第14课时:2015年全国中考数学试卷解析分类汇编专题27 - 锐角三
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2015年国中考数学试卷解析分类汇编专题27 锐角三角函数
与特殊角
一.选择题
1. (2015广西崇左第10题3分)如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=13,BC=12,则下列三角函数表示正确的是( )
A. sinA= B. 2cosA=2 C. tanA= D. tanB= BC12AC5?,故A正确;cosA=?,故BAB13AB13BC12AC5错误;tanA=,故C错误;tanB=,故D错误. ??AC5BC12 A【解析】AC =AB-BC=5.sinA=点评:在Rt△ABC中,∠C=90o,则sinA=
?A的对边?A的邻边,cosA=,tan
斜边斜边A=
?A的对边.求直角三角形中某锐角的三角函数值,常常利用勾股定理求出有关边长来
?A的邻边解决.
2.(2015?滨州,第2题3分)下列运算:sin30°=结果正确的个数为( ) A. 4 B. 3 C. 2 D. 1
考点: 特殊角的三角函数值;算术平方根;零指数幂;负整数指数幂. 分析: 根据特殊角三角函数值,可判断第一个; 根据算术平方根,可判断第二个; 根据非零的零次幂,可判断第三个; 根据负整数指数幂,可判断第四个. 解答: 解:sin30°=, =2, 0
π=1, 2=, 故选:D.
1
﹣2
,=2,π=π,2=﹣4,其中运算
0﹣2
点评: 本题考查了特殊角三角函数值,熟记特殊角三角函数值是解题关键,注意负整数指数幂与正整数指数幂互为倒数. 3.(2015?本溪,第9题3分)如图,在平面直角坐标系中,直线AB与x轴交于点A(﹣2,0),与x轴夹角为30°,将△ABO沿直线AB翻折,点O的对应点C恰好落在双曲线y=(k≠0)上,则k的值为( )
A. 4 B. ﹣2 C.
D. ﹣
考点: 翻折变换(折叠问题);待定系数法求反比例函数解析式.
分析: 设点C的坐标为(x,y),过点C作CD⊥x轴,作CE⊥y轴,由折叠的性质易得∠CAB=∠OAB=30°,AC=AO=2,∠ACB=AOB=90°,用锐角三角函数的定义得CD,CE,得点C的坐标,易得k.
解答: 解:设点C的坐标为(x,y),过点C作CD⊥x轴,作CE⊥y轴, ∵将△ABO沿直线AB翻折,
∴∠CAB=∠OAB=30°,AC=AO=2,∠ACB=AOB=90°, ∴CD=y=AC?sin60°=2×∵∠ACB=∠DCE=90°, ∴∠BCE=∠ACD=30°, ∵BC=BO=AO?tan30°=2×CE=x=BC?cos30°=
=
, =1, =
,
∵点C恰好落在双曲线y=(k≠0)上, ∴k=x?y=﹣1×故选D.
=﹣
,
2
点评: 本题主要考查了翻折的性质,锐角三角函数,反比例函数的解析式,理解翻折的性质,求点C的坐标是解答此题的关键.
4. (2015年浙江衢州9,3分)如图,已知“人字梯”的5个踩档把梯子等分成6份,从上往下的第二个踩档与第三个踩档的正中间处有一条60cm长的绑绳EF,tan??,则“人字...2梯”的顶端离地面的高度AD是【 】
5
A. 144cm B. 180cm C. 240cm D. 360cm 【答案】B.
【考点】平行线分线段成比例.
【分析】∵“人字梯”的5个踩档把梯子等分成6份,从上往下的第二个踩档与第三个踩档的正中间处有一条60cm长的绑绳EF, ...
∴
AF5?. AC12EFAF?. BCAC∵EF//BC,∴?AEF∽?ABC.∴∴
605?,解得BC?144. BC125AD5AD5∵tan??,即????AD?180?cm?.
122722BC2故选B.
3
5. (2015?温州第5题4分)如图,在△ABC中,∠C=90°,AB=5,BC=3,则cosA的值是( )
A.
考点: 锐角三角函数的定义.
