数值计算方法期末复习天津理工大学

数值计算方法期末复习

概念题：

1． 算法的优劣性

计算量的大小是衡量算法优劣的一个重要标准

尽量节约存储量，也是设计算法时需要考虑的一个因素

2． 截断误差（方法误差）

无穷过程用有限过程近似引起的误差 舍入误差（计算误差）

无论用计算机、计算器计算还是笔算，都只能用有限位小数来代替无穷小数或用位数较少的小数来代替位数较多的有限小数，产生舍入误差 3． 有效数字（注意事项4点）p7

（1）用四舍五入取准确值的前n位x*作为近似值，则x*必有n个有效数字

例如，л＝3.1415926…,取3.14作为近似值，则有3位有效数字，取3.142作为近似值，则有4位有效数字

（2）有效数字位数相同的两个近似数，绝对误差不一定相同

例如，设x1*= 12345, x2*=12.345，二者均有5位有效数字，前者的绝对误差为

－

1/2，后者的绝对误差为1/2×103

（3）把任何数乘以10p等于移动该数的小数点，这样并不影响其有效数字的位数 4． 相对误差的定义p5

? 定义 x的近似值x*的相对误差 相对误差限可由绝对误

差限求出，反之，绝对误差限也可由相对误差限求出

5． 减少相对误差的若干规则p14 （4点）

a) 两个相近的数相减，会严重损失有效数字 b) 防止大数“吃掉”小数

c) 在除法运算中要避免出现除数的绝对值远远小于被除数绝对值的情形（绝对值太小的数不宜做除数）

d) 简化计算步骤，减少运算次数选用 e) 数值稳定性好的计算公式

6． 逐步扫描法p22

7． 二分法（二分估计式）p24

就是将方程根所在的区间平分为两个小区间，再判断根属于哪个小区间；把有根的小区间再平分为二，再判断根所在的更小的区间，对分；重复这一过程，最后求出所要的近似值

? 1．计算f (x)在有解区间[a, b]端点处的函数值，f (a)，f (b) ? 2．计算f (x)在区间中点处的值f (x0)

? 判断若f (x0) = 0，则 即是根，否则检验：

（1）若f (x0)与f (a)异号，则知解位于区间[a, x0]，以x0代替b； （2）若f (x0)与f (a)同号，则知解位于区间[x0, b]，x0代替a 反复执行步骤2、3，

误差估计式

8． 解方程的集中方法（课件）

9． 高斯消元法的弊端

a) 如果用作除数 为主元素，消元过程中可能出现

为零的情况，此时消元过程无法进行下去

b) 如果主元素 很小，由于舍入误差和有效位数消失等因素，其本身常常有较大的相对误差，用其作除数，会导致其它元素数量级的严重增长和舍入误差的扩散，使得所求的解误差过大，以致失真

10. 代数插值的推论：当f(x)是次数不超过n的多项式时，其n次插值多项式就是f(x)本身 11. 牛顿科特斯公式的系数的性质p197 （3点）

? 柯特斯系数Ck之和为1

? 柯特斯系数Ck具有对称性，即Ck＝Cn-k ? 柯特斯系数有时为负

12. 复数求积分的思想 p208

为减小因区间过大而造成的误差过大，将积分区间等分成若干等份,每份成为一个子区间，然后对每个子区间用低阶的求积公式（如梯形公式、辛普森公式或科特斯公式等）求积，再利用积分的区间可加性，把各区间上的积分加起来，得到复化求积公式

13.变步长求积分的思想p208

? 变步长积分法思想：将区间逐次对分进行计算，用前后两次计算的结果进行估计，

若合乎精度要求，就停止计算；否则再次对分，重复以上计算过程，直至达到精度要求为止

14.欧拉公式的几何意义 p231 欧拉公式的几何意义： 用一条初始点重合的折线，来近似表示微分方程的解（积分曲线）

3中导出方法

14. 局部截断误差和阶p232局部截断误差和阶

? 定义：在yn准确的前提下，即yn=y(xn)时，用数值方法计算yn+1的误差

称为该数值方法计算yn+1时的局部截断误差

计算题：

1． 绝对误差（公式） 2． 有效数字 3． 相对误差 4． 二分法 5． 迭代法

6． 列主元高斯消元法 7． 克洛特分解法

8． 雅克比迭代法 高斯赛德尔迭代（简答 只需要写出公式） 9． 线性插值 10. 抛物线插值

11. 拉格朗日插值的公式

12. 牛顿科特斯公式n=1 n=2 的公式 13. 复化梯形 14. 复化辛普森

15. 欧拉公式(o(h^2)) 16. 改进欧拉公式

17. 四阶龙格库塔法公式求一阶差微分的数值（o（h^5））

? 定义：数值方法的局部截断误差为O(hp+1)，则称这种数值方法的阶数为p

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