大学物理电磁学复习题含答案

大学物理电磁学复习题含答案原本是有39页为了打印节约纸张,弄成了12页但是内容一点不少。

习题八

8-1 电量都是

解:

q的三个点电荷，分别放在正三角形的三个顶点．试问：(1)在这三角形的中心放一个什么样的电荷，

E

q4π 0r

2

r0仅对点电荷成立，当r

0时，带电体不能再视为点电荷，再用上式求场强是错误的，

就可以使这四个电荷都达到平衡(即每个电荷受其他三个电荷的库仑力之和都为零)?(2)这种平衡与三角形的边长有无关系? 解: 如题8-1图示 (1) 以

A处点电荷为研究对象，由力平衡知：q 为负电荷

1q2

2qq 4π a2

cos30 104π 0

(3

a)2

解得

q

3

q (2)与三角形边长无关．

题8-1图 题8-2图

8-2 两小球的质量都是

m，都用长为l的细绳挂在同一点，它们带有相同电量，静止时两线夹角为2 ,如题8-2

图所示．设小球的半径和线的质量都可以忽略不计，求每个小球所带的电量． 解: 如题8-2图示

Tcos mg Tsin F1q2

e

4π 0(2lsin )2 解得

q 2lsin 4 0mgtan

8-3 根据点电荷场强公式E

q4 ，当被考察的场点距源点电荷很近(r→0)时，则场强→∞，这是没有物理

0r

2

意义的，对此应如何理解?

实际带电体有一定形状大小，考虑电荷在带电体上的分布求出的场强不会是无限大． 8-4 在真空中有

A，B两平行板，相对距离为d，板面积为S，其带电量分别为+q和-q．则这两板之间有

相互作用力

f

，有人说

f

=

q2,又有人说，因为

f=qE,4 E

q，所以0d2

f

=

q2．试问这两0S

0S

种说法对吗?为什么?

f

到底应等于多少?

解: 题中的两种说法均不对．第一种说法中把两带电板视为点电荷是不对的，第二种说法把合场强

E

q看 0S

成是一个带电板在另一带电板处的场强也是不对的．正确解答应为一个板的电场为

E

q，另一板受它的

2 0S

作用力

f qq

q2，这是两板间相互作用的电场力．

2 S

02 0S

ql

8-5 一电偶极子的电矩为p，场点到偶极子中心O点的距离为r,矢量r与l的夹角为 ,(见题8-5图)，且

r l．试证P点的场强E在r方向上的分量Er和垂直于r的分量E 分别为Er=pcos

2 3

,

0rE =psin 4 3

0r

证: 如题8-5所示，将 p分解为与r 平行的分量psin 和垂直于r

的分量psin ．

∵ r l

∴ 场点P在

r方向场强分量

Epcos r

2π 3

0r垂直于

r方向，即 方向场强分量

Esin 0

p4π 0r3

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题8-5图 题8-6图 8-6 长l=15.0cm的直导线AB上均匀地分布着线密度

=5.0x10

-9C·m-1的正电荷．试求：(1)在导线的延长线上

与导线B端相距a1=5.0cm处P点的场强；(2)在导线的垂直平分线上与导线中点相距d2=5.0cm 处Q点的场强．

解： 如题8-6图所示

(1)在带电直线上取线元dx，其上电量dq在

P点产生场强为

dE1 dx

P

4π 0(a x)2

lEP

dE

dxP

4π 0

2 l2

(a x)

2

4π [10

a 1

]

2a

2

l

π 0(4a

2

l2

)

用l 15cm，

5.0 10 9C m 1,

a 12.5cm代入得

EP 6.74 102N C 1 方向水平向右

(2)同理

dE1 dx

Q

4π 2

0x d2 方向如题8-6图所示2

由于对称性

l

dE

Qx

0

，即EQ只有y分量，

∵

dE

1 dxd2

Qy

4π 0x2 d22

x2 d22

Ed2 l

Qy

l

dEQy

4π2

2dx

l3

2

(x2 d22)

