理论力学选解3

《理论力学》

(三)

张丽芳 翁国华 任俊士编著2001年9 月

习题选解张志忠

11-2小车以匀加速度a沿倾角为α斜面向上运动，在小车的平顶上放一重P的

物块，随车一同运动。问物块与小车间的摩擦系数f应为多少？

a P y

a α F N x

α P 解：物块的受力如图所示，根据直角坐标形式的质点运动微分方程，可得

Pag ?F?P?cosα?Fsinα?0式中, F?fN Fcosα??P?N?sinα?求解上列方程即可得 f?acosαg?asinα

11-13在曲柄滑道机构中，滑杆与活塞的质量为50kg，曲柄长30cm，绕O轴匀

速转动，转速为n = 120 rpm。求当曲柄OA运动至水平向右及铅垂向上两位置时，作用在活塞上的气体压力。曲柄质量不计。

A O α ae aa

α A

ar

ae

F

解：一、加速度分析

选取滑块A为动点，滑杆和活塞为动系，由加速度合成定理作出加速度矢量图。

πn?4πrad/s aa?ω2OA?480π2cm/s2?47.4m/s230?ae?aacosαω?当α?0时, ae?aa?47.4m/s02 α?900时, ae?0

二、计算气体压力

当曲柄OA运动至水平向右位置时，α= 00，根据直角坐标形式的质点运动微分方程，

F?mae?2.37kN

当曲柄OA运动至铅垂向上两位置时，α= 900，所以此时F = 0。 11-6重为P的球用两根各长L的杆支承如图，球和杆一起以匀角速度ω绕铅垂

轴AB转动。如AB = 2b，杆的两端均为铰接，不计杆重，求杆所受的力。

y A ω M SAM a α α M B SBM P x

解：小球受力分析如图，对x、y轴写直角坐标形式的质点运动微分方程，

P ?SAMcosα?SBMcosα??ag SAMsinα?SBMsinα?P?0式中, a?ω2r?ω2l2?b2bl2?b2 sinα? cosα?ll解方程得 SAM?Pl2?ωb?g? SBM?Pl?ω2b?g?2bg2bg

11-9两物体各重P和G，用长为L的绳连接，此绳跨过一半径为r的滑轮，如开

始时两物体的高差为h，且Q > P，不计滑轮与绳的质量；求由静止释放后，两物体达到相同高度时所需的时间。

r O

r O Q h a

a

P

Q h

P 解：因为Q>P，所以重物Q将向下运动，而重物P则向上运动，由运动微分方

程得

Q?PagQ?P?a?gQ?P1 h?2?at22hQ?P?t?tQ?P Q?P?11-12质量为m的质点受固定中心排斥力F = μmr的作用，其中μ为常数，r为

质点至固定中心的距离。在初瞬时，r0 = a，υ0 = 0。求质点经过路程s = a时的速度。 解：根据质点的运动微分方程

d2r m2?F?μmrdt将上式改写成dυ?μrdr υdυ?μrdr υ ?υ υdυ??rμrdr00υr已知,υ0?0,r0?a,r?2a12a υ2?μra20 ?υ?a3μ

υ11-14重为P、初速为υ0的车厢沿平直轨道前进，受有与其速度的平方成正比的

空气阻力，比例常数为k；假定摩擦阻力系数为f ，求车厢停止前所经过的路程。

解：根据已知条件，阻力R = －kυ2，摩擦力F = fP， 由质点的运动微分方程

Pdυ ??kυ2?fPgdt将上式改写成1dυ?k?υ???υ2?1?Pgds?fP?υdυ ??fgds?k2?υ?1??fP??0sυdυ ?υ???0fgds0?k2?υ?1??fP?? fP?k2s? ?ln?υ?1??fgs02k?fP?υ02p?kυ0? s?ln??1?2gk?fP? 0

11-15在选矿机械中，两种不同矿物沿斜面滑下，在离开斜面B点时的速度分别

为υ1= 1 m/s和υ2 = 2 m/s；已知h = 1 m，α=300，求两种不同矿物落在CD所隔的距离s。

A α h B x C y 2D s 解：由质点的运动微分方程 dx?0 ?1?2dtdυy m?mg ?2?dtdυy将?2?式改写成 υy?gds m积分 ?υυydυy??0gdsy0υyth

