全国大学生高等数学竞赛试题汇总及答案

全国大学生高等数学竞赛试题汇总及答案,答案详细,讲解透彻

全国大学生高等数学竞赛试题汇总及答案,答案详细,讲解透彻

前三届高数竞赛预赛试题（非数学类）

（参加高等数学竞赛的同学最重要的是好好复习高等数学知识，适当看一些辅导书及相关题目，主要是一些各大高校的试题。）

2009-2010年 第一届全国大学生数学竞赛预赛试卷

一、填空题（每小题5分）

y(x y)ln(1 )xdy 16/15，其中区域D由直线x y 1与两坐标轴1．计算 D x y

所围成三角形区域.

01 dxdy det解: 令x y u,x v，则x v,y u v， 1 1 dudv dudv，

y(x y)ln(1 )ulnu ulnvxdy D x y D uudv

uulnuuu (dv lnvdv)du0 u 0 u 0

21ulnuu(ulnu u) du0 u u1

令t u，则u 1 t2 10u2du （*） u

du 2tdt，u2 1 2t2 t4，u(1 u) t2(1 t)(1 t)，

(*) 2 (1 2t2 t4)dt10

全国大学生高等数学竞赛试题汇总及答案,答案详细,讲解透彻

2 1

016 2315 (1 2t t)dt 2 t t t 5 015 3241

2．设f(x)是连续函数，且满足f(x) 3x2

解: 令A 20f(x)dx 2, 则f(x) ____________. 2

0f(x)dx，则f(x) 3x2 A 2，

A 2

0(3x2 A 2)dx 8 2(A 2) 4 2A, 410。因此f(x) 3x2 。 33解得A

x2

y2 2平行平面2x 2y z 0的切平面方程是__________. 3．曲面z 2

x2

y2 2在解: 因平面2x 2y z 0的法向量为(2,2, 1)，而曲面z 2

(x0,y0)处的法向量为(zx(x0,y0),zy(x0,y0), 1)，故(zx(x0,y0),zy(x0,y0), 1)与(2,2, 1)平行，因此，由zx x，zy 2y知2 zx(x0,y0) x0,2 zy(x0,y0) 2y0，

即x0 2,y0 1，又z(x0,y0) z(2,1) 5，于是曲面2x 2y z 0在(x0,y0,z(x0,y0))处的切平面方程是2(x 2) 2(y 1) (z 5) 0，即曲面

x2

z y2 2平行平面 2

2x 2y z 0的切平面方程是2x 2y z 1 0。

4．设函数y y(x)由方程xef(y) eyln29确定，其中f具有二阶导数，且f 1，则d2y ________________. 2dx

解: 方程xef(y) eyln29的两边对x求导，得

ef(y) xf (y)y ef(y) eyy ln29

因eyln29 xef(y)，故11，因此 f (y)y y ，即y x(1 f(y))x

d2y1f (y)y y dx2x2(1 f (y))x[1 f (y)]2

f (y)1f (y) [1 f (y)]2

2 2 323 x[1 f(y)]x(1 f(y))x[1 f(y)]

ex e2x enx

x二、（5分）求极限lim()，其中n是给定的正整数. x 0n

解 :因 e

全国大学生高等数学竞赛试题汇总及答案,答案详细,讲解透彻

ex e2x enx

xex e2x enx nxlim() lim(1 ) x 0x 0nn

故 ee

ex e2x enx neA limx 0nx x2xnxe e e n elimx 0nx

ex 2e2x nenx1 2 nn 1 elim e e x 0nn2

因此

ex e2x enx

xlim() eA ex 0n

三、（15分）设函数f(x)连续，g(x)

并讨论g (x)在x 0处的连续性.

