2016届高考数学文一轮复习学案67二项分布及其应用

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学案67 二项分布及其应用

导学目标:1.了解条件概率和两个事件相互独立的概念.2.理解n次独立重复试验的模型及二项分布.3.能解决一些简单的实际问题.

自主梳理

1.条件概率及其性质

P(AB)

(1)设A,B为两个事件,且P(A)>0,称P(B|A)=为在事件A发生的条件下,事件B

P(A)发生的条件概率.

(2)条件概率具有的性质: ①__________________; ②如果B和C是两个互斥事件,则 P(B∪C|A)=________________. 2.相互独立事件

(1)设A,B为两个事件,若P(AB)=P(A)P(B),则称事件A与事件B____________. (2)若A与B相互独立,则P(B|A)=______, P(AB)=________________=________________.

(3)若A与B相互独立,则________________,________________,________________也都相互独立.

(4)若P(AB)=P(A)P(B),则________________. 3.二项分布

(1)独立重复试验是指在相同条件下可重复进行的,各次之间相互独立的一种试验,在这种试验中每一次试验只有两种结果,即要么发生,要么不发生,且任何一次试验中发生的概率都是一样的.

(2)在n次独立重复试验中,用X表示事件A发生的次数,设每次试验中事件A发生的概率为p,则P(X=k)=Cnp(1-p)作____________.

自我检测

11

1.两人独立地破译一个密码,他们能译出的概率分别为,,则密码被译出的概率为

54( )

A.0.45

B.0.05

C.0.4

D.0.6

kk

n-k

,k=0,1,2,…,n.此时称随机变量X服从二项分布.记

1

2.(2011·三明月考)一学生通过一种英语听力测试的概率是,他连续测试两次,那么

2其中恰有一次通过的概率是( )

1A. 4

1B. 3

1C. 2

3D. 4

?1?3.已知随机变量X服从二项分布X~B?6,?,则P(X=2)等于( ) ?3?

A.13 16

B.4

243

13

C. 243

D.80 243

33

4.已知P(AB)=,P(A)=,则P(B|A)等于( )

105A.9

50

1B. 2

C.9 10

1D. 4

1

5.(2011·临沂调研)一次测量中出现正误差和负误差的概率都是,在5次测量中至少3

2次出现正误差的概率是( )

A.5 16

5B. 8

2C. 3

1D. 2

探究点一 条件概率

例1 在100件产品中有95件合格品,5件不合格品.现从中不放回地取两次,每次任取一件.试求:

(1)第一次取到不合格品的概率;

(2)在第一次取到不合格品后,第二次再次取到不合格品的概率.

变式迁移1 1号箱中有2个白球和4个红球,2号箱中有5个白球和3个红球,现随机地从1号箱中取出一球放入2号箱,然后从2号箱随机取出一球,问:

(1)从1号箱中取出的是红球的条件下,从2号箱取出红球的概率是多少? (2)从2号箱取出红球的概率是多少?

探究点二 相互独立事件

例2 (2011·宁波模拟)甲、乙两名射击运动员,分别对一目标射击一次,甲射中的概率为0.8,乙射中的概率为0.9,求

(1)两人都射中的概率; (2)两人中恰有一人射中的概率; (3)两人中至少一人射中的概率; (4)两人中至多一人射中的概率.

1

变式迁移2 甲、乙、丙三人分别独立做一道题,甲做对的概率是,三人都做对的概率211是,三人全做错的概率是. 244

(1)求乙、丙两人各自做对这道题的概率; (2)求甲、乙、丙三人恰有一人做对这道题的概率.

探究点三 独立重复试验与二项分布

例3 (2010·天津汉沽一中月考)将一个半径适当的小球放入如图所示的容器最上方的入口处,小球将自由下落,小球

在下落过程中,将3次遇到黑色障碍物,最后落入A袋或B袋中,已知小球每次遇到黑1

色障碍物时向左、右两边下落的概率都是.

2

(1)求小球落入A袋中的概率P(A);

(2)在容器入口处依次放入4个小球,记ξ为落入A袋中小球的个数,试求ξ=3的概率.

变式迁移3 粒子A位于数轴x=0处,粒子B位于数轴x=2处,这两颗粒子每隔1秒钟21

向左或向右移动一个单位,设向右移动的概率为,向左移动的概率为.

33

(1)求4秒后,粒子A在点x=2处的概率; (2)求2秒后,粒子A、B同时在x=2处的概率.

