第14课时：2015年全国中考数学试卷解析分类汇编专题27 - 锐角三

2015年国中考数学试卷解析分类汇编专题27 锐角三角函数

与特殊角

一.选择题

1. （2015广西崇左第10题3分）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=13，BC=12，则下列三角函数表示正确的是（ ）

A． sinA= B． 2cosA=2 C． tanA= D． tanB= BC12AC5?，故A正确；cosA=?，故BAB13AB13BC12AC5错误；tanA=,故C错误；tanB=,故D错误. ??AC5BC12 A【解析】AC =AB-BC=5.sinA=点评：在Rt△ABC中，∠C=90o，则sinA=

?A的对边?A的邻边，cosA=，tan

斜边斜边A=

?A的对边．求直角三角形中某锐角的三角函数值，常常利用勾股定理求出有关边长来

?A的邻边解决．

2．（2015?滨州,第2题3分）下列运算：sin30°=结果正确的个数为（ ） A． 4 B． 3 C． 2 D． 1

考点： 特殊角的三角函数值；算术平方根；零指数幂；负整数指数幂． 分析： 根据特殊角三角函数值，可判断第一个； 根据算术平方根，可判断第二个； 根据非零的零次幂，可判断第三个； 根据负整数指数幂，可判断第四个． 解答： 解：sin30°=， =2， 0

π=1， 2=， 故选：D．

1

﹣2

，=2，π=π，2=﹣4，其中运算

0﹣2

点评： 本题考查了特殊角三角函数值，熟记特殊角三角函数值是解题关键，注意负整数指数幂与正整数指数幂互为倒数． 3．（2015?本溪，第9题3分）如图，在平面直角坐标系中，直线AB与x轴交于点A（﹣2，0），与x轴夹角为30°，将△ABO沿直线AB翻折，点O的对应点C恰好落在双曲线y=（k≠0）上，则k的值为（ ）

A． 4 B． ﹣2 C．

D． ﹣

考点： 翻折变换（折叠问题）；待定系数法求反比例函数解析式．

分析： 设点C的坐标为（x，y），过点C作CD⊥x轴，作CE⊥y轴，由折叠的性质易得∠CAB=∠OAB=30°，AC=AO=2，∠ACB=AOB=90°，用锐角三角函数的定义得CD，CE，得点C的坐标，易得k．

解答： 解：设点C的坐标为（x，y），过点C作CD⊥x轴，作CE⊥y轴， ∵将△ABO沿直线AB翻折，

∴∠CAB=∠OAB=30°，AC=AO=2，∠ACB=AOB=90°， ∴CD=y=AC?sin60°=2×∵∠ACB=∠DCE=90°， ∴∠BCE=∠ACD=30°， ∵BC=BO=AO?tan30°=2×CE=x=BC?cos30°=

=

， =1， =

，

∵点C恰好落在双曲线y=（k≠0）上， ∴k=x?y=﹣1×故选D．

=﹣

，

2

点评： 本题主要考查了翻折的性质，锐角三角函数，反比例函数的解析式，理解翻折的性质，求点C的坐标是解答此题的关键．

4. （2015年浙江衢州9，3分）如图，已知“人字梯”的5个踩档把梯子等分成6份，从上往下的第二个踩档与第三个踩档的正中间处有一条60cm长的绑绳EF，tan??，则“人字．．．2梯”的顶端离地面的高度AD是【 】

5

A. 144cm B. 180cm C. 240cm D. 360cm 【答案】B．

【考点】平行线分线段成比例．

【分析】∵“人字梯”的5个踩档把梯子等分成6份，从上往下的第二个踩档与第三个踩档的正中间处有一条60cm长的绑绳EF， ．．．

∴

AF5?. AC12EFAF?. BCAC∵EF//BC，∴?AEF∽?ABC.∴∴

605?，解得BC?144. BC125AD5AD5∵tan??，即????AD?180?cm?.