解 : 由lim

因g(x) en 1e2 10且limf(xt)dt，x 0f(x)求g (x) A，A为常数，xx 0f(x)f(x) A和函数f(x)连续知，f(0) limf(x) limxlim 0 x 0x 0x 0xx1 0f(xt)dt，故g(0) f(0)dt f(0) 0， 01

1x因此，当x 0时，g(x) f(u)du，故 x0

limg(x) limx 0x 0x0f(u)dux limx 0f(x) f(0) 0 1

当x 0时，

f(x)， 0x

x1xf(t)dtf(t)dt 0 g(x) g(0)f(x)A0 lim g (0) lim lim lim2x 0x 0x 0x 02x2xxx

1xf(x)f(x)1xAAlimg (x) lim[ 2 f(u)du ] lim lim2 f(u)du A 0x 0x 0x 0x 0xx0xx22

这表明g (x)在x 0处连续. g (x) x1x2f(u)du

四、（15分）已知平面区域D {(x,y)|0 x ,0 y }，L为D的正向边界，试证：

（1）xe

LLsinydy ye sinxdx xe sinydy yesinxdx； L（2）xesinydy ye sinydx 2.

证 :因被积函数的偏导数连续在D上连续，故由格林公式知 52

全国大学生高等数学竞赛试题汇总及答案,答案详细,讲解透彻

（1）xe

Lsiny dy ye sinxdx (xesiny) ( ye sinx) dxdy x y D

(esiny e sinx)dxdy

D

sinysinxxedy yedx L

(xe siny) ( yesinx) dxdy x y D

(e siny esinx)dxdy

D

而D关于x和y是对称的，即知

siny sinx sinysinx(e e)dxdy (e e)dxdy DD

因此

siny sinx sinysinxxedy yedx xedy yedx LL

（2）因

t2t4

e e 2(1 ) 2(1 t2) 2!4!t t

故

esinx e sinx 2 sin2x 2

由 1 cos2x5 cos2x 22

xe

Lsinydy ye sinydx (esiny e sinx)dxdy (e siny esinx)dxdy DD

知

siny sinyxedy yedx L11siny sinx sinysinx(e e)dxdy (e e)dxdy 2D2D

11siny siny sinxsinx sinxsinx(e e)dxdy (e e)dxdy (e e)dxdy 2D2DD

5 cos2x5dx 2 0022

5siny siny即 xedy yedx 2 2L (e sinx esinx)dx

五、（10分）已知y1 xe e，y2 xe e

解 设y1 xe e，y2 xe e

次微分方程 x2xx xx2xx xx2x x，y3 xe e e是某二阶常系数线性非齐次微分方程的三个解，试求此微分方程. x2x x，y3 xe e e是二阶常系数线性非齐

y by cy f(x)

全国大学生高等数学竞赛试题汇总及答案,答案详细,讲解透彻

的三个解，则y2 y1 e x e2x和y3 y1 e x都是二阶常系数线性齐次微分方程

y by cy 0

的解，因此y by cy 0的特征多项式是( 2)( 1) 0，而y by cy 0的特征多项式是

2 b c 0

y1 2y1 f(x)和 因此二阶常系数线性齐次微分方程为y y 2y 0，由y1

ex xex 2e2x，y1 2ex xex 4e2x y1

y1 2y1 xe 2e 4e知，f(x) y1

(1 2x)ex

二阶常系数线性非齐次微分方程为 xx2x (xex ex 2e2x) 2(xex e2x)

y y 2y ex 2xex

六、（10分）设抛物线y ax bx 2lnc过原点.当0 x 1时,y 0,又已知该抛物线与x轴及直线x 1所围图形的面积为

转体的体积最小.

解 因抛物线y ax bx 2lnc过原点，故c 1，于是

11b ab a (ax2 bx)dt x3 x2 302 032 31221.试确定a,b,c,使此图形绕x轴旋转一周而成的旋3

即

b 2(1 a) 3

11而此图形绕x轴旋转一周而成的旋转体的体积 V(a) (ax2 bx)2dt (ax2 00

2142(1 a)x)2dt 3114432 a xdt a(1 a) xdt (1 a) x2dt 00039

114 a2 a(1 a) (1 a)2 5327

即

114V(a) a2 a(1 a) (1 a)2 5327

令

V (a)

得 218 a (1 2a) (1 a) 0， 5327

54a 45 90a 40 40a 0

即

全国大学生高等数学竞赛试题汇总及答案,答案详细,讲解透彻

4a 5 0

因此

35a ,b ,c 1. 24

(x) un(x) xn 1ex(n 1,2, ), 且un(1) 七、（15分）已知un(x)满足un

级数e, 求函数项n u

n 1 n(x)之和.