1.一般地,每一个随机试验都在一定的条件下进行,而这里所说的条件概率,则是当试验结果的一部分信息已知(即在原随机试验的基础上,再加上一定的条件),求另一事件

在此条件下发生的概率.求条件概率,必须理解条件概率的定义及公式,公式中的P(AB)是指事件A、B同时发生的概率.

2.一般地,事件A是否发生对事件B发生的概率没有影响,即P(B|A)=P(B),这时,我们称两个事件A、B相互独立,并把这两个事件叫做相互独立事件.事件的独立是一种对等的性质.如果事件A对事件B独立,那么就可以说事件A与B相互独立.显然,必然事件与任何事件是相互独立的.

3.独立重复试验:若n次重复试验中,每次试验结果的概率都不依赖于其他各次试验的结果,则称这n次试验是独立的.

4.独立重复试验概率公式的特点:关于Pn(k)=Cnp(1-p)

kk

n-k

,它是n次独立重复试验中

某事件A恰好发生k次的概率.其中,n是重复试验次数,p是一次试验中某事件A发生的概率,k是在n次独立试验中事件A恰好发生的次数,需要弄清公式中n、p、k的意义,才能正确运用公式.

(满分:75分)

一、选择题(每小题5分,共25分)

1.(2010·湖北)投掷一枚均匀硬币和一枚均匀骰子各一次,记“硬币正面向上”为事件A,“骰子向上的点数是3”为事件B,则事件A,B中至少有一件发生的概率是( )

A.C.5

127 12

1B. 23D. 4

2.(2011·温州月考)位于坐标原点的一个质点P按下列规则移动:质点每次移动一个单1

位;移动的方向为向上或向右,并且向上、向右移动的概率都是.质点P移动五次后位于点

2(2,3)的概率是( )

?1?5

A.?? ?2?

2?1?3

C.C5??

?2?

2?1?5

B.C5??

?2?

23?1?5

D.C5C5??

?2?

3.设每门高射炮击中飞机的概率为0.6,今有一架飞机来犯,问需要几门高射炮射击,才能至少以99%的概率击中它( )

A.3

B.4

C.5

D.6

4.(2011·合肥模拟)

1

一个电路如图所示,A、B、C、D、E、F为6个开关,其闭合的概率都是,且是相互独立2的,则灯亮的概率是( )

A.1 64

D.

55B. 641 16

1C. 8

5.同时抛掷三颗骰子:设A=“三个点数都不相同”,B=“至少有一个6点”,则P(B|A)为( )

1A. 2C.

二、填空题(每小题4分,共12分)

6.(2010·湖北)一个病人服用某种新药后被治愈的概率为0.9,则服用这种新药的4个病人中至少3人被治愈的概率为________(用数字作答).

7.(2010·重庆)加工某一零件需经过三道工序,设第一、二、三道工序的次品率分别为111

、、,且各道工序互不影响,则加工出来的零件的次品率为________. 706968

8.(2010·福建)某次知识竞赛规则如下:在主办方预设的5个问题中,选手若能连续正确回答出两个问题,即停止答题,晋级下一轮.假设某选手正确回答每个问题的概率都是0.8,且每个问题的回答结果相互独立,则该选手恰好回答了4个问题就晋级下一轮的概率等于______.

三、解答题(共38分)

9.(12分)一名学生骑车从家到学校的途中有6个路口,假设他在每个路口遇到红灯的事1

件是相互独立的,且概率都为.求:

3

(1)这名学生在途中遇到红灯次数ξ的分布列;

(2)这名学生首次遇到红灯或到达目的地而停车时所经过了的路口数η的分布列; (3)这名学生在途中至少遇到一次红灯的概率. 5 18

60B. 91

91D. 216

10.(12分)(2011·六安模拟)设b和c分别是先后抛掷一枚骰子得到的点数,用随机变量ξ表示方程x+bx+c=0实根的个数(重根按一个计).

(1)求方程x+bx+c=0有实根的概率; (2)求ξ的分布列;

(3)求在先后两次出现的点数中有5的条件下,方程x+bx+c=0有实根的概率.

11.(14分)甲、乙两个乒乓球选手进行比赛,他们的水平相当,规定“七局四胜”,即先赢四局者胜,若已知甲先赢了前两局,求:(1)乙取胜的概率;

(2)比赛打满七局的概率;

(3)设比赛局数为ξ,求ξ的分布列.