2

l

2π 20

l 4d22

以

5.0 10 9C cm 1, l 15cm,d2 5cm代入得

EQ EQy 14.96 102N C 1，方向沿y轴正向

8-7 一个半径为R的均匀带电半圆环，电荷线密度为 ,求环心处O点的场强．

解: 如8-7图在圆上取dl

Rd

题8-7图

dq dl R d ，它在O点产生场强大小为

dE

Rd

方向沿半径向外

4π 2

0R则 dE dEsin

x

π sin d

40R

dE )

y dEcos(4π cos d

0R积分

E

x

0

4π sin d

0R2π0R

Ey

4π cos d 0

0R

∴

E E，方向沿x轴正向． x

2π 0R

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8-8 均匀带电的细线弯成正方形，边长为l，总电量为q．(1)求这正方形轴线上离中心为r处的场强E；(2)证

明：在r

l处，它相当于点电荷q产生的场强E．

解: 如8-8图示，正方形一条边上电荷q

4

在P点产生物强dEP方向如图，大小为

dE cos 1 cos 2

P

4π 0

r2

l24

l∵

cos

1

22

r2

l2

cos 2 cos 1

∴

dE

l

P

2

4π 0

r2

l2

4

r2

l2

dE

P在垂直于平面上的分量dE dEPcos

∴

dE l

r

4π l220

r

2

2

4

r

l22

r

2

l4

题8-8图

由于对称性，P点场强沿OP方向，大小为

E

P 4 dE

4 lr

4π 2

l22

l20(r4)r

2

∵

q 4l

∴

E

qr

方向沿

P4π r2

l22

l20(4)r

2

8-9 (1)点电荷

q位于一边长为a的立方体中心，试求在该点电荷电场中穿过立方体的一个面的电通量；(2)如果该

场源点电荷移动到该立方体的一个顶点上，这时穿过立方体各面的电通量是多少?*(3)如题8-9(3)图所示，在点电荷

q的电场中取半径为R的圆平面．q在该平面轴线上的A点处，求：通过圆平面的电通量．( arctan

R

x

)

解: (1)由高斯定理q

s

E dS

立方体六个面，当

q在立方体中心时，每个面上电通量相等

∴ 各面电通量 e

q

6 ．0

(2)电荷在顶点时，将立方体延伸为边长2a的立方体，使q处于边长2a的立方体中心，则边长2a的正方形上

电通量

e

q 60

对于边长

a的正方形，如果它不包含q所在的顶点，则 e

q，

24 0

如果它包含

q所在顶点则 e 0．

如题8-9(a)图所示．题8-9(3)图

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题8-9(a)图 题8-9(b)图 题8-9(c)图 (3)∵通过半径为R的圆平面的电通量等于通过半径为

R2 x2

的球冠面的电通量，球冠面积*

S 2π(R2 x2)[1

xR2 x2

]

∴

q0

S

q[

x]

4π(R2 x2

)

2 1 0

0R2 x2

*关于球冠面积的计算：见题8-9(c)图

S

2πrsin rd

2πr2

sin d

2πr2(1 cos )

8-10 均匀带电球壳内半径6cm，外半径10cm，电荷体密度为2×10 5

C·m-3求距球心5cm，8cm ,12cm 各点的场

强． 解: 高斯定理

E dS q,2

s

E4πr

q

0

当r 5cm时， q 0

,E 0

r 8cm时， q p

4π3(r3 r3

内

) ∴ 4π

r3

r2

内

3.48 10

4

E

3N C 1， 方向沿半径向外．

4π 0r2

r 12cm时, q

4π3

(r33

外 r内） ∴ 4π r33外 r

E

3内

N C 1 沿半径向外.

4π0r2

4.10 10

4

8-11 半径为R1和R2(R2 ＞R1)的两无限长同轴圆柱面，单位长度上分别带有电量

和- ,试求:(1)r＜

R1；(2) R1＜r＜R2；(3) r＞R2处各点的场强．

解: qs

E dS 高斯定理

取同轴圆柱形高斯面，侧面积S 2πrl

则

S

E dS E2πrl

对(1)

r R1 q 0,E 0 (2)