解

(x) un(x) xn 1ex， un

即

y y xn 1ex

由一阶线性非齐次微分方程公式知

y ex(C xn 1dx)

即

xn

y e(C ) nx

因此

xn

un(x) e(C ) n

e1由 un(1) e(C )知，C 0， nnx

于是

xnex

un(x) n

下面求级数的和：

令

xnex

S(x) un(x) nn 1n 1

则

xnexex

n 1xS (x) (xe ) S(x) xe S(x) n1 xn 1n 1 n 1x

即

ex

S (x) S(x) 1 x

由一阶线性非齐次微分方程公式知

全国大学生高等数学竞赛试题汇总及答案,答案详细,讲解透彻

S(x) ex(C 1x) 1 x

令x 0，得0 S(0) C，因此级数 u

n 1 n(x)的和

S(x) exln(1 x)

八、（10分）求x 1时, 与

t2 xn等价的无穷大量. n 0 2解 令f(t) x，则因当0 x 1，t (0, )时，f (t) 2txlnx 0，故 t2

f(t) x e

0t2 t2ln1x在(0, )上严格单调减。因此 f(t)dt n 0 n 1nf(t)dt f(n) f(0) n 0n 1

nn 1f(t)dt 1 0f(t)dt 即

又

0f(t)dt f(n) 1 n 0 0f(t)dt， n 0f(n) xn， n 02

11

lim lim 1 x 11 xx 1 1ln

0f(t)dt 0xdt e0t2 t2ln1xdt 1ln1

x 0e tdt 2112lnx，

所以，当x 1时, 与

xn等价的无穷大量是n 0 21 。 21 x

2010-2012年 第二届全国大学生数学竞赛预赛试卷

（参加高等数学竞赛的同学最重要的是好好复习高等数学知识，适当看一些辅导书及相关题目，主要是一些各大高校的试题。）

一、（25分，每小题5分）

（1）设xn (1 a)(1 a) (1 a),其中|a| 1,求limxn. n 22n

（2）求limex x 1 1 。 x x2

（3）设s 0，求I

0e sxxndx(n 1,2, )。

全国大学生高等数学竞赛试题汇总及答案,答案详细,讲解透彻

2g 2g 1 （4）设函数f(t

)有二阶连续导数，r g(x,y) f ，求2 2。 x y r （5）求直线l1: x y 0x 2y 1z 3与直线l2:的距离。 z 04 2 1 22n22n解：（1）xn (1 a)(1 a) (1 a)=xn (1 a)(1 a)(1 a) (1 a)/(1 a)

=(1 a)(1 a) (1 a)/(1 a)= =(1 a222n2n 1)/(1 a)

limxn lim(1 a2)/(1 a) 1/(1 a) n n

11lne x(1 )xx2ln(1 ) x1 x xx lime(2) lime 1 lime x x x x 2n 1x2

令x=1/t,则

(ln(1 t) t)

原式=limet 0t limet 01/(1 t) 12t limet 0 12(1 t) e 12

1 n sx1n sx sxnIn exdx ( ) xde ( )[xe|0 edx] 00s0s（3）

nnn(n 1)n!n! sxn 1exdx I I I n 1n 20s 0ss2snsn 1 sxn

二、（15分）设函数f(x)在( , )上具有二阶导数，并且

f (x) 0,limf (x) 0,limf (x) 0,且存在一点x0，使得f(x0) 0。 x x

证明：方程f(x) 0在( , )恰有两个实根。

解： 二阶导数为正，则一阶导数单增，f(x)先减后增，因为f(x)有小于0的值，所以只需在两边找两大于0的值。

将f(x)二阶泰勒展开：

f''( )2f(x) f(0) f(0)x x 2'

因为二阶倒数大于0，所以

x limf(x) ，limf(x) x

证明完成。

x 2t t2

(t 1)所确定，其中 (t)具有二阶三、（15分）设函数y f(x)由参数方程 y (t)