分析: 根据锐角的余弦等于邻边比斜边求解即可. 解答: 解:∵AB=5,BC=3, ∴AC=4,
B. C. D.
∴cosA==.
故选D.
点评: 本题考查锐角三角函数的定义及运用:在直角三角形中,锐角的正弦为对边比斜边,余弦为邻边比斜边,正切为对边比邻边
6.(2015?甘肃庆阳,第7题,3分)在△ABC中,若角A,B满足|cosA﹣
2
|+(1﹣tanB)
=0,则∠C的大小是( ) A.45° B. 60° C. 75° D.105°
考点: 特殊角的三角函数值;非负数的性质:绝对值;非负数的性质:偶次方.
分析: 根据非负数的性质得出cosA=∠C的度数.
解答: 解:由题意得,cosA=
,tanB=1,求出∠A和∠B的度数,继而可求得
,tanB=1,
则∠A=30°,∠B=45°, 则∠C=180°﹣30°﹣45°=105°. 故选D.
点评: 本题考查了特殊角的三角函数值,解答本题的关键是掌握几个特殊角
7. (2015?黄石第14题3分)如图,圆O的直径AB=8,AC=3CB,过C作AB的垂线交圆O于M,N两点,连结MB,则∠MBA的余弦值为
.
4
考点:垂 径定理;解直角三角形. 分析:如 图,作辅助线;求出BC的长度;运用射影定理求出BM的长度,借助锐角三角函数的定义求出∠MBA的余弦值,即可解决问题. 解答:解 :如图,连接AM; ∵AB=8,AC=3CB, ∴BC=AB=2: ∵AB为⊙O的直径, ∴∠AMB=90°; 由射影定理得: 2BM=AB?CB, ∴BM=4,cos∠MBA=故答案为. =, 点评:该 题主要考查了圆周角定理及其推论、射影定理、锐角三角函数的定义等知识点及其应用问题;解题的方法是作辅助线,构造直角三角形;解题的关键是灵活运用圆周角定理及其推论、射影定理等知识点来分析、判断、解答. 8.(2015?烟台,第7题3分) 如图,BD是菱形ABCD的对角线,CE⊥AB于点E,且点E是AB的中点,则tan?BFE的值是( ) A. 考点:菱形的性质与锐角三角函数
5
31 B. 2 C. D. 3 32
1BC,又因为CE⊥AB,所以△BCA为直21角三角形,∠BCE=30°,∠EBC=60°,又因为菱形的对角线平分每一组对角,所以∠EBF=∠EBC=30°,2分析:因为在菱形ABCD中,AB=BC,E为AB的中点,所以BE=所以∠BFE=60°,所以tan∠BFE=3. 解答:故选D 点评:运用到的知识点有直角三角形的中线性质,以及菱形的性质,最后算出∠BFE后还用到特殊角的三 角函数。 9. (2015?江苏南通,第6题3分)如图,在平面直角坐标系中,直线OA过点(2,1),则tanα的值是( )
A. B. C. D.2 考点:
解直角三角形;坐标与图形性质.. 分析:
设(2,1)点是B,作BC⊥x轴于点C,根据三角函数的定义即可求解. 解答:
解:设(2,1)点是B,作BC⊥x轴于点C. 则OC=2,BC=1, 则tanα==. 故选C.
点评:本题考查了三角函数的定义,理解正切函数的定义是关键.
二.填空题
1.(2015?济南,第20题3分)如图,等边三角形AOB的顶点A的坐标为(﹣4,0),顶点B在反比例函数y= (x<0)的图象上,则k= ﹣4 .
6
考点: 反比例函数图象上点的坐标特征;等边三角形的性质.
分析: 过点B作BD⊥x轴于点D,因为△AOB是等边三角形,点A的坐标为(﹣4,0)所∠AOB=60°,根据锐角三角函数的定义求出BD及OD的长,可得出B点坐标,进而得出反比例函数的解析式;
解答: 解:过点B作BD⊥x轴于点D,
∵△AOB是等边三角形,点A的坐标为(﹣4,0), ∴∠AOB=60°,OB=OA=AB=4, ∴OD= OB=2,BD=OB?sin60°=4×∴B(﹣2,2 ), ∴k=﹣2×2 =﹣4 ; 故答案为﹣4 .
