2011版10年考研政治英语数学真题及精析（下）

2010年全国硕士研究生入学统一考试

数学（二）试题及精析

一、选择题（本题共8小题，每小题4分，满分32分，每个小题所给四个选项中只有一个符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内）

（1）f(x)?x?xx?121?1x2的无穷间断点数为（）(A) 0 (B) 1(C) 2 (D) 3

详解：2f(x)?x?xx?11?1x2有间断点x?0，?1limf(x)x(x?1)11x?0?limx??(x?1)(x?1)1?x2?limx?0x1?x2lim1?1?1，lim1??1x?0?xx2?0??x1?xx2所以x?0为第一类间断点limf(x)?1x?121?1?22所以x?1为连续点xlim??1f(x)?limx(x?1)1?1x2所以x??1(x?1)(x?1)??x??1为无穷间断点所以选择B

(2)设y1,y2是一阶非齐次方程y??p(x)y?q(x)的两个特解，若常数?，u使?y1?uy2是该方程的解，则?y1?uy2是该方程对应齐次方程的解，则(?=1112,u?2 (B) ?=-2,u??12 ?=23,u?12 (D) ?=23,u?23 )：

(A) (C)

详解：根据已知有?y1??y1p(x)?q(x),?y2??y2p(x)?q(x),于是将?y1?uy2和?y1?uy2分别代入方程左边得?+p(x（（?y1?uy2）)?y1?uy2）=（??u）q(x)?+p(x（（?y1?uy2）)?y1?uy2）=（??u）q(x)

?y1?uy2是方程的解???u?1，?y1?uy2是方程的解???u?0，解得??u?12，故选A

(3)曲线y?x与曲线y?alnx(a?0)相切，则a?((A) 4e (B) 3e(C) 2e (D) e详解:因y?x与曲线y?alnx(a?0)相切，顾2x?a?在y?x上，x?222)

1x?x?a2a2时y?a2a2a2时 y?alna2?aln12lna2

在y?alnx(a?0)上，x??a2?a2?lna2?lna2?1??e?a?2e,故选C（4）设m,n为正整数，则反常积分?1mln(1?x)n2dx的收敛性 （ ）

0x(A)仅与m有关；(B)仅于n有关；(C)与m,n都有关；(D)与m,n都无关。

m详解：显然广义积分?1m1ln(1?x)n2dx有两个瑕点x?0与x?1，

20xdx??ln(1?x)n20x2dx??1m2ln(1?x)n20x?1mln(1?x)n12xdx，

显然?1m1m2ln(1?x)ndx收敛性与n有关，当n?1时收敛，当n?1时发散；

0xdx的收敛性与m有关，选(C)。

?

ln(1?x)n212x(5)设函数z?z(x,y)由方程F(则x?z?x?y?z?y?yz,)?0确定，其中F为微函数，且F2?=0，xx??

(A) x (B) z(C) -x (D) -zyzy详解：F(,)?0两边对x求偏导，得?2F1??xxxx?z?x2x?zF2??0，解得

?z?x?1F2?(yF1??zF2?)；

F(yz11?z,)?0两边对y求偏导，得F1??F2??0，解得 xxxx?y?z?y??F1?F2?，于是x?z?x?y?z?y?1F2?(yF1??zF2?)?yF1?F2??z，选(B)。

nn(6)limn??1??(n?i)(ni?1j?1x0n2?j)22???1x0(A) ?dx?01?1?x??1?y1?dy (B) ?dx?01101?1?x??1?y?1y2dy

(C) ?dx?0110?1?x??1?y?n2dy (D)?dx?0?1?x??1??dynnn详解：?i?1?(n?i)(nj?1?j)2??n?ii?11n??j?1nn?j22，

n因为limn???n?ii?11?lim1nnn???i?111?in??111?x0dx，

nlimn???j?1nn?j22?lim1nn???nn211?()nj2?j?1?1111?x20dx，

nn所以lim

n????(n?i)(ni?1j?1?j)2??101?xdx??111?x20dx??10dx?11(1?x)(1?y)20dy，

(7)设向量组I:?1,a2,?,?r可由向量组II:?1，?2，?,?s线性表示，下列命题正确的是??