全国大学生高等数学竞赛试题汇总及答案,答案详细,讲解透彻

导数，曲线y (t)与y t2

1e udu 23在t 1出相切，求函数 (t)。 2e

t22d2y 3解：（这儿少了一个条件2 ）由y (t)与y e udu 在t 1出相切得 1dx2e

(1) 32， '(1) 2ee

dydy/dt '(t) dxdx/dt2 2t

d2yd(dy/dx)d(dy/dx)/dt ''(t)(2 2t) 2 '(t) =。。。 32dxdx/dt(2 2t)dx上式可以得到一个微分方程，求解即可。

四、（15分）设an 0,Sn

a,证明： kk 1n

（1）当 1时，级数an收敛； Sn 1n

an发散。 n 1Sn （2）当 1且sn (n )时，级数

解：

（1）an>0, sn单调递增

当 an收敛时， n 1

anananan，而收敛，所以收敛； s1sns1sn

当 a

n 1n发散时，limsn n

sndxsndxansn sn 1 ssn 1n 1snsnsnx

sndxsndxana1a1 所以， sn 1x s1x sssn 1nn 211

而 sn

s1sn1 s11 a1s11 dxa1 lim k，收敛于k。 x s1 n 1 s1 1

所以，an收敛。 n 1sn

全国大学生高等数学竞赛试题汇总及答案,答案详细,讲解透彻

（2） limsn n

所以 a

n 1 n发散，所以存在k1，使得

k1 an 2k1n a1 ank1anan 1 2 于是， sk122sn2snk1

依此类推，可得存在1 k1 k2 ... kNa1an1 N 使得 成立，所以 n s2s2ki1nnki 1

当n 时，N ，所以an发散 n 1sn

222 五、（15分）设l是过原点、方向为( , , )，（其中 1)的直线，均匀椭球

x2y2z2

2 2 1，其中（0 c b a,密度为1）绕l旋转。 2abc

（1）求其转动惯量；

（2）求其转动惯量关于方向( , , )的最大值和最小值。

解：

（1）椭球上一点P(x,y,z)到直线的距离

d2 (1 2)x2 (1 2)y2 (1 2)z2 2 xy 2 yz 2 zx

xydV yzdV zxdV 0

zdV 2c czdzx

a22 2y2b2 1 z224dxdy ab(1 2)zdz abc3 cc15z2c

c2

由轮换对称性，

2 xdV

44 a3bc, y2dV ab3c 1515

444 a3bc (1 2) ab3c (1 2) abc3 151515I d2dV (1 2)

