大物 上海交大课后答案 第七章

习题7

7-1．如图所示的弓形线框中通有电流I ，求圆心O 处的磁感应强度B 。 解：圆弧在O 点的磁感应强度：00146I I

B R R

μθμπ=

=，方向：；

直导线在O

点的磁感应强度：0000

20

[sin 60sin(60)]4cos602I

I B R R

μππ=

--=

，方向：?；

∴总场强：01

)23

I

B R

μπ=-，方向?。

7-2．如图所示，两个半径均为R 的线圈平行共轴放置，其圆心O 1、O 2相距为a ，在两线圈中通以电流强度均为I 的同方向电流。

（1）以O 1O 2连线的中点O 为原点，求轴线上坐标为x 的任意点的磁感应强度大小；

（2）试证明：当a R =时，O 点处的磁场最为均匀。 解：见书中载流圆线圈轴线上的磁场，有公式：2

032

22

2()

I R B R z μ=+。

（1）左线圈在x 处P 点产生的磁感应强度：2

013222

2[()]

2P I R B a R x μ=

++，

右线圈在x 处P 点产生的磁感应强度：2

02

3222

2[()]2

P I R B a

R x μ=+-，

1P B 和2P B 方向一致，均沿轴线水平向右，

∴P 点磁感应强度：12P P P B B B =+=23302

222

22[()][()]2

22I R a a R x R x μ--?

?++++-????；

（2）因为P B 随x 变化，变化率为

d B

d x

，若此变化率在0x =处的变化最缓慢，则O 点处的磁场最为均匀，下面讨论O 点附近磁感应强度随x 变化情况，即对P B 的各阶导数进行讨论。 对B 求一阶导数：

d B d x 255

02222223()[()]()[()]22222I R a a a a x R x x R x μ--??=-++++-+-????

当0x =时，0d B

d x

=，可见在O 点，磁感应强度B 有极值。 对B 求二阶导数：

22()d d B d B d x d x d x

== 222

057572222222222225()5()311222[()][()][()][()]2222a a x x I R a a a a R x R x R x R x μ??+-????--+-????+++++-+-???? 当0x =时，202x d B d x ==22

2

07222

3[()]2

a R I R a R μ-+， 可见，当a R >时，2020x d B d x =>，O 点的磁感应强度B 有极小值， 当a R <时，202

0x d B d x =<，O 点的磁感应强度B 有极大值， 当a R =时，20

20x d B d x ==，说明磁感应强度B 在O 点附近的磁场是相当均匀的，可看成匀强磁场。

【利用此结论，一般在实验室中，用两个同轴、平行放置的N 匝线圈，相对距离等于线圈半径，通电后会在两线圈之间产生一个近似均匀的磁场，比长直螺线管产生的磁场方便实验，这样的线圈叫亥姆霍兹线圈】

7-3．无限长细导线弯成如图所示的形状，其中c 部分是在xoy

平面内半径为R 的半圆，试求通以电流I 时O 点的磁感应强度。

解：∵a 段对O 点的磁感应强度可用

0S B d l I μ?=∑?求得， 有：04a I B R μπ=，∴04a I B j R

μπ=- b 段的延长线过O 点，0b B =，

c 段产生的磁感应强度为：0044c I I B R R μμππ=?=，∴04c I B k R

μ= 则：O 点的总场强：0044O I I B j k R R

μμπ=-+，方向如图。

7-4．在半径cm 1=R 的无限长半圆柱形金属片中，有电流A

5=I 自下而上通过，如图所示。试求圆柱轴线上一点P 处的磁感应强

度的大小。

解：将半圆柱形无限长载流薄板细分成宽为dl R d θ=的长直电流， 有：dl d d I R θππ==，利用0S B d l I μ?=∑?。

在P 点处的磁感应强度为：00222d I I d dB R R

μμθππ==， ∴02sin sin 2x I dB dB d R

μθθθπ==，而因为对称性，0y B = 那么，005220sin 6.37102x x I I B B dB d T R R

πμμθθππ-=====???。

7-5．如图所示，长直电缆由半径为R 1的导体圆柱与同轴的内外半径分别为R 2、R 3的导体圆筒构成，电流沿轴线方向由一导体流入，从另一导体流出，设电流强度I 都均匀地分布在横截面上。求距轴线为r 处的磁感应强度大小（∞<

解：利用安培环路定理0S B d l I μ?=∑?分段讨论。

（1）当10r R <≤时，有：21021

2r I B r R ππμπ?= ∴0

121

2I r B R μπ=； （2）当12R r R ≤≤时，有：202B r I πμ?=，∴022I B r

μπ=

； （3）当23R r R ≤≤时，有：2223022322()r R B r I I R R πππμππ-?=--， ∴22

32

032232I B R r R r R μπ--=?； （4）当3r R >时，有：402()B r I I πμ?=-，∴40B =。 则：02

1011222

323223230(0)()()0

()222r R R r R B R r R r R I r R I r R r r I R R μπμπμπ?<≤???≤≤??=??-??≤≤-??>??

