弹性力学简明教程（第四版）-课后习题解答

【3-1】为什么在主要边界（大边界）上必须满足精确的应力边界条件式（2-15），而在小边界上可以应用圣维南原理，用三个积分的应力边界条件（即主矢量、主矩的条件）来代替？如果在主要边界上用三个积分的应力边界条件代替式（2-15），将会发生什么问题？

【解答】弹性力学问题属于数学物理方程中的边值问题，而要使边界条件完全得到满足，往往比较困难。这时，圣维南原理可为简化局部边界上的应力边界条件提供很大的方便。将物体一小部分边界上的面力换成分布不同，但静力等效的面力（主矢、主矩均相同），只影响近处的应力分布，对远处的应力影响可以忽略不计。如果在占边界绝大部分的主要边界上用三个积分的应力边界条件来代替精确的应力边界条件（公式2-15），就会影响大部分区域的应力分布，会使问题的解答精度不足。

【3-2】如果在某一应力边界问题中，除了一个小边界条件，平衡微分方程和其它的应力边界条件都已满足，试证：在最后的这个小边界上，三个积分的应力边界条件必然是自然满足的，固而可以不必校核。

【解答】区域内的每一微小单元均满足平衡条件，应力边界条件实质上是边界上微分体的平衡条件，即外力（面力）与内力（应力）的平衡条件。研究对象整体的外力是满足平衡条件的，其它应力边界条件也都满足，那么在最后的这个次要边界上，三个积分的应力边界条件是自然满足的,因而可以不必校核。

【3-3】如果某一应力边界问题中有m个主要边界和n个小边界，试问在主要边界和小边界上各应满足什么类型的应力边界条件，各有几个条件？

【解答】在m个主要边界上，每个边界应有2个精确的应力边界条件，公式（2-15），共2m个；在n个次要边界上，如果能满足精确应力边界条件，则有2n个；如果不能满足公式（2-15）的精确应力边界条件，则可以用三个静力等效的积分边界条件来代替2个精确应力边界条件，共3n个。

【3-4】试考察应力函数??ay在图3-8所示的矩形板和坐标系中能解决什么问题(体力不计)?

【解答】⑴相容条件:

不论系数a取何值，应力函数??ay总能满足应力函数表示的相容方程，式(2-25).

⑵求应力分量

当体力不计时，将应力函数?代入公式(2-24)，得

33Oxhyl图3-8?x?6ay,?y?0,?xy??yx?0

⑶考察边界条件

上下边界上应力分量均为零，故上下边界上无面力.

1

左右边界上；

当a>0时，考察?x分布情况，注意到?xy?0，故y向无面力 左端:fx?(?x)x?0?6ay ?0?y?h? fy????xyx?0?0

右端:fx???x?x?l?6ay (0?y?h) fy?(?xy?xl )?0应力分布如图所示，当l?h时应用圣维南原理可以将分布的面力，等效为主矢，主矩

OA xfxy偏心距e：

因为在A点的应力为零。设板宽为b，集中荷载p的偏心距e：

fx

主矢的中心在矩下边界位置。即本题情况下，可解决各种偏心拉伸问题。

eePP(?x)A?ppe?2?0?e?h/6 bhbh/6同理可知，当a<0时，可以解决偏心压缩问题。 【3-5】取满足相容方程的应力函数为：⑴

??ax2y,⑵??bxy2,⑶??cxy3,试求出应力O分量（不计体力），画出图3-9所示弹性体边界上的面力分布，并在小边界上表示出面力的主矢量和主矩。

【解答】（1）由应力函数??axy，得应力分量表达式

2h/2h/2xyl图3-9(l?h)?x?0,?y?2ay,?xy??yx??2ax

??(l?x?m?yx)s?fx(s)考察边界条件，由公式（2-15）?

