4_3角动量 角动量守恒定律

4 – 3 角动量 角动量守恒定律

第四章 刚体的转动

力的时间累积效应 力矩的时间累积效应 角动量定理.一

冲量、动量、动量定理. 冲量矩、角动量、

2 质点运动状态的描述 p mv Ek mv 2 刚体定轴转动运动状态的描述 L J Ek J 2 2 0, p 0 0, p 0 pi

质点的角动量定理和角动量守恒定律

pj

4 – 3 角动量 角动量守恒定律

第四章 刚体的转动

1 质点的角动量 质量为 m 的质点以速度 v 在空间运动，某时刻相对原点 ,质点相对于原 O 的位矢为 r 点的角动量

Lx

z

ro

L r p r mv 大小 L rmv sin

m y

v

L

v

为 r 的圆运动，相对圆心的 角动量

L 的方向符合右手法则. 质点以角速度 作半径L mr J 2

r p

L

m o r

4 – 3 角动量 角动量守恒定律 2 质点的角动量定理

第四章 刚体的转动

L r p

dL d dp dr (r p) r p dt dt dt dt dL dp dr v, v p 0 r r F dt dt dt dL M dt作用于质点的合力对参考点 O 的力矩 ，等于质点对该点 O 的角 动量随时间的变化率.

dp F, dt

dL ? dt

4 – 3 角动量 角动量守恒定律

第四章 刚体的转动 冲量矩

dL M dt

t2

t1

M dt L2 L1

t1

t2

M dt

质点的角动量定理：对同一参考点 O ,质点所受 的冲量矩等于质点角动量的增量. 3 质点的角动量守恒定律

M 0, L

恒矢量

质点所受对参考点 O 的合力矩为零时，质点对该 参考点 O 的角动量为一恒矢量.

4 – 3 角动量 角动量守恒定律 第四章 刚体的转动 例1 一半径为 R 的光滑圆环置于竖直平面内.一质 量为 m 的小球穿在圆环上, 并可在圆环上滑动. 小球开始 时静止于圆环上的点 A (该点在通过环心 O 的水平面上), 然后从 A 点开始下滑.设小球与圆环间的摩擦略去不计.求 小球滑到点 B 时对环心 O 的角动量和角速度. 解 小球受重力和支持 力作用, 支持力的力矩为零, 重力矩垂直纸面向里

M mgRcos 由质点的角动量定理

dL mgR cos dt

4 – 3 角动量 角动量守恒定律

第四章 刚体的转动

dL m gRcos dt考虑到

dL mgR cos dt

d dt, L mRv mR 2

得

LdL m gR cos d 2 3

由题设条件积分上式

L

0

LdL m gR232

3

0

cos d 12

L mR 2

L mR (2 g sin )

2g 12 ( sin ) R

4 – 3 角动量 角动量守恒定律4

第四章 刚体的转动

例2 一质量 m 1.20 10 kg 的登月飞船, 在离 月球表面高

度 h 100km 处绕月球作圆周运动.飞船 采用如下登月方式 : 当飞船位于点 A 时,它向外侧短 时间喷气 , 使飞船与月球相切地到达点 B , 且OA 与 OB 垂直 . 飞船所喷气体相对飞船的速度为 u 1.00 104 m s 1 . 已知 v0 B vA 月球半径 R 1700km ; vB 在飞船登月过程中,月球的 R 重力加速度视为常量 v u g 1.62m s 2 . O A 试问登月飞船在登月过程 中所需消耗燃料的质量 h m 是多少?

4 – 3 角动量 角动量守恒定律 已知

第四章 刚体的转动

m 1.20 10 kg4

h 100km

u 1.00 10 m s g 1.62m s 24

1

R 1700km 求 所需消耗燃料的质量 m . vBR O h B

解 设飞船在点 A 的 速度 v0 , 月球质量 mM , 由万有引力和牛顿定律

vA

v0

v mM m G m 2 ( R h) R h mM g G 2 R2 0

vA

u

4 – 3 角动量 角动量守恒定律

第四章 刚体的转动 B R O h

R g 12 1 ) 1612 m s 得 v0 ( R h当飞船在A点以相对速度 u 向外喷气的短时间里 , 飞船的 质量减少了Δm 而为 m' , 并获得 速度的增量 v , 使飞船的速度 变为 v A , 其值为

