概率论习题(3)

第五讲 大数定律和中心极限定理

考试要求：

数学一：了解：切比雪夫不等式，切比雪夫大数定律，伯努利和辛钦大数定律，棣莫弗

—拉普拉斯定理，列维—林德伯格定理

数学三、四：了解：切比雪夫大数定律，伯努利和辛钦大数定律，棣莫弗--拉普拉斯定

理，列维—林德伯格定理

数学三：掌握：切比雪夫不等式

数学三、四：会用：相关的定理近似计算有关事件的概率。

数学四：了解：切比雪夫不等式

§1 切比雪夫不等式和依概率收敛

一．切比雪夫不等式

P?X?E(X)????二．依概率收敛

n???D(X)?2

??0

limP(Xn?A??)?1

P??0 记作Xn???A

例 设随机变量X的方差为2，则根据切比雪夫不等式有估计

P(X?E(X)?2)?_______。

§2 大数定律

一．切比雪夫大数定律

设X1,X2,...,Xn,...两两不相关，E(Xi)和D(Xi)存在且存在常数C，使D(Xi)?C

(i?1,2,...)则对任意??0

1n1n limP(?Xi??E(Xi)??)?1

n???ni?1ni?1二．伯努利大数定律

Xn?B(n,p)，则对任意??0 limP(n???

Xn?p??)?1 n三．辛钦大数定律

设X1,X2,...,Xn,...独立同分布，E(Xi)??，则对任意??0，

1nlimP(?Xi????)?1 n???ni?1

§3 中心极限定理

一．棣莫弗—拉普拉斯定理

设Xn?B(n,p)，则对任意x

limP(n???Xn?npnp(1?p)?x)??(x)

二．列维—林德伯格定理

设X1,X2,...,Xn,...独立同分布，E(Xi)??，D(Xi)??2 则对任意x

limP(i?1n????Xni?n??x)??(x)

n?§4 典型例题分析

例1．设随机变量X和Y的数学期望都是2，方差分别为1和4，而相关系数为0.5，则根据

切比雪夫不等式P(X?Y?6)?______________。

例2．将一枚骰子重复掷n次，则当n???时，n次掷出点数的算术平均值依概率收敛于

________。

例3．（05）设X1,X2,...,Xn,...为独立同分布的随机变量列，且均服从参数为?(??1)的指

数分布，记?(x)为标准正态分布函数，则

(A) limP{i?1n???Xnni?n?n???n?x}??(x) (B) limP{i?1?Xnni?n??x}??(x)

n???(C) limP{n????Xi?ni?1n?x}??(x) (D) limP{i?1n???Xin??x}??(x)

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