直线与圆锥曲线的综合问题

第32练 直线与圆锥曲线的综合问题

[题型分析·高考展望] 本部分重点考查直线和圆锥曲线的综合性问题，从近几年的高考试题来看，除了在解答题中必然有直线与圆锥曲线的联立外，在填空题中出现的圆锥曲线问题也经常与直线结合起来.本部分的主要特点是运算量大、思维难度较高，但有时灵活地借助几何性质来分析问题可能会收到事半功倍的效果.预测在今后高考中，主要围绕着直线与椭圆的位置关系进行命题，有时会与向量的共线、模和数量积等联系起来；对于方程的求解，不要忽视轨迹的求解形式，后面的设问将是对最值、定值、定点、参数范围的考查，探索类和存在性问题考查的概率也很高.

常考题型精析

题型一 直线与圆锥曲线位置关系的判断及应用

x2y2例1 (1)(2015·福建改编)已知椭圆E：2＋2＝1(a＞b＞0)的右焦点为F，短轴的一个端点为

ab4

M，直线l：3x－4y＝0交椭圆E于A，B两点.若AF＋BF＝4，点M到直线l的距离不小于，5则椭圆E的离心率的取值范围是________________.

x2y22

(2)设焦点在x轴上的椭圆M的方程为＋2＝1 (b>0)，其离心率为.

4b2①求椭圆M的方程；

②若直线l过点P(0,4)，则直线l何时与椭圆M相交？

点评 对于求过定点的直线与圆锥曲线的位置关系问题，一是利用方程的根的判别式来确定，但一定要注意，利用判别式的前提是二次项系数不为零；二是利用图形来处理和理解；三是直线过定点位置不同，导致直线与圆锥曲线的位置关系也不同.

x2y2

变式训练1 已知椭圆C：2＋2＝1(a>b>0)的焦距为4，且过点P(2，3).

ab

(1)求椭圆C的方程；

(2)设Q(x0，y0)(x0y0≠0)为椭圆C上一点，过点Q作x轴的垂线，垂足为E.取点A(0,22)，连结AE，过点A作AE的垂线交x轴于点D.点G是点D关于y轴的对称点，作直线QG，问这样作出的直线QG是否与椭圆C一定有唯一的公共点？并说明理由.

题型二 直线与圆锥曲线的弦的问题

x2y2

例2 设椭圆C：2＋2＝1 (a>b>0)的左，右焦点分别为F1，F2，且焦距为6，点P是椭圆短

ab轴的一个端点，△PF1F2的周长为16. (1)求椭圆C的方程；

4

(2)求过点(3,0)且斜率为的直线l被椭圆C所截得的线段中点的坐标.

5

点评 直线与圆锥曲线弦的问题包括求弦的方程，弦长，弦的位置确定，弦中点坐标轨迹等问题，解决这些问题的总体思路是设相关量，找等量关系，利用几何性质列方程(组)，不等式(组)或利用一元二次方程根与系数的关系，使问题解决.

变式训练2 在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C的中心在原点O，焦点在x轴上，短轴

长为2，离心率为

2. 2

(1)求椭圆C的方程；

(2)A，B为椭圆C上满足△AOB的面积为→→

椭圆C于点P.设OP＝tOE，求实数t的值.

6

的任意两点，E为线段AB的中点，射线OE交4

高考题型精练

1.(2015·北京)已知椭圆C：x2＋3y2＝3，过点D(1,0)且不过点E(2,1)的直线与椭圆C交于A，B两点，直线AE与直线x＝3交于点M. (1)求椭圆C的离心率；

(2)若AB垂直于x轴，求直线BM的斜率；

(3)试判断直线BM与直线DE的位置关系，并说明理由.

2.如图，已知抛物线C的顶点为O(0，0)，焦点为F(0,1).

(1)求抛物线C的方程；

(2)过点F作直线交抛物线C于A，B两点.若直线AO、BO分别交直线l：y＝x－2于M、N两点，求MN的最小值.

3.(2015·南京模拟)已知抛物线C的顶点为原点，其焦点F(0，c)(c>0)到直线l：x－y－2＝0的32距离为.设P为直线l上的点，过点P作抛物线C的两条切线PA，PB，其中A，B为切点.

2(1)求抛物线C的方程；

(2)当点P(x0，y0)为直线l上的定点时，求直线AB的方程； (3)当点P在直线l上移动时，求AF·BF的最小值.

4.已知点A，B是抛物线C：y2＝2px (p>0)上不同的两点，点D在抛物线C的准线l上，且焦

32点F到直线x－y＋2＝0的距离为.

2(1)求抛物线C的方程；

(2)现给出以下三个论断：①直线AB过焦点F；②直线AD过原点O；③直线BD平行于x轴. 请你以其中的两个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出一个正确的命题，并加以证明.

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