2t0?α υr?g?t2?x1?x21??α υr?g??022g2Hmax2t0 ?α υr?α υr?g?2g

O 2384 V2

V1

439 R

13-2 我国在1970年4月24日发射了第一颗人造卫星，地球中心是椭圆轨道的

焦点之一，近地点为439km，远地点为2384km;如卫星在近地点的速度为V1=8.12km/s,地球的半径为R=6370km，求卫星在远地点的速度V2。

解：取卫星为研究对象，受地球引力F（向心力）作用，设卫星质量为m，在远

地点的速度为V2。根据质点的动量矩守恒：

????mo(m?v1)?mo(m?v2)?v2?6.34km/s即：m?v1(439?6370)?m?v2(2384?6370)

13-3 重为P的小球系于细绳的一端，绳的另一端穿过光滑水平面上的小孔O,令

小球在此水平面上沿半径为r的圆周作匀速运动，其速度为V0。如将绳下拉，使圆周半径缩小为r/2，问此时小球的速度V1和绳的拉力各为多少？

z N r O M V0V

T O M P T 解：取小球为研究质点，受力分析：向心力T、重力P和法向约束力N

?Mez?0?Gz??mz(mv)?const. P初始:Gz??v0?rgPPr终了:G'z??v1?r1??v1?gg2即：Gz?G'z?v2?2v02Pv0v2?T?m?8r1gr2

13-4 均质水平圆盘重为P，半径为r，可绕通过其中心O的铅垂轴旋转。一重为

Q的人按AB?s?at/2的规律沿盘缘行走。设开始时圆盘是静止的，求圆

盘的角速度及角加速度。

A O r ?2 B

解：取圆盘与人为研究对象，受力和运动如图。 z A Z r X ve ω Q

P B va vr

??Me?0设圆盘的角速度为?，则：

??Gz??mz(mv)?const.?0

z初始Gz?0终了G'z?G人?G盘?即：Gz?G'z2Qat(P?2Q)rdω2Qa?ε??dt(P?2Q)r?ω?Q1P?(a?t?ω?r)?r???r2?ωg2g

13-6 通风机的转动部分对于其转轴的转动惯量为J，以初角速度ω0转动。空气

的阻力矩与角速度成正比，即M=αω,其中α为常数。问经过多少时间其角速度降低到初角速度的一半？又在此时间内共转过多少转？ 解：取通风机的转动部分为研究质点系

M

ω

根据质点系的动量矩定理，G为通风机的转动部分对于其转轴的动量矩，在dt

时间间隔内有：

初始Go?J?ω0终了G'?J?ωdG??Mdt即：G'?Go???0M?dt???0α?ω?dt?J?ω?J?ω0?Inω?Inω0??ω?ω0?e?t?αt/Jttαωt?InJω0ω0?2J?In2αJω01t?n?ω?dt??02π4π α

13-8 滑动重Q、半径为R，对转轴O的回转半径为ρ；一绳绕在滑轮上，另端系

一重为P的物体A；滑轮上作用一不变转矩M，忽略绳的质量，求重物A上升的加速度和绳的拉力。

P M ε Y ω O T X Q P a

解：取定滑轮与重物为研究质点系，受力如图。设圆盘角速度为ω，根据质点系

的动量矩定理有：

dG?Me0dtQPG??ρ2?ω??ω?R2ggMe0?M?P?R代入得

以重物为研究对象

dωM?P?Rε??dtQ?ρ2?P?R2ggM?P?R?a?ε?R??gR22Q?ρ?P?R

?Y?0PT?P??agM?P?R?T?PR?P22Q?ρ?P?R

13-11 圆轮A重P1、半径为r1，可绕OA杆的A端转动；圆轮B重P2、半径为r2，

可绕其转轴转动。现将轮A放置在轮B上，两轮开始接触时，轮A的角速度为ω1,轮B处于静止。放置后，轮A的重量由轮B支持。略去轴承的摩擦和杆OA的重量，两轮可视为匀质圆盘，并设两轮间的动摩擦系数为f，问自轮A放在轮B上起到两轮间没有滑动时止，经过多少时间？

r1 A O

r2

B

解：取轮A、B为研究质点系（OA为二力杆），受力运动如图示： F' εA B εB A ' NYB XA ω AXB ωB P1 P2 F

N 两轮间无滑动，即： ω'Ar2?'ωBr1。，

根据动量矩定理有：

dGA?Me0dttP12'P12r1?ωA?r1?ω1??0F?r1dt?Nf?r1?t2g2gNft?ω'A?2g?ω1P1r1?Y?0?N?N'?P1dGA?Me0dttP12'r1?ωB??0F'?r2dt?N'f?r2?t2gP`1ft'?ωB?2gP2r2ω'Ar2?'?ωBr1r1?ω1?t?P2fg(1?1)P2