122722BC2故选B．

3

5. （2015?温州第5题4分）如图，在△ABC中，∠C=90°，AB=5，BC=3，则cosA的值是（ ）

A．

考点： 锐角三角函数的定义．

分析： 根据锐角的余弦等于邻边比斜边求解即可． 解答： 解：∵AB=5，BC=3， ∴AC=4，

B． C． D．

∴cosA==．

故选D．

点评： 本题考查锐角三角函数的定义及运用：在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边

6．（2015?甘肃庆阳，第7题，3分）在△ABC中，若角A，B满足|cosA﹣

2

|+（1﹣tanB）

=0，则∠C的大小是（ ） A．45° B． 60° C． 75° D．105°

考点： 特殊角的三角函数值；非负数的性质：绝对值；非负数的性质：偶次方．

分析： 根据非负数的性质得出cosA=∠C的度数．

解答： 解：由题意得，cosA=

，tanB=1，求出∠A和∠B的度数，继而可求得

，tanB=1，

则∠A=30°，∠B=45°， 则∠C=180°﹣30°﹣45°=105°． 故选D．

点评： 本题考查了特殊角的三角函数值，解答本题的关键是掌握几个特殊角

7. （2015?黄石第14题3分）如图，圆O的直径AB=8，AC=3CB，过C作AB的垂线交圆O于M，N两点，连结MB，则∠MBA的余弦值为

．

4

考点：垂 径定理；解直角三角形． 分析：如 图，作辅助线；求出BC的长度；运用射影定理求出BM的长度，借助锐角三角函数的定义求出∠MBA的余弦值，即可解决问题． 解答：解 ：如图，连接AM； ∵AB=8，AC=3CB， ∴BC=AB=2： ∵AB为⊙O的直径， ∴∠AMB=90°； 由射影定理得： 2BM=AB?CB， ∴BM=4，cos∠MBA=故答案为． =， 点评：该 题主要考查了圆周角定理及其推论、射影定理、锐角三角函数的定义等知识点及其应用问题；解题的方法是作辅助线，构造直角三角形；解题的关键是灵活运用圆周角定理及其推论、射影定理等知识点来分析、判断、解答． 8.（2015?烟台,第7题3分） 如图，BD是菱形ABCD的对角线，CE⊥AB于点E，且点E是AB的中点，则tan?BFE的值是（ ） A． 考点：菱形的性质与锐角三角函数

5

31 B. 2 C. D. 3 32

1BC，又因为CE⊥AB，所以△BCA为直21角三角形，∠BCE=30°，∠EBC=60°，又因为菱形的对角线平分每一组对角，所以∠EBF=∠EBC=30°，2分析：因为在菱形ABCD中，AB=BC，E为AB的中点，所以BE=所以∠BFE=60°，所以tan∠BFE=3． 解答：故选D 点评：运用到的知识点有直角三角形的中线性质，以及菱形的性质，最后算出∠BFE后还用到特殊角的三 角函数。 9. （2015?江苏南通，第6题3分）如图，在平面直角坐标系中，直线OA过点（2，1），则tanα的值是（ ）

A． B． C． D．2 考点：

解直角三角形；坐标与图形性质．. 分析：

设（2，1）点是B，作BC⊥x轴于点C，根据三角函数的定义即可求解． 解答：

解：设（2，1）点是B，作BC⊥x轴于点C． 则OC=2，BC=1， 则tanα==． 故选C．

点评：本题考查了三角函数的定义，理解正切函数的定义是关键．

二.填空题

1．（2015?济南,第20题3分）如图，等边三角形AOB的顶点A的坐标为（﹣4，0），顶点B在反比例函数y= （x＜0）的图象上，则k= ﹣4 ．

6

考点： 反比例函数图象上点的坐标特征；等边三角形的性质．

分析： 过点B作BD⊥x轴于点D，因为△AOB是等边三角形，点A的坐标为（﹣4，0）所∠AOB=60°，根据锐角三角函数的定义求出BD及OD的长，可得出B点坐标，进而得出反比例函数的解析式；