4 abc[(1 2)a2 (1 2)b2 (1 2)c2] 15

全国大学生高等数学竞赛试题汇总及答案,答案详细,讲解透彻

（2） a b c

当 1时，Imax

当 1时，Imin 4 abc(a2 b2) 154 abc(b2 c2) 15

六、(15分)设函数 (x)具有连续的导数，在围绕原点的任意光滑的简单闭曲线C上，曲线积分2xydx (x)dy的值为常数。 42 x yc

22（1）设L为正向闭曲线(x 2) y 1,证明2xydx (x)dy 0; 42 x yc

（2）求函数 (x)；

（3）设C是围绕原点的光滑简单正向闭曲线，求

解：

（1） L不绕原点，在L上取两点A，B，将L分为两段L1，L2，再从A，B作一曲线L3，

使之包围原点。

则有 2xydx (x)dy。 42 x yc

2xydx (x)dy2xydx (x)dy2xydx (x)dy 424242 x yx yx yLL1 L3L L23

（2） 令P 2xy (x) ,Q 4242x yx y

由（1）知 Q P 0，代入可得 x y

'(x)(x4 y2) (x)4x3 2x5 2xy2

上式将两边看做y的多项式，整理得

y2 '(x) '(x)x4 (x)4x3 y2( 2x) 2x5

由此可得

'(x) 2x

'(x)x4 (x)4x3 2x5

解得： (x) x 2

全国大学生高等数学竞赛试题汇总及答案,答案详细,讲解透彻

（3） 取L'为x y ，方向为顺时针 424

Q P 0 x y

c2xydx (x)dy2xydx (x)dy2xydx (x)dy 42 'x4 y2 x4 y2x y' c LL

L' 1 4 2xydx xdy 2

2011-2012年 第三届全国大学生数学竞赛预赛试卷

（参加高等数学竞赛的同学最重要的是好好复习高等数学知识，适当看一些辅导书及相关题目，主要是一些各大高校的试题。）

一． 计算下列各题（本题共3小题，每小题各5分，共15分）

sinx （1）.求lim x 0 x

sinx lim x 0x

limex 011 cosx11 cosx； 解：（用两个重要极限）： sinx x lim 1 x 0x sinx xx 03x2limxsinx x sinx xx1 cosxsinx xx1 cosx e ecosx 1x 02x2lim e1 x2limx 02x2 13 e

11 1（2）.求lim ； ... n n 1n 2n n

111 ... 解：(用欧拉公式）令xn n 1n 2n n

由欧拉公式得1 11 lnn=C+o（1），2n 1111则1 ln2n=C+o（1），2nn 12n

其中，o 1 表示n 时的无穷小量，

两式相减，得：xn-ln2 o（1）, limxn ln2. n

全国大学生高等数学竞赛试题汇总及答案,答案详细,讲解透彻

2t x ln1 e （3）已知 ty t arctane d2y，求。 2dx

et

1 2tt2tdx2e2tdyetdye e 1解： , 1 2t2t2t2t2edt1 edt1 edx2e

1 e2t

dyd dy 1e 21 e 2 2t 2tdxdt dx dx2e2e

dt

二．（本题10分）求方程

解：设P2t2t2tt1 ee 2 4e4t 2x y 4 dx x y 1 dy 0的通解。 2x y 4,Q x y 1，则Pdx Qdy 0

P Q 1, Pdx Qdy 0是一个全微分方程，设dz Pdx Qdy y x

z dz Pdx Qdy x,y

0,0 2x y 4 dx x y 1 dy

P Q , 该曲线积分与路径无关 y x

12 z 2x 4 dx x y 1 dy x 4x xy y y 002xy2

三．（本题15分）设函数f(x)在x=0的某邻域内具有二阶连续导数，且f 0 ,f' 0 ,f" 0 均不为0，证明：存在唯一一组实数k1,k2,k3，使得limh 0k1f h k2f 2h k3f 3h f 0 h

h 02 0。 证明：由极限的存在性：lim k1f h k2f 2h k3f 3h f 0 0

即 k1 k2 k3 1 f 0 0，又f 0 0， k1 k2 k3 1① 由洛比达法则得

全国大学生高等数学竞赛试题汇总及答案,答案详细,讲解透彻

limh 0k1f h k2f 2h k3f 3h f 0 h2

k1f' h 2k2f' 2h 3k3f' 3h

2h

'''由极限的存在性得lim k1f h 2k2f 2h 3k3f 3h 0 h 0 lim 0h 0

即 k1 2k2 3k3 f' 0 0，又f' 0 0， k1 2k2 3k3 0②

k1f' h 2k2f' 2h 3k3f' 3h

2h

k1f" h 4k2f" 2h 9k3f" 3h 0 再次使用洛比达法则得 limh 02

k1 4k2 9k3 f" 0 0 f" 0 0h 0 lim

k1 4k2 9k3 0③

k1 k2 k3 1 由①②③得k1,k2,k3是齐次线性方程组 k1 2k2 3k3 0的解

k 4k 9k 023 1

111 k1 1 设A 123,x k2,b 0，则Ax b， 149 k 0 3

增广矩阵 1111 1003 010 3 A* 1230 1490 0011 ，则R A,b R A 3

所以，方程Ax

且k1 b有唯一解，即存在唯一一组实数k1,k2,k3满足题意， 3,k2 3,k3 1。

全国大学生高等数学竞赛试题汇总及答案,答案详细,讲解透彻

四．（本题17分）设x2y2z2 1:2 2 2 1，其中a b c 0abc， 2:z2 x2 y2， 为 1与 2的交线，求椭球面 1在 上各点的切平面到原点距离的最大值和最小值。

