北师版与华师版教材比较

“北师版”与“华师版”函数概念引入的比较

摘要：函数作为中学数学教材的一部分内容其重要性不容置疑。函数的思想已经渗透到数学的各个分支，贯穿整个中学数学内容,成为数学中最基本最核心的概念之一，函数知识的学习最终目的是对函数思想的领悟和掌握，而学习过程中函数思想方法的渗透又可以加深对函数概念的理解，函数概念的引入对函数的学习起着至关重要的作用，学生对函数概念的理解是否透彻是否深刻都将直接影响到对一次函数、二次函数、反比例函数的学习。

关键词：北师版；华师版；函数；概念引入

一 引言

进入20世纪国家进行了基础教育课程改革，根据新课程标准的相关理念目前出现了多个版本的数学教材，教材是教育改革的窗口，是实现课程目标的重要资源，是教师向学生传授知识的主要媒介，也是教师进行课堂教学的依据，而函数作为初中数学内容的一个重要部分，其思想和方法贯穿整个初中数学内容，函数概念的引入标志着数学思想方法的重大转折——由常量数学到变量数学，对于初中生来说，第一次接触函数首先接触的是函数的概念，函数概念的认识与理解对后续函数的学习起着举足轻重的作用。

本论文通过比较分析法对“北京师范大学出版社”(以下简称“北师版”)和“华东师范大学出版社”（以下简称“华师版”）的初中数学教材中有关函数概念的引入做一比较，比较了两版本教材在函数概念引入上各自的特点，通过比较，希望能够给一线教师一点帮助。

二.两版本教材对函数概念的引入

（一）两版本教材对函数概念的引入

北师版教材在学习了七年级下第六章变量之间的关系之后，八年级上第六章一次函数中首次引入了函数的概念，教材从现实生活中的情景出发，第一节以表格的形式展示了小车下滑的时间与支撑物高度关系，使学生体会变量之间的相互依赖关系，并让学生尝试从表格中分析变量之间的关系，使他们对变量之间关系有一个直观的感受，而并非形式的讨论函数的有关概念。

为了发展学生对函数思想理解的能力，需要学生对函数的多种表示方法——列表法、解析法、图象法有相当丰富的经历。因此，教科书安排了大量由表格、关系式、图象所表达的变量之间关系的实例，变化中的三角形、温度的变化、速度的变化等，目的是使学生体验多种形式表示下的变量之间的关系，而不是对其本身的讨论。

华师版教材在八年级下第十七章第一节变量与函数中给出变量的概念之后紧接着就引入了函数的概念，教材以问题形式出现，首先给出了某地一天的气温变化图，通过图来回答问题，让学生深切地感受到生活中量的变化，大千世界处在不停的运动变化之中。接下来又给出三个问题：银行存款问题、收音机的波长和频率问题以及圆的面积与半径的问题，通过这样三个问题让学生更进一步的感受量之间的变化关系，通过以上四个问题的探讨研究，教材给出了变量与常量的概念，它们之间相互依赖，密切相关。

函数作为一种特殊的变量，它的表示方法是多样化的，要掌握函数，首先得掌握它的表示方法，因此上教材介绍了函数的三种表示法——图像法、列表法、解析法。

（二）两版本教材对函数概念的引入特点

通过比较,北师版教材对函数概念的引入具有这样的特点：

1. 教材比较注重函数的背景知识，及早渗透。教材在正式学习函数概念之前，在七年级增加了“变量之间的关系”这个内容。这一章之前，教材已经在七年级上册通过代数式求值和探索规律等内容渗透了变化的思想，在此基础上，教材在七年级下册又设置了“变量之间的关系”，意在为进一步学习函数概念进行铺垫，因为函数是一种特殊的变量之间的“关系”。 董淑玲①在她的教育硕士论文中曾提到函数教学应该按照“早、实、清”的原则，抓住相关内容及早向学生渗透函数的思想方法，有利于学生的进一步学习。 “变量之间的关系”这一章从学生熟悉的情境出发，通过大量丰富的现实背景、学生感兴趣的、广泛联系多学科的问题(如婴儿体重的增长、潮汐的升落、骆驼的体温、地球内部的温度等)，强调对变量关系——特别是一个变量的变化引起另一个变量发生什么样的变化的理解，使学生体会变量和变量之间相互依赖的关系在现实世界中是广泛存在的，我们需要从数学的角度面对、描述或表示这些关系，并且分别用列表法、图