点评: 本题考查了反比例函数图象上点的坐标特点、等边三角形的性质、解直角三角函数等知识,难度适中.
2.(3分)(2015?桂林)(第16题)如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=8,BC=6,CD⊥AB,垂足为D,则tan∠BCD的值是 . =2
,
考点: 解直角三角形.
分析: 先求得∠A=∠BCD,然后根据锐角三角函数的概念求解即可. 解答: 解:在Rt△ABC与Rt△BCD中,∠A+∠B=90°,∠BCD+∠B=90°. ∴∠A=∠BCD. ∴tan∠BCD=tan∠A=故答案为
==.
7
点评: 本题考查了解直角三角形,三角函数值只与角的大小有关,因而求一个角的函数值,可以转化为求与它相等的其它角的三角函数值.
3.(2015?曲靖第12题3分)如图,在半径为3的⊙O中,直径AB与弦CD相交于点E,连接AC,BD,若AC=2,则cosD=
.
考点: 圆周角定理;解直角三角形.
分析: 连接BC,根据同弧所对的圆周角相等得到∠D=∠A,在直角三角形ABC中,根据余弦的定义即可得到结果. 解答: 解:连接BC, ∴∠D=∠A,
∵AB是⊙O的直径,∴∠ACB=90°, ∵AB=3×2=6,AC=2,
∴cosD=cosA=故答案为:.
==.
点评: 本题考查了圆周角定理,解直角三角形,连接BC构造直角三角形是解题的关键.
4.(2015?四川巴中,第18题3分)如图,将∠AOB放在边长为1的小正方形组成的网格中,则tan∠AOB=
.
考点: 锐角三角函数的定义. 专题: 网格型. 分析: 先在图中找出∠AOB所在的直角三角形,再根据三角函数的定义即可求出tan∠AOB的值.
8
解答: 解:过点A作AD⊥OB垂足为D, 如图,在直角△ABD中,AD=1,OD=2, 则tan∠AOB=故答案为. =. 点评: 本题考查了锐角三角函数的概念:在直角三角形中,正弦等于对边比斜边;余弦等于邻边比斜边;正切等于对边比邻边.
三.解答题
1.(2015?永州,第19题6分)计算:cos30°﹣ 考点:实 数的运算;负整数指数幂;特殊角的三角函数值. 专题:计 算题. 分析:原 式第一项利用特殊角的三角函数值计算,第二项化为最简二次根式,最后一项利用负整数指数幂法则计算即可得到结果. 解答: 解:原式=﹣+4=4. +().
﹣2
点评:此 题考查了实数的运算,熟练掌握运算法则是解本题的关键.
2.(2015年浙江省义乌市中考,17,4分)计算:2cos45??(??1)?011?()?1; 42考点:特殊角的三角函数值..
专题:计算题.
分析:原式第一项利用特殊角的三角函数值计算,第二项利用零指数幂法则计算,第三项利用算术平方根定义计算,最后一项利用负整数指数幂法则计算即可得到结果; 点评:此题考查了实数的运算,熟练掌握运算法则是解本题的关键.
3.(2015?东营,第19题7分)(1)计算:(﹣1)﹣1
(2)解方程组:
.
2015
﹣
+(3﹣π)+|3﹣
0
|+(tan30°)
考点: 实数的运算;零指数幂;负整数指数幂;解二元一次方程组;特殊角的三角函数值. 专题: 计算题.
9
分析: (1)原式第一项利用乘方的意义计算,第二项利用算术平方根定义计算,第三项利用零指数幂法则计算,第四项利用绝对值的代数意义化简,最后一项利用负整数指数幂法则计算即可得到结果;
(2)方程组利用加减消元法求出解即可. 解答: 解:(1)原式=﹣1﹣3+1+3﹣+=0; (2)
,
①+②得:3x=15,即x=5, 把x=5代入①得:y=1, 则方程组的解为
.
点评: 此题考查了实数的运算,熟练掌握运算法则是解本题的关键.
4.(2015?怀化,第15题8分)计算:
.