x2y2z2

解：设 上任一点M x,y,z ，令F x,y,z 2 2 1， 2abc

2x'2y'2z'则Fx 2,Fy 2,Fz 2, 椭球面 1在 上点M处的法向量为： abc

xyz t 2,2,2 , 1在点M处的切平面为 ： abc

xyzX x 2 Y y 2 Z z 0 2 abc

原点到平面 的距离

为d 1

，zc42令

x2

G ,x, y a4

现在求y24bz2， d 则

,4c条件x2y2z2G ,x,y 444在,abcx2y2z2 221 ，2abcz2 x2 y2下的条件极值， 令 x2y2z2 x2y2z2

H x,y,z 4 4 4 1 2 2 2 1 2 x2 y2 z2 abcbc a

则由拉格朗日乘数法得：

全国大学生高等数学竞赛试题汇总及答案,答案详细,讲解透彻

2x '2xH 12 2 2x 0 xa4a H' 2y 2y 2 y 0122 yb4b 2z '2z Hz 4 12 2 2z 0， cc x2y2z2

2 2 2 1 0bc a

x2 y2 z2 0

22 x 0 2ac2 x z 2222解得 或 a cbc22y z 2 y 02b c ，

b4 c4a4 c4

对应此时的G x,y,z 或G x,y,z

22222222bcb caca c此时的d1

又因为ad2 b c 0，则d1 d2

1在 上各点的切平面到原点距离的最大值和最小值分别为：

所以，椭球面

d2

，d1 x2 3y2 1五．（本题16分）已知S是空间曲线 绕y轴旋转形成的椭球面的上半部

z 0

分（z 0）取上侧， 是S在P x,y,z 点处的切平面， x,y,z 是原点到切平面 的距离， , , 表示S的正法向的方向余弦。计算：

全国大学生高等数学竞赛试题汇总及答案,答案详细,讲解透彻

zz x 3 y z dS （1）（2）dS； x,y,zSS

解：（1）由题意得：椭球面S的方程为x

令F2 3y2 z2 1 z 0 x2 3y2 z2 1,则Fx' 2x,Fy' 6y,Fz' 2z，

切平面 的法向量为n x,3y,z ，

的方程为x X x 3y Y y z Z z 0， 原点到切平面 的距离

x,y,z 222

z I1 dS

x,y,zSS

将一型曲面积分转化为二重积分得：记Dxz:x2 z2 1,x 0,z 0

22r3 2r1dr I1 4 Dxz22z 3 2x z

dxdz 4 2sin d 00

4 22r3 2r1dr

4

2

0sin2 3 2sin2 d 431 3 2

2 4 222

(2)方法一：

I2 z

x 3 y z dS I1 2SS

六．（本题12分）设f(x)是在 , 内的可微函数，且f、 x mf x ，其

全国大学生高等数学竞赛试题汇总及答案,答案详细,讲解透彻

中

0 m 1，任取实数a0

n，定义an lnf an 1 n, 1,2,证...明,： a

n 1 an 1 绝对收敛。

an 1 lnf an 1 lnf an 2 证明：an

由拉格朗日中值定理得： 介于an 1,an 2之间，使得

lnf an 1 lnf an 2

f'

f f' f an 1 an 2 ，又 an an 1

f'

f an 1 an 2 f、 m f得 m

an an 1 man 1 an 2 ... mn 1a1 a0 0 m 1 级数 mn 1a1 a0

n 1 收敛， 级数 an 1 n an 1收敛，即 an 1 n an 1 绝

对收敛。

七（．本题15分）是否存在区间满足f 0 f 2 1， 0,2 上的连续可微函数f(x)，

f、 x 1, 0f x dx2 1？请说明理由。

解：假设存在，当x 0,1 时，由拉格朗日中值定理得：

1介于0，x之间，使得f x f 0 f' 1 x,，

同理，当x 1,2 时，由拉格朗日中值定理得：

2介于x，2之间，使得f x f 2 f' 2 x 2

即f x 1 f' 1 x,x 0,1 ;f x 1 f' 2 x 2 ,x 1,2 1 f、 x 1，

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/2a9h.html