黄埭中学天天练46~49答案

江苏黄埭中学天天练（46） 班级 姓名 成绩

1.(1)已知各项均为正数的等比数列{an}中，a1a2a3＝5，a7a8a9＝10，则a4a5a6＝________.

(2)设数列{an}的首项a1＝－7，且满足an＋1＝an＋2 (n∈N＋)，则a1＋a2＋… ＋a17＝

________.

(3)等差数列{an}中，a1＋a2＋a3＝－24，a18＋a19＋a20＝78，则此数列前20项和等于________．

（4）已知数列{an}的前n项和为Sn (n∈N*)，点(an，Sn)在直线y＝2x－n上,则数列{an}的通项公式为________.

答案 2; (2)153; (3)180； （4）an＝2n－1

2.已知公差为d (d>1)的等差数列{an}和公比为q (q>1)的等比数列{bn}，满足集合 {a3，a4，a5}∪{b3，b4，b5}＝{1,2,3,4,5}． (1)求通项an，bn；

(2)求数列{an·bn}的前n项和Sn.

解 (1)∵1,2,3,4,5这5个数中成公差大于1的等差数列的三个数只能是1,3,5；成公比大于1的等比数列的三个数只能是1,2,4，而{a3，a4，a5}∪{b3，b4，b5}＝{1,2,3,4,5}， ∴a3＝1，a4＝3，a5＝5，b3＝1，b4＝2，b5＝4，

1

∴a1＝－3，d＝2，b1＝q＝2，

4∴an＝a1＋(n－1)d＝2n－5，bn＝b1×qn1＝2n3.

－

－

(2)∵anbn＝(2n－5)×2n3，

－

∴Sn＝(－3)×22＋(－1)×21＋1×20＋…＋(2n－5)×2n3，

－

－

－

∴2Sn＝(－3)×21＋(－1)×20＋…＋(2n－7)×2n3＋(2n－5)×2n2，

－

－

－

两式相减得

－Sn＝(－3)×22＋2×21＋2×20＋…＋2×2n3－(2n－5)×2n2

3－－

1＋2n1－(2n－5)×2n2，

47－

∴Sn＋(2n－7)×2n2.

4

－

－

－

－

3.已知数列{an}的前n项和Sn与通项an满足Sn22n.

(1)求数列{an}的通项公式；

111

(2)设f(x)＝log3x，bn＝f(a1)＋f(a2)＋…＋f(an)，Tn，求T2 012；

b1b2bn(3)若cn＝an·f(an)，求{cn}的前n项和Un.

1

解 (1)当n＝1时，a1＝

3

11

当n≥2时，an＝Sn－Sn－1，

11

又Sn－an，

221

所以an＝n－1，

3

11

即数列{an}

33

1n

故an＝3.

1 n

(2)由已知可得f(an)＝log3 3 ＝－n，

n n＋1

则bn＝－1－2－3－…－n＝－

2

111

故2 nn＋1， bn

11 111

1－ ＋ － ＋…＋ n－又Tn＝－2 2 23 n＋1 1

＝－2 1－n＋1，

4 024

所以T2 012.

2 013

1n， (3)由题意得cn＝(－n 3故Un＝c1＋c2＋…＋cn

1 1＋2× 12＋…＋n1n ， ＝－ 1× 3 33 1 12＋2× 1 3＋…＋n 1 n＋1 ， 则Un＝－ 1× 3 3 3 3两式相减可得 2 1 1＋ 12＋…＋ 1 n－n 1n＋1 Un＝－ 3 3 3 3 3

1 1 n ＋n 1n＋1 1－ 32 3 11 1 n 1n＋1， ＋n 322 3

33 1n3 1 n＋1

则Un＝－＋n. 44 32 3

江苏黄埭中学天天练（47） 班级 姓名 成绩

1.(1)设等差数列的前n项和为Sn，已知前6项和为36，Sn＝324，最后6项的和为180 (n>6)，

则数列的项数n为________.

(2)已知Sn为等比数列{an}的前n项和，且S3＝8，S6＝7，则a4＋a5＋…＋a9＝________. （3））等差数列{an}的前n项和Sn＝m，前m项和Sm＝n (m≠n)，则它的前m＋n项的和Sm＋n为________.

（4已知数列{an}的前n项和Sn＝2an＋1，则它的通项公式为________.

7－

答案 （1）18 ； （2）； （3）－(m＋n) ； （4）∴an＝－2n1

8

2.设a1，d为实数，首项为a1，公差为d的等差数列{an}的前n项和Sn，满足S5S6＋15＝0.

(1)若S5＝5，求S6及a1；

(2)求d的取值范围．

－15

解 (1)由题意知S6＝3，a6＝S6－S5＝－8.

S5

5a1＋10d＝5，所以

a1＋5d＝－8.

解得a1＝7，所以S6＝－3，a1＝7. (2)方法一 ∵S5S6＋15＝0， ∴(5a1＋10d)(6a1＋15d)＋15＝0，

2

即2a21＋9da1＋10d＋1＝0.