R1 r R2 q l

∴

E

2π 沿径向向外

0r

(3)

r R2 q 0

∴

E

0

题8-12图

8-12 两个无限大的平行平面都均匀带电，电荷的面密度分别为

1和 2，试求空间各处场强．

解: 如题8-12图示，两带电平面均匀带电，电荷面密度分别为

1与 2，

E 两面间，

12 ( 1 2)n

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1面外， E 1 2 ( 1 2)n

0 E 12面外，

2 ( 1 2)n

n

：垂直于两平面由 1面指为 2面．

8-13 半径为R的均匀带电球体内的电荷体密度为

,若在球内挖去一块半径为r＜R的小球体，

如题8-13图所示．试求：两球心O与O 点的场强，并证明小球空腔内的电场是均匀的． 解: 将此带电体看作带正电 的均匀球与带电 的均匀小球的组合，见题8-13图(a)．

(1)

球在O点产生电场E10 0，

球在O4

点产生电场 πr3 E

20

3 4π 3

OO0d

3

∴

O点电场E

r

3 ； 3

0d

(2)

4

在O 产生电场

E d3 10 4π 3

0d

球在O 产生电场E20 0

∴

O 点电场

E 0

OO

3 0

题8-13图(a) 题8-13图(b)

(3)设空腔任一点P相对O 的位矢为r

，相对O点位矢为r

(如题8-13(b)图)

则 E r，

PO

3 0

E r PO

,

3 0

∴ E

P EPO EPO

3 (r r ) OO' d

0303 0

∴腔内场强是均匀的．

8-14 一电偶极子由

q=1.0×10-6C的两个异号点电荷组成，两电荷距离d=0.2cm，把这电偶极子放在1.0×

105N·C-1的外电场中，求外电场作用于电偶极子上的最大力矩．

解: ∵ 电偶极子

p在外场E中受力矩

M p E

∴

Mmax pE qlE

代入数字 M 4max 1.0 10 6 2 10 3 1.0 105 2.0 10N m

8-15 两点电荷q1=1.5×10-8C，q2=3.0×10-8C，相距r1=42cm，要把它们之间的距离变为r2=25cm，需作多少功? 解:

A

r2

F r dr

1

r2

q1q2dr2r4π 2

q1q11

2

( )0r4π0r1r2

6.55 10 6J

外力需作的功

A A 6.55 10 6 J

题8-16图

8-16 如题8-16图所示，在

A，B两点处放有电量分别为+q,-q的点电荷，AB间距离为2R，现将另一正

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试验点电荷q0从O点经过半圆弧移到C点，求移动过程中电场力作的功． 解: 如题8-16图示

U1

O

4π (q q) 0

0R

RU1qqqO

4π ( 03RR)

6π 0R

∴

A q0(UO U

C)

qoq 6π 0R

8-17 如题8-17图所示的绝缘细线上均匀分布着线密度为

的正电荷,两直导线的长度和半圆环的半径都等于

R．试求环中心O点处的场强和电势．

解: (1)由于电荷均匀分布与对称性，AB和CD段电荷在O点产生的场强互相抵消，取dl Rd

dq Rd

则产生O点dE如图，由于对称性，O点场强沿y轴负方向

题8-17图

E

dE Rd

y 2

2

4π 2

cos 0R

［

］ 4π sin( 0R

2) sin

2

2π

0R

(2)

AB电荷在O点产生电势，以U 0

Udx

1

A

dx

B

4π

0x

2R

R

4π ln2

0x4π0

同理CD产生

U2

ln2

4π 0

半圆环产生

UπR

3

4π

0R4 0

∴

U

O U1 U2 U3

2π ln2

040

8-18 一电子绕一带均匀电荷的长直导线以2×104m·s-1的匀速率作圆周运动．求带电直线上的线电荷密度．(电子质量m0=9.1×10-31kg，电子电量

e=1.60×10-19C)

解: 设均匀带电直线电荷密度为

，在电子轨道处场强

E

2π0r

电子受力大小

Fe

e eE

2π0r

∴

e v22πr m

0r

得

2π 0mv2 12.5 10 13

C m 1

e

8-19 空气可以承受的场强的最大值为E=30kV·cm-1，超过这个数值时空气要发生火花放电．今有一高压平行板电容器，极板间距离为d=0.5cm，求此电容器可承受的最高电压． 解: 平行板电容器内部近似为均匀电场