7-6．一边长为l =0.15m 的立方体如图放置在均匀磁场

(63 1.5)T =++B i j k 中，计算（1）通过立方体上阴影面积的磁通量；

（2）通过立方体六面的总磁通量。

解：（1）通过立方体上（右侧）阴影面积的磁通量为

Wb 135.015.066)5.136(21=?=?=?++=?=Φ???S S S m dS i dS k j i S d B

（2）由于立方体左右两个面的外法线方向相反，通过这两个面的磁通量相互抵消，同理，上下两面和前后两面各相互抵消，因此通过立方体六面的总磁通量为0。

7-7．一根很长的直导线，载有电流10A ，有一边长为1m 的正方形平面与

直导线共面，相距为1m ，如图所示，试计算通过正方形平面的磁感应通量。

解：将正方形平面分割成平行于直导线的窄条，对距离直导线为x 宽度

为dx 的窄条，通过的磁通量为

dx x I dx x I Bldx d m πμπμ21200=??=

=Φ 通过整个正方形平面的磁通量为

Wb 104122260210-?===Φ?.ln I dx x I m π

μπμ

7-8．如图所示，在长直导线旁有一矩形线圈，导线中通有电流120A =I ，线

圈中通有电流210A =I ，已知d =1cm,b =9cm,l =20cm ，求矩形线圈上所受到的

合力是多少？

解：矩形线圈上下两边所受的磁力相互抵消。

矩形线圈左边所受的磁力为 N 10824102121-?===d

I l

I lB I F πμ 方向向左 矩形线圈右边所受的磁力为 N 108)(25102222-?=+==b d I l I lB I F πμ方向向右 矩形线圈上所受到的合力为 N 102.74

21-?=-=F F F 方向向左

7-9．无限长直线电流1I 与直线电流2I 共面，几何位置如图所示，

试求直线电流2I 受到电流1I 磁场的作用力。

解：在直线电流2I 上任意取一个小电流元dl I 2，

此电流元到长直线的距离为x ，无限长直线电流1I

在小电流元处产生的磁感应强度为： 012I B x

μπ=?， 再利用d F I Bdl =，考虑到0cos60d x dl =，有：0120

2cos60I I d x d F x μπ=?， ∴0120120ln 2cos60b a I I I I d x b F x a

μμππ=?=?。

7-10．一半径为R 的无限长半圆柱面导体，载有与轴线上的 长直导线的电流I 等值反向的电流，如图所示，试求轴线上长 直导线单位长度所受的磁力。 解：设半圆柱面导体的线电流分布为1I i R

π=， 如图，由安培环路定理，i 电流在O 点处产生的磁感应强度为：

02i d B Rd R

μθπ=?， 可求得：00120sin 2O y iR I B d B d R R

πμμθθππ==?=??； 又∵d F I dl B =?， 故01222O I I d F B I dl dl R

μπ==， 有：0122I I d F f dl R

μπ==，而21I I =， 所以：202πμ==I d F f dl R

。

7-11．有一根U 形导线，质量为m ，两端浸没在水银槽中， 导线水平部分的长度为l ，处在磁感应强度大小为B 的均匀 磁场中，如图所示。当接通电源时，U 导线就会从水银槽中 跳起来。假定电流脉冲的时间与导线上升时间相比可忽略， 试由导线跳起所达到的高度h 计算电流脉冲的电荷量q 。 解：接通电流时有F BIl =?d v m

BIl dt =，而d q I dt

=， 则：mdv Bl dq =，积分有：0v m mv q dv Bl Bl

==?； 又由机械能守恒：mgh mv =221，有：gh v 2=

，∴mv q Bl ==

7-12．截面积为S 、密度为ρ的铜导线被弯成正方形的三边， 可以绕水平轴O O '转动，如图14-53所示。导线放在方向竖 直向上的匀强磁场中，当导线中的电流为I 时，导线离开原来 的竖直位置偏转一个角度θ而平衡，求磁感应强度。 解：设正方形的边长为a ，质量为m ，aS m ρ=。

平衡时重力矩等于磁力矩：

由m M p B =?，磁力矩的大小：202sin (90)cos M BI a BI a θθ=-=； 重力矩为：sin 2sin 2sin 2a M mga mg mga θθθ=+?=