2

22

学案67 二项分布及其应用

自主梳理

1.(2)①0≤P(B|A)≤1 ②P(B|A)+P(C|A) 2.(1)相互独立 (2)P(B) P(B|A)P(A) P(A)P(B) (3)A与B A与B A与B (4)A与B相互独立 3.(2)X~B(n,p)

自我检测

1.C 2.C 3.D 4.B 5.D 课堂活动区

P(AB)

例1 解题导引 求条件概率的通常方法是利用条件概率公式P(B|A)=.这就需要

P(A)求P(AB)和P(A).如果事件具有等可能特点,还可以看作是基本事件空间改变后的古典概型,n(AB)

利用P(B|A)=来计算.

n(A)

解 设A={第一次取到不合格品},B={第二次取到不合格品}. 51

(1)P(A)==.

10020

54

(2)方法一 根据条件概率的定义计算,需要先求出事件AB的概率:P(AB)=×,

1009954×P(AB)100994

所以有P(B|A)===.

P(A)599

100

方法二 事件A发生的条件下,事件空间包含的基本事件个数为nA=100-1=99个. 事件A发生的条件下,事件B包含4个基本事件. n(AB)4

∴P(B|A)==. n(A)99

变式迁移1 解 记事件A:最后从2号箱中取出的是红球; 事件B:从1号箱中取出的是红球. 421

则P(B)==,P(B)=1-P(B)=,

2+4333+14

(1)P(A|B)==.

8+19

31

(2)∵P(A|B)==,

8+13∴P(A)=P(AB)+P(AB)

421111

=P(A|B)P(B)+P(A|B)P(B)=×+×=. 933327

例2 解题导引 (1)审题应注意关键的词句,例如“至少有一个发生”、“至多有一个发生”、“恰好有一个发生”等.

(2)复杂事件的概率拆分为几个互斥事件的和事件,然后利用互斥事件的概率加法公式进行求解.

(3)求相互独立事件同时发生的概率的方法主要有: ①利用相互独立事件的概率乘法公式;

②正面计数较繁或难以入手时,可以从对立事件入手计算. 解 (1)记事件A:甲射中目标; 事件B:乙射中目标. 两人都射中的概率为

P(AB)=P(A)P(B)=0.8×0.9=0.72.

(2)两人中恰有一人射中包括“甲中乙不中”、“甲不中乙中”两种情况,其对应事件为互斥事件,则

P(AB)+P(AB)=P(A)P(B)+P(A)P(B) =0.8×(1-0.9)+(1-0.8)×0.9 =0.08+0.18=0.26.

(3)方法一 两人至少有一人射中包括“两人都射中”和“两人有一人射中”两种情况,其概率为P(AB)+P(AB)+P(AB)=P(A)P(B)+P(A)P(B)+P(A)P(B)

=0.72+0.26=0.98.

方法二 因为“两人至少有一人射中”与“两人都未射中”互为对立事件. 所以“两人至少有一人射中”的概率为:

1-P(AB)=1-P(A)P(B)=1-0.2×0.1=0.98.

(4)方法一 至多有一人射中包括“有一人射中”和“两人都未射中”,故所求概率为 P(AB)+P(AB)+P(AB)

=P(A)P(B)+P(A)P(B)+P(A)P(B) =0.02+0.08+0.18=0.28.

方法二 “至多有一人射中”的对立事件为“两人都射中”,

故所求概率为1-P(AB)=1-P(A)P(B) =1-0.72=0.28.

1

变式迁移2 解 (1)设甲、乙、丙三人各自做对这道题分别为事件A、B、C,则P(A)=,

211·P(B)P(C)=??224

由题意得?

?1-1?[1-P(B)][1-P(C)]=1

????4?2?

1111

解得P(B)=,P(C)=或P(B)=,P(C)=,

34431111

所以乙、丙两人各自做对这道题的概率为和或和. 3443(2)设“甲、乙、丙三人恰有一人做对这道题”为事件D,则 P(D)=P(A)P(B)P(C)+P(A)P(B)P(C)+ 11111

P(A)P(B)P(C)=++=,

481224

11

所以甲、乙、丙三人恰有一人做对这道题的概率是. 24

例3 解题导引 因为小球每次遇到黑色障碍物相互独立,且每次向左(或向右)的概率都11是,因此该试验属n次独立重复试验.注意n=3,P=. 22

独立重复试验,是在同样的条件下重复地、各次之间相互独立地进行的一种试验.在这种试验中,每一次试验只有两种结果,即某事件要么发生,要么不发生,并且任何一次试验中发生的概率都是一样的.