因为关于a1的一元二次方程有解，所以 Δ＝81d2－8(10d2＋1)＝d2－8≥0， 解得d≤－2或d≥22. 方法二 ∵S5S6＋15＝0， ∴(5a1＋10d)(6a1＋15d)＋15＝0，

2即2a21＋9da1＋10d＋1＝0.

故(4a1＋9d)2＝d2－8.所以d2≥8. 故d的取值范围为d≤－22或d≥2.

3.(2012·四川)已知数列{an}的前n项和为Sn，且a2an＝S2＋Sn对一切正整数n都成立． (1)求a1，a2的值；

10a

(2)设a1>0，数列 lg a 的前n项和为Tn，当n为何值时，Tn最大？并求出Tn的最

n

大值．

解 (1)取n＝1，得a2a1＝S2＋S1＝2a1＋a2，① 取n＝2，得a22＝2a1＋2a2.② 由②－①，得a2(a2－a1)＝a2.③ 若a2＝0，由①知a1＝0； 若a2≠0，由③知a2－a1＝1.④

由①④解得a12＋1，a2＝22或a1＝1－2， a2＝22.

综上可得，a1＝0，a2＝0或a12＋1，a2＝2＋2或a1＝1－2，a2＝22.

(2)当a1>0时，由(1)知a1＝2＋1，a22＋2. 当n≥2时，有(2＋2)an＝S2＋Sn， (2＋2)an－1＝S2＋Sn－1.

所以(12)an＝(22)an－1，即an＝2an－1(n≥2)． 所以an＝a12)n1＝(2＋2)n1.

10a令bn＝lg ，

an

11100－

则bn＝1－2)n1＝1n－1)lg 2＝lg －.

222

1

公差为－lg 2 . 所以数列{bn}是单调递减的等差数列 2

10

从而b1>b2>…>b7＝lg >lg 1＝0.

8

11001

当n≥8时，bn≤b8lg 1＝0.

21282

－

－

故当n＝7时，Tn取得最大值，且Tn的最大值为

7 b1＋b7 7 1＋1－3lg 2 21T7＝7－lg 2.

222

江苏黄埭中学天天练（48） 班级 姓名 成绩

1.（1）已知数列{xn}满足lg xn＋1＝1＋lg xn(n∈N*)，且x1＋x2＋x3＋…＋x100＝1，则lg(x101

b9

（2在等比数列{an}中，a9＋a10＝a (a≠0)，a19＋a20＝b，则a99＋a100＝________. 答案

a（3）已知数列{an}是正项等比数列，若a1＝32，a3＋a4＝12，则数列{log2an}的前n项和Sn的最大值为________．答案Sn的最大值为S5＝S6＝15

a9＋a101

（4）已知等比数列{an}中，各项都是正数，且a1，3,2a2成等差数列，则2a7＋a8________．答案 3＋22

＋x102＋…＋x200)＝________.答案100

2.(1)在等差数列{an}中，已知a1＝20，前n项和为Sn，且S10＝S15，求当n取何值时，Sn

取得最大值，并求出它的最大值；

(2)已知数列{an}的通项公式是an＝4n－25，求数列{|an|}的前n项和． 解 (1)方法一 ∵a1＝20，S10＝S15，

10×915×145

∴10×20＋＝15×20＋，∴d＝－223

5565－＝－＋∴an＝20＋(n－1)× 333∴a13＝0，即当n≤12时，an>0，n≥14时，an<0，

12×11 5∴当n＝12或13时，Sn取得最大值，且最大值为S13＝S12＝12×20 －3＝

2130.

5

方法二 同方法一求得d＝－3

n n－1 55125

－＝－n2＋ ∴Sn＝20n＋ 3266

2553 125n－ 2＋2 624

∵n∈N*，∴当n＝12或13时，Sn有最大值，且最大值为S12＝S13＝130.

5

方法三 同方法一求得d＝－3又由S10＝S15得a11＋a12＋a13＋a14＋a15＝0. ∴5a13＝0，即a13＝0.

∴当n＝12或13时，Sn有最大值． 且最大值为S12＝S13＝130.

(2)∵an＝4n－25，an＋1＝4(n＋1)－25， ∴an＋1－an＝4＝d，又a1＝4×1－25＝－21.

所以数列{an}是以－21为首项，以4为公差的递增的等差数列． an＝4n－25<0， ① 令 a＝4 n＋1 －25≥0， ② n＋1

11

由①得n<6；由②得n≥5，所以n＝6.

44

即数列{|an|}的前6项是以21为首项，公差为－4的等差数列，从第7项起以后各项构成公差为4的等差数列， 而|a7|＝a7＝4×7－25＝3. 设{|an|}的前n项和为Tn，则

T＝ n－6 n－7

66＋3 n－6 ＋×4 n≥7 2

n

2 －2n＋23n n≤6 ，＝ 2 2n－23n＋132 n≥7 .

n n－1

21n －4 n≤6

2

(2012·四川)已知数列{an}的前n项和为Sn，且a2an＝S2＋Sn对一切正整数n都成立． (1)求a1，a2的值；

10a

(2)设a1>0，数列 lg a 的前n项和为Tn，当n为何值时，Tn最大？并求出Tn的最

n

大值．

解 (1)取n＝1，得a2a1＝S2＋S1＝2a1＋a2，① 取n＝2，得a22＝2a1＋2a2.② 由②－①，得a2(a2－a1)＝a2.③ 若a2＝0，由①知a1＝0； 若a2≠0，由③知a2－a1＝1.④

由①④解得a12＋1，a2＝22或a1＝1－2， a2＝22.

