高数练习册上

高 数 练 习 册（上）

第一章 函数与极限

§1.1 映射与函数

一、按要求求下列各题

1．设f(x)的定义域为[0,1]，求f(x2)的定义域．

2．求函数y?arcsinx的定义域．

3．求函数y?arctanx的值域．

二、分析下列函数是由那些简单函数复合而成：

1．y?earctan(x?1)．

2．y?lnlnlnx．

3．

y?sinex?1

4．y?2lncosx?1

三、求下列函数的反函数1．y?1?ln(x?2)

2．y?2x2x?1

1

§1.2 数列的极限

一、求下列数列的极限

1．lim(n??n?n?1)?(n?2?n)

2．limn2?2n??n2?n?1

§1.3 函数的极限

???x?1,0?x?1一、设f(x)???x?1,1?x?2，作出f(x)的图形，并根据图形求

?2,x?2??2x?1,2?x?3极限limx?1f(x)，limx?2f(x)。

2

二、设函数f(x)?1?e?1x1，试求：1?e?x1． xlim?0?f(x)

2． xlim?0?f(x)

3．limx?0f(x)

§1.4 无穷小与无穷大

一、指出下列函数在指定的变化趋势下是无穷小还是无穷大？ 1．lnx (x?1)及(x?0?)．

2．x(sin1x?2) (x?0)．

13．ex (x?0?)及(x?0?)．

4．y?x2?9x?3 (x?3)

§1.5 极限的运算法则

一、计算下列极限：

1．limx2?7．

x?2x?3

2．lim1x． x?0xarctan

3．limx2?6x?8x?4x2?5x?4．

4．limx2?1x2?x?1．

x??2 5．lim1x?1(1?x?31?x3)．

3

6．nlim??(11?2?12?3???1n(n?1))．

7．limx(x2x????1?x)

lim(2x?1)300(3x?2)2008．x?1)500．

x??(2

二、已知limx2?ax?b2x2?x?2?2，求常数a和b的值。

x?

三、试确定常数a使lim33x??(1?x?ax)?0.

4

第二章 导数与微分

§2.1 导数的概念

一、设y?13x,求y?(x)及y?(1).

二、设f(x)?(x?a)?(x)，其中?(x)在x?a连续，求f?(a).

三、求曲线y?x4?3在点（1，-2）处的切线方程和法线方程.

?1四、讨论函数y??? xsinx , x?0,在x?0处的连续性与可导?? 0 , x?0.性.

五、设函数f(x)???e2x?b， x?0在(??,??)内可导，求常数b. ?sinax， x?0a，

10

§2.2 函数的求导法则

一、设求函数y?excosx在点x??2处的导数．

二、求下列函数的导数： 1．y?ln(x?x2?a2)．

2．y?arcsin1?x1?x ．

3．y?etan1xsin1x．

4．y?f(sin2x)?f(cos2x)．

三、已知y?f(ex)ef(x)，且f?(x)存在，求y?．

11

§2.3 高阶导数

一、求下列函数的二阶导数：

1．y?xcosx．

2．y?ln(1?x2)．

3．y?tanx．

4．y?xex2．

二、设f(x)?(x?10)6，求f???(2)、f(6)(2)及f(20)(2)．

12

§2.4 隐函数及由参数方程所确定的函数的导数

一、求由下列方程所确定的隐函数的导数dydx： 1．x3?y3?3xy?0．

2．y?1?xey．

二、用对数求导法则求函数y?(x1?x)x的导数．

??x?ln(1?t2)所确定的函数的导数dy,d2三、求由参数方程y． ?y?arctantdxdx2

四、求曲线??3?x?cos??????y?sin3在=4所确定点处的切线方程和法线方程．

13

§2.5 函数的微分

4．y?[ln(1?x)]2．

一、求下列函数的微分： 1．y?1x?2x．

2．y?xsin2x． 3．y?xx2?1．

5．

14

?arctan1?x2y1?x2．

§3.7 曲 率

1一、求函数y?x3在点（3, 9）处的曲率．

3

?x?acos3t二、设曲线x?x(t),y?y(t)由方程组?3确定，求该曲线

y?asint?在t?