象法、解析法来表示变量之间的关系，让学生更深刻的体会自变量与因变量之间的关系以及变量之间的多种表达形式。

如在“小车下滑的时间” 一节中，教材提供了对小车从不同高度下滑时间的讨论活动，使学生通过表格中的数据变化体会变量之间的关系。

王波学习小组利用同一块木板，测量了小车从不同高度下滑的时间.们得到如下数据：

表1

（1） 支撑物高度为70厘米时，小车下滑时间是多少？

（2） 如果用h表示支撑物的高度， t表示小车下滑时间，随着h逐渐变大，

t的变化趋势是什么？

（3） h每增加10厘米，t的变化情况相同吗？

估计当h=110时，t的值是多少？你是怎样估计的？

2.重视函数概念的形成过程，强调学生对函数概念本质的理解及函数概念的主动建构。在函数概念这一节的三个实例内容虽然不同，但都设置为问题探究的形式，由学生通过填表、识图、计算对三个实例进行探究，并明确“给定其中一个变量的值，相应的就确定了另一个变量的值”这一共性。教材不仅要让学生知其所以然，也要让学生知其然，理解函数概念的形成有助于学生对函数概念的

理解。

你坐过摩天轮吗？想一想，如果你坐在摩天轮上，随着时间的变化，你离开地面的高度是如何变化的？

图6—1反映了旋转时间t（分）与摩天轮上一点的高度h（米）之间的关系。

（1） 根据图6—1填表：

（2）对于给定的时间，相应的高度h确定吗？

在上面各例中，都有两个变量，给定其中某一个变量（自变量）的值，相应地就确定了另一个变量（因变量）的值.

一般地，在某个变化过程中，有两个变量x和y，如果给定一个x值，相应地就确定了一个y值，那么称y是x的函数（function）,其中x是自变量，y是因变量.

3．教材注重函数图像的学习，把函数图象作为函数概念的内容之一。函数

区别于代数中的其它概念的一个重要方面是，它可以利用语言、符号、表格、图形等多种形式为研究对象。多种表示被认为是代数的重要思想，其方法及它们之间的联系与转换被认为是数学学习的中心，因此北师版教材把函数的图象、表格与表达式同时都作为函数概念的内容。

例1 作出一次函数y 2x 1的图像.

解：列表：

描点：以表中各组对应值作为点的坐标，在直角坐标系内描出相应的点. 连线：把这些点依次连接起来，得到y 2x 1的图像（如图6—4），它是一条直线.

图6—4

做一做

（1

）作出一次函数y 2x 5的图像。

（2）在所作的图像上取几个点，找出它们的横坐标和纵坐标，并验证它们是否都满足关系y 2x 5。

议一议

（1）满足关系式y 2x 5的x,y所对应的点 x,y 都在一次函数y 2x 5的图像上吗？

（2）一次函数y 2x 5的图像上的点 x,y 都满足关系式吗？

（3）一次函数的图像y 2x 5有什么特点？

一次函数y kx b的图像是一条直线，因此作一次函数图像时，只要确定两个点，再过这两点作直线就可以了。一次函数y kx b的图像也称为直线y kx b。

4.重视理解与运用图象分析实际问题中的函数关系。“一次函数图象的应用”这一节课，教材让学生从图象中获取信息，进而利用图象解决问题，同时在对图象的探究过程中培养了学生的形象思维能力。对函数图象的应用体现在更多的方面，不仅利用图象研究函数性质，利用图象与二元一次方程组建立联系，而且利用图象确定函数表达式，利用图象解决实际生活中问题。

由于持续高温和连日无雨。某水库

的蓄水量随着时间的增加而减少.干旱

持续时间t（天）与蓄水量V（万米3）

的关系如图6—6所示，回答下列问题：

（1）干旱持续10天，蓄水量为多少？持续干旱23天呢？

（2）蓄水量小于400万米3时，将发出严重干旱警报.干旱多少天后将发出严重干旱警报？

（3）按照这个规律，预计持续干旱多少天水库将干涸？

图6—6

5.关注函数的多种表示。教材让学生通过对函数的各种表达形式的深刻领会与掌握，进一步理解函数的本质思想，从而使学生站在一个更高的层次上去理解学习函数概念。

6.与现实生活紧密联系，为学生提供丰富的学习素材

。教材以现实生活为

背景，提供大量生活中的实例，这样可以减少学生对函数概念理解的困难，让学生接受来更加容易。

例1 某种摩托车的油箱最多可储油10升，加满油后，油箱中的剩余油量y（升）与摩托车行驶路程x（千米）之间的关系如图6—7所示.