考点: 实数的运算;零指数幂;负整数指数幂;特殊角的三角函数值. 专题: 计算题.
分析: 原式第一项利用绝对值的代数意义化简,第二项利用特殊角的三角函数值计算,第三项利用负整数指数幂法则计算,第四项利用零指数幂法则计算,最后一项利用算术平方根的定义计算即可得到结果.
解答: 解:原式=﹣1+4×﹣2﹣1+3=+1.
点评: 此题考查了实数的运算,熟练掌握运算法则是解本题的关键.
5.(2015?娄底,第19题6分)计算:(﹣1.414)+()﹣+2cos30°. 考点: 实数的运算;零指数幂;负整数指数幂;特殊角的三角函数值. 专题: 计算题.
分析: 原式第一项利用零指数幂法则计算,第二项利用负整数指数幂法则计算,最后一项利用特殊角的三角函数值计算即可得到结果. 解答: 解:原式=1+3﹣
+2×
0
﹣1
=4.
点评: 此题考查了实数的运算,熟练掌握运算法则是解本题的关键. 6.(2015?娄底,第22题8分)“为了安全,请勿超速”.如图,一条公路建成通车,在某直线路段MN限速60千米/小时,为了检测车辆是否超速,在公路MN旁设立了观测点C,从观测点C测得一小车从点A到达点B行驶了5秒钟,已知∠CAN=45°,∠CBN=60°,BC=200米,此车超速了吗?请说明理由.(参考数据:
≈1.41,
≈1.73)
10
考点: 勾股定理的应用.
分析: 根据题意结合锐角三角函数关系得出BH,CH,AB的长进而求出汽车的速度,进而得出答案.
解答: 解:此车没有超速. 理由:过C作CH⊥MN, ∵∠CBN=60°,BC=200米, ∴CH=BC?sin60°=200×
=100
(米),
BH=BC?cos60°=100(米), ∵∠CAN=45°, ∴AH=CH=100∴AB=100
米,
﹣100≈73(m),
m/s,
≈16.7(m/s),
∵60千米/小时=∴
=14.6(m/s)<
∴此车没有超速.
点评: 此题主要考查了勾股定理以及锐角三角函数关系的应用,得出AB的长是解题关键.
7.(2015?营口,第19题10分)先化简,再求值:
2
﹣÷(1﹣).其中
m满足一元二次方程m+(5tan30°)m﹣12cos60°=0.
考点: 分式的化简求值;解一元二次方程-因式分解法;特殊角的三角函数值.
11
专题: 计算题.
分析: 原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算,同时利用除法法则变形,约分后两项通分并利用同分母分式的减法法则计算得到最简结果,求出m的值代入计算即可求出值. 解答: 解:原式=
﹣
÷
=
﹣
?
2
=﹣
2
==,
方程m+(5tan30°)m﹣12cos60°=0,化简得:m+5m﹣6=0, 解得:m=1(舍去)或m=﹣6, 当m=﹣6时,原式=﹣.
点评: 此题考查了分式的化简求值,熟练掌握运算法则是解本题的关键.
8.(2015?青海西宁第21题7分)计算:2sin60°+|﹣2|+. 考点: 实数的运算;特殊角的三角函数值. 分析: 分别根据特殊角的三角函数值、绝对值的性质及数的开方法则计算出各数,再根据实数混合运算的法则进行计算即可.
解答: 解:原式=2×+2﹣+2
=2+2.
点评: 本题考查的是实数的运算,熟知特殊角的三角函数值、绝对值的性质及数的开方法则是解答此题的关键.
9.(2015?四川凉山州第18题6分)计算:﹣3÷
2
×
+|﹣3|
考点: 二次根式的混合运算;特殊角的三角函数值.
分析: 分别利用特殊角的三角函数值以及绝对值的性质化简求出即可. 解答: 解:﹣3÷=﹣9×
×
+3﹣
2
×+|﹣3|
=﹣.
点评: 此题主要考查了二次根式的混合运算以及特殊角的三角函数值、绝对值的性质等知识,正确化简各数是解题关键.