20

?处的曲率． 4第四章 不定积分

§4.1 不定积分的概念与性质

一、求下列不定积分：

（7） 3cos2xdx． （8）?1?cos2x?cosx?sinxdx．

?41?x2?1?x4xx??． （2）?（1）??dx． ?dx??x4?? （3）?1x4(1?x2)dx． （5）?3?2x?4?3x2xdx． 1?x24）?e???e?xx?x??3?x??dx． 6）?cscx(cscx?cotx)dx．

二、已知一曲线上任一点处的切线斜率为

x?3x，且曲线经过点

(1,2)，求该曲线的方程。

三、已知一物体作直线运动，其加速度为a?t2?cost，且当t?0时，

速度v?1，距离S?0，求物体运动的路程S与时间t的函数关系。

21

（

（

§4.2 换元积分法

一、求下列不定积分： （1）（7） ?arctanxx(1?x)dx． （8）?sinx?cosxdx．

3sinx?cosx1dxdx． （2）??．

1?e?x （3）?2x?1 9?x2dx． （5）?dxxlnxln(lnx)．

33?2x （4）?(1?1x2)sin(x?1x)dx．6）?tan1?x2x1?x2dx．

（9）?sinxcosx2?sin4xdx．

（11）?dxx(1?x6)．

22

10）?lntanxcosxsinxdx．12）?dxx4?x2．

（

（ （（13） ?x1x2?1dx． （14）?dxx2x2?1．

§4.3 分部积分法

一、求下列不定积分：

（1）xsinxdx． （2）?lnx?2dx．

（15）?dxdxx2?x?1． （16）?．

9x2?6x?1

二、已知f(x)的一个原函数为sinx1?xsinx，求?f(x)f?(x)dx。

（3）?ln(1?x2)dx．

（5）?arcsinx1?xdx．

23

x4）?coslnxdx．

6）?x?2(x?1)2e?xdx． （

（ （7）?xtan2xdx．

（8）?lnx?1ln2xdx．

（9）?arctanxx2(1?x2)dx． （10）?e?3xsin2xdx．

二、设F(x)为f(x)的原函数，且当x?0时有：

f(x)F(x)?xex2(1?x)2．已知F(0)?1，F(x)?0，试求f(x)。

24

§4.4 有理函数的积分

求下列不定积分：

（1）?x3x?3dx． （2）?2x?3x2?3x?10dx．

（3）?7x2?x?1x3?1dx．

（4）?2x?2(x?1)(x2?1)2dx．

（5）

?dxsinx?tanx．

（6）?x?sinx1?cosxdx．

25

（7）?dxsin2x?2sinx．

（8）

?dx(x?3)x?1．

（9）?dx．

1?ex

26

第五章 定积分

§5.1 定积分的概念与性质

一、利用定积分的几何意义，求? 2 ?1xdx．

二、比较积分

? 4 42 3lnxdx与? 3(lnx)dx的大小，并说明理由．

三、设函数f(x)在[0,1]上连续，(0,1)内可导，且f(0)= 3

? 1 2f(x)dx．证明：在(0,1) 内至少存在一点c，使f?(c)?0．3

§5.2 微积分基本公式

一、计算dx4dx?x21?t2dt．

cosxt2二、求极限：

lim?1edtx?0x2．

三、计算下列定积分： 1．? 2 1(x?1x)2dx．

27

2．? 11 0

4?x2dx． 3．设f(x)=??2x,(x?0)，求?cosx,(x?0)?1??f(x)dx．

2

4．? 2 0max{1,x}dx ?5．? 2 01?sin2xdx．

§5.3 定积分的换元法和分部积分法

计算下列定积分 1．? 1- 15?4xdx．

32．? edx．

1x1?lnx 3.