解 (1)方法一 记小球落入B袋中的概率P(B),

则P(A)+P(B)=1,由于小球每次遇到黑色障碍物时一直向左或者一直向右下落,小球将落入B袋,

?1?3?1?31所以P(B)=??+??=,

?2??2?4

13

∴P(A)=1-=. 44

方法二 由于小球每次遇到黑色障碍物时,有一次向左和两次向右或两次向左和一次向右下落时小球将落入A袋.

31?1?32?1?3

∴P(A)=C3??+C3??=.

?2??2?4

?3?(2)由题意,ξ~B?4,?.

?4?

273?3?3?1?1

∴P(ξ=3)=C4????=.

?4??4?64

变式迁移3 解 (1)要求4秒后,粒子A在x=2处的概率,即求粒子A四次移动中恰有三次向右移动发生的概率:

323231

C4()()=. 3381

(2)要使粒子A、B在2秒后同时在点x=2处,粒子A一定要往右移动2次,而粒子B往

?2?21?2??1?16

右和左各一次,所求概率为:??·C2????=.

?3??3??3?81

课后练习区

1.C 2.B 3.D 4.B 5.A 3

6.0.9477 7. 8.0.128

70

?1?9.解 (1)由已知ξ~B?6,?, ?3?

k?1?k?2?6-k

分布列为P(ξ=k)=C6????,

?3??3?

k=0,1,2,3,…,6.(2分) 所以ξ的分布列为

ξ P (4分)

(2)η=k表示这名学生首次停车时经过的路口数,即在前k个路口没有遇上红灯,但在第k+1个路口遇上红灯,则η的取值可能为0,1,2,3,4,5,6,其中η=6表示路上没有遇上红灯.

1?2?k

当0≤k≤5时,P(η=k)=·??;

3?3?

0 1 2 3 4 5 6 6419224016060121 729729729729729729729?2?6

当k=6时,P(η=6)=??.(9分)

?3?

所以η的分布列为

η 0 P (10分)

(3)这名学生在途中至少遇到一次红灯的事件概率为

1 2 3 4 5 6 11212212312412526 · ·() ·() ·() ·() () 33333333333326665

P(ξ≥1)=1-P(ξ=0)=1-()=.(12分)

3729

10.解 (1)基本事件总数为6×6=36,若使方程有实根,则Δ=b-4c≥0,即b≥2c. 当c=1时,b=2,3,4,5,6; 当c=2时,b=3,4,5,6; 当c=3时,b=4,5,6; 当c=4时,b=4,5,6; 当c=5时,b=5,6; 当c=6时,b=5,6,

所求事件个数为5+4+3+3+2+2=19, 192

因此方程x+bx+c=0有实根的概率为.(4分)

3617

(2)由题意知,ξ=0,1,2,则P(ξ=0)=,

362117

P(ξ=1)==,P(ξ=2)=,

361836故ξ的分布列为

ξ P (8分)

(3)记“先后两次出现的点数中有5”为事件M, “方程x+bx+c=0有实根”为事件N, 117

则P(M)=,P(M∩N)=,

3636P(M∩N)7

P(N|M)==.(12分)

P(M)11

11.解 (1)当甲先赢了前两局时,乙取胜的情况有两种:第一种是乙连胜四局;第二种是在第三局到第六局,乙赢了三局,第七局乙赢.

2

2

0 17 361 1 182 17 36?1?41

在第一种情况下,乙取胜的概率为??=,

?2?16

13?1?41

在第二种情况下,乙取胜的概率为C4??=,

?2?28所以当甲先赢了前两局时,乙取胜的概率为 113

+=.(5分) 16816

(2)比赛打满七局有两种结果:甲胜或乙胜,记“比赛打满七局甲胜”为事件A,记“比

赛打满七局乙胜”为事件B.

11?1?4?1?则P(A)=C4????=,

?2??2?813?1?4?1?P(B)=C4????=,

?2??2?8

又A,B互斥,所以比赛打满七局的概率为 1

P(A)+P(B)=.(9分)

4

?1?21

(3)P(ξ=4)=??=,

?2?4

11?1?2?1?P(ξ=5)=C2????=,

?2??2?4

?1?411?1?3?1?P(ξ=6)=C3????+??=,

?2??2??2?4

?1?11?1?4?1?3?1?4

P(ξ=7)=C4????+C4??·??=,(13分)

?2??2??2??2?4

所以ξ的分布列为

ξ P (14分)

4 1 45 1 46 1 47 1 4

本文来源:https://www.bwwdw.com/article/2al8.html

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