解答： 解：过点B作BD⊥x轴于点D，

∵△AOB是等边三角形，点A的坐标为（﹣4，0）， ∴∠AOB=60°，OB=OA=AB=4， ∴OD= OB=2，BD=OB?sin60°=4×∴B（﹣2，2 ）， ∴k=﹣2×2 =﹣4 ； 故答案为﹣4 ．

点评： 本题考查了反比例函数图象上点的坐标特点、等边三角形的性质、解直角三角函数等知识，难度适中．

2．（3分）（2015?桂林）（第16题）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=8，BC=6，CD⊥AB，垂足为D，则tan∠BCD的值是 ． =2

，

考点： 解直角三角形．

分析： 先求得∠A=∠BCD，然后根据锐角三角函数的概念求解即可． 解答： 解：在Rt△ABC与Rt△BCD中，∠A+∠B=90°，∠BCD+∠B=90°． ∴∠A=∠BCD． ∴tan∠BCD=tan∠A=故答案为

==．

7

点评： 本题考查了解直角三角形，三角函数值只与角的大小有关，因而求一个角的函数值，可以转化为求与它相等的其它角的三角函数值．

3.（2015?曲靖第12题3分）如图，在半径为3的⊙O中，直径AB与弦CD相交于点E，连接AC，BD，若AC=2，则cosD=

．

考点： 圆周角定理；解直角三角形．

分析： 连接BC，根据同弧所对的圆周角相等得到∠D=∠A，在直角三角形ABC中，根据余弦的定义即可得到结果． 解答： 解：连接BC， ∴∠D=∠A，

∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°， ∵AB=3×2=6，AC=2，

∴cosD=cosA=故答案为：．

==．

点评： 本题考查了圆周角定理，解直角三角形，连接BC构造直角三角形是解题的关键．

4.（2015?四川巴中,第18题3分）如图，将∠AOB放在边长为1的小正方形组成的网格中，则tan∠AOB=

．

考点： 锐角三角函数的定义． 专题： 网格型． 分析： 先在图中找出∠AOB所在的直角三角形，再根据三角函数的定义即可求出tan∠AOB的值．

8

解答： 解：过点A作AD⊥OB垂足为D， 如图，在直角△ABD中，AD=1，OD=2， 则tan∠AOB=故答案为． =． 点评： 本题考查了锐角三角函数的概念：在直角三角形中，正弦等于对边比斜边；余弦等于邻边比斜边；正切等于对边比邻边．

三.解答题

1．（2015?永州，第19题6分）计算：cos30°﹣ 考点：实 数的运算；负整数指数幂；特殊角的三角函数值． 专题：计 算题． 分析：原 式第一项利用特殊角的三角函数值计算，第二项化为最简二次根式，最后一项利用负整数指数幂法则计算即可得到结果． 解答： 解：原式=﹣+4=4． +（）．

﹣2

点评：此 题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．

2.(2015年浙江省义乌市中考,17,4分)计算：2cos45??(??1)?011?()?1； 42考点：特殊角的三角函数值．.

专题：计算题．

分析：原式第一项利用特殊角的三角函数值计算，第二项利用零指数幂法则计算，第三项利用算术平方根定义计算，最后一项利用负整数指数幂法则计算即可得到结果； 点评：此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．

3．（2015?东营,第19题7分）（1）计算：（﹣1）﹣1

（2）解方程组：

．

2015

﹣

+（3﹣π）+|3﹣

0

|+（tan30°）

考点： 实数的运算；零指数幂；负整数指数幂；解二元一次方程组；特殊角的三角函数值． 专题： 计算题．

9

分析： （1）原式第一项利用乘方的意义计算，第二项利用算术平方根定义计算，第三项利用零指数幂法则计算，第四项利用绝对值的代数意义化简，最后一项利用负整数指数幂法则计算即可得到结果；