? ?2 0sin2x?cos5xdx．

28

4．? 0dx ?2x2?2x?2．

5．? 1 ?1(x?2?x2)2dx． 6．? 1 0xarctanxdx．

?7．

?e21cos(lnx)dx．

8．?e1lnxdx．

e

29

§5.4 反常积分

判断下列反常积分的敛散性，若收敛，计算其值： 1．? ??dx ??x2?2x?2．

2．

? ??dxx(lnx)k． 2

3．? 2dx 0(2?x)2．

4．? edx． 1x1?(lnx)2

30

第六章 定积分的应用

§6.2 定积分在几何学上的应用

一、求曲线y?x2?2x?3与直线y?x?3所围成的平面图形的面三、求摆线x?a(??sin?),y?a(1?cos?)的一拱与ox轴所围成的平面图形的面积。

积。

二、计算抛物线y2?2x与直线y?x?4所围成图形的面积。

四、求由曲线y?x2?2x与直线x?1,x?3及y?0所围成的平面图形的面积，并分别求该平面图形绕x轴及y轴旋转一周而成的旋转体的体积。

31

五、计算曲线y?13x(3?x)上相应于1?x?3的一段弧长。

六、已知星形线方程为??3?x?acost??asint，求：（1）它所围的面积；（2?y3）它的弧长；（3）它绕x轴旋转而生成的旋转体的体积。

§6.3 定积分在物理学上的应用

一、设有一竖直的圆形闸门，其直径为2米，当水面齐闸门中心时，求闸门所受的压力。

二、半径为r的球体沉没于水中，球顶与水面相切，球的密度为1，现将球从水中取出，问需做多少功？

32

第七章 微分方程

§7.1 微分方程的基本概念

一、写出下列各微分方程的阶数? (1)x(y?)2?2yy??x?0

(2)x2y??xy??y?0

(3)xy????2y??x2y?0

二、写出曲线L所满足的微分方程，其中曲线L在点(x,y)处的切线的斜率等于该点横坐标的平方.

三、用微分方程表示一物理命题：某种气体的气压P对于温度T的变化率与气压成正比，与温度的平方成反比.

33

§7.2可分离变量的微分方程

一、求下列微分方程的通解： 1．xy??ylny?0;

2．(xy2?x)dx?(y?x2y)dy?0

二、求微分方程满足所给初始条件的特解：

1?y?xyy??0，y

2§7.3 齐次方程

一、求下列齐次方程的通解：

x?1?0；

1．x

2.

2dy?xy?y2 dx(x2?y2)dx?xydy?0

三、一曲线过点M0(2,3)，且在两坐标轴间任意点处的切线被切点所平分，求此曲线的方程．

34

二、求满足所给初始条件的特解：y?

/yy?tan,yxxx?1??6

§7.4 一阶线性微分方程

一、求下列微分方程的通解：

1．y??2xy?xe?x2;

2．y?+

1sinxxy?x

二、求下列微分方程满足初始条件的特解：

1. dydx?ytanx?secx，yx?0?0；

2. (x2?1)y??2xy?(x2?1)2,yx?0?1；

三、用适当的变量代换求方程通解：

dy?(x?y)2dx．

35

§7.5 可降阶的高阶微分方程

一、求下列各微分方程的通解：

二、求微分方程满足所给初始条件的特解： 1. (1?x2)y???xy??0,yx?0?0,y?x?0?1

1．y????sin2x

2. xy???y??x2ex

2. y???e2y，

36

y(0)?0，y?(0)?1； §7.6 高阶线性微分方程

一、已知y1?ex,y2?e3x都是方程y???4y??3y?0的解，写出该方程

的通解． §7.7 二阶常系数齐次线性微分方程

一、求下列微分方程的通解

1. y???8y??15y?0 2. y???6y??9y?0

二、已知y1?ex,y2?xex都是方程y???2y??y?0的解，且y?x是方程y???2y??y?x?2的特解，求方程y???2y??y?x?2的通解．

37

3. y???6y??13y?0. 4.y(4)?2y????y???0二、求下列方程满足所给初始条件的特解

1． 4y???4y??y?0,y(0)?2,y?(0)?0

2．y???3y?0,y(0)?2,y?(0)?33

§7.8 二阶常数非齐次线性微分方程

一、下列各微分方程的通解

1. y???2y??y?xex

2. y???2y??8y?(x?1)e?2x 3. y???2y??2y?exsinx

二、求特解：y???10y??9y?e2x,yx?0?6/7,yx?0?337 ．

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第一章 提高题

一、填空题:

三、设lim(3x?ax?bx?1)?2，求a,b.

x???2x2?ax?b?5，则a? ， b? . 1． 设limx?11?x(4?3x)22． lim = ．

x??x(1?x2)3． limexarctanx? ．

x????ex?1, x?04． f(x)??，在x=0处连续，则b= ．

?x?b, x?0sinx?ex与xn当x?0时为同阶无穷小，则n? . 5. 函数e6．f(x)?1ex1ex1??ex1??ex1?xsin?bx?0?x?ax?0，问 四、设 f(x)???sinx?x?0x?1. a,b为何值时，f(x)在x?0处有极限存在？ 2. a,b为何值时，f(x)在x?0处连续？

五、设f(x)在[0, 2a]上连续，且f(0)?f(2a)，证明至少有一点??[0,a]，使f(?)?f(??a)(其中a?0)．

，则f(x)的连续区间为 ，

f(0?)= ，f(0?)= ．

二、计算下列极限: 1．lim2sinn??1xnx2n?1 2．limsinsin(x?1)

x?1lnx2x?13x) 2x?1ln(1?32?x)33．limx(e?1) 4．lim(x???x??5．limx?01?xsinx?cosx 6．limx?2xtanxarctan4?x2 n2n) 7．limx[ln(1?x)?lnx] 8. lim(2n??n?1x???

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