(A) 若向量组I线性无关，则 r?s (B) 若向量组I线性相关，则 r?s (C) 若向量组II线性无关，则 r?s (D) 若向量组II线性相关，则 r?s 详解：由于向量组(I)能由向量组（II）线性表示，所以r(I)?r（II）即r(?1,a2,?,?r)?r(?1，?2，?,?s)?s若向量组(I)线性无关，则r(I)=r,所以r?r(?1,a2,?,?r)?r(?1，?2，?,?s)?s即r?s，故选(A)

(8)A为4阶对称矩阵，且A+A?0，若A的秩为3，则A相似于?2??1?(A)?????1?(C)????11??1??? (B)?????0????? ??0?1?1??? ??0???? ??0?

?1?1??1? (D)?????1?1详解：

令AX??X，则A2X??2X，因为A2?A?O，即A2??A，

所以A2X??AX???X，从而(?2??)X?O，注意到X是非零向量，所以A的特征值为0和?1，又因为A可对角化的矩阵，所以A的秩与A的非??1??零特征值个数一致，所以A的特征值为?1,?1,?1,0，于是A~????????，选(D)。 ?0???1?1

二、填空题

(9)三阶常系数齐次微分方程y????2y???y??2y?0的通解y?________ 答案：y?c1e22x?c2cosx?c3sinx322详解：y????2y???y??2y?0对应的方程为??2????2?0?(??2)?(??2)?0.(??2)(??1)?0.??2,???1所以通解为 y?c1e2x?c2cosx?c3sinx

答案：y?2x2x23详解：limx?1?2x??xlim2x23x??x?1?2x?lim2x?2x?2xx?1232x???0,所以y?2x

答案：错误！未找到引用源。 详解：由麦克劳林展开有:

错误！未找到引用源。=错误！未找到引用源。

(12)当0????，求对数螺线r?e的弧长为_______

?答案：2?e?1??详解：0????,r?e?

2?e?1???

?0?e??2??e??2d??(13)已知一个长方形的长l以2cm/s的速度增加，宽w以3cm/s的速度增加，l?12cm,w?5cm时，它对角线增加的速率为________

答案：3cms详解：设l=x?t?,w?y(t)由题意知，在t?t0时刻x(t0)?12,y(t0)?5,且x?(t0)?2,y?(t0)?3,又 s?t??所以 s?(t)?x(t)?y(t),x(t)x?(t)?y(t)y?(t)x(t)?y(t)所以 s?(t0)?x(t0)x?(t0)?y(t0)y?(t0)x(t0)?y(t0)222222?12?2?5?312?522?3

(14)设A,B为3阶矩阵，A?3,B?2,A?1?B?2,则A?B?1?______

答案：3解析：

三、解答题

（15）本(题满分10分）求函数f(x)?x22?1(x?t)e2?t

dt的单调区间与极值解: f(x)??x21(x?t)ex22?t2dt?x2?x21e?t2dt??x21te?t2dt，

令f?(x)?2x?e?tdt?0，得x??1,x?0,x?1。

1?t2?x， f??(x)?2?edt?4xe1x2242因为f??(?1)?4e?t?0，f??(0)??2?edt?0，

01?t212所以x??1,x?1为f(x)的极小点，极小值为f(?1)?0，x?0为f(x)的极大点，极大值为f(0)?f(x)在(??,?1]及[0,1]上单调减少，f(x)在[?1,0]及[1,??)上单调增加。

?0tedt?12(1?1e)。

（16）本(题满分10分）(I)比较?lnt?ln(1?t)?dt与?tlntdt(n?1,2,?）的到小，并说明理由

n001n1(II)记un??10lnt?ln(1?t)?dt(n?1,2,?）,求极限limunn??n解:

（I）因为当0?t?1时，ln(1?t)?t，

所以|lnt|[ln(1?t)]?t|lnt|，于是?|lnt|[ln(1?t)]dt?0nn1n?t01n|lnt|dt。

（II）因为0?1n?10|lnt|[ln(1?t)]dt?n?10t|lnt|dt，

1n?1[tn?1n而?t|lnt|dt??0?n?11110lntd(tn?1)??lnt|??tdt]

0101n??1n?1tn?1lnt|0?1x1(n?1)2，

t?因为limtn?1lnt??limt?0lnxxn?1x????0，所以?t|lnt|dt?01n1(n?1)2，

故0??10|lnt|[ln(1?t)]dt?1n1(n?1)2，

由夹逼定理得limun?limn??n???0|lnt|[ln(1?t)]dt?0。

n

解：根据题意得dydy???t?dt??,dxdx2t?2dtd(

???t?2t?2dtdxdt)?????t?(2t?2)?2???t?(2t?2)2t?22dydx22??34(1?t)因????t?(2t?2)?2???t??6?t?1?2整理有????t?(t?1)????t??3?t?1?