∴

U Ed 1.5 104V

E

8-20 根据场强E与电势U的关系 U

，求下列电场的场强：(1)点电荷

q的电场；(2)总电量为q，

半径为R的均匀带电圆环轴上一点；*(3)偶极子p ql的r l处(见题8-20图)．

解: (1)点电荷

U

q

4π

题 8-20 图

0r

∴

E U q rr0 4π 2r0

r0为r方向单位矢量．

0r

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(2)总电量

q，半径为R的均匀带电圆环轴上一点电势

U

q

4π 0

R2 x2

3 1 2 4

0

20202020

又∵ 0

23∴

1 4

∴

E

U qx

i x4π 0R2 x2

3/2

i

说明相背两面上电荷面密度总是大小相等，符号相同．

A，B和C的面积都是200cm2，A和B相距4.0mm，A与C相距2.0 mm．B，C

都接地，如题8-22图所示．如果使A板带正电3.0×10-7C，略去边缘效应，问B板和C板上的感应电荷各是多少?8-22 三个平行金属板(3)偶极子

p ql在r l处的一点电势

1

1qlcos

U q

4π[

]

0

(r

l

4π 2

0r2

cos )(1

l

2

cos )∴

E Upcos

r

r 2π 3

0rE Upsin

1r

4π 3

0r8-21 证明：对于两个无限大的平行平面带电导体板(题8-21图)来说，(1)相向的两面上，电荷的面密度总是大小相等而符号相反；(2)相背的两面上，电荷的面密度总是大小相等而符号相同． 证: 如题8-21图所示，设两导体

A、B的四个平面均匀带电的电荷面密度依次为 1， 2， 3， 4

题8-21图

(1)则取与平面垂直且底面分别在A、B内部的闭合柱面为高斯面时，有

s

E dS

( 2 3) S 0

∴

2 3 0

说明相向两面上电荷面密度大小相等、符号相反； (2)在

A内部任取一点P，则其场强为零，并且它是由四个均匀带电平面产生的场强叠加而成的，即

以地的电势为零，则A板的电势是多少?

解: 如题8-22图示，令

A板左侧面电荷面密度为 1，右侧面电荷面密度为

2

题8-22图

(1)∵

UAC UAB，即 ∴ EACdAC EABdAB

∴

1 EAC d

ABd 2 2EABAC

且

1+ 2

qAS

得

qA

2

3S

, 1

2qA 3S

而

qC 1S

2

qA 2 10 7C

3

qB 2S 1 10 7C U 1

A EACdAC

dAC 2.3 103V0

8-23 两个半径分别为R1和R2（R1＜R2)的同心薄金属球壳，现给内球壳带电+

q，试计算：

(2)

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(1)外球壳上的电荷分布及电势大小；

(2)先把外球壳接地，然后断开接地线重新绝缘，此时外球壳的电荷分布及电势； *(3)再使内球壳接地，此时内球壳上的电荷以及外球壳上的电势的改变量．

解: (1)内球带电 q；球壳内表面带电则为 q,外表面带电为 q，且均匀分布，其电势

题8-23图

U

E q R dr

2

qdrR2

4π 2

0r

4π 0R(2)外壳接地时，外表面电荷 q入地，外表面不带电，内表面电荷仍为 q．所以球壳电势由内球 q与内表面 q产生：

U

q4π

q0R2

4π 0

0R2

(3)设此时内球壳带电量为q ；则外壳内表面带电量为 q ，外壳外表面带电量为 q q (电荷守恒)，此

时内球壳电势为零，且

Uq''q q'A

4π 0R

q1

4π

0R2

4π 0

0R2

得

q

R1

Rq2

外球壳上电势

U q'

q'

q q'

R1 R2 qB

4π R 2

024π 0R24π 0R24π 0R2

8-24 半径为R的金属球离地面很远，并用导线与地相联，在与球心相距为d 3R处有一点电荷+q，试求：金属球上的感应电荷的电量．

解: 如题8-24图所示，设金属球感应电荷为q ，则球接地时电势U

O

0

8-24图

由电势叠加原理有：

UO

q'q

4π R 4π 0

003R

得

q

q3

8-25 有三个大小相同的金属小球，小球1，2带有等量同号电荷，相距甚远，其间的库仑力为F0．试求： (1)用带绝缘柄的不带电小球3先后分别接触1，2后移去，小球1，2之间的库仑力； (2)小球3依次交替接触小球1，2很多次后移去，小球1，2之间的库仑力．