平衡时：2cos 2sin BI a mga θθ=，∴22tan tan mg gS B I a I

ρθθ==。

7-13．在电子显像管的电子束中，电子能量为12000eV ，这个显像管的取向使电子水平地由南向北运动。该处地球磁场的竖直分量向下，大小为55.510T -?。问：

（1）电子束受地磁场的影响将偏向什么方向？

（2）电子的加速度是多少？

（3）电子束在显像管内在南北方向上通过20cm 时将偏离多远？

解：（1）根据f q v B =?可判断出电子束将偏向东。

（2）利用22

1mv E =，有：m E v 2=， 而ma qvB f ==，∴1141028.62-??===s m m E m

qB m qvB a （3）2211()3mm 22L y at a v ===。

7-14．如图所示，一个带有电荷q (0q >)的粒子，以速度v 平行于均匀

带电的长直导线运动，该导线的线电荷密度为λ（0λ>），并载有传导

电流I 。试问粒子要以多大的速度运动，才能使其保持在一条与导线距离

为d 的平行线上？

解：由安培环路定律0

l B d l I μ?=?知： 电流I 在q 处产生的磁感应强度为：02I B d

μπ=，方向?； 运动电荷q 受到的洛仑兹力方向向左，大小：02q v I F q v B d μπ==洛，

同时由于导线带有线电荷密度为λ，在q 处产生的电场强度可用高斯定律求得为：

02E d λπε=

，q 受到的静电场力方向向右，大小：02q F d

λπε=电； 欲使粒子保持在一条与导线距离为d 的平行线，需F F =洛电， 即：02q v I d μπ02q d λπε=，可得00v I λμε=。

思考题

7-1．在图（a ）和（b ）中各有一半径相同的圆形回路1L 、2L ，圆周内有电流1I 、2I ，其分布相同，且均在真空中，但在（b ）图中2L 回路外有电流3I ，1P 、2P 为两圆形回路上的对应点，则：

1212()d d P P L L A ?=?=??B l B l B B ，；1212()d d P P L L B ?≠?=??B l B l B B ，； -

121

2

()

d d P P L L C ?=

?≠?

?

B l B l B B ，；121

2

()

d d P P L L D ?≠

?≠?

?

B l B l B B ，。

答：B 的环流只与回路中所包围的电流有关，与外面的电流无关，但是回路上的磁感应强

度却是所有电流在那一点产生磁场的叠加。所以（C ）对。

7-2．哪一幅图线能确切描述载流圆线圈在其轴线上任意点所产生的B 随x 的变化关系？（x 坐标轴垂直于圆线圈平面，原点在圆线圈中心O ）

答：载流圆线圈在其轴线上任意点所产生的磁感应强度2

3

2

2

20)

(2x R IR

B +=

μ

∴0=x 时，R

I

B 20μ=

（x R >>），2

03

2IR B x

μ≈

。

根据上述两式可判断（C ）图对。

7-3．取一闭合积分回路L ，使三根载流导线穿过它所围成的面．现改变三根导线之间的相互间隔，但不越出积分回路，则：

(A)回路L 内的

∑I 不变，L 上各点的B 不变；

(B)回路L 内的∑I 不变，L 上各点的B 改变； (C)回路L 内的∑I 改变，L 上各点的B 不变； (D)回路L 内的 ∑I 改变，L 上各点的B 改变.

答：（B ）对。

7-4．一载有电流I 的细导线分别均匀密绕在半径为R 和r 的长直圆筒上形成两个螺线管(r R 2=)，两螺线管单位长度上的匝数相等．两螺线管中的磁感应强度大小R B 和r B 应满足：

()2R r A B B =；()R r B B B =；()2R r C B B =；()4R r D B B =.

答：对于长直螺线管：nI B 0μ=，由于两螺线管单位长度上的匝数相等，所以两螺线管磁感应强度相等。（B ）对。

7-5．均匀磁场的磁感应强度B 垂直于半径为r 的圆面。今以该圆周为边线，作一半球面S ，则通过S 面的磁通量的大小为多少？

答：2B r πΦ=。

7-6．如图，匀强磁场中有一矩形通电线圈，它的平面与磁场平行，

在磁场作用下，线圈向什么方向转动？

答：ab 受力方向垂直纸面向里，cd 受力外，在力偶矩的作用下，ab

垂直纸面向里运动，cd 垂直纸面向外运动，从上往下看，顺时针旋

转。

7-7．一均匀磁场，其磁感应强度方向垂直于纸面，两带电粒子在磁场

中的运动轨迹如图所示，则

（A ） 两粒子的电荷必然同号；

（B ） 粒子的电荷可以同号也可以异号；

（C ） 两粒子的动量大小必然不同；

（D ） 两粒子的运动周期必然不同。

答：选（B ）

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/2bke.html