（2）方程组利用加减消元法求出解即可． 解答： 解：（1）原式=﹣1﹣3+1+3﹣+=0； （2）

，

①+②得：3x=15，即x=5， 把x=5代入①得：y=1， 则方程组的解为

．

点评： 此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．

4．（2015?怀化，第15题8分）计算：

．

考点： 实数的运算；零指数幂；负整数指数幂；特殊角的三角函数值． 专题： 计算题．

分析： 原式第一项利用绝对值的代数意义化简，第二项利用特殊角的三角函数值计算，第三项利用负整数指数幂法则计算，第四项利用零指数幂法则计算，最后一项利用算术平方根的定义计算即可得到结果．

解答： 解：原式=﹣1+4×﹣2﹣1+3=+1．

点评： 此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．

5．（2015?娄底，第19题6分）计算：（﹣1.414）+（）﹣+2cos30°． 考点： 实数的运算；零指数幂；负整数指数幂；特殊角的三角函数值． 专题： 计算题．

分析： 原式第一项利用零指数幂法则计算，第二项利用负整数指数幂法则计算，最后一项利用特殊角的三角函数值计算即可得到结果． 解答： 解：原式=1+3﹣

+2×

0

﹣1

=4．

点评： 此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 6．（2015?娄底，第22题8分）“为了安全，请勿超速”．如图，一条公路建成通车，在某直线路段MN限速60千米/小时，为了检测车辆是否超速，在公路MN旁设立了观测点C，从观测点C测得一小车从点A到达点B行驶了5秒钟，已知∠CAN=45°，∠CBN=60°，BC=200米，此车超速了吗？请说明理由．（参考数据：

≈1.41，

≈1.73）

10

考点： 勾股定理的应用．

分析： 根据题意结合锐角三角函数关系得出BH，CH，AB的长进而求出汽车的速度，进而得出答案．

解答： 解：此车没有超速． 理由：过C作CH⊥MN， ∵∠CBN=60°，BC=200米， ∴CH=BC?sin60°=200×

=100

（米），

BH=BC?cos60°=100（米）， ∵∠CAN=45°， ∴AH=CH=100∴AB=100

米，

﹣100≈73（m），

m/s，

≈16.7（m/s），

∵60千米/小时=∴

=14.6（m/s）＜

∴此车没有超速．

点评： 此题主要考查了勾股定理以及锐角三角函数关系的应用，得出AB的长是解题关键．

7.（2015?营口，第19题10分）先化简，再求值：

2

﹣÷（1﹣）．其中

m满足一元二次方程m+（5tan30°）m﹣12cos60°=0．

考点： 分式的化简求值；解一元二次方程-因式分解法；特殊角的三角函数值．

11

专题： 计算题．

分析： 原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分后两项通分并利用同分母分式的减法法则计算得到最简结果，求出m的值代入计算即可求出值． 解答： 解：原式=

﹣

÷

=

﹣

?

2

=﹣

2

==，

方程m+（5tan30°）m﹣12cos60°=0，化简得：m+5m﹣6=0， 解得：m=1（舍去）或m=﹣6， 当m=﹣6时，原式=﹣．

点评： 此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．

8.（2015?青海西宁第21题7分）计算：2sin60°+|﹣2|+． 考点： 实数的运算；特殊角的三角函数值． 分析： 分别根据特殊角的三角函数值、绝对值的性质及数的开方法则计算出各数，再根据实数混合运算的法则进行计算即可．

解答： 解：原式=2×+2﹣+2

=2+2．

点评： 本题考查的是实数的运算，熟知特殊角的三角函数值、绝对值的性质及数的开方法则是解答此题的关键．

9.（2015?四川凉山州第18题6分）计算：﹣3÷

2

×

+|﹣3|

考点： 二次根式的混合运算；特殊角的三角函数值．

分析： 分别利用特殊角的三角函数值以及绝对值的性质化简求出即可． 解答： 解：﹣3÷=﹣9×

×

+3﹣

2

×+|﹣3|

=﹣．

点评： 此题主要考查了二次根式的混合运算以及特殊角的三角函数值、绝对值的性质等知识，正确化简各数是解题关键．

10.（2015?四川遂宁第16题7分）计算：﹣1﹣+6sin60°+（π﹣3.14）+|﹣| 考点： 实数的运算；零指数幂；特殊角的三角函数值． 专题： 计算题．