10.(2015?四川遂宁第16题7分)计算:﹣1﹣+6sin60°+(π﹣3.14)+|﹣| 考点: 实数的运算;零指数幂;特殊角的三角函数值. 专题: 计算题.
分析: 原式第一项利用乘方的意义化简,第二项化为最简二次根式,第三项利用特殊角的三角函数值计算,第四项利用零指数幂法则计算,最后一项利用绝对值的代数意义化简,计算即可得到结果.
30
12
解答: 解:原式=﹣1﹣3+6×+1+=.
点评: 此题考查了实数的运算,熟练掌握运算法则是解本题的关键.
11.(2015?甘肃庆阳,第21题,8分)计算:(
﹣2)+()+4cos30°﹣|
0﹣1
﹣|
考点: 实数的运算;零指数幂;负整数指数幂;特殊角的三角函数值. 专题: 计算题.
分析: 原式第一项利用零指数幂法则计算,第二项利用负指数幂法则计算,第三项利用特殊角的三角函数值计算,最后一项利用绝对值的代数意义化简,计算即可得到结果. 解答: 解:原式=1+3+4×
﹣2
=4.
点评: 此题考查了实数的运算,熟练掌握运算法则是解本题的关键. 12.(2015?甘肃天水,第13题,4分)如图,边长为1的小正方形构成的网格中,半径为1的⊙O在格点上,则∠AED的正切值为 .
考点: 圆周角定理;锐角三角函数的定义. 专题: 网格型.
分析: 根据圆周角定理可得∠AED=∠ABC,然后求出tan∠ABC的值即可. 解答: 解:由图可得,∠AED=∠ABC, ∵⊙O在边长为1的网格格点上, ∴AB=2,AC=1, 则tan∠ABC=∴tan∠AED=.
故答案为:.
点评: 本题考查了圆周角定理和锐角三角形的定义,解答本题的关键是掌握同弧所对的圆周角相等.
13.(2015?湖南湘西州,第19题,5分)计算:3﹣2015+tan45°.
13
2
0
=,
考点: 实数的运算;零指数幂;特殊角的三角函数值.
分析: 分别进行乘方、零指数幂、特殊角的三角函数值等运算,然后合并. 解答: 解:原式=9﹣1+1 =9.
点评: 本题考查了实数的运算,涉及了乘方、零指数幂、特殊角的三角函数值等知识,属于基础题.
14.(2015?江苏镇江,第18题,8分)(1)计算:﹣(﹣π)﹣2
0
sin60°
考点: 实数的运算;零指数幂;特殊角的三角函数值.
分析: (1)先化简二次根式,计算0指数幂与特殊角的三角函数,再算加减; 解答: 解:(1)原式=4﹣1﹣2
×
=4﹣1﹣3 =0; 此题考查二次根式的混合运算,掌握运算顺序与计算方法是解决问题的关键.
15.(2015?黄石第17题7分)计算:﹣
+|﹣
|+2sin45°+π+().
0﹣1
考点:实 数的运算;零指数幂;负整数指数幂;特殊角的三角函数值. 专题:计 算题. 分析:原 式第一项化为最简二次根式,第二项利用绝对值的代数意义化简,第三项利用特殊角的三角函数值计算,第四项利用零指数幂法则计算,最后一项利用负整数指数幂法则计算即可得到结果. 解答: 解:原式=﹣2++2×+1+2=3. 点评:此 题考查了实数的运算,熟练掌握运算法则是解本题的关键. 16.(2015?青岛,第19题6分)小明在热气球A上看到正前方横跨河流两岸的大桥BC,并测得B,C两点的俯角分别为45°,35°.已知大桥BC与地面在同一水平面上,其长度为100m,请求出热气球离地面的高度.(结果保留整数) (参考数据:sin35°≈
,cos35°≈,tan35°≈
)
考点: 解直角三角形的应用-仰角俯角问题. 分析: 作AD⊥BC交CB的延长线于D,设AD为x,表示出DB和DC,根据正切的概念求出x的值即可. 解答: 解:作AD⊥BC交CB的延长线于D,设AD为x, 由题意得,∠ABD=45°,∠ACD=35°,
14
在Rt△ADB中,∠ABD=45°, ∴DB=x, 在Rt△ADC中,∠ACD=35°, ∴tan∠ACD=∴=, , 解得,x≈233m. 点评: 本题考查的是解直角三角形的应用,理解仰角和俯角的概念、掌握锐角三角函数的概念是解题的关键,解答时,注意正确作出辅助线构造直角三角形. 17. (2015·江苏连云港,第25题10分)如图,在△ABC中,∠ABC=90°,BC=3,D为AC延长线上一点,AC=3CD,过点D作DH∥AB,交BC的延长线于点H. (1)求BD?cos∠HBD的值;
(2)若∠CBD=∠A,求AB的长.