综上可得，a1＝0，a2＝0或a12＋1，a2＝2＋2或a1＝1－，a2＝22. (2)当a1>0时，由(1)知a1＝2＋1，a22＋2. 当n≥2时，有(2＋2)an＝S2＋Sn， (2＋2)an－1＝S2＋Sn－1.

所以(12)an＝(22)an－1，即an＝2an－1(n≥2)．

10a－－

所以an＝a12)n1＝(2＋2)n1.令bn＝lg

an

11100－

则bn＝1－n1＝1n－1)lg 2＝lg －.

222

1

公差为－lg 2 . 所以数列{bn}是单调递减的等差数列 2

10

从而b1>b2>…>b7＝lg >lg 1＝0.

8

11001

当n≥8时，bn≤b8lg 1＝0.

21282故当n＝7时，Tn取得最大值，且Tn的最大值为

7 b1＋b7 7 1＋1－3lg 2 21T7＝7－lg 2.

222

江苏黄埭中学天天练（49） 班级 姓名 成绩

1.（1）已知数列{an}是首项为a1＝4的等比数列，且4a1，a5，－2a3成等差数列，则其公

比q等于________．答案 1或－1

11

（2）若数列{an}ad(n∈N*，d为常数)，则称数列{an}为调和数列，已知数

an＋1n

1

列 x为调和数列且x1＋x2＋…＋x20＝200，则x5＋x16＝________.答案 20 n

→

（3）设数列{an}满足a1＋2a2＝3，点Pn(n，an)对任意的n∈N*，都有PnPn＋1＝(1,2)，则数4

列{an}的前n项和Sn＝________.答案 n(n－)

3

x 2－1， x≤0，

（4）已知函数f(x)＝ 把函数g(x)＝f(x)－x的零点按从小到大的顺序

f x－1 ＋1， x>0，

排列成一个数列，则该数列的通项公式为______________．答案 an＝n－1，n∈N*

S

2.设数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，an＝n＋2(n－1) (n∈N*)．

(1)求证：数列{an}为等差数列，并分别写出an和Sn关于n的表达式；

SSS(2)是否存在自然数n，使得S1＋－(n－1)2＝2 013？若存在，求出n的值；

23n若不存在，请说明理由．

S解 (1)由an＝＋2(n－1)，得Sn＝nan－2n(n－1) (n∈N*)．

n当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝nan－(n－1)an－1－4(n－1)， 即an－an－1＝4，

故数列{an}是以1为首项，以4为公差的等差数列．

a1＋an n

于是，an＝4n－3，Sn＝＝2n2－n (n∈N*)．

2S(2)由Sn＝nan－2n(n－1)，得2n－1 (n∈N*)，

n

SSS又S1＋…＋－(n－1)2＝1＋3＋5＋7＋…＋(2n－1)－(n－1)2＝n2－(n－1)2＝2n

23n－1.

令2n－1＝2 013，得n＝1 007， 即存在满足条件的自然数n＝1 007.

3.已知单调递增的等比数列{an}满足a2＋a3＋a4＝28，且a3＋2是a2，a4的等差中项． (1)求数列{an}的通项公式；

1＋

(2)若bn＝anlogn，Sn＝b1＋b2＋…＋bn，求使Sn＋n·2n1>50成立的最小正整数n的值．

2解 (1)设此等比数列为a1，a1q，a1q2，a1q3，…，其中a1≠0，q≠0. 由题意知：a1q＋a1q2＋a1q3＝28，① a1q＋a1q3＝2(a1q2＋2)．②

②×7－①得6a1q3－15a1q2＋6a1q＝0，

1

即2q2－5q＋2＝0，解得q＝2或q.

2

∵等比数列{an}单调递增，∴a1＝2，q＝2，∴an＝2n. (2)由(1)得bn＝－n·2n，

∴Sn＝b1＋b2＋…＋bn＝－(1×2＋2×22＋…＋n·2n)． 设Tn＝1×2＋2×22＋…＋n·2n，③ 则2Tn＝1×22＋2×23＋…＋n·2n1.④

＋

由③－④，得－Tn＝1×2＋1×22＋…＋1·2n－n·2n1

＋

＝2n1－2－n·2n1＝(1－n)·2n1－2，

＋

＋

＋

∴－Tn＝－(n－1)·2n1－2.

＋

∴Sn＝－(n－1)·2n1－2.

＋

要使Sn＋n·2n1>50成立，

＋

即－(n－1)·2n1－2＋n·2n1>50，即2n>26.

＋

＋

∵24＝16<26,25＝32>26，且y＝2x是单调递增函数， ∴满足条件的n的最小值为5.

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