分析： 原式第一项利用乘方的意义化简，第二项化为最简二次根式，第三项利用特殊角的三角函数值计算，第四项利用零指数幂法则计算，最后一项利用绝对值的代数意义化简，计算即可得到结果．

30

12

解答： 解：原式=﹣1﹣3+6×+1+=．

点评： 此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．

11．（2015?甘肃庆阳，第21题，8分）计算：（

﹣2）+（）+4cos30°﹣|

0﹣1

﹣|

考点： 实数的运算；零指数幂；负整数指数幂；特殊角的三角函数值． 专题： 计算题．

分析： 原式第一项利用零指数幂法则计算，第二项利用负指数幂法则计算，第三项利用特殊角的三角函数值计算，最后一项利用绝对值的代数意义化简，计算即可得到结果． 解答： 解：原式=1+3+4×

﹣2

=4．

点评： 此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 12．（2015?甘肃天水，第13题，4分）如图，边长为1的小正方形构成的网格中，半径为1的⊙O在格点上，则∠AED的正切值为 ．

考点： 圆周角定理；锐角三角函数的定义． 专题： 网格型．

分析： 根据圆周角定理可得∠AED=∠ABC，然后求出tan∠ABC的值即可． 解答： 解：由图可得，∠AED=∠ABC， ∵⊙O在边长为1的网格格点上， ∴AB=2，AC=1， 则tan∠ABC=∴tan∠AED=．

故答案为：．

点评： 本题考查了圆周角定理和锐角三角形的定义，解答本题的关键是掌握同弧所对的圆周角相等．

13．（2015?湖南湘西州，第19题，5分）计算：3﹣2015+tan45°．

13

2

0

=，

考点： 实数的运算；零指数幂；特殊角的三角函数值．

分析： 分别进行乘方、零指数幂、特殊角的三角函数值等运算，然后合并． 解答： 解：原式=9﹣1+1 =9．

点评： 本题考查了实数的运算，涉及了乘方、零指数幂、特殊角的三角函数值等知识，属于基础题．

14．（2015?江苏镇江，第18题，8分）（1）计算：﹣（﹣π）﹣2

0

sin60°

考点： 实数的运算；零指数幂；特殊角的三角函数值．

分析： （1）先化简二次根式，计算0指数幂与特殊角的三角函数，再算加减； 解答： 解：（1）原式=4﹣1﹣2

×

=4﹣1﹣3 =0； 此题考查二次根式的混合运算，掌握运算顺序与计算方法是解决问题的关键．

15.（2015?黄石第17题7分）计算：﹣

+|﹣

|+2sin45°+π+（）．

0﹣1

考点：实 数的运算；零指数幂；负整数指数幂；特殊角的三角函数值． 专题：计 算题． 分析：原 式第一项化为最简二次根式，第二项利用绝对值的代数意义化简，第三项利用特殊角的三角函数值计算，第四项利用零指数幂法则计算，最后一项利用负整数指数幂法则计算即可得到结果． 解答： 解：原式=﹣2++2×+1+2=3． 点评：此 题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 16．（2015?青岛,第19题6分）小明在热气球A上看到正前方横跨河流两岸的大桥BC，并测得B，C两点的俯角分别为45°，35°．已知大桥BC与地面在同一水平面上，其长度为100m，请求出热气球离地面的高度．（结果保留整数） （参考数据：sin35°≈

，cos35°≈，tan35°≈

）

考点： 解直角三角形的应用-仰角俯角问题． 分析： 作AD⊥BC交CB的延长线于D，设AD为x，表示出DB和DC，根据正切的概念求出x的值即可． 解答： 解：作AD⊥BC交CB的延长线于D，设AD为x， 由题意得，∠ABD=45°，∠ACD=35°，