13-12 匀质圆柱重P、半径为r,放置如图并给以初角速度ω0。设在A和B处的

摩擦系数皆为f，问经过多少时间圆柱才静止？

A ?0 o r B

解：取圆柱为研究质点系，受力和运动如图示：

ω NA FA P NB O ε 根据动量矩定理有：

FB

初始Go?P2r?ω02gtt终了G'?0根据质心运动定理知：

G'?Go??0(FA?FB)?r?dt?f??0(NA?NB)r?dt

?X?0NA?FB?NBf?Y?0FA?NB?P?0即：NAf?NB?P?0?NB?P1?f2tP2?r?ω0?NBf(1?f)??0r?dt2g1?f2rω0?t??f(1?f)2g

13-14 为求物体对于通过其质心C之轴AB的转动惯量，用两杆AD及BE和这

物体固接，并籍两杆将物体活动地挂在水平轴DE上，轴AB平行于DE，然后使物体绕DE轴做微小摆动，测出摆动周期T；如物体的重量为P，轴AB和DE之间的距离为h，杆AD及BE的质量忽略不记，求物体的转动惯量。

P A o θ D E h C B P 解：取物体C为研究质点系，根据平行移轴定理有：

JDE?JAB由例题13-1知：

P2?hg

d2θJDE?2??P?h?sinθdtd2θP?h?θ?02dtJDE?θ?Asin(T?2π?JDE?JABPht?α)JDEJDEPhT2?24πPhP2T2h?JDE?h?Ph(2?)g4πg

14-1 一弹簧振子沿倾角为α的斜面滑动，已知物体重P，弹簧刚性系数为c，动

摩擦系数为f';求从弹簧原长压缩s的路程中力的全功及从压缩s再回弹λ的过程中力的全功。 λ l0 s

α

解：以物体为研究对象，其受力分析如图.

R F

P

N (1) 弹簧压缩s力的全功为： 11W1?Ps?sinα?Fs?cs2?Ps?sinα?f'?P?cosα?s?cs222

（2）再回弹λ

1W2??Pλ?sinα?Fs?c[s2?(s?λ)2]21??Pλ?sinα?f'?P?cosα?λ?c(2λs?λ2)2

14-2 一纯滚圆轮重P,半径为R和r，拉力T与水平成α角，轮与支撑水平面间

的静摩擦系数为f，滚动摩擦系数为δ；求轮心C移动s过程中力的全功。

T

α

r C R P

解：以圆轮为研究对象，其受力分析如图.圆轮作纯滚动，N与F不做功。

T

C P 在轮心C移动s的过程中，

N F M N?P?TsinαM?N?δ

力的全功为：

W?Tsinα?s?T?r?ss?M?RRrs?Ts?(cosα?)?δ(P?Tsinα)?RR

14-5 质量为m=5kg的重物系于弹簧上，沿半径r=20cm的光滑圆环自A点静止滑

下，弹簧的原长OA=20cm。欲使重物在B点时对圆环的压力等于零，则弹簧的刚性系数应为多大？ O

F向

A N

R

r B M

P

P B

解：以重物为研究质点，其在B点的受力分析如图。

若使重物在B点时N=0,

2VBF向?m?P?Rr

设弹簧刚性系数为c，从A到B,根据质点的动能定理知：

11122mVB?mVA?P(r?r?sin300)?c(λ2A?λ2B)222VA?0,λA?0,λB?20cm2?VB?2gr(1?sin300)?c2λBm

代入F向,可得：

cmg?λB?c?2mg(1?sin300)??λ2Br

?c?4.9N/cm

14-6质量5kg的滑块可沿铅垂导杆滑动，同时系在绕过滑轮的绳的一端。绳的

另一端使力F=300N,使滑块由图示位置自静止开始运动。不记滑轮尺寸，求下列两种情况下滑块到B点时的速度：（1）不记导杆摩擦；（2）滑块与导杆间的动擦系数f=0.10。

A 0.3mB 0.4m F N θ A Ff G B x T

解：以滑块为研究质点，其受力分析如图，应用动能定理。

(1) 不计Ff时

dw?(Tcosθ?G)?dx0.4?xctgθ?0.3?W??0(T?cos?G)dx

动能的变化量为：

0.41122ΔT?mVA?mVB?W22VA?02?VB?2m??0(T?cos?G)dx0.4?VB?4.02m/s(2) 计Ff时

dw??(Tcosθ?G)?Ff??dx??(Tcosθ?G)?Tfsinθ??dx2VB?2m??0(T?cos?G?Tfsinθ)dx0.4?VB?3.49m/s