2???t??????t???3?t?1???t?1解???1?5，??1?6??????2令u???t?,即u??1t?1u?3(1?t)11???t?1dt??t?1dt所以u?edt?C???1?t?(3t?C) ??3(1?t)e??又因为u(1)????1??6,故C?0,所以???t??3t(t?1)故??t???3t(t?1)dt?5232t?t?C132t?t3232有由??1??，?C1?0，???t??

(18)(本题满分10分）一个高为1的圆柱形贮油罐，底面是长轴为2a,短轴为2b的椭圆，现将贮油罐平放，当油罐中油面高度为332b时候，计算油的质量（长度单位为m,质量单位为

kg,油的密度为常数?kg/m）解：油的质量为M??v，其中油的体积为V?S底?h高?又S底?S椭圆?S1??ab?2?S13ab1?xa2223b?S底?dxdy??ab?2???ab?2?20320dx??b2dya2?xb???b1?2??dx?a2???a3??ab?2b???ab?32201?xa22dx?b?3a32xa22axaab?2ab??201?d

x11?1??ab?ab?2ab?arcsin?x?2a2a?2??ab?33?1?x??2320a??3?23ab?2ab????ab?ab???28?34?6?2?333322故M?S?h?????ab?ab??????ab??ab??3?2b48??

（19）（本题满分11分）设函数u?f(x,y)具有二阶连续导函数，且满足等式4?u?x2222?12?u2?u?x?y?0?5?u?y2 ?0，确定a,b的值，使等式在变换??x?ay,??x?by下化简为????解：?u?x?u?y?u?x?222???u???u???u?u????????x???x?????u???u???u?u?????a?b????y???y??????u?u2222

?u???u???u???u???(?)????????22?x???????x?????x???x?????x2?u????u??22?2?u????2

?u???u???u???u???(?)????????22?x?y?y???????y?????y???y?????y?u??u22?u2222?a?u?y22?u???22?b?u???u??22?(a?b)?u???u?????u??222

?b?u????2??y22(a?b2)?a(a?u????2)?b(b?u??22?a?u????2)?a2?u???b?u??2?2ab2故4?u?x22?12?u?x?y2?5?u?y2?（5a?12a?4)2?u?x22?（5b?12b?4)2?u??22?(12(a?b)?10ab?8)?02?5a?12a?4?0(1)?2当?5b?12b?4?0(2)满足等式?12(a?b)?10ab?8?0(3)?解得a??25或a??2，b??25或b??22?a????5又因为?或?b??2?5?2??a??故?5或?b??2??a??2不满足(3)式??b??2?a??2?2?b???5?

解：I???r2sin?1?r2cos2?drd?D???rsin?1?r2(cos2??sin2?)rdrd?D???y1?(rcos?)2?(rcos?)2dxdyD???y1?x2?y2dxdyD??1x220dx?0y1?x?ydy??10dx?x122021?x?yd?1?x2?y2???11?3

03?1?(1?x2)2??dx??3??112203dx??10(1?x)dx??123??0cos4?d??13?316?

(21)(本题满分10分）设函数f(x)在闭区间?0，1?连续，在开区间?0,1?内可导，且f(0)?1,f(1)?11122,证明存在??（0，），??（，1），使得f?(?)?f?(?)????322

证明：令F(x)?f(x)?13x31?1?对于F(x)在?0，?上利用L?中值定理，得???（0，），2?2?11F()?F(0)?F?(?)22(1)

1?1?对于F(x)在?，1?上利用L?中值定理，得???（，1），2?2?11F(1)?F()?F?(?)22(2)22两式相加得f?(?)?f?(?)????（22）（本题满分11分）???设A?0??1?（I）求?,a（II)求方程组Ax?b的通解11??a????0,b?1????1????????11已知线性方程组Ax?b存在两个不同的解

解:

（I）因为线性方程组AX?b存在两个不同解，所以r(A)?3，即|A|?0，解得 ???1或??1。 ??1?当???1时，A??0?1?1?2110?1a??1??1???0?01???122?1001??1???1???0?0a?1???120?100???1?， a?2??1因为r(A)?r(A)?3，所以a??2； ?1?当??1时，A??0?1?101101a??1??1???0?01???1001001??1??1???0?0a?1???1001001??1?， 0??显然r(A)?r(A)，所以??1，故???1，a??2。