14

在Rt△ADB中，∠ABD=45°， ∴DB=x， 在Rt△ADC中，∠ACD=35°， ∴tan∠ACD=∴=， ， 解得，x≈233m． 点评： 本题考查的是解直角三角形的应用，理解仰角和俯角的概念、掌握锐角三角函数的概念是解题的关键，解答时，注意正确作出辅助线构造直角三角形． 17. （2015·江苏连云港，第25题10分）如图，在△ABC中，∠ABC=90°，BC=3，D为AC延长线上一点，AC=3CD，过点D作DH∥AB，交BC的延长线于点H． (1）求BD?cos∠HBD的值；

(2）若∠CBD=∠A，求AB的长．

考点： 相似三角形的判定与性质；解直角三角形．

分析： （1）首先根据DH∥AB，判断出△ABC∽△DHC，即可判断出BH的值是多少，再根据在Rt△BHD中，cos∠HBD=(2）首先判断出△ABC∽△BHD，推得所以AB=3DH；最后根据解答： 解：（1）∵DH∥AB， ∴∠BHD=∠ABC=90°， ∴△ABC∽△DHC， ∴

=3，

=3；然后求出

，求出BD?cos∠HBD的值是多少即可．

，

；然后根据△ABC∽△DHC，推得

，求出DH的值是多少，进而求出AB的值是多少即可．

∴CH=1，BH=BC+CH，

在Rt△BHD中，

15

cos∠HBD=

，

∴BD?cos∠HBD=BH=4．

(2）∵∠CBD=∠A，∠ABC=∠BHD， ∴△ABC∽△BHD， ∴

，

∵△ABC∽△DHC， ∴

，

∴AB=3DH， ∴

，

解得DH=2，

∴AB=3DH=3×2=6， 即AB的长是6．

点评： （1）此题主要考查了相似三角形的性质和应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形；或依据基本图形对图形进行分解、组合；或作辅助线构造相似三角形，判定三角形相似的方法有事可单独使用，有时需要综合运用，无论是单独使用还是综合运用，都要具备应有的条件方可． (2）此题还考查了直角三角形的性质和应用，要熟练掌握．

18. （2015?江苏宿迁，第17题6分）计算：cos60°﹣2+

﹣1

﹣（π﹣3）．

0

考点： 实数的运算；零指数幂；负整数指数幂；特殊角的三角函数值． 专题： 计算题．

分析： 原式第一项利用特殊角的三角函数值计算，第二项利用负整数指数幂法则计算，第三项利用二次根式性质化简，最后一项利用零指数幂法则计算即可得到结果． 解答： 解：原式=﹣+2﹣1

=1．

点评： 此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．

16

cos∠HBD=

，

∴BD?cos∠HBD=BH=4．

(2）∵∠CBD=∠A，∠ABC=∠BHD， ∴△ABC∽△BHD， ∴

，

∵△ABC∽△DHC， ∴

，

∴AB=3DH， ∴

，

解得DH=2，

∴AB=3DH=3×2=6， 即AB的长是6．

点评： （1）此题主要考查了相似三角形的性质和应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形；或依据基本图形对图形进行分解、组合；或作辅助线构造相似三角形，判定三角形相似的方法有事可单独使用，有时需要综合运用，无论是单独使用还是综合运用，都要具备应有的条件方可． (2）此题还考查了直角三角形的性质和应用，要熟练掌握．

18. （2015?江苏宿迁，第17题6分）计算：cos60°﹣2+

﹣1

﹣（π﹣3）．

0

考点： 实数的运算；零指数幂；负整数指数幂；特殊角的三角函数值． 专题： 计算题．

分析： 原式第一项利用特殊角的三角函数值计算，第二项利用负整数指数幂法则计算，第三项利用二次根式性质化简，最后一项利用零指数幂法则计算即可得到结果． 解答： 解：原式=﹣+2﹣1

=1．

点评： 此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．

16

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