中考数学强化训练09 相似形，解直角三角形

中考数学强化训练09相似形，解直角三角形

相似形，解直角三角形

一．填空题（每空3分，共30分） 1．若

abc??,且a+2b－c=12,则b=________． 3572．△ABC与△DEF的相似比为3：4，则△ABC与△DEF的面积比为 ． 3．△ABC中,AC=2,BC=7,AB=3,则cosA=_________．

4．如图，△ABC中，点D在边AB上，满足∠ACD =∠ABC，若AC=2，AD=1，则DB= ． 5．如图在△ABC中D是AB边上一点，连接CD，要使△ADC与△ABC相似，应添加的条件是 ．

6．如图，上体育课时，甲、乙两名同学分别站在C、D的位置时，乙的影子恰好在甲的影子里边，已知甲，乙同学相距1米．甲身高1．8米，乙身高1．5米，则甲的影长是 米． A

D BC

7．如图，小明在A时测得某树的影长为2m，B时又测得该树的影长为8m，若两次日照的光线互相垂直，则树的高度为___ _m．

8．如图，光源P在横杆AB的正上方，AB在灯光下的影子为CD，AB∥CD，AB＝2m，CD＝6m，点P到CD的距离是2．7m，则AB与CD间的距离是__________m．

A时

B时

9．如图，已知图中的每个小方格都是边长为1的小正方形，每个小正方形的顶点称为格点．若△ABC与△A1B1C1是位似图形，且顶点都在格点上，则位似中心的坐标是___________．

10．如图，点M是△ABC内一点，过点M分别作直线平行于△ABC的各边，所形成的三个小三角形△1、△2、△3（图中阴影部分）的面积分别是4，9和49．则△ABC的面积是 ．

y A1 10 9 8 7 6 A 5 4 B1 C1 3 2 C B 1

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 x

二．选择题 （每空3分，共18分） 11．下列命题中，是真命题的为（ ）

1

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A．锐角三角形都相似 B．直角三角形都相似 C．等腰三角形都相似 D．等边三角形都相似 12．在Rt△ABC中，∠C＝90o，若将各边长度都扩大为原来的2倍，则∠A的正弦值（ ）

A．扩大2倍 B．缩小2倍 C．扩大4倍 D．不变

13．如图，?ABC=?EFC=70?，?ACB=60?，?DGB=40?，则下列哪一组三角形相似？ （ ） A．△BDG，△CEF B．△ABC，△CEF C．△ABC，△BDG D．△FGH，△ABC 14．如图，△ABC中，点DE分别是AB、AC的中点，则下列结论： ①BC=2DE；②△ADE∽△ABC； ③ADAB?．其中正确的有 （ ） AEACA．3个 B．2个 C．1个 D．0个 15．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，CD⊥AB于点D．则△BCD与△ABC的周长之比为 （ ） A．1︰2 B．1︰3 C．1︰4 D．1︰5

A BA DE DED H

CB C BA CG F

16．如图，小“鱼”与大“鱼”是位似图形，如果小“鱼”上一个“顶点”

的坐标为(a，b)，那么大“鱼”上对应“顶点”的坐标为

（ ）

A．(?a， B．(?2a，?2b) ?b) C．(?2a， D．(?2b，?2b) ?2a) 三．解答题（共102分）

17．如图，在某广场上空飘着一只汽球P，A、B是地面上相距90米的两点，它们分别在汽球的正西和正东，测得仰角∠PAB=45o，仰角∠PBA=30o，求汽球P的高度（精确到0．1米，3=1．732）（10分）

18．如图，方格纸中每个小正方形的边长为1，△ABC和△DEF的顶点都在方格纸的格点上．

(1)判断△ABC和△DEF是否相似，并说明理由；

(2)P1，P2，P3，P4，P5，D，F是△DEF边上的7个格点，请在这7个格点中选取3个点作为三角形的顶点，使构成的三角形与△ABC相似(要求写出2个符合条件的三角形，并在图中连结相应线段，不必说明理由)．（12分）

D B

P5 P1

P2

A F

P3 P4

E C

2

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19．如图，在△ABC和△ADE中，∠BAD=∠CAE，∠ABC=∠ADE．（12分）

(1)写出图中两对相似三角形（不得添加辅助线）；(2)请分别说明两对三角形相似的理由．

20．如图，BD为⊙O的直径，点A是弧BC的中点，AD交BC于E点，AE=2，ED=4．

（1）求证: ?ABE与?ABD相似；(2)求tan?ADB的值；

（3）延长BC至F，连接FD，使?BDF的面积等于83，求?EDF的度数．（14分）

21．如图，AB=3AC，BD=3AE，又BD∥AC，点B、A、E在同一条直线上．（12分） (1) 求证：△ABD∽△CAE；(2) 如果AC =BD，AD =22BD，设BD = a，求BC．

22．如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O交AC与E，交BC与D．（14分） 求证：（1）D是BC的中点； （2）△BEC∽△ADC； （3）BC2=2AB·CE．

3

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23．正方形ABCD边长为4，M、N分别是BC、CD上的两个动点，当M点在BC上运动时，保持AM和MN垂直．（1）证明：Rt△ABM∽Rt△MCN； （2）设BM?x，梯形ABCN的面积为y，求y与x之间的函数关系式；当M点运动到什么位置时，四边形ABCN面积最大，并求出最大面积；

（3）M点运动到什么位置时Rt△ABM∽Rt△AMN，求此时x的值．（14分） 24．如图，圆O的直径为5，在圆O上位于直径AB的异侧有定点C和动点P，已知BC∶CA＝4∶3，点P在半圆弧AB上运动(不与A、B重合)，过C作CP的垂线CD交PB的延长线于D点．（14分）

(1)求证：AC·CD＝PC·BC；(2)当点P运动到AB弧中点时，求CD的长； (3)当点P运动到什么位置时，△PCD的面积最大？并求这个最大面积S．

C

D ABO

P

4

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答案

一.填空题

1.10 2.9：16. 3.