解: 由题意知

q2

F

0

4π 0r

2

(1)小球3接触小球1

后，小球3和小球1均带电

q q2

,

小球3再与小球2接触后，小球2与小球3均带电

q 34

q

∴ 此时小球1与小球2间相互作用力

32

Fq'q"1

8q

4π0r2

4π 2

38

F 00r

(2)小球3依次交替接触小球1、2很多次后，每个小球带电量均为

2q

3

. 2∴ 小球1、2间的作用力q2q

F2 4 4π 2

F0

0r9

*8-26 如题8-26图所示，一平行板电容器两极板面积都是S，相距为d，分别维持电势UA=U，

UB=0不变．现

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把一块带有电量 q的导体薄片平行地放在两极板正中间，片的面积也是S，片的厚度略去不计．求导体薄片的电势．

解: 依次设

A,C,B从上到下的6个表面的面电荷密度分别为 1， 2， 3， 4, 5, 6如图所示．由

静电平衡条件，电荷守恒定律及维持UAB

U

可得以下6个方程

题8-26图

1 2 qA 1

CU 0U

SS0d 3

4

q

S

5

6

qB

S 0Ud 2

3

4 5 0

1 2

3 4 5 6

解得

1 6

q 2S

2 0U

3

d

q 2S

0U

4 5

d

q 2S

所以CB间电场

E 4 Uq

2

U E

d

20Sr

内 dr r

E外 dr

Ud1qd C UCB E2

2 2(U 2 S)0注意：因为C片带电，所以U

C

U2

，若C片不带电，显然U

C

U2

8-27 在半径为R1的金属球之外包有一层外半径为R2的均匀电介质球壳，介质相对介电常数为 r，金属球带

电Q．试求：

(1)电介质内、外的场强； (2)电介质层内、外的电势； (3)金属球的电势．

解: 利用有介质时的高斯定理S

D dS q

(1)介质内(R1 r R2)场强

Qr D

4πr3,E Qr

; 内 4π 3

0 rr

介质外(r

R2)场强

Qr Q D

4πr3,E外 r

4π 3

0r

(2)介质外(r

R2)电势

U

r

E d

外r

Q

4π0r

介质内(R1

r R2)电势

q4π 0 (

1r

r 1Q

R) 24π 0R2

Q1

4π(

r r 1R) 0r

2

(3)金属球的电势

U

R2

E Rd

dr

1

内 r

E R2

外

R2

Qdr

QdrR

4π 2

0 rr

R2

4π 2

0r

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Qr4π (

1

R 1) 0 r

1R2

8-28 如题8-28图所示，在平行板电容器的一半容积内充入相对介电常数为 r的电介质．试求：在有电介质部分和

无电介质部分极板上自由电荷面密度的比值．

解: 如题8-28图所示，充满电介质部分场强为E2，真空部分场强为E1，自由电荷面密度分别为 2与 1

D dS

由 q0

得

D1 1，D2 2

而

D1 0E1,D2 0 rE2

EU

1 E2

d

∴

2

D2

r 1D1

题8-28图 题8-29图

8-29 两个同轴的圆柱面，长度均为l，半径分别为R1和R2(R2＞R1)，且l>>R2-R1，两柱面之间充有

介电常数

的均匀电介质.当两圆柱面分别带等量异号电荷Q和-Q时，求：

(1)在半径r处(R1＜r＜R2＝，厚度为dr，长为l的圆柱薄壳中任一点的电场能量密度和整个薄壳中的电场能

量；

(2)电介质中的总电场能量； (3)圆柱形电容器的电容．

解: 取半径为

r的同轴圆柱面(S)