??11????1???0??0??0??010?1003??2?1??，得方程组AX?b的通解为 2?0????1?（II）由A???0?0?120?100?3???21??????1。 X?k?1?????（其中k为任意常数）

?2??0????0?????（23）（本题满分11分）?0?设A??1??4?16T?13a4??Ta,正交矩阵Q使得QAQ为对角阵，若Q的第一列为 ?0??(1,2,1),求a,Q解：?0?由于A??1??4?16T?13a4??Ta,存在正交矩阵Q,使得QAQ为对角阵，且Q的第一列为?0??16(1,2,1)，T(1,2,1)，故A对应于?1的特征值为?1?

?1??1?????66?????0?2??2??故A???1???,即??166?4??????1??1??????6??6??13a4??1??1??????a2??12，由此可得?????????1?0??1???

a??1,?1?2?0?A??1??4??13?1?41????4????2????5??04????1,由?E?A?1?0??4?1?41?0,可得??31

??1?41??31?16(1,2,1)T

故A的特征值为?1?2，?2??4，?3?5，且对应于?1的特征向量为??4?由?2E?A?0，即?1??4???4??1??4?1?71?4??1??1?0????0?4??0101?711??0?0???4??x1??1x??2??4???x3???0???

可得对应于?2的的特征向量?2?(?1,0,1)，?5?由?3E?A?0，即1???4??5?1???4?121?4??1??1?0????05??010121?1??1?0??TT?4??x1??1x??2?5???x3???0???可得对应于?3=5的的特征向量?3?(1,?1,1)，由于A为实对称矩阵，?1，?2，?3为对应于不同特征值的特征向量，所以?1??3??1?1?3?3?1613(1,2,1)，?2?(1,?1,1)TT?2?2?12(?1,0,1)，T??2?T取Q?(?1,?2,?3),则QAQ?????4???5??

2010年全国硕士研究生入学统一考试

数学（三）试题及精析

一、选择题（本题共8小题，每小题4分，满分32分，每个小题所给四个选项中只有一个符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内）

?1?1?x?（1）lim????a?e??1,则a等于（x?0???x?x(A) 0 (B) 1(C) 2 (D) 3）

解析：

(2)设y1,y2是一阶非齐次方程y??p(x)y?q(x)的两个特解，若常数?，u使?y1?uy2是该方程的解，则?y1?uy2是该方程对应齐次方程的解，则((A) ?=(C) ?=解析：根据已知有?y1??y1p(x)?q(x),?y2??y2p(x)?q(x),于是将)1223,u?,u?1212 (B) ?=- (D) ?=2312,u??23 12 ：

,u??y1?uy2和?y1?uy2分别代入方程左边得?+p(x（（?y1?uy2）)?y1?uy2）=（??u）q(x)?+p(x（（?y1?uy2）)?y1?uy2）=（??u）q(x)

?y1?uy2是方程的解???u?1，?y1?uy2是方程的解???u?0，解得??u?12，故选A

(3)f(x),g(x)具有二阶导数，g?(x)小于零，g(x0)?a是g(x)的极值，则f(g(x))在x0的一个极大值的充分条件是（(A) f?(a)?0 (B) f?(a)?0 (C) f??(a)?0 (D) f??(a)?0）

解析：

x(4)f(x)?ln10x,g(x)?x,h(x)?e,则x充分大时(10)(A) g(x)?h(x)?f(x) (B) h(x)?g(x)?f(x) (C) f(x)?g(x)?h(x) (D) g(x)?f(x)?h(x)解析：

(5)设向量组I:?1,a2,?,?r可由向量组II:?1，?2，?,?s线性表示，下列命题正确的是??：

(A) 若向量组I线性无关，则 r?s (B) 若向量组I线性相关，则 r?s (C) 若向量组II线性无关，则 r?s (D) 若向量组II线性相关，则 r?s 解析：由于向量组(I)能由向量组（II）线性表示，所以r(I)?r（II）即r(?1,a2,?,?r)?r(?1，?2，?,?s)?s若向量组(I)线性无关，则r(I)=r,所以r?r(?1,a2,?,?r)?r(?1，?2，?,?s)?s即r?s，故选(A)

(6)A为4阶对称矩阵，且A+A?0，若A的秩为3，则A相似于?2??1?(A)?????1?(C)????11??1??? (B)?????0????? ??0?1?1??? ??0???? ??0?

