(0.831z?0.011) ????1?2z?1z?ez?e?z?1??z?0.368??z?0.135?（3）将X(s)展成部分分式

X(s)?则其z变换为

33s?633(s?2)?2?? s?2s?4s?13s?2(s?2)2?323z3(z2?ze?2cos3)X(z)??

z?e?2z2?2ze?2cos3?e?48.4 设Ts=0.1秒，对图8.56的结构图。求G(z)?C(z)。 R(z)图8.56 题8.4图

解 （a）

1110101?0.10.1?G(s)???2?2?? sss(s?10)s(s?10)sss?10Tsz0.1??0.1z0.1z?1??1?0.1Z??G(s)??Z?2????? ?10Ts2?ssss?10(z?1)z?1z?e????脉冲传递函数为

G(z)?C(z)?0.1z0.1z??1?z?1?Tsz?(1?z?1)?Z??G(s)??????R(z)z?(z?1)2z?1z?e?10Ts??s??

?10Ts?10Ts?10Ts(T?0.1?0.1e)z?(0.1?Tse?0.1e)?s(z?1)(z?e?10Ts)0.0368z?0.0264

z2?1.368z?0.368将Ts=0.1秒代入，整理得

G(z)?（b）

1110110?G(s)????2 sss(s?10)s?2s(s?2)(s?10)?11315111?2?????? 2s10s16s?280s?10111??1??11315Z??G(s)??Z??2?????? ?s2s10s16s?280s?10???? ?系统脉冲传递函数为

1Tsz3z5z??????2(z?12)10z?11z6?e?2Ts1?z

z8?0e?1T0sG(z)??C(z)3z5z1z?1?z?1?1Tsz?(1?z?1)?Z??G(s)???????????R(z)z?2(z?1)210z?116z?e?2Ts80z?e?10Ts??s??

将Ts=0.1秒代入，整理得

0.002z2?0.003z?0.001G(z)?3 2z?2.187z?1.488z?0.301（c）G1(s)?101 ， G2(s)?

s?2s(s?10)?1?e?Tss?(Ts?0.1?0.1e?10Ts)z?(0.1?Tse?10Ts?0.1e?10Ts)G1(z)?Z??G1(s)?? ?10Tss(z?1)(z?e)???1?e?Tss?0.5(1?e?2Ts)G2(z)?Z??G2(s)?? ?2Tssz?e??(Ts?0.1?0.1e?10Ts)z?(0.1?Tse?10Ts?0.1e?10Ts)0.5(1?e?2Ts) G(z)?G1(z)?G2(z)??(z?1)(z?e?10Ts)z?e?2Ts将Ts=0.1秒代入，整理得

G(z)?0.003z?0.002

z3?2.187z2?1.488z?0.301

8.5 求图8.57示各系统的C(z)/R(z)。

图8.57 题8.5图

解 （a）

C(z)?G1(z)G2(z)E(z)

E(z)?R(z)?B(z)

B(z)?G1(z)G2H(z)E(z)

整理得

E(s)B(s)图解8.57（a）

C(z)/R(z)?G1(z)G2(z)

1?G1(z)G2H(z)

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/2crf.html