14-8 滑轮重Q、半径为R，对转轴O的回转半径为ρ，一绳绕在滑轮上，绳的另一端系一重P的物体A，滑轮上作用一不变转矩M，使系统由静止而运动；不记绳的质量，求重物上升距离为s时的速度及加速度。

M M Y ω X Q A v A

解：以重物与滑块为研究质点系，受力如图示。设重物上升距离为s时的速度为

v. 初始

T1?0

终了

P2J02PQ22T2?V?ω?(?ρ)V22g22g2gR

作功

W?M?应用动能定理,

s?P?sR

W?T2?T1PQ2?ρ)212g2gR?2?sVM??P?sRM?PRV?2gs2QρP?2RM?PdVa??Rg2QρdtP?2R

(注意：

14-12 图示滑道连杆机构，位于水平面内。曲柄长r，对转轴的转动惯量为J，

滑道连杆重P，连杆与导轨间的摩擦力可认为等于常值F；滑块A的质量不记。今在曲柄上作用一不变转矩M，初瞬时系统处于静止，且∠AOB=Ф0，求曲柄转一周后的角速度。 A M CXC ФO 0

B V?dsdt

解：以曲柄与连杆为研究质点系，受主动力如图示（重力垂直纸面）。

初始

T1?0

转一周后

1PT2?Jω2?(ω?r?sin2g作功

0)

