高等数学第十章习题课

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习题课 重积分的 计算 及应用一、 重积分计算的基本方法 二、重积分计算的基本技巧 三、重积分的应用

第十章

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一、重积分计算的基本方法 —— 累次积分法1. 选择合适的坐标系 使积分域多为坐标面(线)围成; 被积函数用此坐标表示简洁或变量分离.

2. 选择易计算的积分序积分域分块要少, 累次积分易算为妙 . 3. 掌握确定积分限的方法 图示法 列不等式法 (从内到外: 面、线、点)

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练习P182 2 (3) ; 7; 8 (1), (3) 补充题: 计算积分 所围成. 解答提示: (接下页) 其中D 由

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P182 2 (3). 计算二重积分其中D 为圆周 提示: 利用极坐标 所围成的闭区域.

0 r R cos D: 2 2原式

y

r R cos

o

D

Rx

2 3 R 2 (1 sin 3 ) d 0 3

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P182

7. 把积分

化为三次积分,及平面

其中 由曲面

所围成的闭区域 .提示: 积分域为

:11

原式 dx d y 1x2

x2 y2 0

f ( x , y , z )d z

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P182 8 (1) .计算积分

其中 是两个球D2zD1 z

z

( R > 0 )的公共部分.提示: 由于被积函数缺 x , y ,

R

R 2

利用“先二后一” 计算方便 . 原式 =

x

o

y

00

R

2 z 2 dz 2 z2

R

59 5 R 480

R 2 d xd y z dz R D1 z 2 R 2 2 (2 R z z ) d z R z 2

D

d xd y2 2

2z

(R z ) dz

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P182 8 (3).计算三重积分 xoy平面上曲线x 5 所围成的闭区域 .

其中 是由

绕 x 轴旋转而成的曲面与平面

x x 提示: 利用柱坐标 y r cos z r sin 1 r2 x 5 2

zo x5 y

: 0 r 10 0 2 2 0

原式

d

0

10 3

250 r dr r 2 d x 3 2

5

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补充题. 计算积分所围成 .

其中D 由

y

4 提示:如图所示 D D2 \ D1 , 2 o D1 D 2 f ( x, y ) x y 在 D2 内有定义且 D 4 连续, 所以 6

y 2 2x

x

D

( x y ) d dy y 24 62

D2

( x y ) d D ( x y ) d 1

12 y

( x y ) d x dy 2 ( x y ) d x y 2 42

4 y

11 543 15

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二、重积分计算的基本技巧1. 交换积分顺序的方法 2. 利用对称性或重心公式简化计算 分块积分法 3. 消去被积函数绝对值符号 利用对称性 4. 利用重积分换元公式 练习题 P182 1 (总习题十) ; P182 4; P183 8(2), 11 解答提示: (接下页)

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P182 4. 证明:

0 d y

a

y m( a x ) a m( a x ) e f ( x)d x (a x)e f ( x)d x 0 0 y

提示: 左端积分区域如图,交换积分顺序即可证得.2 2 2

a

D

y x

z ln( x y z 1) P183 8(2). 求 x 2 y 2 z 2 1 d v, 其中 是 由球面 x 2 y 2 z 2 1 所围成的闭区域 .提示: 被积函数在对称域 上关于 z 为奇函数 , 利用

o

x

对称性可知原式为 0.

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11. 在均匀

的半径为R的圆形薄片的直径上 , 要接上一 个一边与直径等长的同样材料的均匀矩形薄片, 使整个 薄片的重心恰好落在圆心上 , 问接上去的均匀矩形薄片 的另一边长度应为多少? 提示: 建立坐标系如图. 由对称性知 y 0 , 即有

0 yd x d y D

R

R

d x

R2 x2

b

yd y

2 3 R R b2 3 2 由此解得 b R 3

yb ?

y R2 x2

Do b

RR x

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例1. 计算二重积分 I ( x x ye2 D

x2 y2

) d xd y , 其中:

(1) D为圆域

(2) D由直线解: (1) 利用对称性.