根据图像回答下列问题：

（1）一箱汽油可供摩托车行驶多少千米？

（2）摩托车每行驶100千米消耗多少升汽油？

（3）油箱中的剩余油量小于1升时，摩托车将自动报警。行驶多少千米后，摩托车将自动报警？

图6—7

解：观察图像，得

（1）当y 0时，x 500，因此一箱汽油可供摩托车行驶500千米。

（2）x从0增加到100时，y从10减少到8，减少了2，因此摩托车每行驶100千米消耗2升汽油。

（3）当y 1时，x 450，因此形行驶了450千米后，摩托车将自动报警。

7. 关注学生的认知水平。北师版教材在函数的概念上是这样表述的：一般地，在某个变化过程中，有两个变量x和y，如果给定一个x值，相应地就确定了一个y值，那么我们称y是x的函数(function)，其中x是自变量，y是因变量。而华师版教材在函数概念的表述中除了强调变化过程中两个变量之间的对应关系外，还强调了“唯一”对应。北师版教材的表述则用“一个”这个词来代替“唯一”，目的是适应学生的认知水平，没有非常严格地表述函数的概念，这样使得学生在初步理解函数概念更为有益。

华师版教材在函数概念的引入上具有如下特点；

1.注重联系实际，丰富学生对函数概念的感性知识。教材关注概念的背景与形成过程，通过学生比较熟悉的实际问题，让学生观察和分析实际问题中数量关系的变化规律，使学生从中感受常量和变量的意义，领会和理解函数的基本概念及其思想方法。

2.重视函数图象的作用，注重数形结合思想在探究性学习中的作用。 函数的图像是对函数的直观反映，函数的很多性质可以通过图像很直观、很清晰的反映出来，教材从引入函数概念开始，就注重结合图形观察变量的变化规律，对一次函数和反比例函数性质的探索和应用，都注重了图形的直观作用。

问题2

王强在电脑上进行高尔夫球的模拟练习，在某处按函数关系式18y x2 x击球，球正好进洞，其中y(m)是球的飞行高度，x(m)是球飞出的55

水平距离.

（1）试画出高尔夫球飞行的路线；

（2）从图像上看，高尔夫球的最大飞行高度是多少？球的起点与东之间的距离是多少？

图17.2.7

分析 18高尔夫球飞行的路线也就是函数y x2 x图像上的一点。用描点发画出55

图像，其他问题也就可以解决了.

解: (1)列表如下：

在图17.2.7所示的直角坐标系中，描点、连线便可得到这个函数的大致图像.

（2）从图像上看，高尔夫球的最大飞行高度是 ，球的起点与洞之间的距离是 .

3.注重学生参与知识的形成过程.观察变量间的相互依赖关系引入函数概念，到一次函数和反比例函数性质的发现，教材都采用给出情境，让学生动手尝试、交流、归纳的方式，鼓励通过观察、猜想、验证，主动地获取知识.

问题1

小明暑假第一次去北京.汽车驶上A地的高速公路后，小明观察里程碑，发现汽车的平均速度是95千米/时.已知A地直达北京的高速公路全程为570千米，小明想知道汽车从A地驶出后，距北京的路程和汽车在告诉高速公路上行驶的时间有什么关系，以便根据时间估计自己和北京的距离.

分析

汽车距北京的路程随着行车时间而变化.要想找出这两个变化着的量的关系，并据此得出相应的值，显然，应该探究这两个变量之间的函数关系式。为此，我们设汽车在高速公路上行驶的时间为t小时，汽车距北京的路程为s千米，则不难得到s与t的函数关系式是

s=570-95t （1）

问题2

小张准备将平时的零用钱节约一些储存起来.已存有50元，从现在起每个月节村12元.试写出小张的存款与从现在开始的月份数之间的函数关系式.

分析

同样我们设从现在开始的月份数为x，小张的存款为y元，得到所求的函数关系式为

y = . (2) 概括

上述函数的解析式都是用自变量的一次整式表示的，我们称它们为一次函数（linear function）.

一次函数通常可以表示为y kx b的形式，其中k,b是常数，k 0.

特别地，当b 0时，一次函数y kx（常数k 0）也叫做正比例函数（direct

proportional function）.

思考

前两节所看到的函数中，哪些是一次函数？

4.教材增加了探究性学习的力度。在函数的两章内容中，最后一节都是“实践与探索”，在这两节中，教材均是以问题形式出现，或讨论，或分析，或思考，或联想，最后总结归纳，让学生自主获得知识，教材并没有在一开始就直接给出函数的概念或性质，然后在让学生去理解。

5. 关注函数的多种表示。教材在变量与函数这一节分别用图形法、列表法、解析式法表示了函数，让学生去理解函数多种表示的必要性和重要性。

比如在变量与函数这一节教材是这样安排的：

问题1 图17.1.1是某地一天的气温变化图.

看图回答：

图17.1.1

（1）6时、10时和14时的气温分别是多少？任意给出这天中的某一时刻说出这一时刻的气温.

（2）这一天中，最高气温是多少？最低气温是多少？

（3）这一天中，什么时候的气温在逐渐升高？什么时候的气温在逐渐降低？ 从图中我们可以看到，随着时间t（时）的变化，相应的气温T（℃）也随之变化.