2

vB

vA

v0

vA

u

vA (v v )2 0

2 12

质量 m' 在 A 点和 B 点只受有心力作用 , 角动量守恒

m v0 ( R h) m vB R得

vB (R h)v0 R 1709m s

1

4 – 3 角动量 角动量守恒定律

第四章 刚体的转动

vA (v v ) 1 vB 1709m s2 0

2 12

飞船在 A点喷出气体后, 在到 达月球的过程中, 机械能守恒

vBR

B

vA

v0

mM mM 1 2G 即 v v 2G vA 1615m s R h R 于是 v (v2 v2 )1 2 100 m s 1 A 02 A 2 B

1 mM m 2 m v A G 2 R h 1 mM m 2 m vB G 2 R

vO h A

u

而 ( m)u m v

m m v u 120 kg

4 – 3 角动量 角动量守恒定律

二

第四章 刚体的转动 刚体定轴转动的角动量定理和角动量守恒定律2 mi ri )

1 刚体定轴转动的角动量

L mi ri vi ( i

L J

i

rimi

z

2 刚体定轴转动的角动量定理 dL d ( J ) M dt dt

O

vi

t1

t2

Mdt J 2 J 1

非刚体定轴转动的角动量定理

t2

t1

Mdt J 2 2 J1 1

4 – 3 角动量 角动量守恒定律 刚体定轴转动的角动量定理

第四章 刚体的转动

t2

t1

Mdt J 2 J 1

3 刚体定轴转动的角动量守恒定律 若 M 0 ,则 讨论 若 J 不变， 不变；若 J 变， 也变，但 L J 不变. 内力矩不改变系统的角动量. 守 恒条件

L J 常量

M 0

在冲击等问题中

M in M ex L 常量

角动量守恒定律是自然界的一个基本定律.

4 – 3 角动量 角动量守恒定律 有许多现

象都可以 用角动量守恒来说明. 花样滑冰 跳水运动员跳水 自然界中存在多种守恒定律 动量守恒定律 能量守恒定律 角动量守恒定律

第四章 刚体的转动

电荷守恒定律 质量守恒定律 宇称守恒定律等

4 – 3 角动量 角动量守恒定律

第四章 刚体的转动 角动量守恒定律在技术中的应用

惯性导航仪(陀螺)

被中香炉

4 – 3 角动量 角动量守恒定律 第四章 刚体的转动 例3 质量很小长度为l 的均匀细杆,可绕过其中心 O 并与纸面垂直的轴在竖直平面内转动.当细杆静止于水平 位置时, 有一只小虫以速率v0 垂直落在距点O为 l/4 处, 并 背离点O 向细杆的端点A 爬行.设小虫与细杆的质量均为 m.问:欲使细杆以恒定的角速度转动, 小虫应以多大速率 向细杆端点爬行?

解 小虫与细杆的碰撞视为完全非弹性碰撞，碰撞 前后系统角动量守恒

l 1 l 2 2 mv0 m l m( ) 4 12 4

12 v 0 7 l

4 – 3 角动量 角动量守恒定律

12 v 0 7 l

第四章 刚体的转动

由角动量定理dL d( J ) dJ M dt dt dt

即

d 1 dr 2 2 mgr cos ( ml mr ) 2mr dt 12 dt考虑到

7lg 12v0 dr g cos t cos( t) dt 2 24v0 7l

t

4 – 3 角动量 角动量守恒定律

第四章 刚体的转动 例4 一杂技演员 M 由距水平跷板高为 h 处自由下 落到跷板的一端A,并把跷板另一端的演员N 弹了起来.设 跷板是匀质的,长度为l,质量为 m' ,跷板可绕中部支撑点C 在竖直平面内转动,演员的质量均为m.假定演员M落在跷 板上,与跷板的碰撞是完全非弹性碰撞.问演员N可弹起多 高? 解 碰撞前 M 落在 A点的速度 M 12

vM (2gh)l u 2

碰撞后的瞬间, M、 N具有相同的线速度B

hN C A l/2

l

4 – 3 角动量 角动量守恒定律

第四章 刚体的转动 M

vM (2gh)l u 2

12

h NC A

把M、N和跷板作为 B l/2 一个系统, 角动量守恒 l l l 1 1 2 2 mvM J 2mu m l ml 2 2 12 2 解得

mvMl 2 6m(2 gh) 2 2 m l 12 ml 2 (m 6m)l

12

演员 N 以 u 起 跳, 达到的高度

u 2 l 2 2 3m 2 h ( ) h 2g 8g m 6m

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