考点: 相似三角形的判定与性质;解直角三角形.
分析: (1)首先根据DH∥AB,判断出△ABC∽△DHC,即可判断出BH的值是多少,再根据在Rt△BHD中,cos∠HBD=(2)首先判断出△ABC∽△BHD,推得所以AB=3DH;最后根据解答: 解:(1)∵DH∥AB, ∴∠BHD=∠ABC=90°, ∴△ABC∽△DHC, ∴
=3,
=3;然后求出
,求出BD?cos∠HBD的值是多少即可.
,
;然后根据△ABC∽△DHC,推得
,求出DH的值是多少,进而求出AB的值是多少即可.
∴CH=1,BH=BC+CH,
在Rt△BHD中,
15
cos∠HBD=
,
∴BD?cos∠HBD=BH=4.
(2)∵∠CBD=∠A,∠ABC=∠BHD, ∴△ABC∽△BHD, ∴
,
∵△ABC∽△DHC, ∴
,
∴AB=3DH, ∴
,
解得DH=2,
∴AB=3DH=3×2=6, 即AB的长是6.
点评: (1)此题主要考查了相似三角形的性质和应用,要熟练掌握,解答此题的关键是要明确:寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形;或依据基本图形对图形进行分解、组合;或作辅助线构造相似三角形,判定三角形相似的方法有事可单独使用,有时需要综合运用,无论是单独使用还是综合运用,都要具备应有的条件方可. (2)此题还考查了直角三角形的性质和应用,要熟练掌握.
18. (2015?江苏宿迁,第17题6分)计算:cos60°﹣2+
﹣1
﹣(π﹣3).
0
考点: 实数的运算;零指数幂;负整数指数幂;特殊角的三角函数值. 专题: 计算题.
分析: 原式第一项利用特殊角的三角函数值计算,第二项利用负整数指数幂法则计算,第三项利用二次根式性质化简,最后一项利用零指数幂法则计算即可得到结果. 解答: 解:原式=﹣+2﹣1
=1.
点评: 此题考查了实数的运算,熟练掌握运算法则是解本题的关键.
16
cos∠HBD=
,
∴BD?cos∠HBD=BH=4.
(2)∵∠CBD=∠A,∠ABC=∠BHD, ∴△ABC∽△BHD, ∴
,
∵△ABC∽△DHC, ∴
,
∴AB=3DH, ∴
,
解得DH=2,
∴AB=3DH=3×2=6, 即AB的长是6.
点评: (1)此题主要考查了相似三角形的性质和应用,要熟练掌握,解答此题的关键是要明确:寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形;或依据基本图形对图形进行分解、组合;或作辅助线构造相似三角形,判定三角形相似的方法有事可单独使用,有时需要综合运用,无论是单独使用还是综合运用,都要具备应有的条件方可. (2)此题还考查了直角三角形的性质和应用,要熟练掌握.
18. (2015?江苏宿迁,第17题6分)计算:cos60°﹣2+
﹣1
﹣(π﹣3).
0
考点: 实数的运算;零指数幂;负整数指数幂;特殊角的三角函数值. 专题: 计算题.
分析: 原式第一项利用特殊角的三角函数值计算,第二项利用负整数指数幂法则计算,第三项利用二次根式性质化简,最后一项利用零指数幂法则计算即可得到结果. 解答: 解:原式=﹣+2﹣1
=1.
点评: 此题考查了实数的运算,熟练掌握运算法则是解本题的关键.
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