问题2

银行对各种不同的存款方式都规定了相应的利率，下表是2002年7月中国工商银行为“整存整取”的存款方式规定的年利率

.

观察上表，说一说随着存期x的增长，相应的年利率y是如何变化的.

问题

3

收音机刻度盘的波长和频率分别是用米（m）和千赫兹（kHz）为单位标刻得.面是一些对应的数值：

细心的同学可能会发现：l与f的乘积是一个定值，即

lf 300000，

或者说 f 300000. l

说明波长l越大，频率f就 .

概括

在上面的问题中，我们研究了一些数量关系，它们都刻画了某些变化规律。这里出现了各种各样的量，特别值得注意的是出现了一些数值会变化的量。例如问题1中，刻画气温变化规律的量是时间t和气温T，气温T随着时间t的变化而变化，它们都会取不同的值。像这样在某一变化过程中，可以取不同数值的量，叫做变量（variable）。

上面各个问题中，都出现了两个变量，它们互相依赖，密切相关。一般地，如果在一个变化过程中，有两个变量，例如x和y，对于x的每一个值，y都有唯一的值与之对应，我们就说x是自变量（independent variable）,y是因变量（dependent variable），此时也称y是x的函数（function）。

表示函数关系的方法通常有三种：

（1）解析法，如问题3中的f

称为函数的关系式；

（2）列表法，如问题2中的利率表，问题3中的波长与频率关系表。

（3）图像法，如图17.1.1中的气温曲线。

300000，问题4中的S r2，这些表达式l

在问题的研究过程中，还有一种量，它的取值始终保持不变，我们称之为常量（constant），如问题3中的300000，问题4中的 等。

三．结论与建议

（一）两版本教材函数概念引入比较的结论

总得来说，两版本教材都是以新课程改革的标准为依据，以新课程改革的理念为指导，用不同的方式对函数概念进行了编排，并且各具特色：

北师版教材注重函数概念的背景知识，及早渗透，重视函数概念的形成过程，强调学生对函数概念本质的理解及函数概念的主动建构，注重函数图像的学习，并运用函数图像解决实际问题，关注函数的多种表示及认知水平，与现实生活紧密联系，为学生提供丰富的学习素材。

而华师版教材注重联系实际，丰富学生对函数概念的感性认识，重视函数图像的作用，注重数形结合思想在探究性学习中的作用，注重学生参与知识的形成过程，并且教材增加了探究性学习的力度，同样也关注函数的多种表示。

（二）对一线教师的一点建议

函数观点的确立，需要学生有较强的抽象思维能力，否则，机械的背诵函数的定义，而没有真正理解函数的本质，很难掌握函数的知识，也很难熟练地应用函数的知识解决问题。教师如何分析学生在函数学习中的困难?采取什么样的教学策略或方式帮助学生更好地进行函数的学习?这些都和我们的教学和学生的学习密切相关。

首先，教师应该加强函数概念的早期渗透，事实上，函数观念的培养在小学已经开始了，进入中学，随着代数式、方程的研究已渗透了这一观念．例如，含有一个字母的代数式3a2 2a 1就可看作是函数y 3x2 2x 1在x取a时的值，方程3a2 2a 1 0可以看作是函数y 3x2 2x 1与x轴交点的横坐标。因此，在代数式和方程等的教学中，要有意识地渗透函数的概念，在这一方面，北师版教材教材比华师版教材关注更多一些。

其次，要准确把握函数的特征，函数是一种特殊的变量，它们具有共同的特征，那到底共同特征是什么,这就需要教师进行大量的举例引导学生去观察，最后我们就能得出它们具有这样的特征：两个变量是相互联系的；其中一个变量

变化时，另一个变量也随着变化；对第一个变量在某一范围内的每一个确定的值，第二个变量都有唯一确定的值与它对应.生如果理解这三个特征，那么对函数的学习将会有很大的帮助。

最后，必需注重函数概念的形成过程，不能只是知其所以然而不知其然，学生明白了它形成过程，再去理解这要比只是让学生记下函数的概念去理解容易得多，学生已有经验中存在许多可以用以说明函数产生过程的实例，比如在空间与图形部分的n边形的内角和，通过引导学生列表进行观察，有学生就会注意到，边数每增加1，内角和增加180°，通过归纳，有的学生会猜测到边数与内角和之间存在这样的关系：S =180°(n一2)，这是一个一次函数。这个过程可以使学生建立起对变量之间变化关系的直观感受，这对理解函数概念是很重要的。 ①董淑玲. 现行初中数学教材的比较研究——函数课程设置与教学［D].硕士论文，2007.

新疆巴楚县第三中学 赵亚飞 843800 电话：15214961165 0998-6132112

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