则

(SD )

dS 2πrlD

当(R1

r R2)时， q Q

∴

D

Q 2πrl

(1)电场能量密度

w D22 Q2 8π2 r2l

2

薄壳中

dW wd

Q28π2

r2l2

2πrdrl Q2dr

4πrl

(2)电介质中总电场能量

W

R2

Q2drR V

dW

R1

4π rl Q2

4π lln2

R1

(3)电容：∵

W

Q2

2C

∴ 2

C Q

2π l 2W

ln(R2/R1)

*8-30 金属球壳

A和B的中心相距为r，A和B原来都不带电．现在A的中心放一点电荷q1，在B的中

心放一点电荷q2，如题8-30图所示．试求：

(1)

q1对q2作用的库仑力，q2有无加速度；

(2)去掉金属壳B，求q1作用在q2上的库仑力，此时q2有无加速度． 解: (1)q1作用在q2的库仑力仍满足库仑定律，即

大学物理电磁学复习题含答案原本是有39页为了打印节约纸张,弄成了12页但是内容一点不少。

1q1q2

F

4π 0r2

(2)串联后电压比

C

C1C2200 300

120

C1 C2200 300

pF

但q2处于金属球壳中心，它受合力为零，没有加速度． ．．(2)去掉金属壳B，q1作用在q2上的库仑力仍是F

1q1q2

U1C3

2 ，而U1U2C12

，但此时q2受合力不为零，有加速度．

U2 1000

4π 0r2

题8-30图 题8-31图

8-31 如题8-31图所示，C1=0.25 F，C2=0.15 F，C3=0.20 F ．C1上电压为50V．求：UAB．

解: 电容C1上电量

Q1 C1U1

电容C2与C3并联C23 C2 C3

其上电荷Q23

Q1

∴

UQ23CU25 50

2

C 11 23C2335

U25

AB U1 U2 50(1

V

35

) 86 8-32

C1和C2两电容器分别标明“200 pF、500 V”和“300 pF、900 V”，把它们串联起来后等值电容是多少?如果

两端加上1000 V的电压，是否会击穿? 解: (1)

C1与C2串联后电容

∴

U1 600V,U2 400 V

即电容C1电压超过耐压值会击穿，然后C2也击穿．

8-33 将两个电容器C1和C2充电到相等的电压U以后切断电源，再将每一电容器的正极板与另一电容器的负

极板相联．试求：

(1)每个电容器的最终电荷； (2)电场能量的损失．

解: 如题8-33图所示，设联接后两电容器带电分别为q1,q

2

题8-33图

q1 q2 q10 q20 C1U C2U则

q1

q C1U1 2C2U2

U1 U2

解得 (1)

q1

C1(C1 C2)C C CU,q2(C1 C2)

2 U

12C1 C2

(2)电场能量损失

W W0 W

(

1

C1

2

1U2

2

2CU2) (q21q2 22C )12C2

2C1C2

U2

C1 C2

大学物理电磁学复习题含答案原本是有39页为了打印节约纸张,弄成了12页但是内容一点不少。

8-34 半径为R1=2.0cm 的导体球，外套有一同心的导体球壳，壳的内、外半径分别为R2=4.0cm和R3=5.0cm，∴ 总能量 W W W

12

Q2111

( )当内球带电荷Q=3.0×10-8C时，求： (1)整个电场储存的能量；

(2)如果将导体壳接地，计算储存的能量； (3)此电容器的电容值．

解: 如图，内球带电Q，外球壳内表面带电 Q，外表面带电Q

题8-34图

(1)在r

R1和R2 r R3区域

E

0

在R1 r R2时

E Qr

1

4π 3

0r

r R3时

E

Qr

2

4π0r

∴在R1

r R2区域

WR2

11

R2 Q 1

0(4π )24πr22dr0r

2

R2

QdrQ211

R1

8π 2

0r

8π ( )0R1R2在r

R3区域

W12

R3

2 Q4π )4πr2

dr Q2210( 0r2

8π 0R38π 0R1R2R3

1.82 10 4J

(2)导体壳接地时，只有R时E

1 r R2

Qr

4π ,W2

0

0r3

∴

W WQ21

(1 1

) 1.01 10 4

J

8π 0R1R2

(3)电容器电容

C

2WQ

2

4π 11

0/(R )1R2 4.49 10 12F

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