?1?1??1? (D)?????1?1解析：

令AX??X，则A2X??2X，因为A2?A?O，即A2??A，

所以A2X??AX???X，从而(?2??)X?O，注意到X是非零向量，所以A的特征值为0和?1，又因为A可对角化的矩阵，所以A的秩与A的非??1??零特征值个数一致，所以A的特征值为?1,?1,?1,0，于是A~????????，选(D)。 ?0???1?1

x?0?0??1(7)设随机变量X的分布函数F(x)??0?x?1,则P{x?1}??2?xx?1??1?e(A) 0 (B) (C) 12?1??12?1

?e (D) 1?e 解析：

P{X?1}?P{X?1}?P{X?1}?F(1)?F(1?0)?1?e?1?12?12?e?1，选(C)。

(8)设f1(x)为标准正态分布的概率密度，设f2(x)为??1，3?上均匀分布的概率密度，?af1(x)若f(x)??,则a,b应满足?bf2(x)??

(A) 2a?3b?4 (B) 3a?2b?4 (C) a?b?1 (D) a?b?2 解析：

12??x2f1(x)?e2?1?,?1?x?3， (???x???)，f2(x)??4?0,其他???因为f(x)为概率密度函数，所以?而???????f(x)dx?1，

a2?b?3f(x)dx?a??340??f1(x)dx?b???0f2(x)dx?140dx?a2?34b，

所以

a2?1，即2a?3b?4，选(A)。

二、填空题

(9)设可导函数y?y(x)由方程?x?y0e?xdx??x0xsinxdx,则2dydxx?0?_______

答案：?1

解析：

(10)设位于曲线y?1x?1?lnx?2?e?x????下方，x轴上方的无界区域为

G,则G绕旋转一周所得的空间区域体积是______答案：

4?2解析：

（11）设某商品的收益函数为R(p),收益弹性为1?p,其中p为价格，且R(1)?1,则R(p)?______p?133

答案：pe3

解析：

(12)若曲线y?x?ax?bx?1有拐点(?1,0),则b?_______

32答案：3解析：

(13)设A,B为3阶矩阵，A?3,B?2,A?1?B?2,则A?B?1?______

答案：3解析：

n(14)设x1,x2,?xn为来自N(u,?)的简单随机样本，统计量T?则ET?________答案：u??解析：222?xi?12i,

三、解答题

(15)(本题满分10分）11lnx

求极限lim(x?1)x???x解：

11ln(xx?1)1x???1lnxln(xx?1)lim(x?1)?1?x?x1?xx?1?11xx?limex???lnx?elimx???lnx??1?lnx?2?x?1?lnx1?lnxlimlim1x(xx?1)lim1x(ex?e?e

x????e?1x????ex???lnx?1)

1?lnxx???xlim1xlnx?e(16)(本题满分10分）计算二重积分??(x?y)dxdy,其中D由曲线x?D31?y与直线x?22y?0

及x?2y?0围成解：

(17)(本题满分10分）

求函数M?xy?2yz在约束条件x?y+z=10下的最大值与最小值222

解：

（18）本(题满分10分）(I)比较?lnt?ln(1?t)?dt与?tlntdt(n?1,2,?）的到小，并说明理由

n001n1(II)记un??10lnt?ln(1?t)?dt(n?1,2,?）,求极限limunn??n解：

（I）因为当0?t?1时，ln(1?t)?t，

所以|lnt|[ln(1?t)]n?tn|lnt|，于是?|lnt|[ln(1?t)]dt?01n?10t|lnt|dt。

n（II）因为0?1n?10|lnt|[ln(1?t)]dt?1n?1n?10t|lnt|dt，

1n?1[tn?1n而?t|lnt|dt??0?110lntd(tn?1)??lnt|0??tdt]

011n??1n?1tn?1lnt|0?1x1(n?1)2，

t?因为limtt?0n?1lnt??limlnxxn?1x????0，所以?t|lnt|dt?01n1(n?1)2，

故0??10|lnt|[ln(1?t)]dt?1n1(n?1)2，

由夹逼定理得limun?limn??n???0|lnt|[ln(1?t)]dt?0。

n

（19）本(题满分10分）设函数f(x)在?0，3?上连续，在?0,3?内存在二阶导数，且2f(0)?f(2)?f(3)(I)证明存在??（0，2），使f(?)?f(0)(II)证明存在??（0，3），使f??(?)?0?20f(x)dx?