W?2π?M?4r?F

应用动能定理

W?T2?T1?ω?2g2πM?4rFJg?Pr2sin2φ0

14-13 图示滑道连杆机构，位于水平面内。曲柄重P、长为r，连杆重Q、长为l，

滑块重G，曲柄及连杆可视为匀质细长杆。今在曲柄上作用一不变转矩M，当∠BOA=900时A点的速度为u，求当曲柄转至水平位置时A点的速度。

A

u

MQ B

O

解：以曲柄与连杆、滑块为研究质点系，受主动力如图示（重力垂直纸面）。设

曲柄转至水平位置时，A点速度为V. 初始：

Pr2u2Q2G2T1??()?u?u24gr2g2g

终了

Pr2V2Ql2V2T2??()??()24gr24gr

应用动能定理，（机构处于水平面内，重力不作功）

?T2?T1?W?π?M2

3Mgπ?(P?3Q?3G)u2?VA?P?Q

14-14 图示行星齿轮机构位于水平面内。动齿轮A重P、长为r，可视为匀质圆

盘；系杆重Q,可视为匀质细长杆;定齿轮半径为R。今在曲柄上作用一不变转矩M使轮系由静止而运动，求系杆的角速度与其转角φ的关系。

r

A

M

O φ

R

解：以动齿轮与杆系为研究质点系，受主动力如图示（重力垂直纸面）。设瞬时

系杆的角速度为ω。 初始：

T1?0

终了：

P1?P2??ω?(R?r)?22T2?(R?r)?ω??JA?r????24g2?g??r?主动力的全功：

2

W?M?φ

应用动能定理：

?T2?T1?W23Mg?ω?R?r9P?2Q

14-15 匀质细杆重Q、长为l，上端B靠在光滑的墙上，下端A以铰链和一匀质

圆柱的中心相连。圆柱重P、半径为R，放在粗糙的地面上，从图示位置（θ=45）由静止开始作纯滚动。求A点在初瞬时的加速度。

NB

B B C A A θ Φ Q P F

NA

解：以圆柱与细杆为研究质点系。圆柱作纯滚动，可忽略滚动摩擦力偶的影响，

只有重力Q作功；细杆作平面运动。受力分析如图，C为AB的瞬心，设A点的瞬时速度为V，Φ为圆柱转动的角度。 初始：

T1?0

终了：

T2?主动力的全功：

P2JAV2JCV2V??()??()2g2R2l?sinθ lsin450lsinθW?Q(?)22

应用动能定理。

W?T2?T10Ql(sin45?sinθ)?V2?JCPJA?2?22gRlsinθdV?aA?dt

注意：

初瞬时，θ=450，Φ=0，代入加速度公式可得：

dθVdφV?,?dtl?sinθdtR

aA?3Qg9P?4Q

15-1 提升矿石用的传送带与水平成倾角α。设传送带以匀加速度a运动，为保

持矿石不在带上滑动，求所需的摩擦系数。

a

M

F N

Q

G α

解：取矿石m为研究质点，其受力分析如图所示，Q为虚拟惯性力，根据矿石

的动平衡方程知：

?X?0F?Q?mgsinα?0?Y?0N?mgcosα?0F?N?f,Q?ma?f?a?tgαgcosα

15-3 矿车重P以速度v沿倾角为α的斜坡匀速下降，运动总阻力系数为f，尺

寸如图；不记轮对的转动惯量，求钢丝绳的拉力。h当制动时，矿车作匀减速运动，制动时间为t，求此时钢丝绳的拉力和轨道法向反力。

v y a T

C d C

F A Q x

B NA α h

b/2 P b/2 NB 解：取矿车为研究质点，其受力分析如图所示，Q为虚拟惯性力。

（1） 匀速下降，Q=0

?X?0?T?F?Psinα?0?Y?0NA?NB?Pcosα?0F?(NA?NB)?f（2） 匀减速运动

制动时间为t，作匀减速运动，加速度方向与V相反，且：

?T?P(sinα?fcosα)

a??X?0?T?F?Q?Psinα?0?Y?0NA?NB?Pcosα?0?mA?0Vt

T?d?Q?h?NB?b?Psinα?h?Pcosα?b?02PVF?(NA?NB)?f,Q??gt?T??P?Vb(h?d)(sinα?)?(?fd)cosα?b?gt2??

15-6 图示凸轮导板机构，偏心轮绕O轴以匀角速度ω转动，偏心距OA=e，当导

板CD在最低位置时，弹簧的压缩为b，导板重为P。为使导板在运动过程中始终不离开偏心轮，则弹簧的刚性系数c应为多少？ QXC

No

F DB CXC N

P O A 解：考虑OA与水平线夹角为θ时的情况。

以导板为研究质点，其受力分析如图所示，Q为虚拟惯性力。弹力

F?c(b?e?esinθ).

导板与偏心轮不脱离，两者沿y向的加速度相同， 惯性力是

a?eω2?sinθ

Q?Pag

根据导板的动平衡条件：

?Y?0Q?N?F?P?0P2?N?P?c(b?e?esinθ)?eω?sinθ?esinθ?0gsinθ?900eω2?1g?c?Pb?2e

15-9 各长为l、重为P的两匀质杆OA与OB，一端用铰链固定在铅垂轴上的O

点，另一端用水平绳连在轴上的D处，杆与轴的夹角为φ。今△AOB随轴OD以匀角速度ω转动，求绳的拉力及铰链O对OB的约束反力。

B A D y T

φ φ an Q O X0 x ω P Y0

解：由于结构对称，绳AD、DB的拉力大小相等。以OB为研究质点，其受力

分析如图所示，Q为虚拟惯性力，

lQ?(sinφ)?ω22。

根据动平衡条件：

?X?0Q?X0?T?0?Y?0Y0?P?0?mo?02lcosφlsinφTl?cosφ?Q??P?032tgφlω2?T?P(?sinφ)23gtgφlω2X0?P(?sinφ),Y0?P26g

15-10 匀质圆柱重P、半径为R，在常力T作用下沿水平面纯滚，求轮心的加速

度及地面的约束反力。

T

α O

P

解：以圆柱为研究质点，其受力分析如图所示，MQ与Q为虚拟惯性力和力偶，

MQ T ε O a G

P

F

N PQ?a0g不计滚阻M，根据动平衡条件：

PMQ?J0?ε?a0?R2g

?X?0Tcosα?Q?F?0?Y?0Tsinα?N?P?0?mA?0QR?MQ?Tcosα?R?0

2Tcosα?a0?g3PN?P?TsinαTF?cosα3

15-11 绕线轮重P、半径为R及r，对质心C的转动惯量JC，在与水平成α角的

常力T作用下纯滚，求：（1）轮心的加速度，并分析运动；（2）纯滚条件。

r

T C α R P

解：以绕线轮为研究对象，其受力分析如图所示，MQ与Q为虚拟惯性力和力偶。 MQ ε Q C T

a c

P

F N

Q?PaCg（1）轮心的加速度ac

根据动平衡条件知：

aCMQ?JC?ε?JC?R

?mA?0?Tcosα?(R?rcosα)?Tsinα?rsinα?MQ?Q?R?0?aC?TR(Rcosα?r)P2JC?RgF?f?N

动平衡方程：

讨论α，可知轮的运动情况（加速、减速、匀速）。 （2）纯滚时，

?X?0?F?Tcosα?Q?0?Y?0N?Tsinα?P?0

?F?Tcosα?Q?f?(P?Tsinα)PT(Rr?JCcosα)g?f?P(P?Tsinα)(JC?R2)g

15-14 重为P1重物A沿斜面D下降，同时籍绕过滑轮C的绳使重为P2的重物上

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