23 4.3 5.∠ACD=∠B 或∠ADC=∠ACB或

ADAC?ACAB 6.6 7.4 8. 1.8 9.?9,0? 10.144 二.选择题

11. D 12. D 13. B 14. A 15. A 16. C 三.解答题

17.解：过点P作PC⊥AB于C点，设PC=x米．

在Rt△PAC中，tan∠PAB=

PCAC，∴AC?PCtan45?=PC=x（米） 在Rt△PBC中，tan∠PBA=PCPCBC∴BC=tan30?=3x（米）

又∵AB=90 ∴AB=AC+BC=x?3x?90 ∴x?901?3?45(3?1)（米）∴PC=45(1.732－1)=32.9（米）

18.解：(1)△ABC和△DEF相似．

根据勾股定理，得AB?25，AC?5，BC=5 ；DE?42，DF?22，∵

ABDE?ACDF?BCEF?522，∴△ABC∽△DEF． (2)答案不唯一，下面6个三角形中的任意2个均可．

△P2P5D，△P4P5F，△P2P4D，△P4P5D，△P2P4 P5，△P1FD．

B

D

P1 P5

A P2 F P3 P4 C E 19.解：(1) △ABC∽△ADE, △ABD∽△ACE

(2)①证△ABC∽△ADE．∵∠BAD=∠CAE，∴∠BAD+∠DAC=∠CAE+∠DAC，即∠BAC=∠DAE 又∵∠ABC=∠ADE ∴△ABC∽△ADE． ②证△ABD∽△ACE．

AB?AC∵△ABC∽△ADE，∴ADAE 又∵∠BAD=∠CAE，∴△ABD∽△ACE

20.（１）∵点A是弧BC的中点 ∴∠ＡＢＣ＝∠ＡＤＢ

又∵∠ＢＡＥ＝∠ＢＡＥ ∴△ＡＢＥ∽△ＡＢＤ

5

EF?210．

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（２）∵△ＡＢＥ∽△ＡＢＤ ∴ＡＢ＝２×６＝１２ ∴ＡＢ＝23

２

在Ｒｔ△ＡＤＢ中，ｔａｎ∠ＡＤＢ＝

3 3（３）连接ＣＤ，可得ＢＦ＝８，ＢＥ＝４，则ＥＦ＝４，△ＤＥＦ是正三角形， ∠ＥＤＦ＝60° 21.(1) ∵ BD∥AC，点B，A，E在同一条直线上， ∴ ?DBA = ?CAE,

又∵

ABBD??3, ∴ △ABD∽△CAE. ACAE(2) ∵AB = 3AC = 3BD，AD =22BD ，

∴ AD2 + BD2 = 8BD2 + BD2 = 9BD2 =AB2，∴?D =90°, 由（1）得 ?E =?D = 90°, ∵ AE=

1122BD , AB = 3BD ， BD , EC =AD =

333122BD )2 + (BD)2 33∴在Rt△BCE中，BC2 = (AB + AE )2 + EC2 = (3BD +=

1082

BD = 12a2 , ∴ BC =23a . 922.（1）证明：∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB=90° ，即AD是底边BC上的高．

又∵AB=AC，∴△ABC是等腰三角形， ∴D是BC的中点 (2) 证明：∵∠CBE与∠CAD是同弧所对的圆周角， ∴ ∠CBE=∠CAD． 又∵ ∠BCE=∠ACD， ∴△BEC∽△ADC；

（3）证明：由△BEC∽△ADC，知∵D是BC的中点，∴CD=

CDCE?，即CD·BC=AC·CE． ACBC1BC． 212 又 ∵AB=AC，∴CD·BC=AC·CE=BC ·BC=AB·CE 即BC=2AB·CE．

223.解：（1）在正方形ABCD中，AB?BC?CD?4，?B??C?90°， ?AM⊥MN，??AMN?90°，??CMN??AMB?90°， 在Rt△ABM中，?MAB??AMB?90°，

??CMN??MAB，?Rt△ABM∽Rt△MCN， （2）?Rt△ABM∽Rt△MCN，

?x2?4xABBM4x??，??，?CN?， MCCN4?xCN4?y?S梯形ABCN?1??x2?4x112???4?·4??x2?2x?8???x?2??10， 2?422?当x?2时，y取最大值，最大值为10．

6

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（3）??B??AMN?90°，

?要使△ABM∽△AMN，必须有

由（1）知

AMAB?， MNBMAMAB?，?BM?MC， MNMC?当点M运动到BC的中点时，△ABM∽△AMN，此时x?2．

24.(1)∵AB为直径，∴∠ACB＝90°．又∵PC⊥CD，∴∠PCD＝90°．

而∠CAB＝∠CPD，∴△ABC∽△PCD．∴AC?BC．∴AC·CD＝PC·BC；

CPCDCAOEPDB

∵P是AB中点，∴∠PCB＝45°，CE＝BE＝2BC＝22．

(2)当点P运动到AB弧中点时，过点B作BE⊥PC于点E．

2又∠CAB＝∠CPB，∴tan∠CPB＝tan∠CAB＝4．

3∴PE＝

BE＝3(2BC)＝32．

tan?CPB422从而PC＝PE＋EC＝72．由(1)得CD＝4PC＝142 323(3)当点P在AB上运动时，S△PCD＝1PC·CD．由(1)可知，CD＝4PC．

23∴S△PCD＝2PC2．故PC最大时，S△PCD取得最大值；

3而PC为直径时最大，∴S△PCD的最大值S＝2×52＝50．

337

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