解：(I)因为2f(0)??20f(x)dx,又因为f(x)在?0，2?上连续20

由积分中值定理得至少有一点???0，2?，使得?f(x)dx?f(?)(2?0)?2f(0)?2f(?),所以存在??（0，2），使f(?)?f(0)(II)因为f(2)?f(3)?2f(0)，即f(2)?f(3)2?又因为f(x)在?2，3?上连续，由界值定理知至少存在一点?1?（2，3），使得f(?1)?f(0)又因为f(x)在?0，2?上连续可导，且f(2)?f(0)由罗尔中值定理知存在?1?（0，2）使,得f?(?1)?0又因为f(x)在?2，?1?上连续可导，且f(2)?f(0)?f(?1)由由罗尔中值定理知存在?2?（2，?1）使,得f?(?2)?0又因为f(x)在??1，?2?上二阶可导，且f?(?1)?f?(?2)?0所以由罗尔中值定理，至少有一点????1，?2?,使得f??(?)?0

（20）（本题满分11分）???设A?0??1?（I）求?,a（II)求方程组Ax?b的通解11??a????0,b?1?????1???????11已知线性方程组Ax?b存在两个不同的解

[解答]

（I）因为线性方程组AX?b存在两个不同解，所以r(A)?3，即|A|?0，解得 ???1或??1。 ??1?当???1时，A??0?1?1?2110?1a??1??1???0?01???122?1001??1???1???0?0a?1???120?100???1?， a?2??1因为r(A)?r(A)?3，所以a??2； ?1?当??1时，A??0?1?101101a??1??1???0?01???1001001??1??1???0?0a?1???1001001??1?， 0??显然r(A)?r(A)，所以??1，故???1，a??2。

?1?（II）由A???0?0?120?100??11????1???0??0??0??010?1003??2?1??，得方程组AX?b的通解为 2?0????3???21??????1 X?k?1?????（其中k为任意常数）。

?2??0????0?????

（21）（本题满分11分）?0?设A??1??4?16T?13a4??Ta,正交矩阵Q使得QAQ为对角阵，若Q的第一列为 ?0??(1,2,1),求a,Q解：?0?由于A??1??4?16T?13a4??Ta,存在正交矩阵Q,使得QAQ为对角阵，且Q的第一列为?0??16(1,2,1)，T(1,2,1)，故A对应于?1的特征值为?1?

?1??1?????66?????0?2??2??故A????1??,即??166?4??????1??1??????6??6??13a4??1??1??????a2??12，由此可得?????????1?0??1???a??1,?1?2?0?A??1??4??13?1?41????4????2????5??04????1,由?E?A?1?0??4?1?41?0,可得??31

??1?41??31?16(1,2,1)T

故A的特征值为?1?2，?2??4，?3?5，且对应于?1的特征向量为??4?由?2E?A?0，即?1??4???4??1??4?1?71?4??1??1?0????0?4??0101?711??0?0???4??x1????1x?0??2????4? ??x3?可得对应于?2的的特征向量?2?(?1,0,1)，?5?由?3E?A?0，即1???4??5?1???4?121?4??1??1?0????05??010121?1??1?0??TT?4??x1??1x??2?5???x3???0???可得对应于?3=5的的特征向量?3?(1,?1,1)，由于A为实对称矩阵，?1，?2，?3为对应于不同特征值的特征向量，所以?1??3??1?1?3?3?1613(1,2,1)，?2?(1,?1,1)TT?2?2?12(?1,0,1)，T??2?T取Q?(?1,?2,?3),则QAQ?????4???5??