围成 .x2 y2

I x 2 d x d y x yeDD

d xd y

1 2 2 ( x y ) d xd y 0 2 D 1 3 1 2 d r d r 0 4 2 0

y

D

o

1x

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(2) 积分域如图: 添加辅助线 y x, 将D 分为 D1 , D2 ,利用对称性 , 得

x y eD1

x2 y2

d xd y

1 1

D2

xyexx

2

y

2

y y x o D2 1 x D1 1 y x

dxd y

x d x d y 0 02 1

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例2. 计算二重积分线D D

其中D 是由曲所围成的平面域 .

解: I 5 x d xd y 3 y d xd y积分区域 ( x 1) 2 ( y 2) 2 32

其形心坐标为: x 1 , y 2面积为:

5 x A 3 y A [5 ( 1) 3 2] A 9

形心坐标 1 x x d xd y A D 1 y y d xd y A D

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例3. 计算二重积分

(1) I sgn( y x 2 )d xd y, D : 1 x 1, y 1 0 D(2) I ( x 2 y 2 2 xy 2) d xd y, 其中D 为圆域D

在第一象限部分.

解: (1) 作辅助线 y x 把与D 分成2

D1 , D2 两部分, 则I d xd y D11 1 1 x

1 D1 1

y

D2

d xd yx2

o D2

1 x

d x 2 d y d x 1 1

0

2 dy 3

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(2) 提示:

I ( x y 2 xy 2) d xd y2 2 D

y 1D1 D2

y x

作辅助线 y x 将D 分成

D1 , D2 两部分 2 D2

( x y )d xd y 2 d xd yD

o

1 x

2 ( 2 1) 3 2 说明: 若不用对称性, 需分块积分以去掉绝对值符号.

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例4. 交换下列二次积分的顺序:

y

y sin x

o解: 如图所示

D1

D2

2 x

I d x 0

sin x 0

f ( x, y ) d y 2

2

d x

0 sin x

f ( x, y ) d y

0

D1

f ( x, y ) d D f ( x, y ) d arcsin yarcsin y

dy

1

f ( x, y ) d x2 arcsin y

dy 1

0

arcsin y

f ( x, y ) d x

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例5.其中 F (t )

求 lim

1

x2 y2 z 2 t 2

f ( x2 y2 z 2 ) d x d y d z

t 0 t

F (t ), 4

解: 在球坐标系下

4 f (r ) r 2 d r 0 F (0) 0 利用洛必达法则与导数定义,得 f (t ) f (0) 4 f (t ) t 2 F (t ) lim f (0) lim 4 lim 3 t 0 t t 0 t t 0 4 t

t

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三、重积分的应用1. 几何方面 面积 ( 平面域或曲面域

) , 体积 , 形心 2. 物理方面 质量, 转动惯量, 质心, 引力 3. 其它方面 证明某些结论等

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例6.

证明

证:左端 f ( x) dx f ( y ) d y f ( x) f ( y ) dxd ya a

b

b

D

1 2

D[ f

2

( x) f ( y )] dxd y2

a x b D: a y b

1 b 2 a

dy

b 2 b b 2 f ( x ) dx dx f ( y ) d y a a a

b a b f 2 ( x) d x b f 2 ( y ) d y 利用 2 a a

(b a) f 2 ( x)d x = 右端 a

b

2ab a 2 b 2

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例7. 设函数 f (x) 连续且恒大于零,

(t ) f ( x y z ) d v F (t ) f (x2 y2 ) d D(t ) 2 2 D(t ) f ( x y ) d G (t ) t f (x2 ) d x t2 2 2

z

D(t )

x

o (t )

t y

其中 (t ) {( x, y, z ) x 2 y 2 z 2 t 2 },

D(t ) {( x, y ) x y t }.2 2 2

(1) 讨论 F( t ) 在区间 ( 0, +∞) 内的单调性; 2 (03考研) (2) 证明 t > 0 时, F (t ) G (t ) .

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/2b9m.html