??(m?y?l?xy)s?fy(s)h①主要边界，上边界y??上，面力为

2hhfx(y??)?2ax fy(y??)?ah

22h

②主要边界，下边界y?，面力为

2hhfx(y?)??2ax, fy(y?)?ah

22

2

③次要边界，左边界x=0上，面力的主矢，主矩为 x向主矢：Fx??y向主矢：Fy??主矩：M???h/2?h/2h/2(?x)x?0dy?0 (?xy)x?0dy?0

??h/2?h/2?h/2(?x)x?0ydy?0

?yxah?xyOx次要边界，右边界x=l上，面力的主矢，主矩为 x向主矢：Fx???h/2?h/2h/2(?x)x?ldy?0 (?xy)x?ldy??h/2?h/2y向主矢：Fy???主矩：M??h/2(?2al)dy??2alh

yah2al?h/2?h/2(?x)x?lydy?0

2al弹性体边界上面力分布及次要边界面上面力的主矢，主矩如图所示 ⑵??bxy

将应力函数代入公式（2-24），得应力分量表达式

2?x?2bx，?y?0，?xy??yx??2by

考察应力边界条件，主要边界,由公式（2-15）得 在y??h?h?h??主要边界，上边界上，面力为fx?y????bh,fy?y????0

2?2?2??在y?h?h?h??，下边界上，面力为fx?y????bh,fy?y???0

2?2?2??在次要边界上，分布面力可按(2-15)计算，面里的主矢、主矩可通过三个积分边界条件求得：

在左边界x=0，面力分布为fx?x?0??0,fy?x?0??2by 面力的主矢、主矩为 x向主矢：Fx??????h2h?2h2h?2xx?0dy?0

h2h?2y向主矢：Fy??主矩；M???h/2????xyx?0dy?????2by?x?0dy?0

?h/2(?x)x?0ydy?0

在右边界x=l上，面力分布为

fx?x?l??2bl,fy?x?l???2by

3

面力的主矢、主矩为 x向主矢：Fx??y向主矢：Fy'?主矩：M'?h/2?????h/2h/2?h/2h/2xx?ldy??h/2?h/2h/22bldy?2blh

????xyx?ldy???h/2??2by?dy?0

??h/2??x?x?lydy???h/22blydy?0

ahOh/2弹性体边界上的面力分布及在次要上面力的主矢和主矩如图所示

2alahx?xy（3）??cxy

3y?xy 将应力函数代入公式（2-24），得应力分量表达式

?x?6cxy,?y?0,?xy??yx??3cy2

考察应力边界条件，在主要边界上应精确满足式（2-15） ①上边界y??上，面力为

h2h?3h???fx?y????ch2,fy?y????0

2?42???② 下边界y=h上，面力为 2h?3h???fx?y????ch2,fy?y???0

2?42???次要边界上，分布面力可按（2-15）计算，面力的主矢、主矩可通过三个积分边界求得： ③左边界x=0上，面力分布为

fx?x?0??0,fy?x?0??3cy2面力的主矢、主矩为x向主矢：Fx???y向主矢：Fy???主矩：M???h/2-h/2h/2?h/2h/2??x?x?0dy?0

?h/2??xy?x?0dy???132?3cydy???4ch?h/2h/2??x?x?0ydy?0④右边界x?l上，面力分布为

4

fx?x?l??6cly,fy?x?l???3cy2

面力的主矢、主矩为 x向主矢Fx???????h/2h/2xx?ldy??h/2?h/26clydy?0

y向主矢：Fy??主矩：M??h/2?h/2?h/2??y?x?ldy???????h/2xx?l132?3cydy??ch ???h/24h/21ydy??6cly2dy?clh3

?h/22h/2弹性体边界上的面力分布及在次要边界上面力的主矢和主矩，如图所示

【3-6】试考察应力函数??Fxy(3h2?4y2)，32h能满足相容方程，并求出应力分量（不计体力），画出图3-9所示矩形体边界上的面力分布（在小边界上画出面力的主矢量和主矩），指出该应力函数能解决的问题。

【解答】（1）将应力函数代入相容方程（2-25）

Oh/2h/2xyl图3-9(l?h)?4??4??4??222?4?0，显然满足 4?x?x?y?y（2）将?代入式（2-24），得应力分量表达式

12Fxy3F4y2(1?2) ?x??,?y?0,?xy??yx??32hhh（3）由边界形状及应力分量反推边界上的面力： ①在主要边界上（上下边界）上，y??h，应精确满足应力边界条件式（2-15），应力2???yy??h/2?0,??yx?y??h/2?0

因此，在主要边界y??h?h?h??上，无任何面力，即fx?y????0,fy?y????0

2?2?2??②在x=0，x=l的次要边界上，面力分别为：

3F?4y2?x?0:fx?0,fy??1-2?

2h?h? 5

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