（22）（本题满分11分）设二维随机变量?X,Y?的概率密度为f(x,y)?Ae???y???,求常数A及条件概率密度fY|X(y|x)?2x?2xy?y22,???x???,

求A及fY|X(y|x)。 [解答] 由归一性得

???????f(x,y)dxdy?1， f(x,y)dxdy?A?2而???????dx?e???????2x?2xy?y22dy?A?t?12????e?x2dx?e?????(y?x)2d(y?x)

又?e?(y?x)d(y?x)?2?????0e?x2x?t2dx??x2???01?tedt??()?2?，

所以?????f(x,y)dxdy?A?f(x,y)fX(x)?????e??dx?A?，于是A?1?。

fY|X(y|x)?，

而fX(x)????f(x,y)dy?1??e?x2?????e?(y?x)2dy?1?e?x2，

所以fY|X(y|x)?f(x,y)fX(x)1?e?(x?y)2，???x???,???y???。

（23）（本题满分11分）箱内有6个球，其中红，白，黑球的个数分别为1，2，3个，现从箱中随机取出2个球，设X为取到红球个数，Y为取到白球的个数（I）求随机变量（X,Y）的概率分布（II)求Cov(X,Y)

解： （I）

（II)

?215?29??445

附录1：文都考研高端辅导再创押题奇迹

2010年考研政治五道大题被文都考研文都高辅特聘名师蒋中挺全部命中，其中一题与“文都高辅专用三套密卷”第一套卷中的重点预测第一题只字不差！选择题考点在“文都高辅专用三套密卷”及文都高辅学员配套图书中被完全覆盖。考研英语一、英语二大小作文完全命中。考研数学知识点覆盖率达99.8％。专业课各科命中超过80％。具体命中情况如下：

考研英语：

①英语一：大作文主题为“文化交流”见文都高辅配套图书《考研英语写作专项特训30分》110页中“文化交流”、文都考前作文预测班讲义范文13。

②英语一：小作文要求通知书，见文都高辅配套图书《考研英语写作专项特训30分》211页。

③英语二：大作文为图表作文见文都高辅配套图书《考研英语写作专项特训30分》123和124页；考研英语冲刺班讲义122和123页。

④英语二：小作文为感谢信，文都屡次命中，见文都高辅配套讲义《考研英语考前作文预测班讲义》43页第七个书信类型、《考研英语冲刺班讲义》149页；文都高辅配套教材《考研英语写作专项特训30分》197页。

考研政治：

考研政治相关主观题对照表：

34题：相关考点：必然性与偶然性；认识的本质；认识与实践的关系 命中情况：屡次命中。

①见文都高辅配套图书《考研政治大串讲讲义》P22、P25页。

②见文都高辅配套资料《考研政治考前密押资料》等。 ③文都考研冲刺班重点讲解知识点（见相关视频资料）。 35题：相关考点：民生问题 命中情况：屡次命中。

①见文都高辅配套图书《考研政治考前密押资料》。 ②文都考研冲刺班重点讲解知识点（见相关视频资料）。 ③文都考研政治文都高辅《考前预测试卷》命题命中。 36题：相关考点：民族复兴的问题 命中情况：屡次命中

①见文都高辅配套图书《徐之明考研政治考前20天核心预测》核心预测之十一。 ②见文都高辅配套图书《政治理论终极预测4套卷》第一套题第36题第一问，原题命中。 ③见文都高辅配套资料《考研政治考前密押资料》。 37题：相关考点：德治与法治的关系问题 命中情况：屡次命中

①文都高辅配套图书《考研政治大纲解析配套习题同步训练1600题》P299分析题，命题角度相同。

②文都高辅配套图书《徐之明考研政治考前20天核心预测》P98—99“命题角度”和“示范例题”都与真题命题角度相同。 ③文都高辅配套图书《考研政治考前密押资料》 ④文都考研政治文都高辅《考前预测试卷》命题命中

38题：相关考点：有关“中国制造”的问题 命中情况：屡次命中

①文都高端辅导名师在最后的冲刺串讲和平时的培训班上多次提到相关“软实力”这一关键词，并举此例进行验证，相关资料见文都视频。

②文都高辅配套图书《考研政治大串讲讲义》P203；此题非常贴切地印证了文都高端辅导名师的精准预测。 考研思想政治理论相关选择题命中情况，在文都高端辅导相关试卷及强化冲刺班中也基本全部命中。

38题：相关考点：有关“中国制造”的问题 命中情况：屡次命中

①文都高端辅导名师在最后的冲刺串讲和平时的培训班上多次提到相关“软实力”这一关键词，并举此例进行验证，相关资料见文都视频。

②文都高辅配套图书《考研政治大串讲讲义》P203；此题非常贴切地印证了文都高端辅导名师的精准预测。 考研思想政治理论相关选择题命中情况，在文都高端辅导相关试卷及强化冲刺班中也基本全部命中。

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